Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ TRANG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT CÙNG PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VƠ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ TRANG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT CÙNG PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VĂN QUẢNG Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu 1 Biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.2 Các biến cố biến ngẫu nhiên độc lập 1.3 Một số bất đẳng thức Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn 10 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi 10 2.2 Một số dạng luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 13 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 LỜI NĨI ĐẦU Luật số lớn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Luật số lớn gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng khác Kolmogorov, Marcinkiewicz, Kai Lai Chung Trước kết luật số lớn phần lớn gắn liền với tính độc lập biến ngẫu nhiên Tuy nhiên tầm quan trọng luật số lớn với khoa học toán thực tế sống, phạm vi nghiên cứu không ngừng mở rộng Trong năm gần xuất nghiên cứu lớp đối tượng biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm bước đầu thu số kết quan trọng Năm 2008 nhà toán học Kruglov thiết lập luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn Câu hỏi đặt ta thay điều kiện độc lập đôi điều kiện phụ thuộc âm đơi kết cịn hay khơng? Chính chúng tơi chọn đề tài: "Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn" Với đề tài thiết lập luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Biến ngẫu nhiên Trong chương hệ thống lại số khái niệm sử dụng như: Định nghĩa biến ngẫu nhiên, biến cố biến ngẫu nhiên độc lập Chương 2: Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vơ hạn Nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương Chương gồm mục, mục 2.1 đưa định nghĩa, tính chất, biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Mục 2.2 đề cập đến số dạng luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học với học trải nghiệm quý báu sống Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo khoa Tốn Đại học Vinh giúp đỡ tác giả q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân tất bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hồn thiện luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo q báu thầy giáo góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, G σ - đại số σ đại số F Khi ánh xạ X: Ω −→ R gọi biến ngẫu nhiên G - đo G / B(R) đo ( tức với B∈ B(R) X −1 (B) ∈G) Nếu biến ngẫu nhiên X nhận hữu hạn giá trị gọi biến ngẫu nhiên đơn giản Biến ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2 Ví dụ A ∈F Đặt: IA (ω) = nếu ω∈ A ω∈ /A IA biến ngẫu nhiên đơn giản Thật vậy, với B ∈ B(R) B  Ø   ¯ A IA−1 (B) = A    Ω ⊂R nếu nếu 0∈ / B, 1∈ /B 0∈ B, 1∈ /B ∈ B, ∈ /B ∈ B, ∈ B Từ IA−1 (B) ∈ F với B ∈ B(R), suy IA biến ngẫu nhiên 1.1.3 Định lý X biến ngẫu nhiên điều kiện sau thỏa mãn: (i)(X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈F với a ∈R (ii)(X≤a) := (ω : X(ω)≤a) ∈F với a ∈ R (iii)(X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với a ∈ R (iiii)(X≥a) := (ω : X(ω)≥a) ∈ F với a ∈ R 1.1.4 Định lý Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P ) f : Rn −→R hàm đo (tức f B (Rn )/ B (R) đo được) Khi Y := f (X1 , X2 , , Xn ) : Ω−→R ω−→f (X1 (ω), X2 (ω), , Xn (ω)) biến ngẫu nhiên 1.1.5 Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P ) f : R−→R hàm liên tục, a∈R đó: a.X, X±Y, X.Y, |X|, f (X), X Y (Y =0), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0) biến ngẫu nhiên 1.1.6 Định lý Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P ) Khi đó, inf Xn , sup Xn hữu hạn, inf Xn , sup Xn , limXn , limXn , lim Xn n n n n n→∞ (nếu tồn tại), biến ngẫu nhiên 1.1.7 Định lý Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản không âm (Xn , n ≥ 1) cho Xn ↑ X ( n −→ ∞) 1.1.8 Định nghĩa (Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên) Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, X: Ω −→ R biến ngẫu nhiên hàm tập: PX : B(R) −→ R B → PX (B) = P (X −1 (B)) gọi phân phối xác suất X 1.1.9 Định nghĩa (Kỳ vọng) Giả sử X: (Ω, F, P ) −→ (R, B(R)), biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy ta có: EX = XdP Ω Nếu tồn E|X|p < ∞(p > 0) ta nói X khả tích bậc p Nếu E|X| < ∞, X gọi biến ngẫu nhiên khả tích n Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản :X = n IAi EX = i=1 P (Ai ) i=1 Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1) n2n Xn = k=1 k k−1 k−1 I( n ≤ X < n ) + nI(X ≥ n) n 2 Khi đó: EX = lim EXn n→∞ Nếu X biến ngẫu nhiên X = X + −X − với X + = max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ Khi đó, EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa) Các tính chất kỳ vọng: Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C Nếu tồn EX với C ∈ R, ta có E(CX) = CEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY   i x i pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 với P (X = xi ) = pi EX =  +∞ −∞ xp(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x) Tổng quát: Nếu f : R → R hàm đo Y = f (X) thì:   i f (xi )pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 với P (X = xi ) = pi EY =  +∞ −∞ f (x)p(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x) 1.1.10 Định nghĩa (Phương sai) Giả sử X biến ngẫu nhiên Khi đó, DX := E(X − EX)2 (nếu tồn ) gọi phương sai X Dó phương sai DX biến ngẫu nhiên X tồn khơng tồn Nếu tồn tính theo cơng thức sau: DX = (xi − EX)2 Pi X rời rạc P (X = xi ) = Pi +∞ −∞ (x − EX) P (x)dx X liên tục có hàm mật độ P(x) Các tính chất phương sai: DX = EX − (EX)2 DX ≥ DX = X = EX = số h.c.c D(CX) = C DX 1.1.11 Định nghĩa (Covariance) Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi đó, Covariance X Y kí hiệu là: Cov(X, Y ) = E[(X − EX).(Y − EY )] Rõ ràng X Y độc lập Cov(X, Y ) = 1.1.12 Định nghĩa (Các dạng hội tụ) Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) hội tụ đến biến ngẫu nhiên X ( n→∞) (1) Hầu chắn P (limn→∞ |Xn − X| = 0) = h.c.c Ký hiệu Xn −−→ X (2) Theo xác suất với ∀ε > thì: lim P (|Xn − X| > ε) = n→∞ p Ký hiệu Xn → − X (3) Đầy đủ với ∀ε > thì: ∞ P (|Xn − X| > ε) < ∞ n=1 c Ký hiệu Xn → − X (4) Theo trung bình cấp p, (p>0), nếu: lim E|Xn − X|p = n→∞ Lp Ký hiệu Xn −→ X (5) Hội tụ yếu (theo phân phối) nếu: lim Fn (x) = F (x) n→∞ ∀x ∈ C(F ) Với Fn (x); F (x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên Xn X; C(F) tập hợp điểm mà F(x ) liên tục D Ký hiệu: Xn − → X 1.2 Các biến cố biến ngẫu nhiên độc lập 1.2.1 Định nghĩa Hai biến cố A B gọi độc lập nếu: P (AB) = P (A)P (B) 12 2.1.5 Bổ đề Cho (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi với n ≥ cho fn : R −→ R hàm số Nếu dãy hàm (fn , n ≥ 1) chứa hàm khơng tăng (hoặc khơng giảm), (fn (Xn ), n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi 2.1.6 Bổ đề Giả sử X1 , , Xn biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi đó: E(Xi , Xj ) ≤ EXi EXj 2.1.7 Bổ đề Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi Khi ta có n n Xk ) ≤ D( k=1 DXk k=1 Chứng minh Thật vậy, n D( n Xk − (E Xk ) = E k=1 n k=1 n Xk ) k=1 (Xk − EXk ) =E k=1 n n n E(Xk − EXk ) + = E(Xk − EXk )E(Xi − EXi ) k=1 i=1 (k=i) n n k=1 n E(Xk − EXk )2 + = k=1 n ≤ Cov(Xk , Xi ) k=1 i=1 (k=i) D(Xk )( Cov(Xk , Xi ) < với i, j = 1, 2, , n) k=1 13 2.2 Một số dạng luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm 2.2.1 Định lý Giả sử (Xn ) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm không phân phối, E(Xn2 ) < ∞ Nếu n k=1 E(|Xk ∞ D(Xn ) < ∞, n=1 n2 (i) supn∈N n1 (ii) − E(Xk )|) < ∞, lim n→∞ n n (Xk − E(Xk )) = h.c.c k=1 Chứng minh Gọi X + = max(X, 0) X − = max(−X, 0) Khi : |X| = X + + X − X = X + − X − Giả sử EXn = với n = 1, Gọi Sn+ = X1+ + + Xn+ Sn− = X1− + + Xn− Ta có sup n∈N n n E(|Xk − E(Xk )|) = sup n∈N n k=1 n E(|Xk |) < ∞ (vì EXn = 0) k=1 Suy tồn số A thỏa mãn : sup n∈N n Do 0≤ n Vì |Xk | = Xk+ + Xk− n E(|Xk |) = A < ∞ với n ∈ N k=1 n E(|Xk |) ≤ A < ∞ với n ∈ N k=1 nên Xk+ ≤ |Xk | suy EXk+ ≤ E|Xk | Suy 0≤ n n EXk+ ≤ A với n ∈ N k=1 Do 0≤ ESn+ ≤ A với n ∈ N n 14 Giả sử α > 1; ε > L = [ Aε ] phần nguyên A ε Với số nguyên m s, m ≥ 0; s = 0, , L Đặt m m+1 t− , t ESt+ ∈ [sε, (s + 1)ε) s = inf t : α ≤ t < α m m+1 t+ , t ESt+ ∈ [sε, (s + 1)ε) s = sup t : α ≤ t < α + m Giả sử t− s (m) = ts (m) = [α ], với n ∈ N Ta có D(Xn ) = EXn2 − (EXn )2 = EXn2 = E(Xn+ − Xn− )2 = E(Xn+ )2 + E(Xn− )2 − 2E(Xn+ ).(EXn− ) Mà D(Xn+ ) = E(Xn+ )2 − (EXn+ )2 ;D(Xn− ) = E(Xn− )2 − (EXn− )2 Suy D(Xn+ ) + D(Xn− ) ≤ D(Xn ) Khi ∞ m=0 t± s (m) ∞ 2E St+±s (m) − ESt+±s (m) = m=0 t± s (m) ∞ ≤ m=0 ∞ = t± s (m) D(Xj+ ) j=1 t± s (m) t± j=1 s (m) D(Xj ) D(Xj ) j=1 m:t± s (m)≥j ∞ ≤ D(Xj ) j=1 α2 ≤ α −1 (m:αm ≥j) ∞ j=1 t± s (m) (αm )2 D(Xj ) j2 < ∞ (theo(ii)) (2.5) Do St+±s (m) − ESt+±s (m) = ± n→∞ t (m) s lim h.c.c (2.6) 15 Với n ∈ N, tồn m = m(n); s = s(n) cho lim m(n) = ∞; ≤ s(n) ≤ L; αm ≤ n < αm+1 ; ESn+ ∈ [sε, (s + 1)ε) n→∞ n Theo định nghĩa t± s (m) ta có + t− s ≤ n ≤ ts , ESt+±s (m) t± s (m) − n1 ESn+ ≤ ε Vì 1 )A + − St+−s (m) − ESt+−s (m) α α ts (m) 1 1 ESt+−s (m) + − St+−s (m) − ESt+−s (m) ≤ −ε − (1 − ) − α ts (m) α ts (m) 1 1 ≤ St+−s (m) − ESn+ ≤ (Sn+ − ESn+ ) ≤ St++s (m) − + ESt++s (m) + ε n n n n ts (m) α ≤ + St++s (m) − ESt++s (m) + (α − 1)A + ε ts (m) (2.7) − ε − (1 − Từ (2.6) suy 1 −ε−(1− )A ≤ limn→∞ (Sn+ −ESn+ ) ≤ limn→∞ (Sn+ −ESn+ ) ≤ (α−1)A+ε α n n Suy với α > 1; ε > lim + (Sn − ESn+ ) = n→∞ n h.c.c lim − (Sn − ESn− ) = n→∞ n h.c.c (Sn − ESn ) = n→∞ n h.c.c Tương tự Nên lim Vậy lim n→∞ n n (Xk − EXk ) = k=1 h.c.c 16 2.2.2 Hệ Giả sử (Xn ) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm không phân phối Nếu E(Xn2 ) < ∞∀n ∈ N (i) supn∈N E(Xn ) < ∞, (ii) ∞ D(Xn ) n=1 n2 < ∞, lim n→∞ n n (Xk − E(Xk )) = h.c.c k=1 Chứng minh Ta có E(|Xk − EXk |) ≤ E(|Xk | + |EXk |) ≤ 2E(|Xk |) ≤ sup(E|Xn |) < ∞ n∈N Do sup n∈N n Mà ∞ D(Xn ) n=1 n2 n E(|Xk − EXk |) ≤ sup(E|Xn |) < ∞ n∈N k=1 < ∞ Vậy theo định lý (2.2.1) suy lim n→∞ n n (Xk − E(Xk )) = h.c.c k=1 2.2.3 Hệ Giả sử (Xn ) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phân phối với E(|X1 |) < ∞ thì: lim n→∞ n n (Xk − E|Xk |) = h.c.c k=1 Chứng minh Ta có sup n∈N n n E(|Xk − EXk |) ≤ sup(E|Xn |) = 2(E|X1 |) < ∞ k=1 n∈N 17 Mặt khác ∞ n=1 ∞ D(Xn ) = n2 n=1 ∞ ≤ n=1 E(Xn )2 − (EX)2 n2 E(Xn )2 < ∞ n2 Vậy theo hệ (2.2.2) suy lim n→∞ n n (Xk − E(Xk )) = h.c.c k=1 2.2.4 Định lý Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, (An ) dãy biến cố Khi đó, (i) Nếu (ii) Nếu ∞ n=1 P (An ) < ∞ P (lim sup An ) = ∞ Aj ) ≤ P (Ak ).P (Aj ) n=1 P (An ) = ∞ P (Ak với k, j mà k = j P (lim sup An ) = Chứng minh (i) Với (An , n ≥ 1) dãy biến cố Nếu Thật ∞ n=1 P (An ) < ∞ vậy, ( ∞ k=n Ak )n≥1 P (lim sup An ) = dãy giảm nên ∞ ∞ ∞ P (lim sup An ) = P ( Ak ) = lim P ( n=1 k=n ∞ ≤ lim n→∞ Do đó: ∞ n=1 P (An ) n→∞ Ak ) k=n ∞ P (An ) < ∞) P (Ak ) = ( n=1 k=n < ∞ P (lim sup An ) = Chứng minh (ii) Ta có N N P (Ak Aj ) = k,j=n N P (Ak Aj ) + k,j=n,k=j P (Ak ) k=n (2.8) 18 Đặt N N P (Ak ) P (Ak Aj ); T2 = T1 = k=n k,j=n,k=j Từ (2.8 ) suy N P (Ak Aj ) = T1 + T2 (2.9) k,j=n Mặt khác N N T1 = P (Ak Aj ) = (P (Ak ))2 − P (Ak ) k,j=n,k=j N k=n (2.10) k=n Từ (2.9) (2.10) suy N N T1 + T2 = − P (Ak ) k=n N (P (Ak )) + k=n Do N k=n N T1 + T2 ≤ P (Ak ) + P (Ak ) k=n P (Ak ) (2.11) k=n T bt ng thc Chung-Erdoăs v (2.11) ta thu được: N k=n P (Ak ) N P Ak ≥ N k=n P (Ak ) k=n N k=n P (Ak ) + Khi N −→ ∞ n cố định 1+ P (Ak ) N k=n ∞ n=1 P (An ) −→ (vì Do = ∞) ∞ 1≤P Ak ≤ k=n Hay ∞ P Ak k=n ≥ = 1, với n ∈ N 1+ N k=n P (Ak ) 19 Suy ∞ P (lim sup An ) = lim n→∞ P Ak = k=n Vậy : P (lim sup An ) = 2.2.5 Định lý Cho (an ) dãy số dương, limn→∞ ( ann ) = ∞ (Xn ) biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với EX1− < ∞, EX1+ = ∞ Khi đó: (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn an (|Xn |) tuân theo luật mạnh số h.c.c n k=1 Xk −−→ (n → ∞), h.c.c lớn a1n nk=1 |Xk | −−→ (n → ∞) Chứng minh Giả sử (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn ta chứng minh (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn Ta có −|Xk | ≤ Xk ≤ |Xk | với k = 1, 2, n Suy − an n |Xk | ≤ an k=1 n Xk ≤ an k=1 n |Xk | k=1 (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn nên lim n→∞ an n |Xk | = h.c.c k=1 Và n lim −( ) |Xk | = n→∞ an k=1 Do lim n→∞ an h.c.c n Xk = k=1 Vậy: (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn h.c.c 20 Giả sử (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn ta chứng minh (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn Vì (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn suy lim n→∞ an n Xk = h.c.c (2.12) Xk− = h.c.c (2.13) k=1 Ta cần chứng minh lim n→∞ an n k=1 (Xn ) dãy biến ngẫu nhiên phân phối suy (Xn+ ), ; (Xn− ) dãy biến ngẫu nhiên phân phối Từ X1− biến phụ thuộc âm nên theo hệ (2.2.3) EX1− = EX2− = = EX1− < ∞ lim n→∞ n n Xk− = EX1− h.c.c (2.14) k=1 Lại có lim n→∞ an n Xk− k=1 n = lim ( n→∞ an n n Xk− ) k=1 n = lim lim n→∞ an n→∞ n =0 n Xk− (2.15) k=1 an = ∞) n→∞ n h.c.c (vì lim Theo (2.12), (2.15) Xk = Xk+ − Xk− Suy lim n→∞ an Lại có lim n→∞ an n n Xk+ = h.c.c (2.16) (Xk+ + Xk− ) (2.17) k=1 |Xk | = lim n→∞ an k=1 n k=1 21 Vậy lim n→∞ an n |Xk | = h.c.c k=1 2.2.6 Định lý Cho (an ) > 0; ( ann ) = , dãy tăng (Xn ) biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với EX1− < ∞; EX1+ = ∞ Khi đó: (i) Nếu (ii) Nếu ∞ n=1 P (Xn ∞ n=1 P (Xn > an ) < ∞ (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn > an ) = ∞ P (lim sup(Xn > an )) = Chứng minh Chứng minh(i) Giả sử ∞ n=1 P (Xn > an ) < ∞, ta chứng minh (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn Vì ∞ n=1 P (Xn > an ) < ∞ nên theo Kruglov [5] suy limn→∞ ( ann ) = ∞ Kết hợp điều kiện EX1− < ∞ theo chứng minh định lý (2.2.5) ta suy n lim n→∞ an Xk− = h.c.c (2.18) k=1 Vậy để chứng minh (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn ta cần chứng minh n lim n→∞ an Xk+ = h.c.c (2.19) k=1 Đặt Yn = + n + an Xn I(Xn ≤ 2an ); Zn = 2nI(Xn+ > 2an ), Wn = Yn + Zn , với I hàm tiêu Kruglov [5] : ∞ k=1 n sup n∈N k=1 D(Yn ) < ∞ n2 E(|Yk − EYk |) < ∞ (2.20) (2.21) 22 Và có E(Yk − EYk ) < ∞ n→∞ n lim Thì lim n→∞ an (2.22) n Xk+ = h.c.c k=1 Đặt fn (t) = n an (tI(t ≤ 2an )) + 2an I(t > 2an ), gn (t) = 2nI(t > 2an ) với fn ; gn hàm tăng Wn = fn (Xn+ ); Zn = gn (Xn+ ) Theo mệnh đề (2.1.3) Wn Zn dãy biến phụ thuộc âm đôi Ta n n (Yk − EYk ) + n k=1 n (Zk − EZk ) = n k=1 n h.c.c (Wk − EWk ) −−→ (2.23) k=1 Như ta cần chứng minh sup n∈N n n E(|Wk − EWk |) ≤ sup n∈N an k=1 + sup n∈N n Và ∞ n=1 n E(|Yk − EYk |) k=1 n (2.24) E(|Zk − EZk |) < ∞ k=1 D(Wn ) < ∞ n2 (2.25) 23 Thật ta có sup n∈N n n E(|Zk − EZk |) ≤ sup n∈N n k=1 = sup n∈N n n EZk k=1 n kP (Xk+ > 2ak ) k=1 n ≤ sup n∈N k=1 ∞ P (Xk+ > 2ak ) (2.26) P (Xk+ > 2ak ) =4 k=1 ∞ ≤4 P (Xk > ak ) < ∞ k=1 Từ (2.21) (2.26) suy (2.24) ∞ D(Wn ) n=1 n2 Chứng minh (2.25) : Vì Yn = n + + an Xn I(Xn < ∞ ≤ 2an ); Zn = 2nI(Xn+ > 2an ) nên Yn Zn = 0, với n ∈ N ta có: D(Wn ) = D(Yn + Zn ) = D(Yn ) + D(Zn ) − 2E(Yn )(Zn ) = D(Yn ) + D(Zn ) ∞ n=1 Mà D(Zn ) ≤ n2 ∞ n=1 Suy ∞ n=1 ∞ E(Zn2 ) =4 P (Xk+ > 2an ) < ∞ n n=1 D(Wn ) ≤ n2 ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ D(Yn ) D(Zn ) + n2 n2 n=1 D(Wn ) < ∞ n2 (2.27) 24 Do dó n n h.c.c (Wk − EWk ) −−→ k=1 Từ (2.26) (2.27) theo định lý (2.2.1) ta được: lim n→∞ n n (Zk − EZk ) = h.c.c (Yk − EYk ) = h.c.c (2.28) k=1 Từ (2.23) và(2.28) ta có lim n→∞ n n k=1 Do theo Kruglov[5]: lim n→∞ an n Xk+ = h.c.c k=1 Vậy: (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn Chứng minh (ii) ∞ n=1 P (Xn Giả sử > an ) = ∞ chứng minh P (lim sup(Xn > an )) = Thật vậy: Vì (Xn ) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi An = (Xn > an ) nên An dãy phụ thuộc âm đôi theo định lý (2.2.4.ii) ta có: Nếu ∞ n=1 P (An ) = ∞ P (lim sup An ) = Do đó: P (lim sup(Xn > an )) = 25 KẾT LUẬN Kết luận Luận văn thu kết sau: 1.1 Trình bày khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên độc lập 1.2 Đồng thời trình bày khái niệm, tính chất biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi 1.3 Trình bày mở rộng bổ đề Borel-Cantelli trường hợp (An , n ≥ 1) dãy phụ thuộc âm đôi 1.4 Thiết lập luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn Hướng phát triển Luận văn Kết nghiên cứu Luận văn nghiên cứu để mở rộng cho mảng hai chiều lớn 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Chung KL (1974), A course in Probability theory, 2nd edn, Academic Press, New York [3] Csorgo S, Tandori K, Totik V (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables.Acta Mathematica Hungarica 42, 319-330 [4] Etemadi N (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers Z Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiet 55, 119-122 [5] Kruglov V M (2008), A strong law of large numbers for pairwise independent identically distributed random variables with infinite mean Statistics Probability letters 78, 890-895 [6] Matula P (1992), A note on the almost sure convergence of negatively dependent variables Statistics Probability letters 15, 209-213 [7] Nattakarn Chaidee, Kritsana Neammanee (2009), On the strong law of large numbers for pairwise negative quadrant dependent tidentically distributed random variables with infinite means Science Asia 35, 290294 ... "Luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn" Với đề tài thiết lập luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn 2... mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi phân phối với kỳ vọng vô hạn 10 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi 10 2.2 Một số dạng luật mạnh số lớn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc. .. 10 CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT CÙNG PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi 2.1.1 Định nghĩa Các đại lượng ngẫu nhiên X1