Vì kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phản ánh giá trị trung bình của nó nên điều này có một ý nghĩa thú vị trong các trò chơi may rủi. Cụ thể, xét trò chơi may rủi với số tiền đặt cược trong mỗi ván không đổi. Trò chơi được gọi là công bằng (có lợi hay có hại ) đối với người chơi nếu kỳ vọng số tiền
nhận được trong mỗi lần chơi bằng (lớn hơn hay bé hơn) số tiền đặt cược trong mỗi ván chơi.
Để hiểu rõ hơn, ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 2.12. Một người tham gia trò chơi may rủi với tiền cược mỗi ván là 10000 đồng. Người này tung ngẫu nhiên 2 đồng xu, nếu được i mặt sấp
người này thu về (i + 1).5000 đồng, i = 1; 2. Ngược lại sẽ mất tiền. Hỏi người này có nên chơi trò này thường xuyên không?
Giải. Gọi X nghìn đồng là số tiền người này nhận được trong 1 lần chơi. Ta có, X nhận các giá trị 1;10;15. Bảng phân phối của X là:
X 0 10 15 P 14 12 14
Do đó E(X) = P
pi.xi = 8,75(nghìn đồng). Vì số tiền này bé hơn số tiền đã đặt cược nên nếu người này chơi càng nhiều thì thua càng lớn. Vậy người này không nên chơi trò này thường xuyên.
Ví dụ 2.13. Người kinh doanh có 3 bánh xe giống hệt nhau, mỗi bánh đều được chia làm 6 phần giống hệt nhau và được đánh số từ 1 đến 6. Bạn chơi
sẽ đặt cược số tiền vào một ô nào đó. Nếu i bánh xe trong 3 bánh xe quay
trúng ô mà bạn đã chọn thì bạn sẽ được số tiền lớn gấp i lần số tiền bạn
đã đặt cọc cộng với tiền vốn. Ngược lại bạn sẽ mất tiền. Ví dụ, bạn đặt cọc 10 nghìn vào ô số 6, nếu có 2 bánh xe trong 3 bánh xe quay vào ô số 6 thì
bạn sẽ nhận được 20 + 10 là 30 nghìn. Còn nếu không có bánh xe nào quay
trúng ô số 6, bạn sẽ mất 10 nghìn.
ba lần quay bánh xe, lần này không trúng thì lần khác trúng. Đó chỉ là do bạn suy nghĩ. Nhưng thực tế như thế nào, thì bạn cần phải tính toán. Giải. Gọi 3 số mà bánh xe quay ra được là (a, b, c). Ta biết mỗi bánh xe sẽ có 6 trường hợp (số 1 đến số 6). Nên có tất cả là 6.6.6 = 216 trường hợp của bộ (a, b, c). Các trường hợp này xảy ra như sau:
Trường hợp 1:(a, b, c) khác nhau đôi một. Số trường hợp của a là 6, của b là 5, của c là 4. Nên suy ra có 6.5.4 = 120 trường hợp.
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là 1, còn 2 lần trật. Nên số trường hợp trúng là 1.5.4.3 = 60 (nhân 3 cuối là có thể trúng lần 1,2,3).
Trường hợp 2:(a, b, c) đều giống nhau. Số trường hợp xảy ra trong này là 6 .
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là 1. Trường hợp 3:(a, b, c) có 2 trong 3 số giống. Số trường hợp xảy ra trong này là 216−120−6 = 90 .
Khi đó nếu đặt x đồng vào 1 ô nào đó, thì số trường hợp trúng là:
Trong đó: trúng được 2x đồng là 1.1.5.3 = 15 trường hợp. Trúng được x đồng là 1.5.1.3 = 15 trường hợp
Tổng kết lại : Nếu đặt x đồng thì lợi nhuận trung bình của chủ tiệm sẽ như sau:
Trong Trường hợp 1 có: 60x−60x = 0. Trong trường hợp 2 có: 5x−3x = 2x.
Trong trường hợp 3 có: 60x−15x−15.2x = 15x.
Như vậy ta thấy nếu đặt x đồng thì thu được là 17216x lợi nhuận.
được của chủ tiệm là 39,35 nghìn đồng.
Như vậy tất cả các trò chơi mang tính may rủi này đã được chủ tiệm tính toán trước và chắc chắn họ sẽ có lời, chưa kể họ sử dụng các chiêu trò trong đó. Một lời khuyên cho các bạn rằng chơi mấy trò may rủi chắc chắn sẽ lỗ.
Ví dụ 2.14. Một người tham gia trò chơi gieo ba đồng tiền vô tư. Anh ta được 500đ nếu xuất hiện 3 mặt sấp, 300đ nếu xuất hiện 2 mặt sấp, 100đ
nếu xuất hiện 1 mặt sấp. Mặt khác, anh ta mất 900đ nếu xuất hiện toàn
mặt ngữa. Trò chơi này có công bằng với người này hay không?(Trò chơi này được gọi là công bằng nếu tham gia trò chơi nhiều lần thì trung bình
anh ta hòa vốn?)
Giải. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền nhận được khi anh ta tham gia trò chơi.
X(Ω) ={−900; 100; 300; 500}.
Đăt A là biến cố "gieo lần thứ i xuất hiện mặt sấp" i ∈ {1; 2; 3}
P(X = −900) = P( ¯A1.A¯2.A¯3) = P( ¯A1).P( ¯A2).P( ¯A3) = 1 8. P(X = 100) =P(A1.A¯2.A¯3) +P( ¯A1.A2.A¯3) +P( ¯A1.A¯2.A3) = 3.1 8. P(X = 300) =P(A1.A2.A¯3) +P( ¯A1.A2.A3) +P(A1.A¯2.A3) = 3.1 8. P(X = 500) =P(A1.A2.A3) = 1 8.
Ta có bảng phân phối của X: Bảng phân phối của X là: X −900 100 300 500
Ta có E(X) =−900.1 8 + 100. 3 8 + 300. 3 8 + 500. 1 8 = 100
Vậy một ván chơi anh ta thắng 100 đồng. Do đó trò chơi không công bằng.
Ví dụ 2.15. Một người đứng ra tổ chức trò chơi bằng cách gieo con xúc xắc vô tư ba lần một cách độc lập nhau. Nếu xuất hiện mặt 1 cả ba lần thì
được thưởng 6 nghìn đồng, nếu xuất hiện mặt 1 hai lần thì được 4 nghìn,
xuất hiện một lần thì được thưởng 2 nghìn, khi không có mặt 1 xuất hiện
thì không được thưởng. Mỗi lần tham gia trò chơi, người chơi phải đóng M nghìn đồng. Hãy tìm M để người tổ chức trò chơi thu được lời?
Giải. Gọi X là số tiền còn lại sau mỗi lần tham gia trò chơi. Ta có: X(Ω) ={M −6;M −4;M −2;M} Khi đó P(X = M −6) = 1 6 1 6 1 6 = 1 63. P(X = M −4) = 3.1 6 1 6 5 6 = 3. 5 63. P(X = M −2) = 3.1 6 5 6 5 6 = 3. 52 63. P(X = M) = 5 6 5 6 5 6 = 53 63. Ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:
X M −6 M−4 M −2 M P 613 3.653 3.5623 3.5633
Từ đó ta có E(X) = (M−6). 1 63+(M−4).3. 5 63+(M−2).3.5 2 63+M.5 3 63 = 216 63 .(M−1). Do đó để trò chơi thu được lời thì E(X) > 0 hay M −1> 0 hay M > 1. Vậy M > 1 là giá trị cần tìm.
3.2 Bài toán tối ưu
- Khái niệm kỳ vọng toán lúc đầu xuất hiện trong các trò chơi may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi sẽ nhận được. Hiện nay khái niệm này được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kinh doanh và quản lý như một tiêu chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau. Tiêu chuẩn này thường được biểu diễn dưới dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng để làm căn cứ lựa chọn cho chiến lược kinh doanh.
- Phương sai là một chỉ số giúp ta đo lường mức độ khuếch tán các giá trị xung quanh kỳ vọng. Trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho sai số của các thiết bị hoặc các phép đo. Trong quản lý kinh doanh, nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.
Ví dụ 2.16. Một dự án xây dựng được viện thiết kế C soạn thảo cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất để cho A và B xác nhận dự án là 0,7; 0,8. Nếu chấp nhận dự án thì A phải trả cho C là 4 triệu đồng. Còn ngược lại thì phải trả 1 triệu. Với B nếu chấp nhận dự án thì phải trả cho C là 10 triệu đồng. Ngươc lại phải trả 3 triệu. Chi phí cho thiết kế là 10 triệu và 10% doanh thu. Hỏi C có nên nhận thiết kế không?
Giải. Để xem C có nên nhận thiết kế hay không thì phải tính số lãi kỳ vọng mà C có thể nhận được. Nếu gọi X là số lãi mà C có thể nhận được
sau khi trừ mọi chi phí thì X có bảng phân phối xác suất như sau: X −6,4 −3,7 −0,1 2,6
P 0,06 0,14 0,24 0,56
Từ đó ta suy ra E(X) = 0,53 > 0 nên C vẫn có thể nhận thiết kế. Ví dụ 2.17. Số lượng xe ô tô mà đại lí bán được trong một tuần là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:
Số xe bán được 0 1 2 3 4 5
Xác suất tương ứng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1
Chủ đại lí giao cho nhân viên nhận khoán 8 triệu đồng để chi phí trong một tuần. Biết rằng chi phí trong một tuần bằng căn bậc 2 của số xe bán
được cộng với 5 triệu đồng. Hỏi nhân viên này có thể nhận được không?
Vì sao?
Giải. Gọi X là số xe bán được trong 1 tuần. Kỳ vọng của √ X: E(√ X) = √ 0.0,1+√ 1.0,1+√ 2.0,2+√ 3.0,2+√ 4.0,3+√ 5.0,1 = 1,553.
Gọi Y là chi phí cho đại lí hoạt động trong 1 tuần. Ta có Y = √
X + 5, nên E(Y) = E(√
X) + 5 = 6,553. Do đó nhân viên này có thể nhận khoán được vì 8 > 6,55.
Ví dụ 2.18. Tiến hành khảo sát số khách trên một chuyến xe buýt(KS/1C) tại một tuyến giao thông người ta thu được số liệu sau:
KS/1C 25 30 35 40 45
Giả sử chi phí cho một chuyến xe buýt là 200 nghìn đồng, không phụ
thuộc vào số khách đi trên xe, thì công ty phải quy định giá vé là bao nhiêu
để có thể thu được số tiền lời trung bình cho mỗi chuyến xe là 100 nghìn?
Giải. Gọi X là số khách trên 1 chuyến xe. Kỳ vọng của KS/1C là:
E(X) = 25.0,15 + 30.0,2 + 35.0,3 + 40.0,25 + 45.0,1 = 34,75.
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền lời trên mỗi chuyến xe. Y = n.X −200
Trong đó n là số tiền quy định giá vé.
Ta có E(Y) = E(n.X −200) = 100⇐⇒ n.E(X) = 300 ⇐⇒ n ≈8,6. Vậy giá vé cần quy định xấp xĩ 8,6 nghìn.
Ví dụ 2.19. Một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào 2 dự án A và B trong hai lĩnh vực độc lập nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm
(tính bằng phần trăm) là các biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất
như sau: Dự án A XA 65 67 68 69 70 71 73 P 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 Dự án B XB 66 68 69 70 71 P 0,12 0,28 0,32 0,20 0,08
Giải. Từ bảng phân phối trên ta tính được:
= 69,16. E(XA2) = 652.0,04+672.0,12+682.0,16+692.0,28+702.0,24+712.0,08+732.0,08 = 4786,2. D(XA) = E(XA2)−EA2(X) = 4786,2−4783,1056 = 3,0944. Tương tự ta có E(XB) = 68,72;D(XB) = 1,8016.
Như vậy phải chọn phương án đầu tư sao cho tỉ lệ thu hồi vốn kỳ vọng cao hơn thì nên chọn dự án A. Tuy nhiên, nếu cần chọn phương án đầu tư độ rủi ro của tỉ lệ thu hồi vốn thấp hơn, tức là khả năng thu hồi vốn ổn định hơn thì chọn dự án B.
Ví dụ 2.20. Theo thống kê việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên một năm có xác suất là 0,992, còn xác suất để người đó chết trong vòng một năm tới là 0,008. Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 1000 đô la, còn tiền đóng
là 10 đô la.
a/ Hỏi lợi nhuận của công ty bảo hiểm nhận được là bao nhiêu?
b/ Đầu tư bảo hiểm như vậy có rủi ro hay không? Vì sao?
Giải. a/ Rõ ràng lợi nhuận là biến ngẫu nhiên X với 2 giá trị là +10 đô la nếu người được bảo hiểm sống và −990 nếu người được bảo hiểm chết. Bảng phân bố xác suất tương ứng là:
X −990 +10 P 0,008 0,992
Do đó kỳ vọng E(X) = (−990).0,008 + 10.0,992 = 2.
Ta thấy lợi nhuận trung bình là một số dương. Vì vậy công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi.
b/Ta có E(X2) = (−990)2.0,008 + 102.0,992 = 7940. Suy ra D(X) =E(X2)−(E(X))2 = 7940−4 = 7936. Nên σ(X) =pD(X) =√
7936 ≈ 89,08.
Điều này chứng tỏ rằng kinh doanh bảo hiểm có lãi nhưng rủi ro khá lớn.
Ví dụ 2.21. Giả sử một cửa hàng sách dự định nhập vào một số cuốn sách niên giám thống kê. Nhu cầu hàng năm về loại sách này được cho
trong bảng phân phối xác suất sau đây:
Nhu cầu j (cuốn) 20 21 22 23 24 25
Xác suất Pj 0,3 0,25 0,18 0,14 0,1 0,03
Cửa hàng này mua vào với giá 7USD/cuốn và bán ra với giá 10USD/cuốn,
song đến cuối năm thì phải bán hạ giá 4USD/cuốn trước khi niên giám
thống kê của năm tới được xuất bản. Cửa hàng muốn xác định số lượng
nhập vào sao cho lợi nhuận kỳ vọng là lớn nhất.
Giải. Gọii là số lượng sách cần nhập vàj là nhu cầu. Hiển nhiên lợi nhuận sẽ phụ thuộc vào số lượng sách nhập và nhu cầu thực tế về loại sách đó. Từ đó có thể xây dựng một bảng liệt kê những kết quả khác nhau thu được từ những chiến lược nhập hành khác nhau. Ta gọi nó là bảng lợi nhuận có điều kiện Gọi R là giá bán một cuốn sách, C là giá mua, V là giá bán cuốn sách cuối năm. Lúc đó lợi nhuận có điều kiện được xác định bằng
biểu thức: Pij = R.j −C.i+V(i−j), j ≤ i R.i−C.i, j > i
Với số liệu đã cho ta có: Pij = 10.j−7.i+ 4(i−j), j ≤ i 10.i−7.i = 3i, j > i Ta có bảng lợi nhuận có điều kiện sau đây:
Nhu Pj 0.3 0.25 0.18 0.14 0.1 0.03 cầu Ij 20 21 22 23 24 25 Lượng 20 60 60 60 60 60 60 hàng 21 57 63 63 63 63 63 nhập 22 54 60 66 66 66 66 23 51 57 63 69 69 69 24 48 54 60 66 72 72 25 45 51 57 63 69 75
Chiến lượt của cửa hàng là phải chọn số lượng sách cần nhập i để cực đại lợi nhuận kì vọng. Với mỗi số lượng nhập i lợi nhuận kì vọng được tính bằng công thức
P Ei = X
j
Pj.Pij
Từ đó ta có các giá trị kỳ vọng lợi nhuận như sau tùy thuộc vào số lượng nhập:
Số lượng nhập i Lợi nhuận kỳ vọng P E(i)
20 60,00 21 61,20 22 60,90 23 59,52 24 57,30 25 54,48
Ví dụ 2.22. Một năm sau bán hàng, một của hàng kinh doanh hoa tươi tại Đà Nẵng nhận thấy số lẵng hoa X bán ra trong ngày theo tỉ lệ xác suất
như sau:
X 9 10 11 12 13 14 15 P 0,05 0,10 0,15 0,25 0,20 0,15 0,10
Một lẵng hoa tươi mua vào 60000 nghìn đồng và bán ra 100000 nghìn
đồng, nếu trong ngày bán không hết số còn lại bị vứt bỏ. Số lẵng hoa mua
vào là bao nhiêu để lợi nhuận trung bình thu được là cao nhất?
Giải. Để thực hiện bài toán trên ta lập bảng sau:
Hàng đầu của bảng ghi số lẵng hoa Y dự định mua vào trong ngày. Cột đầu của bảng ghi số lẵng hoa X có thể bán ra trong ngày. Cột cuối ghi xác suất số lẳng hoa bán được tương ứng.
Ô giao giữa dòng i và cột j là tiền lời (trăm nghìn) thu được khi mua vào j lẵng bán ra i lẵng. Y 9 10 11 12 13 14 15 P