Lời nói đầu : Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuyê[r]
(1)Lời nói đầu : Thực nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê Q Đơn Khánh Hịa khuyến khích giáo viên dạy môn chuyên, làm chuyên đề để xây dựng tài nguyên tổ chun mơn
Chính tơi thực làm chuyên đề :
BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI
TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Trong kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng, có hay hai câu khó để phân loại thí sinh thường có câu bất đẳng thức
1) Định lý (Bất đẳng thức Cô si) : Cho n số thực khơng âm :a1;a2; ;an Ta có :
a1+a2+ +an
n ≥
n
√
a1a2 an Đẳng thức xảy
a1 =a2 =· · ·=an 2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si : 2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức
Với x, y > Ta có :
1
x +
1
y ≥
4
x+y (1)
1
xy ≥
4
(x+y)2 (2)
Đẳng thức xảy x = y Với x, y, z >0 Ta có :
1
x +
1
y +
1
z ≥
9
x+y+z (3) Đẳng thức xảy x=y=z
2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức :
x2+y2+z2 ≥xy+yz+zx (4) 3x2+y2+z2≥(x+y+z)2 (5) (x+y+z)2 ≥3 (xy+yz+zx) (6)
Đẳng thức xảy x=y=z 3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC :
Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn :
1
x +
1
y +
1
(2)Chứng minh :
1
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z ≤1 Lời giải :
Cách :
Áp dụng bất đẳng thức :
1
x +
1
y ≥
4
x+y Với x, y >0, ta :
8 =
x+
1
y +
1
z
!
=
x +
1
y
!
+
y +
1
z
!
+
1
z +
1
x
≥4
x+y +
1
y+z +
1
z+x
!
(1)
Tương tự
2x+y1 +y+z1 +z+x1 =x+y1 +x+z1 x+y1 + y+z1 y+z1 +z+x1 ≥42x+y+z1 + x+2y+z1 +x+y+2z1 (2)
Từ (1) (2) suy
8≥8
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z
!
⇔
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z ≤1 Đẳng thức xảy
x=y=z =
Cách :
Áp dụng bất đẳng thức :
1
x +
1
y ≥
4
x+y với x, y >0, bất đẳng thức Cơsi ta có :
2x+y+z = (x+y) + (x+z)≥2√xy+√xz Do :
1
2x+y+z ≤
1
1 √
xy+√xz
!
≤
1 √
xy +
1 √
xz
!
Tương tự :
1
x+ 2y+z ≤
1
1 √
xy +
1 √
yz
!
1
x+y+ 2z ≤
1
1 √
xz +
1 √
yz
!
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta :
1
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z ≤
1
1 √
xy +
1 √
yz +
1 √
zx
!
(3)Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi
4 =
1
x +
1
y
!
+
1
y +
1
z
!
+1
1
z +
1
x
≥ √1
xy +
1 √
yz +
1 √
zx (4) Từ (3) (4) suy :
1
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z ≤1 Cách : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương
(x+x+y+z)
x +
1
x +
1
y +
1
z
!
≥16
Suy
1
2x+y+z ≤
1 16
2
x +
1
y +
1
z
!
Tương tự
1
x+ 2y+z ≤
1 16
1
x +
2
y +
1
z
!
1
x+y+ 2z ≤
1 16
1
x +
1
y +
2
z
!
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta :
1
2x+y+z +
1
x+ 2y+z +
1
x+y+ 2z ≤1 Mở rộng toán :
Cho n số thực dương cho trước :
a1, a2, an thỏa điều kiện :
1
a1
+
a2
+· · ·+
an
=k Với n >1 k >0 cho trước Chứng minh :
1
m1a1+m2a2+· · ·+mnan
+
m2a1+· · ·+mnan−1+m1an
+· · ·+
mna1+m1a2+· · ·+mn−1an
≤ k
m1+m2+· · ·+mn Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Chứng minh : với mọix∈R ta có :
12
5
x
+
15
4
x
+
20
3
x
≥3x+ 4x+ 5x
(4)Áp dụng bất đẳng thức Côsi
12
x
+15
x
≥2
r
12
x
15
x
= 2.3x
15
x
+203x ≥2
r
15
x
20
x
= 2.5x
12
5
x
+203x ≥2
r 12
5
x20
3
x
= 2.4x Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta :
12
5
x
+
15
4
x
+
20
3
x
≥3x+ 4x+ 5x
Đẳng thức xảy
12
5
x
=
15
4
x
=
20
3
x
⇔x= Đặt a= 3, b = 4, c= ta đến toán tổng quát sau :
Mở rộng toán :
Cho a, b, c ba số thực dương tùy ý Chứng minh : với x∈R, ta có : ab
c
!x
+ bc
a
!x
+
ca
b
x
≥ax+bx+cx
Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005
Cho số thực dươngx, y, z thỏa xyz = Chứng minh :
√
1 +x3+y3
xy +
√
1 +y3+z3
yz +
√
1 +z3+x3 zx ≥3
√
Lời giải : Đặt
P = √
1 +x3+y3
xy +
√
1 +y3+z3
yz +
√
1 +z3+x3 zx Áp dụng bất đẳng thức Côsi
1 +x3+y3 ≥3√3
x3y3 = 3xy
1 +y3+z3 ≥3√3
y3z3 = 3yz
1 +z3+x3 ≥3√3
z3x3 = 3zx Từ suy
P ≥√3 √
xy xy +
√
yz yz +
√
zx zx
!
=√3 √1
xy +
1 √
yz +
1 √
zx
!
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi
1 √
xy +
1 √
yz +
1 √
zx ≥3
1 √
xyz = (2) Từ (1) (2) suy điều cần chứng minh
(5)Mở rộng toán : Cho số thực dương
a1, a2, an thỏa mãn :
a1 a2· · ·an=
Chứng minh : m
q
1 +ap1+· · ·apn−1
(a1a2· · ·an−1) q +
m
q
1 +ap2+· · ·apn
(a2a3· · ·an)
q +· · ·+ m
q
1 +apn+ap1+· · ·a p n−2
(ana1· · ·an−2)
q ≥n m
√
n Trong
m≥2
là số nguyên dương, p, q số thực tùy ý Hướng dẫn :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số
1 +ap1+· · ·apn−1 ≥nqn
(a1.a2· · ·an−1)p
Bài toán : DỰ BỊ KHỐI A Năm 2005 :
Cho x, y, z ba số thực thỏax+y+z = Chứng minh :
√
3 + 4x+√3 + 4y+√3 + 4z ≥ 6 Lời giải :
Ta có:
3 + 4x = + + + 4x ≥4√44x ⇒√3 + 4x ≥2
q
4 √
4x = 2.√8 4x Tương tự
√
3 + 4y ≥2√8
4x; √3 + 4z ≥2√8 4z Vậy
√
3 + 4x+√3 + 4y +√3 + 4z ≥2h√8
4x+√8
4y+√8
4zi≥63
q
8 √
4x.4y.4z ≥624√
4x+y+z = 6 Đẳng thức xảy x=y=z =
Bài toán : DỰ BỊ KHỐI A Năm 2005 :
Chứng minh : với mọix, y >0 ta có : (1 +x)1 + xy + √9
y
2
≥256
Đẳng thức xảy nào? Lời giải :
Ta có:
1 +x= + x +
x
3 +
x
3 ≥4
s
x3
33 Đẳng thức xảy x=
1 + y
x = + y
3x + y
3x + y
3x ≥4
4
s
y3
(6)Đẳng thức xảy y= 3x=
1 + √9
y = +
3 √
y +
3 √
y +
3 √
y ≥44
v u u u t
33
√
y3
⇒ + √9
y
!2
≥164
s
36 y3
Đẳng thức xảy y= Vậy
(1 +x)
1 + y
x
1 + √9
y
!2
≥256
s
x3
33 y3
33.x3
36
y3 = 256 Đẳng thức xảy x= y=
Bài toán : DỰ BỊ KHỐI B Năm 2005 : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn :
a+b+c=
Chứng minh : √3
a+ 3b+√3
b+ 3c+√3
c+ 3a ≤
Khi đẳng thức xảy ? Lời giải :
Cách 1: Ta có :
3
q
(a+ 3b) 1.1≤ a+3b+1+1
3 =
1
3(a+ 3b+ 2)
3
q
(b+ 3c) 1.1≤ b+3c+1+1
3 =
1
3(b+ 3c+ 2)
3
q
(c+ 3a) 1.1≤ c+3a+1+1
3 =
1
3(c+ 3a+ 2) Suy
3 √
a+ 3b+√3 b+ 3c+√3
c+ 3a≤
3[4 (a+b+c) + 6] ≤
4.3
4 +
=
Dấu =xảy
⇔
a+b+c= 34
a+ 3b =b+ 3c=c+ 3a= ⇔a=b=c=
Cách 2: Đặt
x=√3
a+ 3b ⇒x3 =a+ 3b y=√3
b+ 3c⇒y3 =b+ 3c z =√3
c+ 3a⇒z3 =c+ 3a
⇒x3+y3+z3 = (a+b+c) = 4.3 = Bất đẳng thức cần chứng minh
⇔x+y+z≤3
Ta có :
x3+ + 1≥3√3x3.1.1 = 3x y3+ + 1≥3√3
y3.1.1 = 3y z3+ + 1≥3√3
z3.1.1 = 3z
(7)Vì
x3+y3+z3 =
Vậy
x+y+z ≤3
Hay
3 √
a+ 3b+√3b+ 3c+√3
c+ 3a≤3
Đẳng thức xảy
a=b=c=
Bài toán : DỰ BỊ KHỐI B Năm 2005 :
Chứng minh nếu0≤y≤x≤1 x√y−y√x ≤ Đẳng thức xảy nào?
Lời giải : Ta có
0≤x≤1⇒√x≥x2 x√y−y√x≤
4 ⇔x √
y≤ +y
√
x (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy : y√x+1
4 ≥yx
2+
4 ≥2
s
yx2.1
4 =x √
y⇒x√y−y√x≤
Dấu =xảy
⇔
0≤y≤x≤1 √
x=x2 yx2 =
4
⇔
x=
y= 14
Bài toán : DỰ BỊ KHỐI D Năm 2005 :
Cho x, y, z ba số dương xyz = Chứng minh : x2
1+y + y2
1+z + z2
1+x ≥ Lời giải :
Ta có:
x2
1+y + 1+y
4 ≥2
q x2
1+y 1+y
4 =x y2
1+z + 1+z
4 ≥2
q y2
1+z 1+z
4 =y z2
1+x + 1+x
4 ≥2
q
z2
1+x 1+x
4 =z Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế ta có:
x2
1+y + 1+y
4
+1+zy2 + 1+z4 +1+xz2 +1+x4 ≥(x+y+z) ⇔ x2
1+y + y2
1+z + z2 1+x ≥ −
3 −
x+y+z
4 + (x+y+z)≥
3(x+y+z)
4 −
3
≥ 4.3−
3 =
9 −
3 =
6 =
3
(8)Vậy
x2
1 +y + y2
1 +z + z2
1 +x ≥
3
Bài toán : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006
Cho hai số thực x6= 0, y 6= thay đổi thỏa mãn điều kiện: (x+y)xy = x2+y2−xy Tìm giá trị lớn biểu thức A = x13 +
1 y3
Lời giải :
Từ giả thiết suy ra: x1 + 1y = x12 +
1 y2 −
1 xy Đặt x1 =a, 1y =b
ta có: a+b =a2+b2−ab (1) Khi đóa+b =a2 +b2−ab (1) Từ (1) suy ra: a+b = (a+b)2−3ab Vì ab≤a+b
2
2
nên a+b≥(a+b)2−
4(a+b) ⇒
(a+b)2−4 (a+b)≤0 ⇒ 0≤a+b≤4
Suy ra: A= (a+b)2 ≤16 Với x=y= 12 A= 16
Vậy giá trị lớn A 16
Bài toán 10 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2006
Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3−x+ 3−y+ 3−z = 1. Chứng minh rằng: 3x+39xy+z +
9y 3y+3z+x +
9z 3z+3x+y ≥
3x+3y+3z
4
Lời giải :
Đặt 3x =a,3y =b,3z =c Ta có: a, b, c >0và 1a +1b + 1c = 1⇔ab+bc+ca=abc Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
a2
a+bc+ b2
b+ca + c2
c+ab ≥ a+b+c
4
⇔ a3
a2+abc+
b3
b2+abc +
c3
c2+abc ≥
a+b+c
⇔ a3
(a+b)(a+c) + b3
(b+c)(b+a) + c3
(c+a)(c+b) ≥ a+b+c
4 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có
a3
(a+b)(a+c)+ a+b
8 + a+c
8 ≥3
3
q a3
(a+b)(a+c) a+b
8 a+c
8 = 4a (2) b3
(b+c)(b+a) + b+c
8 + b+a
8 ≥3
3
q b3
(b+c)(b+a) b+c
8 b+a
8 = 4b (3) c3
(c+a)(c+b) + c+a
8 + c+b
8 ≥3
3
q c3
(c+a)(c+b) c+a
8 c+b
8 = 4c (4)
Cộng theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4) ta suy (a+b)(a+c)a3 + (b+c)(b+a)b3 +(c+a)(c+b)c3 ≥ a+b+c Vậy (1) ta có điều phải chứng minh
Bài tốn 11 : Đề Dự bị Đại học khối B năm 2006 Tìm giá trị nhỏ hàm số:y=x + 2x11 +
r
41 + x72
, với x >0
Lời giải :
Áp dụng bất đẳng thức :(a2+b2) (c2+d2)≥(ac+bd)2
Ta có : (9 + 7)1 + x72
≥3 + 7x2
⇒y≥ x+2x11+ 123 + x7=x+9x+32 ≥6 + 32 = 152
Khi x= y = 152 nên giá trị nhỏ y 152 Bài toán 12 : Đề Dự bị Đại học khối B năm 2006
(9)Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= 3x4x2+4 +2+yy23
Lời giải :
Ta có A= 3x4x2+4 + 2+yy23 =
3x +
1 x +
2 y2 +y ⇒A= x4 + 1x + 2y12 +
y +
y
+ x+y2 ≥1 + 32 + = 92 Với x=y= A=
2 Vậy giá trị nhỏ A 92
Bài toán 13 : Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007
Cho x, y, z số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =q3
4(x3 +y3) +q3
4(x3+z3) +q3
4(z3+x3) + 2 x y2 +
y z2 +
z x2
!
Lời giải :
Với x, y >0ta chứng minh :
4x3+ y3 ≥ (x + y)3(∗)
Dấu =xảy x=y Thật bất đẳng thức (*)
⇔4 (x + y) (x2−xy + y2) ≥ (x + y)3 ⇔4 (x2−xy + y2) ≥ (x + y)2dox,y >0
⇔3 (x2+ y2−2xy)3 ⇔ (x−y)2 ≥
0
Tương tự ta có
4y3+ z3 ≥ (y + z)3
Dấu =xảy y =z
4z3+ x3 ≥ (z + x)3
Dấu =xảy z =x Do
3
q
4 (x3 +y3) +q3
4 (y3+z3) +q3
4 (z3+x3)≥2 (x+y+z)≥6√3 xyz
Ta lại có
2 x
y2 + y z2 +
z x2
!
≥
3 √
xyz Suy
P ≥6 √3 xyz+ √
xyz
!
≥12
Dấu =xảy x=y=z =
Vậy minP = 12 khix=y=z =
Bài toán 14 : Đề Dự bị Đại học khối D năm 2007 Cho a, b >0 thỏa mãn ab+a+b= Chứng minh :
3a b+ +
3b a+ +
ab a+b ≤a
2+b2+3
(10)Lời giải :
Từ giả thiếta, b >0 ab+a+b = Suy ra:
ab= 3−(a+b), (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + =
Bất đẳng thức cho tương đương với a2+b2+3
2 ≥
3a(a+1)+3b(b+1) (a+1)(b+1) +
3 a+b −1
⇔a2+b2+3 ≥
3 4(a
2+b2) +
4(a+b) + a+b −1
⇔4 (a2+b2) + 6≥3 (a2 +b2) + (a+b) + 12 a+b −4
⇔a2+b2−3 (a+b)− 12
a+b + 10≥0 (∗) Đặt
x=a+b >0⇒x2 = (a+b)2 ≥4ab= 4(3−x)
⇒x2+ 4x−12≥0⇒x≤ −6hay x ≥2⇒ x≥2 ( x > 0)
Ta có x2 =a2+b2+ 2ab⇒a2 +b2 =x2−2(3−x) =x2+ 2x−6 Khi bất đẳng thức (*) thành
x2−x−12
x + 4≥0,∀x≥2
⇔x3−x2+ 4x−12≥0,∀x≥2
⇔(x−2) (x2+x+ 6) ≥0,∀x≥2 hiển nhiên
Vậy bất đẳng thức cho chứng minh 4) Một số toán để bạn tự làm :
Bài toán 15 : Cho x, y >0thỏa : x+y+z = Chứng minh : x+y≥16xyz Bài toán 16 : Chứng minh với a+b+c=
8a+ 8b+ 8c ≥2a+ 2b + 2c
Bài toán 17 : Cho a, b, c >0 :a+b+c= Chứng minh
(1 +a)(1 +b)(1 +c)≥8(1−a)(1−b)(1−c)
Bài toán 18 : Cho a, b, c >0 Chứng minh : a
b+c+ b c+a +
c a+b <
s
a b+c+
s
b c+a +
s
c a+b Bài toán 19 : Cho a, b, c >0 thỏa :
1 +a +
1 +b +
1 +c ≥2 Chứng minh :
(11)Bài toán 20 : Chứng minh : vớia > b >0
a+
(a−b) (b+ 1)2 ≥3
Bài toán 21 : Cho a, b, c >0 Chứng minh : a4
b+c+ b4 c+a +
c4 a+b ≥
1
a3+b3+c3 Bài toán 22 : Cho số thực dươnga, b, c, d thỏa :
a3+b3+c3+d3 =
Chứng minh :
a2
b3+c3+d3 +
b2
a3+c3+d3 +
c2
a3+b3 +d3 +
d2
a3+c3+b3 ≥
4√3
Bài toán 23 : Cho số thực dươnga, b, c, d thỏa : a+b+c+d= Chứng minh :
P =
a2(3c+ 3b+ 3d−2)+
1
b2(3c+ 3a+ 3d−2)+
1
c2(3a+ 3b+ 3d−2)+
1
d2(3c+ 3b+ 3a−2) ≥256 Bài toán 24 : Cho a, b, c >0 Chứng minh :
a b +
b c +
c a ≥
a+b+c
3 √
abc Bài toán 25 : Cho a, b, c, d >0 Chứng minh :
1
a +
1
b +
4
c +
16
d ≥
64
a+b+c+d Bài toán 26 : Cho a, b, c >0 Chứng minh :
1
a +
1
b +
1
c ≥
4
2a+b+c+
4
a+ 2b+c+
4
a+b+ 2c Bài toán 27 : Cho x, y, z số thực dương thỏa tíchxyz = Chứng minh:
x3
(1 +y) (1 +z) +
y3
(1 +z) (1 +x) +
z3
(1 +x) (1 +y) ≥
Bài toán 28 : Cho a, b, c >0 Chứng minh :
1
ab +
1
bc +
1
ca ≥
4
1
a+b +
1
b+c+
1
c+a
2
Bài toán 29 : Cho a.b >0
a+b ≤1
Chứng minh :
2
ab+
3
(12)Bài toán 30 : Cho a, b, c >0 Chứng minh :
1
(2a+b) (2c+b) +
1
(2b+c) (2a+c)+
1
(2b+a) (2c+a) ≥
3 (a+b+c)2
Bài toán 31 : Cho a, b, c >0 thỏa a+b+c= Chứng minh :
1
a2+ 2bc +
1
b2+ 2ca +
1
c2+ 2ab ≥9 Bài toán 32 : Cho x, y, z >0 thỏa : x+y+z = Chúng minh :
x x+ +
y y+ +
z z+ ≤
3
Bài toán 33 : Chứng minh với a, b, c >0 :
a8+b8+c8 ≥a3b3c3
1
a +
1
b +
1
c
Bài toán 34 : Cho a, b, c >0 thỏa : ab+cb+ca= Chứng minh :
√
1 +a2 +√1 +b2+√1 +c2 ≤2 (a+b+c) Bài toán 35 : Cho a, b, c >0 thỏa a+b+c= Chứng minh :
a+
a
2
+
b+1
b
2
+
c+
c
2
≥ 100
Bài toán 36 : Chứng minh : với mọix, y, z >0 ta ln có : x3
yz + y3 zx +
z3
xy ≥x+y+z Bài toán 37 : Chứng minh : vớia, b, c >0thỏa a+b+c= ta có :
a
1 +b2 + b
1 +c2 + c
1 +a2 ≥
3
Bài toán 38 : Cho a, b, c không âm Chứng minh : a2
a+ 2b2 + b2 b+ 2c2 +
c2
c+ 2a2 ≥1 Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương với a+b+c+d= Hãy Chứng minh
1) 1+ba2 +
b 1+c2 +
c 1+d2 +
d 1+a2 ≥2 2) 1+ba2c +
b 1+c2d +
c 1+d2a +
d 1+a2b ≥2 3) 1+ba+12 +
b+1 1+c2 +
c+1 1+d2 +
d+1 1+a2 ≥4
Bài toán 40 : Cho a, b, c >0 a+b+c= Hãy chứng minh :
√
a+ √