Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ THANH HÒA LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO HÀM TIỀM NĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ THANH HÒA LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO HÀM TIỀM NĂNG Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 8.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học TS DƯƠNG XUÂN GIÁP Nghệ An - 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - người định hướng, giúp đỡ hướng dẫn tận tình, chu đáo suốt thời gian tác giả thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo Viện Sư phạm tự nhiên, đặc biệt thầy cô môn Xác suất-Thống kê Toán ứng dụng giảng dạy bảo tận tình cho tác giả trình học tập Trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành chương trình học cao học Thạc sĩ Tác giả xin cảm ơn tập thể lớp cao học khóa 25 chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê toán học đồng hành tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận lời góp ý q báu từ thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2019 Tác giả MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Một số ký hiệu thường dùng luận văn Mở đầu Một số kiến thức xác suất không cộng tính 1.1 Hàm tiềm 1.2 Biến ngẫu nhiên không gian với hàm tiềm 12 1.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm 13 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm 17 2.1 Một số khái niệm tính chất xác suất đa trị 17 2.2 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm Tài liệu tham khảo 20 26 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN tập hợp số nguyên dương tập hợp số thực σ -đại số tập Borel R họ tất tập compact khác rỗng R không gian Polish (không gian metric đầy đủ, khả ly) ứng với metric d B(Ω) σ -đại số tập Borel Ω KΩ họ tất tập compact khác rỗng Ω GΩ họ tất tập mở Ω dH (A, B) khoảng cách Hausdorff tập A, B B(KΩ ) σ -đại số tập Borel không gian metric (KΩ , dH ) (I, C, λ) không gian xác suất Eν (X) kỳ vọng biến ngẫu nhiên X : Ω → R ứng với hàm tiềm ν h.c.c hầu chắn tr i trang thứ i tài liệu trích dẫn ✷ kết thúc chứng minh N R B(R) KR Ω MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ta bắt gặp thực tiễn không gian đo với độ đo khơng có tính cộng tính (xem tài liệu [6], [8], [13]) Từ đó, khái niệm không gian đo với hàm tiềm (capacity) giới thiệu nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Một hướng nghiên cứu lớp không gian định lý giới hạn ứng dụng chúng Năm 1999, M Marinacci [11] thiết lập luật số lớn cho hàm tiềm (capacity) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối mơ hình hóa cho lý thuyết định kinh tế (bài báo đăng tạp chí Journal of Economic Theory) Sau đó, năm 2005, F Maccheroni M Marinacci [10] mở rộng kết cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối số giả thiết khác hàm tiềm (bài báo đăng tạp chí The Annals of Probability) Đến năm 2014, P Terán [18] thiết lập luật số lớn cho hàm tiềm dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi phân phối với số giả thiết yếu (bài báo đăng tạp chí Transactions of the American Mathematical Society) Dưới tên gọi khác nhau, hàm tiềm nghiên cứu rộng rãi toán học túy ứng dụng Chúng ta biết rằng, luật số lớn định lý giới hạn quan trọng lý thuyết xác suất Luật số lớn rằng, kích thước mẫu lớn trung bình biến ngẫu nhiên gần với giá trị kỳ vọng Vậy, luật số lớn phát biểu cho hàm tiềm nào? Theo hướng nghiên cứu này, để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu xác suất khơng cộng tính, sở báo “A strong law of large numbers for capacities” tác giả F Maccheroni M Marinacci đăng tạp chí The Annals of Probability năm 2005, lựa chọn đề tài: “Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng” Mục đích nghiên cứu Nắm số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất khơng cộng tính Nắm luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn thực nhiệm vụ sau đây: - Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến khái niệm hàm tiềm năng, biến ngẫu nhiên xác định không gian với hàm tiềm tính chất chúng - Phát biểu chứng minh luật mạnh số lớn cho hàm tiềm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hàm tiềm năng, biến ngẫu nhiên xác định không gian với hàm tiềm Phạm vi nghiên cứu tính chất biến ngẫu nhiên kỳ vọng biến ngẫu nhiên xác định không gian với hàm tiềm năng; luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian với hàm tiềm Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phối hợp phương pháp nghiên cứu lý thuyết thuộc chuyên ngành lý thuyết xác suất giải tích Những đóng góp đề tài Trình bày chứng minh chi tiết tính chất kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Trình bày chứng minh chi tiết luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Cấu trúc luận văn Ngoài phần Lời cảm ơn, Mục lục, Một số ký hiệu thường dùng luận văn, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Một số kiến thức xác suất khơng cộng tính Trong chương này, giới thiệu số kiến thức làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Chúng chia chương thành mục sau: 1.1 Hàm tiềm 1.2 Biến ngẫu nhiên không gian với hàm tiềm 1.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Chương Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm Chương nội dung luận văn Trong chương này, nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên với hàm tiềm Cụ thể, chia chương thành mục sau: 2.1 Một số khái niệm tính chất xác suất đa trị 2.2 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT KHƠNG CỘNG TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm hàm tiềm năng; biến ngẫu nhiên, kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm tính chất chúng Trong tồn luận văn, khơng nói thêm chúng tơi ln giả sử Ω không gian Polish ứng với metric d (không gian metric đầy đủ, khả ly) B(Ω) σ -đại số Borel nó; ký hiệu R (tương ứng, N) tập tất số thực (tương ứng, tập tất số nguyên dương) 1.1 Hàm tiềm 1.1.1 Định nghĩa Một hàm tập ν : B(Ω) → [0, 1] gọi hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu (totally monotone capacity) thỏa mãn điều kiện sau: (1) ν(∅) = ν(Ω) = 1; (2) ν(A) ≤ ν(B) với tập Borel A ⊂ B ; (3) ν(Bn ) ↓ ν(B) với dãy tập Borel Bn ↓ B ; (4) ν(Gn ) ↑ ν(G) với dãy tập mở Gn ↑ G; (5) ν(∪nj=1 Bj ) ≥ |J|+1 ν(∩j∈J Bj ) ∅=J⊆{1,2, ,n} (−1) với họ B1 , , Bn tập Borel Một hàm tập ν : B(Ω) → [0, 1] gọi liên tục thỏa mãn điều kiện: (6) ν(Bn ) ↑ ν(Ω) với dãy tập Borel Bn ↑ Ω 10 1.1.2 Nhận xét Một hàm tập liên tục ν : B(Ω) → [0, 1] hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu thỏa mãn điều kiện (1), (2) (5) (Chi tiết xem tài liệu [16]) 1.1.3 Ví dụ (1) Độ đo xác suất thơng thường hàm tiềm hồn tồn đơn điệu (2) Cho M tập đóng khác rỗng Ω Ta định nghĩa hàm ν : B(Ω) → [0, 1] sau ν(A) = M ⊆ A, M A với A ∈ B(Ω) Khi đó, ν hàm tiềm hồn tồn đơn điệu, độ đo xác suất Thật vậy, xét điều kiện (1), M ∅ M ⊆ Ω nên ν(∅) = ν(Ω) = Từ ta suy điều kiện (1) Định nghĩa 1.1.1 Xét điều kiện (2), với tập Borel A ⊆ B , M ⊆ A M ⊆ B ν(A) = ν(B) = 1; cịn M A ν(A) = Từ đó, ta ln có ν(A) ≤ ν(B) Điều kiện (2) Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn Xét điều kiện (3), với dãy tập Borel Bn ↓ B , theo điều kiện (2) ta có ν(Bn ) ↓ Lưu ý ∞ B= Bn n=1 Nếu M ⊆ B rõ ràng M ⊆ Bn với n ν(Bn ) = ν(B) = với n Nếu M B phương pháp phản chứng ta suy M Bn với n đủ lớn ν(Bn ) = ν(B) = với n đủ lớn Tóm lại, điều kiện (3) thỏa mãn Xét điều kiện (4), tương tự xét điều kiện (3), với dãy tập mở Gn ↑ G, theo điều kiện (2) ta có ν(Gn ) ↑ Lưu ý ∞ G= Gn n=1 13 Các khái niệm độc lập đôi phân phối dãy biến ngẫu nhiên (ứng với hàm tiềm ν ) trình bày sau tham khảo tài liệu [10] 1.2.2 Định nghĩa (xem [10, tr 1172]) Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu B(Ω) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn : n ≥ 1} gọi độc lập đôi (ứng với ν ) với n1 , n2 ∈ N tập mở G1 , G2 R, ta có ν(Xn1 ∈ G1 , Xn2 ∈ G2 ) = ν(Xn1 ∈ G1 ).ν(Xn2 ∈ G2 ) 1.2.3 Định nghĩa (xem [10, tr 1172]) Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu B(Ω) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn : n ≥ 1} gọi phân phối (ứng với ν ) với m, n ∈ N tập mở G R ta có ν(Xm ∈ G) = ν(Xn ∈ G) 1.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Sau đây, kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm định nghĩa thông qua tích phân Choquet 1.3.1 Định nghĩa (xem [10]) Giả sử ν hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu B(Ω) X : Ω → R biến ngẫu nhiên bị chặn Khi đó, kỳ vọng biến ngẫu nhiên X , ký hiệu Eν (X), xác định +∞ Eν (X) := [ν(X > t) − 1]dt ν(X > t)dt + −∞ tích phân vế phải tích phân Riemann chúng hồn tồn xác định ν(X > t) hàm đơn điệu không tăng theo biến t 1.3.2 Tính chất Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên, C số α số thực dương Khi 14 (1) Eν (C) = C ; (2) Eν (X + C) = Eν (X) + C ; (3) Eν (αX) = αEν (X); (4) Eν (X) ≤ −Eν (−X); (5) Nếu X ≤ Y Eν (X) ≤ Eν (Y ) Chứng minh (1) Ta có: +∞ Eν (C) = [ν(C > t) − 1]dt ν(C > t)dt + −∞ Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: C ≥ 0: +∞ Eν (C) = [1 − 1]dt ν(C > t)dt + −∞ +∞ = ν(C > t)dt C +∞ = ν(C > t)dt + ν(C > t)dt C +∞ C 0dt 1dt + = C = C Trường hợp 2: C < 0: +∞ Eν (C) = [ν(C > t) − 1]dt 0dt + −∞ [ν(C > t) − 1]dt = −∞ C [ν(C > t) − 1]dt + = −∞ C [1 − 1]dt + = −∞ = C [0 − 1]dt C =− [ν(C > t) − 1]dt C dt C (2) Ta có: +∞ Eν (X + C) = [ν(X + C > t) − 1]dt ν(X + C > t)dt + −∞ 15 +∞ ν(X > t − C)dt + = [ν(X > t − C) − 1]dt −∞ Áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt t − C = u, ta được: −C +∞ Eν (X + C) = [ν(X > u) − 1]du ν(X > u)du + −C −∞ +∞ = ν(X > u)du + ν(X > u)du −C 0 −C [ν(X > u) − 1]du + + −∞ +∞ = [ν(X > u) − 1]du 0 [ν(X > u) − 1]du ν(X > u)du + −∞ −C 0 + −C ν(X > u)du − ν(X > u)du + −C du = Eν (X) + C (3) Ta có: +∞ Eν (αX) = [ν(αX > t) − 1]dt ν(αX > t)dt + +∞ = ν(X > t )dt + α −∞ [ν(X > −∞ Áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt được: +∞ Eν (αX) = α t = u ⇒ t = αu ; dt = αdu ta α [ν(X > u) − 1]du ν(X > u)du + α t ) − 1]dt α −∞ +∞ [ν(X > u) − 1]du ν(X > u)du + =α −∞ = αEν (X) (4) Điều phải chứng minh Eν (X) ≤ −Eν (−X) tương đương với Eν (−X) ≤ −Eν (X) Từ Tính chất 1.1.4 ta suy +∞ Eν (−X) = [ν(−X > t) − 1]dt ν(−X > t)dt + −∞ +∞ ν(X < −t)dt + = +∞ ≤ [ν(X < −t) − 1]dt −∞ (1 − ν(X ≥ −t))dt + [−ν(X ≥ −t)]dt −∞ 16 Tiếp tục, áp dụng phương pháp đổi biến số, đặt −t = u; dt = −du ta được: Eν (−X) ≤ − +∞ −(1 − ν(X ≥ u))du − −∞ +∞ ≤− ν(X ≥ u)du 0 ν(X ≥ u)du+ [ν(X ≥ u)−1]du = −Eν (X) −∞ Vậy: Eν (X) ≤ −Eν (−X) (5) Vì X ≤ Y nên (X > t) ⊂ (Y > t) Theo Định nghĩa 1.1.1(2), ta suy ν(X > t) ≤ ν(Y > t) Từ đó, +∞ [ν(X > t) − 1]dt ν(X > t)dt + −∞ +∞ ≤ [ν(Y > t) − 1]dt ν(Y > t)dt + −∞ hay Eν (X) ≤ Eν (Y ) 1.3.3 Chú ý Theo [10, tr 1173], dấu ý (4) Tính chất 1.3.2 xảy với biến ngẫu nhiên X , nghĩa Eν (X) = −Eν (−X) với biến ngẫu nhiên X , ν có tính cộng tính 17 CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO HÀM TIỀM NĂNG 2.1 Một số khái niệm tính chất xác suất đa trị Các khái niệm tính chất mục tham khảo tài liệu [10] Trong suốt phần trở sau, ta giả sử (I, C, λ) khơng gian xác suất đầy đủ khơng có nguyên tử Ký hiệu KΩ (tương ứng, GΩ ) họ tất tập compact khác rỗng (tương ứng, tập mở) Ω Ký hiệu KR họ tất tập compact khác rỗng R 2.1.1 Mệnh đề (xem [10, tr 1174]) KΩ không gian metric đầy đủ, khả ly ứng với khoảng cách Hausdorff dH (A, B) := max{max d(a, b), max d(b, a)} a∈A b∈B b∈B a∈A Hơn nữa, σ -đại số Borel không gian metric (KΩ , dH ), ký hiệu B(KΩ ), sinh lớp {K ∈ KΩ : K ⊆ G}G∈GΩ Cho ánh xạ đa trị F : I → KΩ Với A ⊂ Ω, ký hiệu F−1 (A) := {s ∈ I : F (s) ⊂ A} 2.1.2 Định nghĩa (xem [10, tr 1174]) Ánh xạ đa trị F : I → KΩ gọi đo F−1 (G) ∈ C với G ∈ GΩ Một ánh xạ đa trị đo được gọi biến ngẫu nhiên đa trị 18 Tiếp theo, ta có mệnh đề sau điều kiện tương đương để ánh xạ đa trị biến ngẫu nhiên đa trị 2.1.3 Mệnh đề (xem [10, tr 1174] xem [9]) Cho ánh xạ đa trị F : I → KΩ Khi đó, phát biểu sau tương đương (i) F đo được; (ii) F−1 (B) ∈ C với B ∈ B(Ω); (iii) F −1 (B) ∈ C với B ∈ B(KΩ ) Với biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ , σ -đại số sinh F , ký hiệu σ(F ), xác định σ(F ) := {F −1 (D) : D ∈ B(KΩ )} Để chứng minh luật mạnh số lớn, cần bổ đề sau 2.1.4 Bổ đề (xem [10, Bổ đề 2]) Giả sử F : I → KΩ biến ngẫu nhiên đa trị Khi đó, σ(F ) = σ {F−1 (G) : G ∈ GΩ } {F−1 (G) : G ∈ GΩ } π -lớp chứa I 2.1.5 Định nghĩa (xem [10, tr 1175]) Giả sử F : I → KΩ biến ngẫu nhiên đa trị Phân phối νF : B(Ω) → [0, 1] xác định νF (B) = λ(F−1 (B)) với B ∈ B(Ω) Sau mối liên hệ hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu phân phối Kết dùng chứng minh luật mạnh số lớn 2.1.6 Bổ đề (xem [10, Bổ đề 3] xem [3, 4, 13, 14]) Hàm ν : B(Ω) → [0; 1] hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu tồn biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ cho ν = νF 19 2.1.7 Định nghĩa Hàm đo f : I → Ω gọi hàm chọn biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ f (s) ∈ F (s) h.c.c Tập tất hàm chọn khả tích F ký hiệu SF1 2.1.8 Định nghĩa (xem [2]) Giả sử F : I → KR biến ngẫu nhiên đa trị Kỳ vọng F , ký hiệu EF , tích phân Aumann ứng với λ, xác định EF = {Ef : f ∈ SF1 } 2.1.9 Nhận xét (1) Nếu X : Ω → R hàm liên tục biến ngẫu nhiên đơn giản F : I → KΩ ánh xạ đa trị, phép tương ứng (X ◦ F )(s) := X(F (s)) ánh xạ đa trị nhận giá trị compact, nghĩa X(F (s)) ∈ KR với s ∈ I (2) Từ tính đo X , F (X ◦ F )−1 (A) = F−1 (X −1 (A)) với A ⊂ R, ta suy X ◦ F đo Sau hệ [3, Định lý 4.1] 2.1.10 Bổ đề (xem [10, Bổ đề 4]) Giả sử F : I → KΩ biến ngẫu nhiên đa trị X : Ω → R biến ngẫu nhiên bị chặn liên tục (hoặc biến ngẫu nhiên đơn giản) Khi đó: E(X ◦ F ) = (X ◦ F )dλ = [EνF (X), −EνF (−X)] X ◦ F biến ngẫu nhiên đa trị xác định không gian xác suất (I, C, λ) Tiếp theo kết quan trọng để chứng minh kết 2.1.11 Bổ đề (xem [10, tr 1177]) Giả sử {Kn : n ≥ 1} dãy nhận giá trị KR thỏa mãn Kn → [α, β] theo khoảng cách Hausdorff Khi đó, α ≤ lim inf kn ≤ lim sup kn ≤ β n n 20 với dãy {kn : n ≥ 1} ⊂ R cho kn ∈ Kn với n ≥ Chứng minh Theo định nghĩa khoảng cách Hausdorff, Kn hội tụ tới [α, β] max{ max |tn − r|, max |r − tn |} → tn ∈Kn r∈[α,β] r∈[α,β] tn ∈Kn Đặc biệt, max |tn − r| → tn ∈Kn r∈[α,β] (2.1.1) Giả sử {knj : j ≥ 1} dãy dãy {kn : n ≥ 1} cho knj → ∈ [−∞, ∞] Nếu ∈ / [α, β] tồn ε > cho |knj − r| > ε với r ∈ [α, β], kể từ số hạng trở Từ đó, có |knj − r| > ε r∈[α,β] kể từ số hạng trở Điều mâu thuẫn với (2.1.1) 2.2 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm 2.2.1 Định lý Giả sử ν : B(Ω) → [0, 1] hàm tiềm hoàn toàn đơn điệu giả sử {Xn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên bị chặn, độc n Xj Khi đó: lập đơi phân phối Đặt Sn = n j=1 ν ({ω ∈ Ω : Eν (X1 ) ≤ lim inf Sn (ω) ≤ lim sup Sn (ω) ≤ −Eν (−X1 )}) = hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) biến ngẫu nhiên {Xn } liên tục hàm đơn giản, (ii) ν liên tục 21 Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh định lý điều kiện (i) thỏa mãn Theo Bổ đề 2.1.6, tồn biến ngẫu nhiên đa trị F : I → KΩ cho ν = νF Tiếp theo, xét dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Xn ◦ F : n ≥ 1} xác định không gian xác suất (I, C, λ) Trước tiên, ta chứng minh biến ngẫu nhiên Xn ◦ F : I → KR độc lập đôi phân phối Với m, n ≥ Gn , Gm ∈ GR ta có: λ ((Xn ◦ F )−1 (Gn ) ∩ (Xm ◦ F )−1 (Gm )) −1 = λ F−1 (Xn−1 (Gn )) ∩ F−1 (Xm (Gm )) −1 = λ F−1 (Xn−1 (Gn ) ∩ (Xm (Gm )) −1 = ν Xn−1 (Gn ) ∩ (Xm (Gm ) −1 = ν Xn−1 (Gn )).ν(Xm (Gm ) −1 = λ F−1 (Xn−1 (Gn )).λ(F−1 (Xm (Gm )) = λ (Xn ◦ F )−1 (Gn )).λ((Xm ◦ F )−1 (Gm )) Kết hợp điều với {(Xj ◦ F )−1 (G)}G∈GR , j = m, n, π -lớp chứa I sinh σ -đại số σ(Xj ◦ F ), nên ta suy dãy {Xn ◦ F : n ≥ 1} độc lập đôi Hơn nữa, với m, n ≥ tập mở G ∈ GR , ta có λ (Xn ◦ F )−1 ({K ∈ KR : K ⊂ G}) = λ ({Xn ◦ F ∈ {K ∈ KR : K ⊂ G}}) = λ ((Xn ◦ F )−1 (G)) = λ F−1 (Xn−1 (G)) = ν Xn−1 (G) −1 = ν Xm (G) = λ (Xm ◦ F )−1 ({K ∈ KR : K ⊂ G}) Điều với {K ∈ KR : K ⊂ G}G∈GR π -lớp chứa KR sinh 22 B(KR ), nên ta suy dãy {Xn ◦ F : n ≥ 1} phân phối Mặt khác, với n ≥ h ∈ SX , ta có E(h) = n ◦F hdλ hữu hạn (do h bị chặn) Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10, ta suy E(Xn ◦ F ) = (Xn ◦ F )dλ ∈ KR Tóm lại, {Xn ◦ F : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập, phân phối thỏa mãn E(Xn ◦ F ) ∈ KR với n ≥ Áp dụng kết C Hess [7] (xem thêm [5] [15]) tổng quát kết Z Artstein R A Vitale [1], ta thu luật mạnh số lớn n n d H Xj ◦ F → E(X1 ◦ F ) h.c.c j=1    ⇔λ s∈I:  n n j=1   dH Xj (F (s)) → E(X1 ◦ F )  =  Theo Bổ đề 2.1.10, ta có E(X1 ◦ F ) = [Eν (X1 ), −Eν (−X1 )] Đặt an (ω) = n Xj (ω) đặt n j=1   S1 := s ∈ I :  n n j=1   dH Xj (F (s)) → [Eν (X1 ), −Eν (−X1 )]  S2 := {s ∈ I : Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω) ≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 ), ∀ω ∈ F (s)} Ω2 := {ω ∈ Ω : Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω) ≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 )} Ta cần chứng minh ν(Ω2 ) = Ta có ν(Ω2 ) = λ({s ∈ I : F (s) ⊂ Ω2 }) = λ(S2 ) Từ ta cần chứng minh λ(S2 ) = 23 Tiếp theo, ta chứng minh S1 ⊂ S2 Ta có: s ∈ S1 n n d H Xj (F (s)) → [Eν (X1 ), −Eν (−X1 )] j=1 Từ đó, với ω ∈ F (s), an (ω) = n n Xj (ω) ∈ n j=1 n Xj (F (s)) j=1 Do đó, theo Bổ đề 2.1.11, ta thu Eν (X1 ) ≤ lim inf an (ω) ≤ lim sup an (ω) ≤ −Eν (−X1 ) Từ đó, S1 ⊂ S2 ν(Ω2 ) = λ(S2 ) ≥ λ(S1 ) = Ta thu điều phải chứng minh cho trường hợp điều kiện (i) thỏa mãn Bước tiếp theo, ta chứng minh định lý cho trường hợp điều kiện (ii) thỏa mãn Với tôpô Polish Ω, ký hiệu τ , tồn tôpô Polish τ ∗ ⊃ τ Ω cho σ(τ ∗ ) = B(Ω) thỏa mãn biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ liên tục theo τ ∗ (xem [17]) Từ ν liên tục, ta suy ν hàm tiềm hồn tồn đơn điệu ứng với tơpơ τ ∗ Điều với kết luận định lý điều kiện (i) thỏa mãn, ta thu điều phải chứng minh cho trường hợp điều kiện (ii) thỏa mãn 2.2.2 Chú ý (1) Với giả thiết Định lý 2.2.1, cịn có ν ω ∈ Ω : lim inf Sn (ω) < Eν (X1 ) =0 ν ω ∈ Ω : lim sup Sn (ω) > −Eν (−X1 ) (2) Khi ν độ đo xác suất (ν có tính cộng tính) Eν (X1 ) = −Eν (−X1 ) = 24 nên từ Định lý 2.2.1 ta suy luật mạnh số lớn Kolmogorov ν ω ∈ Ω : lim Sn (ω) = Eν (X1 ) = (3) Trong [11], tác giả số trường hợp ν khơng có tính cộng tính ν ω ∈ Ω : lim inf Sn (ω) < lim sup Sn (ω) = 25 KẾT LUẬN I Kết đạt Luận văn thu số kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm tính chất lý thuyết xác suất khơng cộng tính hàm tiềm năng; biến ngẫu nhiên kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm 2) Trình bày chứng minh chi tiết tính chất liên quan lý thuyết xác suất khơng cộng tính 3) Trình bày chứng minh chi tiết luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên cho hàm tiềm Đây kết công bố báo F Maccheroni M Marinacci [10] đăng tạp chí The Annals of Probability II Hướng phát triển luận văn - Tiếp tục nghiên cứu luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm cho giả thiết phụ thuộc khác - Tiếp tục nghiên cứu luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm cho cấu trúc nhiều số 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Z Artstein and R A Vitale (1975), A strong law of large numbers for random compact sets, Annals of Probability, 3, 879-882 [2] R J Aumann (1965), Integrals of set-valued function, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 12, 1-12 [3] A Castaldo, F Maccheroni and M Marinacci (2004), Random correspondences as bundles of random variables, Sankhya ¯, 66, 409-427 [4] G Choquet (1954), Theory of capacities, Annales de l’institut Fourier (Grenoble), 5, 131-292 [5] A Colubi, M López-Díaz, J S Domínguez-Menchero, and M A GIL (1999), A generalized strong law of large numbers, Probability Theory and Related Fields, 114, 401-417 [6] A Dempster (1967), Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping, The Annals of Mathematical Statistics, 38, 325-339 [7] C Hess (1984), Quelques théorèmes limites pour des ensembles aléatoires bornés ou non, In Séminaire d’Analyse Convexe 14, Univ Sciences et Techniques de Langvedoc, Montpelier [8] P J Huber and V Strassen (1973), Minimax tests and the NeymanPearson lemma for capacities, The Annals of Statistics, 1, 251-263 [9] E Klein and A C Thompson (1984), Theory of Correspondences, Wiley, New York 27 [10] F Maccheroni and M Marinacci (2005), A strong law of large numbers for capacities, The Annals of Probability, Vol 33, No 3, 1171-1178 [11] M Marinacci (1999), Limit laws for non-additive probabilities and their frequentist interpretation, Journal of Economic Theory, Vol 84, 145-195 [12] I Molchanov (2005), Theory of random sets, Probability and its Applications (New York), Springer-Verlag London Ltd., London [13] H T Nguyen (1978), On random sets and belief functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 65, 531-542 [14] F Philippe, G Debs and J -Y Jaffray (1999), Decision making with monotone lower probabilities of infinite order, Mathematics of Operations Research, 24, 767-784 [15] F N Proske and M L Puri (2003), A strong law of large numbers for generalized random sets from the viewpoint of empirical processes, Proceedings of the American Mathematical Society, 131, 2937-2944 [16] D Schmeidler (1972), Cores of exact games, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 40, 214-225 [17] S M Srivastava (1998), A Course on Borel Sets, Springer, New York [18] P Ter´an (2014), Laws of large numbers without additivity, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 366, No 10, 54315451 ... với hàm tiềm 13 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm 17 2.1 Một số khái niệm tính chất xác suất đa trị 17 2.2 Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm Tài liệu tham khảo 20 26 MỘT SỐ... đề tài: ? ?Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm năng? ?? Mục đích nghiên cứu Nắm số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất khơng cộng tính Nắm luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Nhiệm... gian với hàm tiềm 1.3 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên ứng với hàm tiềm Chương Luật mạnh số lớn cho hàm tiềm Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu luật mạnh số lớn cho dãy biến