Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia

Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia Bất đẳng thức cauchy va Bất đẳng thức bunhia

CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Phn mt BT NG THC CÔ SI (AM-GM) VÀ KĨ THUẬT SỬ DỤNG I-CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC 1).Dạng bản: a1 + a2 + + an n ≥ a1 a2 an với ≥ 0, ∀i = 1, n n m a1m + a2m + + anm ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ ≥⎜ ⎟ với ≥ 0, ∀i = 1, n n n ⎝ ⎠ 1 n2 mẫu số: + + ≥ với > 0, ∀i = 1, n a1 a2 an a1 + a2 + + an 2).Dạng luỹ thừa: 3).Dạng cộng 4).Dạng trung bình a).Trung bình nhân: n a1 a2 an + n b1 b2 bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) (an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki) Hệ quả: (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) ≥ (1 + n a1 a2 an ) b).Trung bình căn: n ∑ i =1 n ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ai2 + bi2 ≥ ⎜ ∑ ⎟ + ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i = ⎠ (Bất đẳng thức MinCôpxki) ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ∑ ⎟⎜ ∑ bi ⎟ n bi c) Trung bình điều hồ: ∑ ≥ ⎝ i =n1 ⎠⎝ in=1 ⎠ với > 0, bi > 0; ∀i = 1, n i =1 + bi ∑ + ∑ bi i =1 i =1 ab a+b a2 + b2 ≤ ab ≤ ≤ a+b 2 1 n 5).Dạng phân thức: với > 0, ∀i = 1, n (Bất đẳng thức Jen sen) + + + ≥ + a1 + a2 + an + n a1 a2 an Mối quan hệ dạng trung bình: II-KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cễ SI Phơng pháp cân tổng (ỏnh giỏ t trung bỡnh cng sang trung bỡnh nhõn) Phơng pháp xuất phát từ nhận xét sâu sắc sách giáo khoa, tức Nếu hai số dơng có tích không đổi tổng chúng nhỏ nhÊt vµ chØ chóng b»ng nhau” Më réng cách tự nhiên để chứng minh tổng S= S1 + S2+ + Sn ≥ m , ta biến đổi S = A1+A2+ +An số không âm mà có tích A1A2 An = C không đổi, sau ta áp dụng bất đẳng thức Côsi Vớ d Tìm giá trị nhỏ f(x) = x + x > x −1 Gi¶i: Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - > vµ x −1 + ≥2 x −1 ( x − 1) > ta cã x −1 1 ⇔ x −1+ ≥ 2⇔ x+ ≥3 x −1 x −1 x −1 VËy f(x) đạt giá trị nhỏ x = 2x + Ví dụ Chøng minh r»ng nÕu x > -1 th× ≥1 ( x + 1) PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thấy cha kết quả, nhng tách 2x thành x+1+x+1-2 có điều phải chứng minh Ví dụ Chøng minh r»ng x ≥ th× x + 27 ≥ ( x + 3) Phân tích: Biến đổi vế trái thành tổng số hạng có tích không đổi, phải phân tích x thành số hạng x+3 Giải: Bất đẳng thức đà cho tơng đơng 27 x+3 x+3 x+3 27 x+3 x+3 x+3 + + + −3 ≥1 ⇔ + + + ≥ 3 3 3 ( x + 3) ( x + 3) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng gồm ba số x+3 27 (x + 3)3 ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x=0 Để luyện tập ta cho em áp dụng tơng tự sau: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + víi x > 2x + 2) Chøng minh r»ng nÕu nÕu x > - th× 2x + ≥1 ( x + 3)2 3) Chøng minh r»ng nÕu a > b > th× a+ b ≥3 (a − b)(b + 1) 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thøc Q = x + y biÕt x > 0, y > tho¶ m·n: H−íng dÉn: tõ biĨu thøc ta cã y = Q = x + y = x +3+ 3x = 3+ vËy x−2 x−2 6 = x2+ +5 x2 x2 5) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc R = HD: R = + =1 x y ab a2 + b2 + víi a > 0, b > ab a2 + b2 ab a + b2 a + b2 + + sau ®ã dïng bÊt đẳng thức Côsi a + b2 4ab ab Chøng minh r»ng ( x + 2) + Chứng minh ≥ (a > 0) x+2 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 1) ( a + b ) ≥ 64ab ( a + b ) , ∀a, b ≥ 2) (1 + a + b )( a + b + ab ) ≥ ab, ∀a, b ≥ 3) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 , ∀a, b ≥ HD: 3a3 + 7b3 ≥ 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 ≥ 3 27a3 b6 = 9ab2 , ∀a, b ≥ ⎧ a, b, c, d > ⎪ Cho ⎨ Chứng minh rằng: abcd ≤ 1 + + + ≥ 81 ⎪⎩ + a + b + c + d HD: 1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b c d bcd ⎛ = 1− + 1− + 1− = + + ≥ 33 ≥0 + a ⎜⎝ + b ⎟⎠ ⎜⎝ + c ⎟⎠ ⎜⎝ + d ⎟⎠ + b + c + d (1 + b )(1 + c )(1 + d ) ⎧ a, b, c > 1 ⎞⎛ ⎞ Chứng minh rằng: ⎛⎜ − ⎞⎛ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ≥ ⎟⎜ a + b + c = ⎝ a ⎠⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎩ Cho ⎨ a HD: − = 1− a b + c = a a Chú ý: Tách nghịch đảo kĩ thuật đánh giá trung bình cộng sang trung bình nhân kĩ tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang trung bình nhân phần chứa biến số bị triệt tiêu 10 Chứng minh rằng: 1) a2 + ≥ 2, ∀a ∈ \ a2 + 1 3) a + ≥ 3, ∀a > b > b (a − b) 2) ⎧a > b a2 + b2 ≥ 2, ∀ ⎨ a−b ⎩ab = 4) a + ( a − b )( b + 1) ≥ 3, ∀a > b ≥ ⎧ a≥ ⎪ 2a + ⎪ 6) 4b ( a − b ) ≥ 3, ∀ ⎨ a ⎪ >1 ⎪⎩ b 5) a + b (a − b) ≥ 2, ∀a > b > 11 Với x, y, z dương, chứng minh x y z3 + + ≥ x+y+z yz zx xy 12 Với x, y, z số dương có tích 1, chứng minh bất đẳng thức sau x3 y3 z3 + + ≥ (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) Phơng pháp cân tÝch ( Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bỡnh cng) Từ hệ quan trọng sách giáo khoa: Nếu hai số dơng có tổng không đổi tích chúng lớn chóng b»ng nhau” Më réng ta cã: ®Ĩ chøng minh mét biĨu thøc cã d¹ng P= P1P2 Pn ≤ M ta phân tích P = B1B2 Bn số không âm mà tổng B1 + B2+ + Bn = C số không đổi PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Vớ d Cho a > 0, b > vµ a + b = Chøng minh r»ng ab2 ≤ 27 Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành tích có tổng không đổi mà tổng chắn phải liên quan đến a + b = Giải: ab2 = a ta cã: b b a ≤ 2 b b 2 a+ mà theo bất đẳng thức Côsi cho số dơng a, b/2,b/2 b b + 2 = ⇒ a b b ≤ ⇒ 4a b b ≤ ⇒ ®pcm 3 2 27 2 27 DÊu b»ng x¶y a = 1/3; b = 2/3 Bài tập tự luyện Bài Chứng minh rằng: 1) ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) , ∀a, b, c, d > ⎧a > c > ⎩b > c > 2) c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab , ∀ ⎨ 3) 16ab ( a − b ) ≤ ( a + b ) , ∀a, b ≥ 4) − ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ + a2 + b2 ( )( ) Bài Chứng minh rằng: abc + ≤ (1 + a )(1 + b )(1 + c ) , ∀a, b, c ≥ Tổng quát: n a1 a2 an + n b1 b2 bn ≤ n ( a1 + b1 )( a2 + b2 ) (an + bn ) (Bất đẳng thức MinCôpxki) Bài Chứng minh rằng: 1 + ≤ 1, ∀3 ≤ n ∈ ` n −1 n ! n −1 n 1 1 1 n −1 HDG: Biến đổi: n −1 + n −1 = n −1 + n −1 n n n! n ⎧a, b, c ≥ Bài Cho ⎨ Chứng minh rằng: ⎩a + b + c = 1) 16abc ≤ a + b 2 C «si ⎛a+b⎞ ⎛ a+b+c⎞ HDG: 16abc ≤ 16 ⎜ c = ( a + b )( a + b ) c ≤ ( a + b ) ⎜ ⎟ ⎟ = a+b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2) ab + bc + ca − abc ≤ 27 HDG: C « si PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 3 ⎛ 1− a +1− b +1− c ⎞ ⎛ ⎞ VT = + ab + bc + ca − a − b − c − abc = (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ ⎜ =⎜ ⎟ = ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 27 3) abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ 729 4) ≤ ab + bc + ca − abc ≤ (IMO-1984) 27 Giải: Theo giả thiết suy ra: a, b, c ∈ [ 0;1] đó: C « si ab + bc + ca − abc ≥ 3 ( abc ) − 2abc = ( abc ) − 2abc ≥ 3abc − 2abc = abc ≥ 2 (vì abc ∈ [ 0;1] ⇒ ( abc ) ≥ abc ) Ta chứng minh: ( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) ≤ abc ∀a, b, c ∈ [ 0;1] Nếu có hai thừa số VT ≤ , chẳng hạn: ⎧a + b − c ≤ ⇒ b ≤ v « lÝ ⎨ ⎩b + c − a ≤ Nếu có thừa số VT ≤ ⇒ §PCM Nếu ba thừa số VT dương ta có: VT = ( a + b − c )( b + c − a ) ( b + c − a )( c + a − b ) ( c + a − b )( a + b − c ) a+b−c+b+c−a b+c−a+c+a−b c+a−b+ a+b−c = abc 2 Mà a + b + c = suy ra: ≤ (1 − 2c )(1 − 2a )(1 − 2b ) ≤ abc ⇔ − 2a − 2b − 2c + ( ab + bc + ca ) − 8abc ≤ abc 1 ⎡ ⎛a+b+c⎞ ⎤ ⇔ ab + bc + ca − abc ≤ (1 + abc ) ≤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = 27 4 ⎣⎢ ⎝ ⎠ ⎦⎥ Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý: Nhân thêm số kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng Bài Chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab, ∀a, b ≥ ⎧a, b, c ≥ Bài Cho ⎨ Chứng minh rằng: a + b + b + c + c + a ≤ ⎩a + b + c = ⎧a ≥ ab c − + bc a − + ca b − ⎪ Bài Cho ⎨ b ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2 ⎪c ≥ ⎩ PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THøC BUNHIacèpki ⎧0 ≤ x ≤ Bài Cho ⎨ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = ( − x )( − y )( x + y ) ⎩0 ≤ y ≤ Bài a) Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f ( x; y ) ( x + y) = b) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f ( x; y; z ) xy ( x + y + z) = xy z3 Tổng quát: Cho x1 , x2 , , x n > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f ( x1 ; x2 ; ; xn ) ( x + x + + xn ) = Bài 10 Chứng minh rằng; A = sin x.cos x ≤ Tổng quát: A = sin m x.cosn x ≤ 1+ + + n x1 x2 x nn m m n n (m + n) m+n , ∀1 ≤ m, n ∈ ] Bài 11 (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Bảng A-1992-1993) Cho a1 , a2 , a3 , , a10 số dương Tìm giá trị nhỏ P= a12 + a22 + + a102 a10 ( a1 + a2 + + a9 ) Giải Nhận xét vai trò a1 , a2 , , a9 bình đẳng nên ta phân phối a10 cho số Áp dụng bất đẳng thức Cô si : ⎧ 2 ⎪a1 + a10 ≥ 3a1a10 ⎪ ⎪ a + a ≥ 3a a ⎪ 10 10 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ a + a ≥ 3a a 10 ⎪⎩ 9 10 Cộng vế theo vế BĐT ta được: a12 + a22 + + a102 ≥ 3a10 ( a1 + a2 + + a9 ) Suy ra: P = a12 + a22 + + a102 ≥3 a10 ( a1 + a2 + + a9 ) 1 Đẳng thức xảy a1 = a2 = = a9 = a10 Vậy: MinP = a1 = a2 = = a9 = a10 3 Kĩ thuật dùng hoán vị vòng Đây kĩ thuật phổ biến dùng bất đẳng thức Côsi , đơn giản hiệu dùng tạo nhiều hứng thú cho học sinh Ví dụ 1: Chøng minh ∀a, b, c > th× ab bc ac + + ≥ a+b+c c a b PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số hạng ta thấy khó làm đợc, ta cần linh hoạt vận dụng cho hai số Giải: Vì a > 0, b > 0, c > nªn ab bc > 0, > 0, c a ac > ¸p dơng bÊt đẳng thức Côsi cho cặp: b ab bc ab bc ab bc + ≥2 ⇔ + ≥ 2b ⎪ c a c a c a ⎪ bc ac bc ac bc ac ab bc ac ⎪ + ) ≥ 2(a + b + c) ⇒ ®pcm + ≥2 ⇔ + ≥ 2c ⎬ ⇒ 2( + a b a b a b c a b ⎪ ⎪ ac ba ac ba ac ba + ≥2 ⇔ + ≥ 2a ⎪ b c b c b c ⎪⎭ DÊu b»ng x¶y a = b = c Chú ý: Ghép đối xứng ⎧2 ( x + y + z ) = x + y + y + z + z + x ⎪ Phép cộng: ⎨ x+y y+z z+ x + + ⎪x + y + z = 2 ⎩ 2 ⎧⎪ x y z = ( xy ) ( yz ) ( zx ) Phép nhân: ⎨ ( x , y, z ≥ ) ⎪⎩ xyz = xy yz zx Ví dụ Chứng minh rằng: bc ca ab 1) + + ≥ a + b + c, ∀a, b, c > a b c a2 b2 c a b c 2) + + ≥ + + ∀abc ≠ b c a c a b 3 3) a + b + c ≥ a bc + b2 ca + c ab ∀a, b, c ≥ Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc 1 ⎛1 1⎞ 2) + + ≥ 2⎜ + + ⎟ p −1 p − b p − c ⎝a b c⎠ 3) ( b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) ≤ abc 4) R ≥ r 5) a + b + c ≥ 3S 6) ma2 + mb2 + mc2 ≥ 3S ( 7) ma2 + mb2 + mc2 )( h a ) + hb2 + hc2 ≥ 27S PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Vớ dụ 3.Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = Hãy chứng minh rằng: xy yz zx + + ≥3 z x y HD: Bình phương vế BĐT cần chứng minh ghép đối xứng 4.Ghép cặp nghịch đảo ⎛1 1 ⎞ ( x1 + x2 + + xn ) ⎜ + + + ⎟ ≥ n2 ∀xi > , i = 1, n xn ⎠ ⎝ x1 x2 Ví dụ Chứng minh rằng: b+c c+a a+b 1) + + ≥ ∀a, b, c > a b c 2 2) ∀a, b, c > + + ≥ b+c c+a a+b a+b+c a b c 3) + + ≥ ∀a, b, c > b+c c+a a+b a2 b2 c2 a+b+c 4) + + ≥ ∀a, b, c > b+c c+a a+b ⎧ a, b, c ≥ 1 Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c+a a+b ⎩a + b + c = ⎧ a, b, c > 1 Ví dụ Cho ⎨ Chứng minh rằng: + + ≥9 a + b + c ≤ a + bc b + 2ca c + 2ab ⎩ Ví dụ Cho ⎨ Đánh giá mẫu số Ví dụ Chứng minh rằng: 1 a+b+c 1) + + ≤ ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc 1 1 2) + 3 + ≤ ∀a, b, c > 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 1 1 3) + 4 + + ≤ 4 4 4 a + b + c + abcd b + c + d + abcd c + d + a + abcd d + a + b + abcd abcd Tổng quát: Cho a1 , a2 , , an > ( n ≥ ) Chứng minh rằng: a + + a n n n −1 + a1a2 an + a + + a + a1a2 an n n n + + 1 ≤ ∀ai > 0, i = n a + a + + an −2 + a1a2 an a1a2 an n n n Ví dụ 2.Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: a b c + + + (1 − a )(1 − b )(1 − c ) ≤ b + c +1 c + a +1 a + b +1 Tổng quát: Chứng minh rằng: PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki an a1 a2 + + + + (1 − a1 )(1 − a2 ) (1 − an ) ≤ (1) a2 + a3 + + an + a1 + a3 + + an + a1 + a2 + + an −1 + với a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] Giải: Giả sử a1 = max ( a1 , a2 , , an ) Khi ta có: a1 a1 ⎧ ⎪ a + a + + a + = a + a + + a + n n ⎪ ⎪ a2 a2 ≤ ⎪ ⎨ a1 + a3 + + an + a2 + a3 + + an + ⎪ ⎪ an an ⎪ ⎪ a + a + + a + ≤ a + + a + a + n −1 n −1 n ⎩ Cộng vế theo vế ta được: an a + a + + an a1 a2 + + + ≤ (2) a2 + a3 + + an + a1 + a3 + + an + a1 + a2 + + an −1 + a2 + a3 + + an + Ta chứng minh: a + a + + an − a1 = (3) (1 − a1 )(1 − a2 ) (1 − an ) ≤ − a2 + + an + a2 + + an + Nếu a1 = (3) Nếu a1 ≠ − a1 > Do ( ) ⇔ ( a2 + a3 + + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) (1 − an ) ≤ Áp dụng BĐT Cauchy cho VT ta có: n a + a + + an + + − a2 + − a3 + + − an ⎤ ( a2 + a3 + + an + 1)(1 − a2 )(1 − a3 ) (1 − an ) ≤ ⎡⎢ ⎥ =1 n ⎣ ⎦ Vậy (3) Cộng vế theo vế (2) (3) ta có điều phải chứng minh ⎧a, b, c > a b c 3 Ví dụ Cho ⎨ Chứng minh rằng: 2 + 2 + ≥ 2 b +c a +c a +b ⎩a + b + c = ⎧⎪a1 , a2 , , an > Tổng quát: Cho ⎨ k k, m, n ∈ ] 2k 2k ⎪⎩a1 + a2 + an = Chứng minh rằng: ( m + 1) m m + an k −1 a12 k −1 a2 k −1 + + + ≥ − a12 m − a2 m − an m 2m Giải: Ta có: ( m + 1) m m + an k −1 a12 k −1 a2 k −1 + + + ≥ − a12 m − a2 m − an m 2m PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Tỡm giỏ trị lớn của:a) P = x + y + az b) Q = a ( x + y ) + z (Với n số tự nhiên; n ≥ , M số không âm cho trước; a số dương) Phân tich tìm lời giải: a).Do vai trị bình đẳng x, y nên dự đoán giá trị lớn đạt x = y thao tác x y “giống nhau” Để xuất biểu thức: P = x + y + az áp dụng BĐT Cô si x n + ( n − 1) α = x n + α + α + + α ≥ n n ( n − 1) α x ; y n + ( n − 1) α ≥ n n ( n − 1) α y  n −1 sè z n + ( n − 1) β ≥ n n ( n − 1) β z ⎪⎧a n α = n β Ta cần chọn số α, β cho : ⎨ ⎪⎩2α + β = M Ta có: x n + y n + z n + ( n − 1)( 2α + β ) ≥ n n n − ( n α x + n α y + n βz ) ⇔ M + ( n − 1) M ≥ n n ( n − 1) α [ x + y + az ] ⇔ P = x + y + az ≤ M Suy ra: MaxP = n ( n − 1) α M n ( n − 1) α ⎧⎪ n α = a n β b).Tương tự để xuất biểu thức Q = a ( x + y ) + z ta chọn số α, β cho : ⎨ ⎪⎩2α + β = M ⎧ x , y, z ≥ Áp dụng: Cho ⎨ 2 ⎩ x + y + z = 18 Tìm giá trị lớn của:a) P = x + y + z b) Q = x + y + z Giải a).Ta áp dụng cho trường hợp: n = 2, M = 18 vµ a = ⎧ 4α = β ⎧α = ⎪⎧2 α = β Bước 1: Tìm α, β cho : ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩2α + β = 18 ⎩2α + β = 18 ⎩β = 12 ⎧ x + ≥ 3x ⎪⎪ Bước 2: Áp dụng BĐT Cơ si ta có: ⎨ y + ≥ 3y ⎪ ⎪⎩ z + 12 ≥ 12 z = 3z Cộng vế theo vế BĐT ta có: x + y + z + 18 ≥ ( x + y + z ) ⇔ 36 ≥ ( x + y + z ) Suy ra: P = x + y + z ≤ Vậy: MaxP = ⇔ x = y = ; z = b).Ta áp dụng cho trường hợp: n = 2, M = 18 vµ a = 26 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT §¼NG THøC BUNHIacèpki ⎧⎪ α = β ⎧α = 4β ⎧α = Bước 1: Tìm α, β cho : ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩2α + β = 18 ⎩2α + β = 18 ⎩β = ⎧ x + ≥ 8x = x ⎪⎪ Bước 2: Áp dụng BĐT Cô si ta có: ⎨ y + ≥ 8y = y ⎪ ⎪⎩ z + ≥ 2 z Cộng vế theo vế BĐT ta có: x + y + z + 18 ≥ 2 ( x + y + z ) ⇔ 36 ≥ 2 ( x + y + z ) Suy ra: Q = x + y + z ≤ Vậy: MaxP = ⇔ x = y = 2 ; z = Bài toán Cho x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = M (M số không âm cho trước) ( ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = n x + y + kz (k số dương) Phân tich tìm lời giải: Do vai trị bình đẳng x, y nên dự đốn giá trị lớn đạt x = y thao tác x y “giống nhau”.” Ta tách x = mx + ( n − m ) x vµ y = ny + ( n − m ) y ( ≤ m ≤ n ) đồng thời “chia k k z + z cho x y 2 ⎧ 2 ⎪( n − m ) x + ( n − m ) y ≥ ( n − m ) xy ⎪ k ⎪ Áp dụng BĐT Cơ si ta có: ⎨mx + z ≥ 2mk xz ⎪ ⎪ k ⎪⎩my + z ≥ mk yz Để xuất biểu thức xy + yz + zx ta cần chọn m cho đều” kz = ( n − m ) = 2mk ⇔ ( n − m ) = 2mk ⇔ 2m − ( 4n + k ) m + n = ⇒ m = ≤ m ≤ n ) 1⎡ ( 4n + k ) − k + 8kn ⎤⎦ (vì 4⎣ ⎧ x, y, z cïng dÊu ⎪ ⎪x = y Khi cộng vế theo ba BĐT ta được: S ≥ ( n − m ) M ⎨ k ⎪mx = z ⎪ ⎪⎩ xy + yz + zx = 1 Áp dụng: 1) Cho x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y + z Ta áp dụng cho trường hợp: n = 1, M = 15 vµ k = 27 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Bc 1: Tỡm m = ⎡⎛ 1⎞ 1 ⎤ + .1 ⎥ = ⎢⎜ 4.1 + ⎟ − ⎣⎝ 3⎠ ⎦ ⎧1 2 ⎪ x + y ≥ xy ≥ xy ⎪ 2 ⎪2 Bước 2: Áp dụng BĐT Cơ si ta có: ⎨ x + z ≥ xz ≥ xz 3 ⎪3 ⎪2 2 ⎪ y + z ≥ yz ≥ yz ⎩ 2 Cộng vế theo BĐT ta được: S ≥ ( xy + yz + zx ) = 15 = 10 3 ⎡ x = y = 3; z = Vậy MinS = 10 ⇔ ⎢ ⎢⎣ x = y = − 3; z = −2 2) Cho x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x + y + z ≥ −1 + 17 (Tương tự toán đề thi học sinh giỏi Tỉnh 12-Năm 1999-2000) HDG: Ta áp dụng cho trường hợp: n = 2, M = vµ k = Bước 1: Tìm m = 1⎡ − 17 ( 4.2 + 1) − + 8.1.2 ⎤⎦ = ⎣ 4 ⎛ − 17 ⎞ −1 + 17 Bước 2: Kiểm nghiệm kết quả: S = x + y + z2 ≥ ( n − m ) = ⎜ − ⎟⎟ = ⎜ ⎝ ⎠ Phần hai BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY-SCHWARZ) I-CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC Dạng bản: ( a1 b1 + a2 b2 + + an bn ) ≤ ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) với ; bi ∈ \, ∀i = 1, n Đẳng thức xảy ( a1 , a2 , , an ) vµ ( b1 , b2 , , bn ) hai số tỉ lệ, nghĩa tồn số k cho bi = kai ∀i = 1, n Hệ quả: 1) Với hai dãy số ( a1 , a2 , , an ) vµ ( b1 , b2 , , bn ) với bi > 0, ∀i = 1, n ta có: a ( a + a + + an ) a12 a22 (Bất đẳng thức Schwarz ) + + + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn 2) Với hai dãy số thực ( a1 , a2 , , an ) vµ ( b1 , b2 , , bn ) ta có: a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ≥ ( a1 + a2 + + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) 2 (Bất đẳng thức Mincôpxki) 28 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki ng thc xảy ( a1 , a2 , , an ) vµ ( b1 , b2 , , bn ) hai số tỉ lệ II-MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 1) Sử dụng trực tiếp BĐT Bunhiacơpxki a).Đánh giá vế bé sang vế lớn Ví dụ Cho a2 + b2 + c = Chứng minh rằng: a + 3b + 5c ≤ 35 Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: a + 3b + 5c ≤ (1 + 32 + )( a ) + b + c = 35 đpcm Ví dụ Cho x + y = Chứng minh rằng: x + y + y + x ≤ + Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: x 1+ y + y 1+ x ≤ (x ) ( ) + y (1 + x + + y ) = + x + y ≤ + x + y = + Ví dụ Cho 36 x + 16 y = Chứng minh rằng: y − x ≤ Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: ⎛1 ⎞ 1 25 25 16 = ( y − x ) = ⎜ y + ⎛⎜ − ⎞⎟ x ⎟ ≤ ⎛⎜ + ⎞⎟ 16 y + 36 x = 16.9 ⎝ 3⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 16 ⎠ Suy ra: y − x ≤ (đpcm) 4 Ví dụ Cho a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) ≤ Chứng minh rằng: a + b + c ≤ Giải: Theo giả thiết ta có: ( ) 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎞ 25 ⎛ a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) = ⎜ a − ⎟ + ⎜ b − ⎟ + ⎜ c − ⎟ ≤ + = 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 12 ⎝ Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: 2 ⎡⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ 25 ⎛ a + b + c = ⎜ a − ⎟ + ⎜ b − ⎟ + ⎜ c − ⎟ + ≤ ⎢⎜ a − ⎟ + ⎜ b − ⎟ + ⎜ c − ⎟ ⎥ + = + = 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ 2 ⎝ ⎢⎣⎝ Ta có đpcm Ví dụ (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh 10-Bảng A-Năm 1992-1993) Chứng minh: ( x + ax + b ) + ( x + cx + d ) ≤ ( x + 1) 2 với a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a + b2 + c + d = Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (x (x 2 ) ≤ (x + cx + d ) ≤ ( x + ax + b 2 + a2 + b2 + c2 + d )( x )( x ) ( + 1) = ( x )( )( x ) + 1) + x + = x + a2 + b2 x + + x2 + c2 + d 2 Cộng vế theo vế ta được: 29 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki (x ) ( + ax + b + x + cx + d ) ≤ (2x 2 )( ) ( + x + a2 + b2 + c2 + d = x + ) (đpcm) (Vì a2 + b2 + c + d = ) Ví dụ (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh 10-Bảng A-Năm 1995-1996) Cho a, b, c ∈ \ + vµ a + b + c = Chứng minh rằng: a+b + b+c + c+a ≤ Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: ( a+b + b+c + c+a ) ≤ (1 + + 1) ⎡⎣( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ⎤⎦ = 3.2 ( a + b + c ) = a+b + b+c + c+a ≤ Suy Ví dụ (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh 10-Bảng A-Năm 1998-1999) 2 Cho biết phương trình ( x + a ) + ( y + b ) + ( x + y ) = c có nghiệm Chứng minh rằng: ( a + b ) ≤ 3c Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (a + b) 2 2 ≤ ⎡⎣( x + a ) + ( y + b ) + ( − x − y ) ⎤⎦ ≤ (1 + + 1) ⎡( x + a ) + ( y + b ) + ( x + y ) ⎤ = 3c ⎣ ⎦ Vậy ( a + b ) ≤ 3c b).Đánh giá vế vế lớn sang vế bé Ví dụ (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Lớp 10-Bảng A-1999-200) Cho , bi ∈ \ ( i = 1, 2,3 ) ( a).Chứng minh rằng: a12 + a22 + a32 )( b ) + b22 + b32 ≥ ( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) b).Giả sử a1a2 + a2 a3 + a3 a1 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a14 + a24 + a34 Giải: a) Xét hàm số 2 f ( x ) = a12 + a22 + a32 x + ( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) x + b12 + b22 + b32 = ( a1 x + b1 ) + ( a2 x + b2 ) + ( a3 x + b3 ) ≥ 0, ∀x ∈ \ ( ) ( ) Nếu a12 + a22 + a32 = ⇔ a1 = a2 = a3 = thay vào BĐT ( Nếu a12 + a22 + a32 > ta có: f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ \ ⇔ Δ ' = ( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) − a12 + a22 + a32 Suy ra: ( a12 + a22 + a32 )( b12 + b22 + b32 ) ≥ ( a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ) đpcm )( b ) + b22 + b32 ≤ b) Ta có: 1 1 16 P = (1 + + 1) a14 + a24 + a34 ≥ a12 + a22 + a32 = a12 + a22 + a32 a22 + a32 + a12 ≥ ( a1a2 + a2 a3 + a3 a1 ) = 3 3 16 Vậy MinP = x = y = z = ± 3 Ví dụ Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c ≥ 12 Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: 1 a2 + b2 + c = (1 + + 1) a2 + b + c ≥ (1.a + 1.b + 1.c ) = 62 = 12 3 Ví dụ 3.Chứng minh rằng: Nếu phương trình x + bx + cx + bx + = có nghiệm thì: b + ( c − ) > ( ) ( ( ) ( )( ) ) 30 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Gii: Gi s x0 nghiệm phương trình x + bx + cx + bx + = x0 ≠ Ta có: x + bx + cx + bx + = ⇔ x 02 + Đặt t = x0 + ⎛ 1 ⎞ + b ⎜ x0 + ⎟ + c = x0 x0 ⎠ ⎝ ⇒ t ≥2 x0 ( 2 Khi ta có: t + bt + c − = ⇒ t = − ( bt + c − ) ⇒ t = ( bt + c − ) ≤ ⎡ b2 + ( c − ) ⎤ t + ⎣ ⎦ t Suy ra: b2 + ( c − ) ≥ = t2 − + > − + = (đpcm) t +1 t +1 2 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số f = ( x − y + 1) + ( x + ay + ) ) Giải Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: 2 1 2 f = ⎡( −2 ) + 12 ⎤ ⎡( x − y + 1) + ( x + ay + ) ⎤ ≥ ⎡⎣( −2 )( x − y + 1) + ( x + ay + ) ⎤⎦ = ⎡⎣( a + ) y + 3⎤⎦ ⎦⎣ ⎦ 5⎣ ⎧ ⎪y = − Nếu a ≠ −4 f ≥ dấu xảy ⎨ a+4 ⎪⎩ x = y − Nếu a = −4 f ≥ dấu xảy 11 ⎧ ⎪x − 2y = ⎨ ⎪⎩ y ∈ \ Vậy: Với a ≠ −4 M inf = Nếu a = −4 M inf = Ví dụ (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Lớp 10-Bảng A-2002-20030 ⎧a + b + c = 25 ⎪ Cho a, b, c, x, y, z số thực thoả mãn ⎨ x + y + z = 36 ⎪ax + by + cz = 30 ⎩ a+b+c Hãy tính giá trị biểu thức P = x+y+z Giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( a2 + b2 + c2 )( x + y + z2 ) ≥ ( ax + by + cz )2 ( Theo ta có: a + b + c )( x ) + y + z = 25.36 = 30 = ( ax + by + cz ) a b c a2 b2 c a2 + b2 + c 25 ⎛ ⎞ = = ⇒ = = = = = x y z x y z x + y + z2 36 ⎜⎝ ⎟⎠ a b c a+b+c Suy ra: = = = =± x y z x+y+z a+b+c Vậy: P = = ± x+y+z Do đẳng thức xảy khi: 31 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG – NGHƯ AN C¸C KÜ THT Sư DơNG BÊT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 2) S dụng kĩ thuật nghịch đảo Dạng ⎛ a12 ( b1 + b2 + + bn ) ⎜ ⎝ b1 + a2 ⎞ a22 + + n ⎟ ≥ ( a1 + a2 + + an ) b2 bn ⎠ a ( a + a + + an ) a2 a2 ⇔ + + + n ≥ ∀bi > b1 b2 bn b1 + b2 + + bn ⎛ a1 Dạng ( a1 b1 + a2 b2 + + an bn ) ⎜ ⎝ b1 + a ⎞ a2 + + n ⎟ ≥ ( a1 + a2 + + an ) ∀ai , bi > b2 bn ⎠ Ví dụ Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ∀a, b, c > b+c c+a a+b Giải Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có: ⎡ a2 b2 c2 ⎤ ( a + b + c ) a+b+c ⎡⎣( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) ⎤⎦ ⎢ + + = đpcm ⎥≥ ⎣ b + c c + a a + b ⎦ (a + b + c) Ví dụ Chứng minh rằng: a b c + + ≥ ∀a, b, c > b+c c+a a+b a b c a2 b2 c2 Giải Ta có: + + ≥ ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b ab + ac bc + ba ca + cb Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có: ⎡ a2 b2 c2 ⎤ ⎡⎣( ab + ac ) + ( bc + ba ) + ( ca + cb ) ⎤⎦ ⎢ + + ⎥ ≥ (a + b + c) ⎣ ab + ac bc + ba ca + cb ⎦ (a + b + c) a2 b2 c2 ⇔ + + ≥ ab + ac bc + ba ca + cb ( ab + bc + ca ) a2 b2 c2 Mà: ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) Do đó: + + ≥ Suy đpcm ab + ac bc + ba ca + cb Ví dụ Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a2 + b2 + c + + ≥ ∀a, b, c > b+c c+a a+b 2 a3 b3 c3 a2 + b2 + c a4 b4 c4 + + ≥ ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b ab + ac bc + ba ca + cb Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có: Giải Ta có: Mà: a + b2 + c ≥ ab + bc + ca ( ) a + b + c ( ab + bc + ca ) a + b + c a4 b4 c4 Do đó: + + ≥ = ( ab + bc + ca ) ab + ac bc + ba ca + cb Suy đpcm Ví dụ 4.(Mỹ MO-1993) Chứng minh rằng: 32 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki a b c d + + + ≥ ∀a, b, c, d > b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c Giải Ta có: a b c d + + + ≥ b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + a + 3b a + 2b + 3c a2 b2 c2 d2 ⇔ + + + ≥ a ( b + 2c + 3d ) b ( c + 2d + 3a ) c ( d + a + 3b ) d ( a + 2b + 3c ) Áp dụng BĐT Svacxơ ta có: (a + b + c + d ) a2 b2 c2 d2 + + + ≥ a ( b + 2c + 3d ) b ( c + 2d + 3a ) c ( d + 2a + 3b ) d ( a + b + 3c ) ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) Mà (a + b + c + d ) ( = a2 + b2 + c + d + ab + bc + 2cd + da + ac + bd ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⎡⎣ a2 + b2 + b + c + c + d + d + a2 + a2 + c + b + d ⎤⎦ + ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) ⎛2 ⎞ ≥ ⎜ + ⎟ ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) = ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) ⎝3 ⎠ Do đó: ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) a2 b2 c2 d2 + + + ≥ = a ( b + 2c + 3d ) b ( c + d + 3a ) c ( d + a + 3b ) d ( a + b + 3c ) ( ab + bc + cd + da + ac + bd ) Suy đpcm 1 Ví dụ (IRAN MO 1998) Giả sử x, y, z ≥ vµ + + = Chứng minh x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 1 x −1 y −1 z −1 Giải Vì + + = ⇒ + + =1 x y z x y z Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: ⎛ x −1 y −1 z −1 ⎞ + + ⎟≥ y z ⎠ ⎝ x ( x + y + z) = ( x + y + z) ⎜ Suy ra: ( x −1 + y −1 + z −1 ) x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3a 4b 5c với a, b, c số thực dương tuỳ ý P= + + b+c c+a a+b Giải Sử dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: Đẳng thức xảy x = y = z = 33 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacèpki 3a 4b 5c ⎞ ⎛ +3+ +4+ + = (a + b + c)⎜ + + ⎟ b+c c+a a+b ⎝ b+c c+a a+b⎠ = ⎤ ( ≥ ⎡ ⎡⎣( b + c ) + ( c + a ) + ( a + b ) ⎤⎦ ⎢ + + ⎥ ⎣b + c c + a a + b⎦ ( ) 3+ 4+ ) 2 3+ 4+ 3a 4b 5c + + ≥ − 12 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Đẳng thức xảy = = Suy ra: P = ( Vậy MinP = 3+ 4+ ) c+a a+b = 2 Ví dụ Chứng minh a, b, c ≥ vµ abc = 1 + + ≤ 2+a 2+b 2+c 1 2 a b c Giải.Ta có: + + ≤ ⇔ 1− +1− +1− ≥1⇔ + + ≥1 2+a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c x y z Tồn số thực x, y, z cho a = ; b = ; c = Ta cần chứng minh: y z x x y z x y z x2 y2 z2 y + z + x = + + ≥1⇔ + + ≥1 2 x y z y + x 2z + y x + z 2 xy + x yz + y zx + z 2+ 2+ 2+ y z x − 12 b+c = ( x + y + z) ( x + y + z) = x2 y2 z2 Theo BĐT Svacxơ ta có: + + ≥ = 2 2 2 2 xy + x yz + y zx + z xy + x + yz + y + zx + z ( x + y + z) Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b = c = Từ suy đpcm Ví dụ 8.(IMO-2001) Với số dương a, b, c dương ta có: a b c + + ≥1 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab Giải a b c a2 b2 c2 Ta có: + + ≥1⇔ + + ≥1 a + 8bc b2 + 8ac c + 8ab a a2 + 8bc b b2 + 8ac c c + 8ab 2 Theo BĐT Svacxơ ta có: a2 a a + 8bc + b2 b b + 8ac + c2 c c + 8ab ( ≥ (a (a + b + c) a2 + 8bc + b b2 + 8ac + c c + 8ab ) ( Ta có a a2 + 8bc + b b2 + 8ac + c c + 8ab = ) a a3 + 8abc + b b3 + 8abc + c c + 8abc Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có: 34 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN ) CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki ) ( a a3 + 8abc + b b3 + 8abc + c c3 + 8abc ≤ Do đó: a2 a a + 8bc + b2 b b + 8ac + c2 c c + 8ab ≥ (a ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 + 24abc ) (a + b + c) a2 + 8bc + b b2 + 8ac + c c + 8ab ) a3 + b3 + c3 + 24 abc ≤ ( a + b + c ) ⇔ a2 b + b c + c a + ab2 + bc + ca ≥ abc Ta cần chứng minh: Bất đẳng thức cuối theo BĐT Cô si Từ suy đpcm Phần ba TÌM THÊM PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I-MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh A ≥ B số trường hợp ta nghĩ đến phương pháp sau: “Tìm C sau chứng minh A ≥ C vµ C ≥ B ” Vấn đề quan trọng phải tìm C? Để tìm C ta theo cách sau Cách 1-Dựa hai bổ đề sau: Bổ đề “Trong ba số x1 , x2 , x3 ln tồn hai số xi ; x j (i, j thuộc tâp {1; 2; 3} cho: ⎧⎪ xi ≥ a hc ⎨ ⎩⎪ x j ≥ a ⎧⎪ xi ≤ a (a số thực bất kỳ)” ⎨ ⎩⎪ x j ≤ a Chứng minh: Khơng tính tổng qt ta giả sử x1 ≤ x2 ≤ x3 Nếu x2 ≤ a x1 ≤ a vµ x2 ≤ a ta có điều phải chứng minh Nếu x2 ≥ a x2 ≥ a vµ x3 ≥ a ta có điều phải chứng minh ⎧x ≥ a hc ⎩y ≥ a ⎧x ≤ a xy ≥ a ( x + y ) − a2 ” ⎨ ⎩y ≤ a Chứng minh: Từ giả thiết ta có: ( x − a )( y − a ) ≥ ⇔ xy ≥ a ( x + y ) − a2 (đpcm) Bổ đề “Nếu ⎨ II-VẬN DỤNG BỔ ĐỀ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: x + y + z2 + xyz + ≥ ( x + y + z ) ( ) (Chào IMO 2007-Tạp chí THTT số 357 tháng năm 2007) Chứng minh: Theo Bổ đề vai trị x, y, z tốn bình đẳng nên khơng tính tổng qt ⎧x ≥ hc ⎩y ≥ ⎧x ≤ Khi theo Bổ đề ta có: xy ≥ x + y − ⇒ xyz ≥ xz + yz − z (v × z > 0) ⎨ ⎩y ≤ Suy ra: ( x + y + z2 ) + xyz + ≥ ( x + y + z2 ) + xz + yz − z + (1) ta giả sử ⎨ ( ) Ta chứng minh: x + y + z2 + xz + yz − z + ≥ ( x + y + z ) Thật vậy: (2) ⇔ ( y + z − 2) + ( x + z − 2) ( (2) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ , ( đúng) 2 ) Từ (1) (2) suy ra: x + y + z2 + xyz + ≥ ( x + y + z ) (đpcm) Đẳng thức xảy x = y = z = Nhận xét: 1).Ta sử dụng định lí dấu âm thức bậc hai để chứng minh (2) 2).Tương tự ta chứng minh: 35 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki a) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: m ( x + y + z2 ) + xyz + 3m + ≥ ( 2m + 1)( x + y + z ) ” b).“ Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: ( 2n − 1) x + y + z2 + xyz + ≥ 2n ( xy + yz + zx ) Trong m số thực cho trước m ≥ ( ) Trong m số thực cho trước n ≥ ” c).“ Nếu x, y, z ba số thực khơng âm thì: xyz + x + y + z + ≥ x + y + z + xy + yz + zx ” d).“ Nếu x, y, z số thực dương thì: xyz + x + y + z + 13 ≥ ( x + y + z ) ” Ví dụ Cho x, y, z số thực không âm Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: x + y + z3 + xyz + ≥ ( xy + yz + zx ) ( ) Chứng minh: Theo Bổ đề vai trị x, y, z tốn bình đẳng nên khơng tính tổng qt ta giả sử ⎧x ≥ ⎧x ≤ hc ⎨ Khi theo Bổ đề ta có: xy ≥ x + y − ⇒ xyz ≥ xz + 3yz − 3z (v × z ≥ 0) ⎨ ⎩y ≥ ⎩y ≤ Suy ra: ( x + y + z3 ) + xyz + ≥ ( x + y + z3 ) + xz + 3yz − 3z + (1) Ta chứng minh: ( ) ( ) x + y + z3 + xz + yz − 3z + ≥ ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z3 + ≥ xy + yz + zx + 3z Mà theo Bất đẳng thức Cô si ta có: 3z = 3 z.1.1 ≤ z3 + + xz = 3 x.z.1 ≤ x + z3 + ⇒ xz ≤ x + z3 + yz ≤ y + z3 + xy = 3 x.y.1 ≤ x + y + ⇒ xy ≤ x + y + Cộng vế theo vế Bất đẳng thức ta được: ( x + y + z3 ) + ≥ xy + yz + zx + 3z (2) ( ) Từ (1) (2) suy ra: x + y + z3 + xyz + ≥ ( xy + yz + zx ) (đpcm) Ví dụ Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: xyz + ≥ ( xy + yz + zx ) Đẳng thức xảy nào? Chứng minh: Theo Bổ đề vai trị x, y, z tốn bình đẳng nên khơng tính tổng qt ta giả sử 1 ⎧ ⎧ ⎪⎪ x ≥ ⎪⎪ x ≤ Khi theo Bổ đề ta có: xy ≥ x + 3y − ⇒ xyz ≥ xz + yz − z (v ì z 0) y ≥ ⎪y ≤ 3 ⎩⎪ ⎩⎪ Suy ra: + xyz ≥ + xz + yz − z (1) Ta chứng minh: + xz + yz − z ≥ ( xy + yz + zx ) (2) ThËt vËy, ( ) ⇔ ≥ z + z ( x + y ) + xy ⇔ ≥ z + z (1 − z ) + xy (v × x + y + z = 1) 36 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki (1 − z ) ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ( V × x + y + z = 1) 2 ⇔ ( x − y ) ≥ 0, ®óng Từ (1) (2) suy ra: xyz + ≥ ( xy + yz + zx ) (đpcm) Đẳng thức xảy x = y = z = 1 1 hc x = y = ; z = hc x = z = ; y = hc y = z = ; x = 2 Nhận xét: Tương tự ta chứng minh: Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = k Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: xyz + k ≥ k ( xy + yz + zx ) Đẳng thức xảy nào? Ví dụ Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = xy + yz + zx + mxyz xyz ≤ 4 9⎞ ⎛ Suy ra: A = xy + yz + zx − xyz + ⎜ m + ⎟ xyz 4⎠ ⎝ Giải * Theo ví dụ ta có: xy + yz + zx − 9 9⎞ ⎞⎛ x + y + z ⎞ m ⎛ ⎛ ≥ hay m ≥ − ⎜ m + ⎟ xyz ≤ ⎜ m + ⎟ ⎜ = + ⎟ 4 4⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎝ ⎠ 27 12 m+9 Do đó: A ≤ Đẳng thức xảy chẳng hạn x = y = z = 27 9⎞ 9 ⎛ Nếu m + < hay m < − ⎜ m + ⎟ xyz ≤ Do đó: A ≤ 4⎠ 4 ⎝ Đẳng thức xảy chẳng hạn x = y = ; z = Nếu m + *) Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: xy + yz + zx = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) ≥ 3 xyz 3 xy.yz.zx = xyz Suy ra: xy + yz + zx − xyz ≥ A = xy + yz + zx − xyz + ( m + ) xyz Nếu m + ≥ hay m ≥ −9 ( m + ) xyz ≥ Do đó: A ≥ Đẳng thức xảy chẳng hạn x = y = z = ⎛ x+y+z⎞ m+9 ⎟ = 27 ⎝ ⎠ m+9 Do đó: A ≥ Đẳng thức xảy chẳng hạn x = y = z = 27 m+9 Kết luận: Nếu m < −9 giá trị lớn A , giá trị nhỏ A 27 Nếu −9 ≤ m < − giá trị lớn A , giá trị nhỏ A 4 Nếu m + < hay m < −9 ( m + ) xyz ≥ ( m + ) ⎜ Nếu m ≥ − m+9 giá trị lớn A , giá trị nhỏ A 27 Vậy ta có bất đẳng thức: 37 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Nu x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = m+9 ≤ xy + yz + zx + mxyz ≤ (trong m số thực cho trước m < -9) 27 a) ≤ xy + yz + zx + mxyz ≤ (trong m số thực cho trước −9 ≤ m < − ) 4 m+9 a) ≤ xy + yz + zx + mxyz ≤ (trong m số thực cho trước m ≥ − ) 27 a) Chẳng hạn với m = -2 ta có toán: Bài toán 1.Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: ≤ xy + yz + zx − xyz ≤ (Đề thi IMO 1984) 27 Với nhận xét : *) Nếu x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = x + y + z = − ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z + xyz = − ( xy + yz + zx − xyz ) Do ta có tốn sau: Bài toán 2.Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: 13 ≤ x + y + z + xyz ≤ 27 *) Nếu x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = ( ) x + y + z3 − xyz = ( x + y + z ) x + y + z − xy − yz − zx = − ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z3 + xyz = − ( xy + yz + zx − xyz ) Do ta có: Bài tốn Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn: x + y + z = Chứng minh rằng: ≤ x + y + z3 + xyz ≤ Bây thay đổi giả thiết: Nếu x, y ,z độ dài ba cạnh tam giác có chu vi ( x + y − z )( x + z − y )( y + z − x ) > ⇔ (1 − z )(1 − y )(1 − x ) > ( V × x + y + z = 1) ⇔ xy + yz + zx − xyz > Từ ta có toán sau: Bài toán 1.1 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: < ab + bc + ca − abc ≤ 27 13 b) ≤ a2 + b2 + c + 4abc < 27 2 c) ≤ a3 + b3 + c + 3abc < a) Bài toán 2.2.Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 52 ≤ a2 + b + c + 2abc < (Đề thi HSG Tỉnh lớp 10-Năm học 2005-2006) 27 38 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki PH LC 39 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki 40 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyên bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN ... DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacèpki PHỤ LỤC 39 PHAM QUYNH ANH - THPT chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacèpki... DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Tuy nhiờn, may mắn ta lại dung bất đẳng thức theo cách khác: ( ) a + b2 − b2 a ab ab2 ab = = a − ≥ a − = a− 2b + b2 + b2 + b2 Ta đâ sử dụng bất. .. chuyªn bunghich - THANH CHƯƠNG NGHệ AN CáC Kĩ THUậT Sử DụNG BấT ĐẳNG THứC AM-GM Và BấT ĐẳNG THứC BUNHIacốpki Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số hạng ta thấy khó làm đợc, ta cần linh