Cực trị tự do cực trị có điều kiện

Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD Cực trị tự do cực trị có điều kiện các VD

Mục lục LỜI NÓI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cực trị tích phân chiếm vị trí quan trọng toán học Lý thuyết cực trị tích phân có liên hệ mật thiết với nhiều lĩnh vực khác tốn học Bên cạnh cịn ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học,các lĩnh vực nghiên cứu lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, Với lý trên, Nhóm hỗ trợ giáo viên hướng dẫn định chọn đề tài: “Ứng dụng cực trị có điền kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép, tích phân hàm nhiều biến” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu đề tài tìm hiểu tìm hiểu ứng dụng cực trị có điều kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép, tích phân hàm nhiều biến 1.Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.1Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn ứng dụng cực trị có điều kiện, ứng dụng cực trị tự do, tích phân hàm kép, tích phân hàm nhiều biến 1.2Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu tích phân, cực trị hàm nhiều biến 2.Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu rõ lí thuyết cực trị tích phân qua tìm tốn ứng dụng thực tế - Tìm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác hướng dẫn giáo viên Cô A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT I CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.Cực trị tự a Định nghĩa Cho hàm số xác định miền điểm Gọi V lân cận điểm M, ta nói: • Hàm đạt cực đại điểm M, với Giá trị f(M) gọi giá trị cực đại, điểm M, điểm cực đại • Hàm f(x,y) đạt cực tiểu điểm M, với Giá trị gọi giá trị cực tiểu, điểm M, điểm cực tiểu b Điều kiện cần cực trị Định lý Nếu hàm số có cực trị điểm tồn đạo hàm riêng (hữu hạn) đạo hàm riêng phải khơng c Điều kiện đủ cực trị Định lý Giả sử điểm dừng hàm số hàm có đạo hàm riêng cấp lân cận điểm M0 Ta đặt: Khi đó: 2|Page • Nếu hàm số đạt cực trị M Đó điểm tiểu nếu, điểm cực đại • Nếu hàm số khơng đạt cực trị M0 • Nếu hàm số đạt cực trị M0, khơng đạt cực trị M0 (M0 gọi điểm nghi ngờ) 2.Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm số x, y bị ràng buộc điều kiện (gọi cực trị có điều kiện) Trong tốn điều kiện giải tốn cực trị có điều kiện hàm hai biến trở thành toán cực trị hàm biến quen thuộc Tuy nhiên nhiều trường hợp ta rút từ g(x,y)=0 II.TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm , xác định miền hữu hạn D nằm mặt phẳng Oxy Thực bước sau: Bước Chia tùy ý miền D thành , miền n nhỏ (không dẫm chồng lên nhau), có diện tích tương ứng Bước Trong miền D, lấy điểm tùy ý tính Bước Lập tổng Tổng In gọi tổng tích phân hàm miền D Bước Tìm giới hạn In, cho Nếu tổng In, tiến tới giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm M, miền D thi giới hạn I gọi tích phân kép hàm số f (x,y) miền D, ký hiệu 3|Page Vậy: Chú ý: Vì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta chia miền D đường song song với trục tọa độ Ox, Oy Ta có, viết B.NỘI DUNG I ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VD1: Một cửa hàng kinh doanh dự định nhập 10 thùng hàng bán với hai loại A B Biết cửa hàng bán loại A với giá 5A , loại B với giá 7A Hãy xác định số thùng hàng loại để lợi nhuận cao Giả sử hàm tổng chi phí nhập hàng là: (nghìn USD) Giải: Theo đề bài, ta có hàm lợi nhuận Bài tốn trở thành tìm cực trị hàm với điều kiện : Xét Xét hệ phương trình : Đặt 4|Page Vậy hàm số đạt cực trị ; Vậy cửa hàng cần nhập thùng loại để có lợi nhuận cao VD2: Một nhà nông chăn nuôi gia hai loại gia súc gà lợn với tổng số 50 Biết hàm chi phí chăn ni hai loại là: Hãy xác định số loại để chi phí ni thấp Giải: Gọi số lợn x , số gà y Theo đề bài:Đây tốn tìm cực trị hàm với điều kiện Xét Xét hệ pt: Đặt Vậy hàm số đạt cực tiểu Vậy để chi phí chăn ni thấp nhà nơng phải ni 20 lợn 30 gà 5|Page II ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ TỰ DO VD1: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm Cho biết hàm cầu loại sản phẩm sau: hàm chi phí là: Hãy xác định số lượng sản phẩm giá bán tương ứng để nhà máy thu lợi nhuận tối đa? Giải: Giá bán sản phẩm tương ứng là: Bài tốn trở thành tìm cực trị hàm lợi nhuận: Ta có: Đặt Ta có Vậy hàm lợi nhuận đạt cực đại (250,100) bằng: 230000 (đơn vị tiền tệ) Giá bán sản phẩm là: Giá bán sản phẩm là: VD2: Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng X (đơn vị) Y (đơn vị) Và giá hai loại sản phẩm tương ứng là: 6|Page Biết tổng chi phí để sản xuất loại sản phẩm Vậy công ty nên sản xuất sản phẩm loại để tổng lợi nhuận thu lớn nhất? Giải: Bài toàn trở thành tìm cực trị hàm lợi nhuận Ta có: Đặt Do nên hàm N đạt cực đại Vậy số lượng sản phẩm công ty nên sản xuất loại : III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP VD1: Tính diện tích hình phẳng : Giải: Đặt y Khi miền D xác định: y=x Vậy y=x Hình 3.1 VD2: Tính diện tích hình trịn cắt mặt phẳng: mặt trụ với phương trình: O Giải: 7|Page x Hình chiếu hình trịn lên mặt phẳng z Oxy là: Ta có: Diện tích hình trịn : y Đặt Khi miền D xác định Hình3.2 x IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÉP HÀM NHIỀU BIẾN VD1:Tính khối lượng phẳng, biết miền D xác định x2+y2-R2 ≤ 0, y ≥ 0và khối lượng riêng Giải: Áp dụng công thức: Ta có: Chuyển sang tọa độ cực, dặt Hình 4.1 xác định bởi: Vậy Xét: 8|Page Vậy khối lượng bẳn phẳng VD2:Tìm trọng tâm cung phẳng OM có hàm khối lượng riêng OM đoạn thẳng nối Giải: Phương trình đoạn thẳng OM là: Ta có: Ta có Vậy trọng tâm cung phẳng OM 9|Page C TÀI LIỆU THAM KHẢO [1](c.b), Nguyễn Đình Trí 2009 By Bài tập tốn cao cấp tập [2]Liêm, Nguyễn Xn 2012 By Giải tích: Giáo trình lý thuyết Bài tập có hướng dẫn giải [3]Phạm, Tùng 2021 Youtube https://www.youtube.com/watch? v=f7YH9_zWpng 10 | P a g e ... khơng đạt cực trị M0 • Nếu hàm số đạt cực trị M0, khơng đạt cực trị M0 (M0 gọi điểm nghi ngờ) 2 .Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm số x, y bị ràng buộc điều kiện (gọi cực trị có điều kiện) Trong... cực đại, điểm M, điểm cực đại • Hàm f(x,y) đạt cực tiểu điểm M, với Giá trị gọi giá trị cực tiểu, điểm M, điểm cực tiểu b Điều kiện cần cực trị Định lý Nếu hàm số có cực trị điểm tồn đạo hàm riêng... LÝ THUYẾT I CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1 .Cực trị tự a Định nghĩa Cho hàm số xác định miền điểm Gọi V lân cận điểm M, ta nói: • Hàm đạt cực đại điểm M, với Giá trị f(M) gọi giá trị cực đại, điểm