Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên và ứng dụng 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ TƯ CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ TƯ CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn TS TƠN THẤT TÚ Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Tơn Thất Tú tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy giáo dạy bảo tận tình suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp PPTSCK39 tận tình giúp đỡ tơi q trình học tập Nguyễn Thị Tư LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Tư TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Họ tên học viên: Nguyễn Thị Tư Người hướng dẫn khoa học: TS Tôn Thất Tú Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt Lý thuyết xác suất lĩnh vực nghiên cứu tượng ngẫu nhiên xây dựng mơ hình tốn cho tượng Khi thực thí nghiệm, người ta thường liên kết chúng với đại lượng để nghiên cứu tìm hiểu quy luật vận động Những đại lượng gọi biến ngẫu nhiên Hai số đặc trưng quan trọng biến ngẫu nhiên kì vọng phương sai Các giá trị có nhiều ứng dụng kinh tế kĩ thuật Với mong muốn nghiên cứu cách có hệ thống lại kiến thức xác suất cung cấp nhìn tổng quan số đặc trưng ứng dụng chúng, hướng dẫn TS Tôn Thất Tú, chúng tối định chọn đề tài “Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên ứng dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ toán học Mục tiêu đề tài nghiên cứu luận văn cung cấp cho học sinh, sinh viên đồng nghiệp hệ thống lại kiến thức xác suất, biến ngẫu nhiên số đặc trưng Nghiên cứu bất đẳng thức kỳ vọng phương sai ứng dụng chúng Đề tài “ Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên ứng dụng ” có ý nghĩa khoa học thực tiễn, với hệ thống kiến thức trình bày chi tiết kèm theo tập phong phú Có thể nói luận văn tài liệu tham khảo bổ ích dành cho sinh viên ngành Toán, giáo viên dạy Toán học sinh THPT học phần xác suất số đặc trưng, đối tượng quan tâm tới xác suất, số đặc trưng ứng dụng chúng Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu tìm hiểu nhiều ứng dụng số đặc trưng khai thác sáng tạo toán dạng làm tài liệu giảng dạy cho thân Đề tài kỳ vọng cở sở để xây dựng chuyên đề dạy học theo định hướng hình thành phát triển phẩm chất, lực chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Từ khóa: lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên, kỳ vọng toán, phương sai, bất đẳng thức, ứng dụng Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực đề tài TS Tôn Thất Tú Nguyễn Thị Tư INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: CHARACTERISTIC NUMBERS OF RANDOM VARIABLES AND APPLICATIONS Major: Methodology in Elementary Mathematics Full name of Master student: Nguyen Thi Tu Supervisor: Dr Ton That Tu Training institution: The University of Danang - University of Science and Education Abstract Probability theory is the study of random phenomena and the construction of mathematical models for these phenomena When carrying out the experiments, people often connect the outcomes of experiments with the certain variables to study the distribution laws These variables are said to be random variables Two important characteristic numbers are mathematical expectation and variance These values have many applications in economics and technology With the desire to systematically study the knowledge of probability and to provide an overview of these characteristic numbers and their applications, under the supervision of Dr Ton That Tu, I decided to choose the topic "Characteristic numbers of random variables and their applications" as the topic of the master thesis The objective of the thesis is to provide students and colleagues with the system of knowledge about probability, random variables and their characteristic numbers The inequalities of expectation and variance and their applications are also studied The topic "Characteristic numbers of random variables and applications" has scientific and practical meaning, with various system of knowledge and exercises It can be said that the thesis is a useful reference for students of Mathematics, teachers of Mathematics and high school students in learning about probability and characteristic numbers, as well as those, who are interested in this topic In the future, we want to continue researching and learning more about the application of characteristic numbers and creatively exploiting problems of this type to create the teaching materials for ourselves The topic is also expected to be the basis for building teaching topics in the direction of forming and developing the quality and capacity of the new general education program in 2018 Key words: probability theory, random variable, mathematical expectation, variance, inequality, application Supervior’s confirmation Student Dr Ton That Tu Nguyen Thi Tu MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức sở Xác suất 1.1 Định nghĩa 1.2 Xác suất có điều kiện 14 1.3 Các cơng thức tính xác suất 14 Biến ngẫu nhiên 17 2.1 Phân phối rời rạc 18 2.2 Phân phối liên tục 19 2.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.4 Một số phân phối thường gặp 21 Chương Các số đặc trưng ứng dụng 23 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 23 1.1 Kỳ vọng toán 23 1.2 Phương sai độ lệch chuẩn 29 1.3 Các số đặc trưng phân phối thường gặp 36 Bất đẳng thức kỳ vọng phương sai 37 Ứng dụng số đặc trưng 45 3.1 Trò chơi may rủi 45 3.2 Bài toán tối ưu 50 3.3 Ứng dụng tổ hợp 57 KẾT LUẬN 61 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất lĩnh vực nghiên cứu tượng ngẫu nhiên xây dựng mơ hình tốn cho tượng Hiện tượng ngẫu nhiên tượng mà kết xảy điều biết trước, chẳng hạn đường gặp thời tiết mưa (nắng), tai nạn giao thông, may rủi, Để đánh giá khả xảy tượng người ta dùng khái niệm xác suất Việc phán đoán xác suất tượng giúp ta làm chủ tình hình, đặc biệt hạn chế tác động tiêu cực khơng lường trước xảy tương lai Khi làm việc thí nghiệm ngẫu nhiên, người ta thường liên kết chúng với đại lượng (biến) để nghiên cứu biến đổi tìm hiểu quy luật vận động chúng Những đại lượng gọi đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên Hai số đặc trưng quan trọng biến ngẫu nhiên kỳ vọng phương sai Nếu kỳ vọng phản ánh giá trị trung bình biến ngẫu nhiên phương sai giúp ta đo lường mức độ khuếch tán giá trị xung quanh vị trí kỳ vọng Hai số đặc trưng có nhiều ý nghĩa kinh tế kỹ thuật Trong chương trình Tốn phổ thông 2018, mạch kiến thức xác suất thống kê quan tâm nhiều chiếm thời lượng đáng kể Đặc biệt chương trình Tốn lớp 12, kiến thức biến ngẫu nhiên số đặc trưng (kỳ vọng phương sai) giới thiệu Nhằm hệ thống lại kiến thức xác suất, biến ngẫu nhiên nghiên cứu sâu tính chất ứng dụng kỳ vọng phương sai, chọn vấn đề «Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên ứng dụng» làm đề tài cho luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu hệ thống kiến thức xác suất, biến ngẫu nhiên số đặc trưng - Nghiên cứu tính chất, bất đẳng thức kỳ vọng phương sai ứng dụng chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Xác suất, biến ngẫu nhiên, phân phối rời rạc liên tục, kỳ vọng phương sai - Các tính chất, bất đẳng thức số đặc trưng ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến xác suất - Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh giáo viên phổ thơng, sinh viên đại học tìm hiểu nội dung Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn dự kiến chia thành hai chương: 61 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực công việc sau Hệ thống lại lý thuyết xác suất, cơng thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên, phân phối rời rạc liên tục, số đặc trưng biến ngẫu nhiên (kỳ vọng phương sai) Nghiên cứu bất đẳng thức kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng hữu hạn Nghiên cứu việc ứng dụng kỳ vọng phương sai trò chơi may rủi, toán tối ưu kinh tế ứng dụng để giải toán tổ hợp Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn thiện 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [2] GS Nguyễn Tiến Dũng GS Đỗ Đức Thái (2015), Nhập môn đại xác suất thống kê, Tủ sách Sputnik [3] Đinh Văn Gắng (2009), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng: Mơn Tốn (Ban hành kèm theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT), Hà Nội [6] Allan Gut (2013), Probability: A Graduate Course, Springer-Verlag, New York [7] N.S Barnett, P Cerone, S.S Dragomir (2004), Inequalities for Random Variables Over a Finite Interval, RGMIA Monographs, Victoria University (Online: http://ajmaa.org/RGMIA/monographs.php) [8] Nguyễn Văn Cao (2004), Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê, NXB Thống kê [9] Phạm Xuân Kiều (2004), Xác suất thống kê, NXB Giáo dục [10] Kỷ yếu hội thảo khoa học: Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi, ngày 20-21/4/2013, Quy Nhơn D�I HQC DA NANG TRUONG D�I HQC SU PH�M S6:J} !/QD-DHSP C()NG HOA XA H()I CHU NGHIA VJ¥T NAM D9c lj p - Tl}' - H , nh phuc Da N8ng, nga;t}tithang OJ.nam 2021 QUYETDJNH Vi vi�c giao di tai va trach nhiem hmrng din lujn van th,c si HI¥U TRUONG TRUONGD�I HQC SU PH �M -DHDN Can cu Nght iltnh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu vJ vi¢c lqp Dt;ii h9c Da N8ng; Can czr Quyit iltnh s6 2762/QD-HDDN 14/8/2020 cua Chu tich h9i ilbng Dt;ii h9c Da N8ng vJ vi¢c Ban hanh Quy chi t6 chuc va hoqt il9ng Dt;ii h9c Da N8ng; Can cu Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT 15/5/2014 cua B9 Giao dƠc va Dao tqo vJ viÂc ban hanh Quy chi Dao tqo trinh t/9 thqc si; Can cu Quyit iltnh 1060/QD-DHSP 01/11/2016 cua Hi¢u tru