Một số dạng toán về số phức

Tài liệu toán học về số phức. Tóm tắt lý thuyết cơ bản, nâng cao và bài tập áp dụng về số phức như giải phương trình trong tập hợp số phức, tìm số phức có modun lớn nhất, nhỏ nhất, tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức... giúp các bạn học sinh ôn tập thi đại học tốt hơn.

Một số dạng toán về số phức Lê xuân đại ( GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc ) Số phức là một vấn đề còn mới ở ch-ơng trình toán giải tích lớp 12. Do vậy mà các em học sinh không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức. Bài viết này giới thiệu một số dạng toán về số phức nhằm giúp các bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt hơn. Do khuôn khổ của bài viết nên tác giả chỉ nêu ra một số dạng toán liên quan đến dạng đại số của số phức. Dạng 1 : Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức Thí dụ 1 : Gọi 1 2 , z z là hai nghiệm của ph-ơng trình 2 2 10 0 z z . Tính 2 2 1 2 z z ; 4 4 1 2 z z . Lời giải . Giải ph-ơng trình tìm ra hai nghiệm là 1 2 1 3 ; 1 3 z i z i , suy ra 1 2 10 z z . Do đó 2 2 1 2 20 z z và 4 4 1 2 200 z z . Thí dụ 2 : Cho hai số phức 1 2 z z, thoả mãn 1 2 1 2 1 3 z z z z ; . Tính 1 2 z z . Lời giải. Đặt 1 1 1 2 2 2 ; z a b i z a b i . Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3( ) ( ) a b a b a a b b Suy ra 1 1 2 2 2 1 ( ) a b a b 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) a a b b z z Bài toán t-ơng tự : Cho hai số phức 1 2 z z, thoả mãn 1 2 1 2 3 4 37 ; ; z z z z . Tìm số phức 1 2 z z z . Dạng 2: Bài toán liên quan đến ph-ơng trình nghiệm phức Thí dụ 3 : Giải ph-ơng trình nghiệm phức: 2 8 1 63 16 0 z i z i ( ) Lời giải. Ta có 2 2 16 1 63 16 63 16 1 8 i i i i ' ( ) ( ) ( ) Từ đó ta tìm ra hai nghiệm 1 5 12z i ; 2 3 4z i . Thí dụ 4: Tìm hai số thực x,y thoả mãn: 3 3 5 1 2 9 14 ( ) ( ) x i y i i Lời giải. Ta có 3 3 5 1 2 3 5 11 2 3 11 5 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x i y i x i y i x y x y i Do đó x,y thoả mãn hệ 3 11 9 5 2 14 x y x y . Giải hệ ta đ-ợc 172 61 x và 3 61 y . Thí dụ 5: Giải ph-ơng trình 3 2 2(1 ) 4(1 ) 8 0 z i z i z i biết rằng ph-ơng trình có một nghiệm thuần ảo. Lời giải. Gọi nghiệm thuần ảo là ( ) z bi b . Ta có: 2 3 2 3 2 2 4 0 ( ) 2(1 )( ) 4(1 )( ) 8 0 2 2 4 8 0 b b bi i bi i bi i b b b b Khi đó phân tích PT đã cho t-ơng đ-ơng: 2 2 2 ( 2 ) 2 4 0 2 4 0 z i z i z z z z Từ đó tìm ra 3 nghiệm của PT là: 2 ; 1 3 z i z i . Thí dụ 6: Giải ph-ơng trình nghiệm phức: 2 z z Lời giải . Đặt z a bi a b ( , ) , ta có: 2 z z 2 2 2 2 a b a a bi a bi ab b ( ) Giải hệ trên ta tìm đ-ợc 1 3 0 0 1 0 2 2 a b ( ; ) ( ; );( ; ); ; . Vậy 1 3 0 1 2 2 z z z i ; ; . Thí dụ 7 : Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z x yi thoả mãn 3 18 26 z i . Lời giải . Ta có 3 2 3 2 3 3 18 18 26 3 26 x xy x yi i x y y ( ) 2 3 3 2 18 3 26 3 x y y x xy ( ) ( ) . Giải PT bằng cách đặt 0 y tx x ( ) ta đ-ợc 1 3 t x=3,y=1. Vậy 3z i . Trong nhiều tr-ờng hợp, dùng số phức có thể giải đ-ợc các hệ ph-ơng trình khó, ta xét thí dụ sau: Thí dụ 8 : Giải hệ ph-ơng trình: 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y x y y x y ( , ) Lời giải. Từ hệ suy ra: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 x y x y i x yi i x yi x yi x yi x y x y x y ( ) ( ) ( ) ( ) Đặt z x yi ta đ-ợc PT ẩn z : 2 3 3 3 3 i z i z z z z ( ) ( ) Giải PT bậc hai tìm đ-ợc 2 z i và 1 z i . Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là 2 1 1 1 x y ( , ) ( , );( , ). Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho tr-ớc Thí dụ 9 : Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn: a) 3 4 z z i b) 1 z i z i Lời giải. a) Đặt z x yi x y ( , ) , ta có 3 4z z i 2 2 2 2 3 4 6 8 25( ) ( ) x y x y x y Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đ-ờng thẳng có ph-ơng trình 6 8 25x y . b) Đặt z x yi x y ( , ) , ta có 1 1 1 z i z i z i x y i x y i z i ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0x y x y y ( ) ( ) . Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục thực Ox Thí dụ 10: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức 1 3 2i z ( ) biết rằng số phức z thoả mãn: 1 2z . Lời giải. Đặt z a bi a b ( , ) và x yi x y ( , ) Ta có 2 2 1 2 1 4z a b ( ) (1) Từ 1 3 2i z ( ) 3 2 1 3 2 3 x a b x yi i a bi y a b ( )( ) 3 1 3 3 3 1 x a b y a b ( ) Từ đó 2 2 2 2 3 3 4 1 16 x y a b ( ) ( ) ( ) (do (1)). Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn 2 2 3 3 16 x y ( ) ( ) , tâm 3 3I( ; ) , bán kính R =4. Dạng 4: Số phức và bất đẳng thức Thí dụ 11 : Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: 1 1 2 z hoặc 2 1 1 z Lời giải . Giả sử ta có đồng thời 1 1 2 z và 2 1 1 z . Đặt z a bi a b ( , ) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 1 0 1 2 2 0 2 1 4 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a a b a b a b a b Cộng từng vế (1) với (2) ta đ-ợc 2 2 2 2 2 1 0 a b a ( ) ( ) (vô lý). Suy ra đpcm. Thí dụ 12: Cho số phức 0z thoả mãn 3 3 1 2z z . Chứng minh rằng: 1 2z z . Lời giải. Dễ chứng minh đ-ợc rằng với hai số phức 1 2 z z, ta có 1 2 1 2 z z z z Từ 3 3 3 1 1 1 3z z z z z z , suy ra 3 3 3 1 1 1 1 3 2 3z z z z z z z z Đặt 1 a z z ta đ-ợc 3 2 3 2 0 2 1 0 2 a a a a a ( )( ) (đpcm). Thí dụ 13 : Cho số phức z thoả mãn 2 2 1 z i . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Lời giải . Đặt z a bi a b ( , ) . Ta có 2 2 1 z i 2 2 7 4( ) a b a b . éót 2 2 t z a b , ta có 2 2 2( ) 2. a b a b t . Suy ra 2 7 4 2. 2 2 1 2 2 1 t t t . * 2 2 0 4 2 4 2 2 2 1 ; 2 2 2 2 1 a b t a b a b a b . Khi đó 4 2 4 2 2 2 z i . * 2 2 0 4 2 4 2 2 2 1 ; 2 2 2 2 1 a b t a b a b a b . Khi đó 4 2 4 2 2 2 z i . Vậy giá trị lớn nhất của z bằng 2 2 1 và giá trị nhỏ nhất của z bằng 2 2 1 . Bài t-ơng tự : Cho số phức z thoả mãn 1 2 1 z i . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Dạng 5 : Tính toán các biểu thức tổ hợp Thí dụ 14 : Tính giá trị của 0 2 4 2008 2010 2010 2010 2010 2010 2010 . A C C C C C Lời giải . Xét khai triển: 2010 2010 0 2 4 2008 2010 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 0 1 ( ) . . . k k k i C i C C C C C C C C C i Mặt khác 1005 2010 2 1005 1005 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) . i i i i So sánh phần thực và phần ảo của 2010 1( ) i ta đ-ợc 0 A . + Từ trên cũng suy ra kết quả sau: 1 3 5 2009 1005 2010 2010 2010 2010 2 . B C C C C + Bây giờ, ta xét khai triển 2010 2010 2010 0 1( ) . k k k x C x (*) Trong (*) lần l-ợt thay x=1 và x=-1 ta đ-ợc: 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 0 1 2 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 0 . . C C C C C C C C C C Suy ra 0 2 4 2008 2010 2009 2010 2010 2010 2010 2010 1 3 5 2007 2009 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2 2 . . C C C C C C D C C C C C Từ kết quả của A và C ta suy ra tổng sau: 0 4 8 2004 2008 2008 2010 2010 2010 2010 2010 . 2 P C C C C C Từ kết quả của B và D ta suy ra tổng sau: 1 5 9 2005 2009 1004 2008 2010 2010 2010 2010 2010 . 2 2 Q C C C C C . Cuối cùng là một số bài tập cho các bạn luyện tập Bài 1: Giải các ph-ơng trình sau trên tập số phức 1. 3 z z 2. 3 4z z i 3. 2 1 2 11 0i z i ( ) Bài 2: Tìm số phức z sao cho 2A z z i ( )( ) là một số thực Bài 3 : Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z| = 5 và 1 7 z iz là số thực Bài 4 : Cho n nguyên d-ơng. Chứng minh rằng: 1 3 8 1 4 8 8 8 1 3 . (8 1) 4 .2 n n n n n C C n C n Bài 5 : Giải hệ ph-ơng trình: 1 3 1 2 1 7 1 4 2 x x y x y y x y ( , ) . . nên tác giả chỉ nêu ra một số dạng toán liên quan đến dạng đại số của số phức. Dạng 1 : Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức Thí dụ 1 : Gọi 1. không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức. Bài viết này giới thiệu một số dạng toán về số phức nhằm giúp các bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt hơn.