Luật mạnh số lớn cantrell roralsky đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Phần tử ngẫu nhiên 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 Định lí 1.1.6 Định lí 1.1.7 Định lí 1.1.8 Định lí 1.1.9 Hệ 1.1.10 Định lí 1.1.11 Hệ 1.1.12 Định nghĩa 1.1.13 Định lí 1.1.14 Định lí 10 Các dạng hội tụ phần tử ngẫu nhiên 10 1.2.1 10 Định nghĩa 1.3 1.4 1.2.2 Các ví dụ 11 1.2.3 Định lí 11 1.2.4 Định lí 11 1.2.5 Định nghĩa 12 1.2.6 Định lí 12 1.2.7 Định lí 12 1.2.8 Định lí 12 1.2.9 Định lí 12 1.2.10 Định lí 12 Các đặc trưng phần tử ngẫu nhiên 13 1.3.1 Kỳ vọng 13 1.3.2 Phương sai 14 Một số bất đẳng thức 14 1.4.1 Bất đẳng thức Cr 14 1.4.2 Bất đẳng thức Jensen 15 1.4.3 Bất đẳng thức Markov 16 Chương Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky dãy phần tử ngẫu nhiên 2.1 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập 17 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Định lí (Luật yếu số lớn) 17 2.1.3 Bổ đề 17 2.1.4 Định lí 18 2.1.5 Bổ đề (Kronecher) 20 2.2 2.3 Luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên 22 2.2.1 Định lí 22 2.2.2 Hệ 23 2.2.3 Hệ 25 2.2.4 Hệ 26 2.2.5 Hệ 27 Luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập 28 2.3.1 Định nghĩa 28 2.3.2 Mệnh đề 28 2.3.3 Định lí 29 2.3.4 Định lí 31 2.3.5 Hệ 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê bắt nguồn từ xem xét trò chơi may rủi mà trờ thành ngành toán học quan trọng, có sở lý thuyết chặt chẽ, có phạm vi nghiên cứu rộng, có nhiều ứng dụng sâu sắc lĩnh vực khác đời sống người Khi nghiên cứu xác suất thống kê không nghiên cứu "luật mạnh số lớn", có nhiều nhà tốn học nghiên cứu đề tài thu nhiều kết sâu sắc Trong luận văn làm rõ thêm số vấn đề Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky dãy phẩn tử ngẫu nhiên Để hoàn thành luận văn xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, dẫn nhiệt tình, sâu sát PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, cảm ơn giúp đỡ tập thể lớp cao học 16 chuyên ngành Xác suất thống kê Toán Vinh, ngày 05 tháng 12 năm 2010 Tác giả Vũ Trọng Quang Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, E không gian Banach khả li, G σ -đại số F , B(E) σ -đại số Borel 1.1 1.1.1 Phần tử ngẫu nhiên Định nghĩa Ánh xạ X : Ω −→ E gọi phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị E X G/B(E) đo được, tức với B ∈ B(E) X −1 (B) ∈ G Phần tử ngẫu nhiên F -đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, X phần tử ngẫu nhiên 1.1.2 Ví dụ Xét ánh xạ X : Ω −→ E xác định X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω Khi X phần tử ngẫu nhiên G - đo được, với G = ∅, Ω Thật vậy, X −1 (B) = ∅ Ω ∈ /B ∈ B nên X −1 (B) ∈ G với B ∈ B(E) 1.1.3 Định nghĩa Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ E gọi phẩn tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm 1.1.4 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi hội tụ đến ánh xạ X : Ω −→ E Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn), với ω ∈ Ω Kí hiệu Xn → X Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xn ) gọi hội tụ hầu chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω −→ E tồn tập N ∈ F cho P(N ) = 0, Xn (ω) → X(ω) h.c.c (theo chuẩn), với ω ∈ Ω N Kí hiệu Xn −−→ X 1.1.5 Định lí h.c.c Nếu (Xn ) dãy phần tử ngẫu nhiên Xn −−→ X X phần tử ngẫu nhiên Đặc biệt, (Xn ) dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo Xn → X X phần tử ngẫu nhiên G -đo 1.1.6 Định lí Ánh xạ X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo (tức tồn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (Xn ) G -đo cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0) n→∞ ω∈Ω 1.1.7 Định lí Ánh xạ X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn (theo chuẩn) dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) G -đo Xn (ω) X(ω) với n với ω ∈ Ω (Tức tồn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản (Xn ) G -đo thỏa mãn lim Xn (ω) X(ω) = n→∞ Xn (ω) X(ω) với n với ω ∈ Ω ) Chứng minh Điều kiện đủ : Định lí 1.1.5 Điều kiện cần: Giả sử X phần tử ngẫu nhiên Do E khả li nên tồn (yn ) trù mật E, y0 = Với n = 1, 2, xác định fn : E −→ {y0 , , yn }, ∀x ∈ E, fn (x) = yl , yl ∈ {y0 , , yn } thỏa mãn x − yl < x − ym ; m < l x − yl m x − ym ; l n Khi với n, fn ánh xạ B(E)/B(E) đo Thật vậy, fn−1 (yl ) = {x ∈ E : x − yl x − yl x − ym ; x − ym ; l m n} l−1 n {x : x − yl = m < l, x − ym } m=0 {x : x − yl x − ym } m=l ánh xạ f1 : x −→ x − a f2 : x −→ x liên tục nên ánh xạ f : x −→ x − a liên tục Tương tự, g : x −→ x − b liên tục Do f(a,b) (x) = x − a − x − b liên tục fn−1 (yl ) = l−1 m=0 −1 f(y [(−∞; 0)] l ,ym ) Vậy với B ∈ B(E) ta n −1 f(y [(−∞; 0)] ∈ B(E) với l l ,ym ) m=l có fn−1 (B) fn−1 (yl ) ∈ B(E) Suy = {l:yl ∈B} fn : E −→ E B(E)/B(E) đo Hơn xn − fn (x) = m n Do fn (x) ym − x y0 − x = x x Đặt Xn = fn ◦ X Khi |Xn (Ω)| = |fn [Xn (Ω)]| |fn (E)| < ∞ Tức Xn nhận hữu hạn giá trị Với B ∈ B(E) Xn−1 (B) = (fn ◦ X)−1 (B) = X −1 [fn−1 (B)] = X −1 (B ) ∈ G(B ∈ B(E)) X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, nên Xn phần tử ngẫu nhiên G -đo Vậy Xn phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo Xn (ω) = fn [Xn (ω)] X(ω) với n ω ∈ Ω Cuối ta có Xn (ω) − X(ω) = fn [Xn (ω)] − X(ω) = fn (x) − x = m n ym − x −→ n → ∞ Vậy lim Xn (ω) = X(ω), ∀ω ∈ Ω n→∞ Vậy X giới hạn theo chuẩn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (Xn ) Định lí chứng minh 1.1.8 Định lí Giả sử E1 , E2 khơng gian Banach T : E1 −→ E2 ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo X : Ω −→ E1 phần tử ngẫu nhiên G -đo được, ánh xạ T (X) : Ω −→ E2 phần tử ngẫu nhiên G -đo Chứng minh Với B2 ∈ B(E2 ) ta có T −1 (B2 ) = B1 ∈ B(E1 ) Suy (T X)−1 (B2 ) = X −1 (T −1 (B2 )) = X −1 (B1 ) ∈ G Vậy ánh xạ T (X) : Ω −→ E2 phần tử ngẫu nhiên G -đo Định lí chứng minh 1.1.9 Hệ Giả sử ánh xạ X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên G -đo Khi đó, ánh xạ X : Ω −→ R đại lượng ngẫu nhiên G -đo Chứng minh Ta có X X = · ◦X :Ω − → E −→ R liên tục nên X đo Áp dụng định lí 1.1.8 ta có điều phải chứng minh 1.1.10 Định lí Ánh xạ X : Ω −→ E phần tử ngẫu nhiên G -đo với f ∈ E ∗ f (X) đại lượng ngẫu nhiên G -đo 1.1.11 Hệ Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈ R, ξ : Ω −→ R đại lượng ngẫu nhiên G -đo Khi aX + bY, ξX phần tử ngẫu nhiên G -đo Chứng minh Ta có (aX + bY )(ω) = aX(ω) + bY (ω) ∈ E; ξX(ω) = ξ(ω)X(ω ∈ E) Do đó, với f ∈ E∗ f (aX + bY ) = af (X) + bf (Y ) aX + bY, ξX phần tử ngẫu nhiên G -đo Đó điều phải chứng minh 1.1.12 Định nghĩa Giả sử Xt , t ∈ ∆ họ phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, (P )) nhận giá trị (E, B(E)) Khi họ Xt , t ∈ ∆ gọi độc lập với hữu hạn tj ∈ ∆ Aj ∈ B(E), n P( j=i 1.1.13 j n ta có n Xt−1 (Aj )) j P(Xt−1 (Aj )) j = j=1 Định lí Giả sử E1 , E2 không gian Banach, Xt , t ∈ ∆ họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị E1 Khi đó, với t ∈ ∆, Tt : E1 −→ E2 10 ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được, họ (Tt , (Xt ), t ∈ ∆) họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị E2 1.1.14 Định lí Giả sử X1 , X2 , , Xn phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (E, B(E)) Khi đó, điều kiện cần đủ để X1 , X2 , , Xn độc lập với f1 , f2 , , fn ∈ E∗ , đại lượng f1 (X), f2 (X), , fn (X) độc lập 1.2 Các dạng hội tụ phần tử ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Cho {Xn } dãy phần tử ngẫu nhiên xác định không gian (Ω, F, P) nhận giá trị (E, B(E)) Ta nói {Xn } hội tụ đến phẩn tử ngẫu nhiên X: h.c.c Hầu chắn, kí hiệu Xn −−→ X , P( lim Xn − X = 0) = n→∞ P Theo xác suất, kí hiệu Xn → − X , với ε > lim P( Xn − X > ε) = n→∞ Lp Theo trung bình cấp p, kí hiệu Xn −→ X lim E( Xn − X p ) = n→∞ D Yếu (theo phân phối), kí hiệu Xn − → X w →P PXn − PX : B(E) −→ R B −→ (P (X −1 (B)) 21 n−1 lim n→∞ bn b1 r0 + lim rn n→∞ bn n→∞ xk (bk+1 − bk ) + lim k=1 n−1 n→∞ bn xk (bk+1 − bk ) = lim k=1 Vậy lim n→∞ bn n lim n→∞ bn xk k=1 n−1 xk (bk+1 − bk ) (*) k=1 Do rn −→ nên với ε > tồn n0 cho rn < ε, ∀n n0 Khi với n > n0 ta có bn n−1 rk (bk+1 − bk ) k=1 n−1 bn n−1 r(bk+1 − bk ) + k=1 ε(bk+1 − bk ) k=n0 Kết hợp với (*) ta có lim n→∞ bn n xk k=1 lim n→∞ Suy lim n→∞ bn bn r(bn0 − b1 ) + ε − ε = ε, bn bn n xk ε, ∀ε > k=1 Do lim n→∞ bn Vậy lim n→∞ bn Từ suy điều phải chứng minh n xk = k=1 n xk = k=1 22 2.2 Luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên 2.2.1 Định lí Giả sử {Xn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm {bn , n 1} dãy tăng số dương bn ↑ ∞ Nếu ∞ n=1 EXnα < ∞ h.c.c bαn (1) với α ∈ [0; 1] ∞ Xn < ∞ h.c.c, b n n=1 bn n Xk −→ h.c.c n → ∞ k=1 Chứng minh Đặt Xnα X1α Sn = α + · · · + α ; S = b1 bn ∞ n=1 Xnα bαn Khi {Sn } dãy biến ngẫu nhiên không âm Sn ↑ S h.c.c Suy ∞ E n=1 Xnα = ES = E( lim Sn ) = lim ESn = lim E n→∞ n→∞ n→∞ bαn n = lim n→∞ i=1 Xiα E α = bi Suy ∞ E n=1 Do ∞ n=1 ∞ i=1 EXiα < ∞ bαi Xnα < ∞ bαn Xnα < ∞ h.c.c bαn n i=1 Xiα bαi 23 Khi tồn n0 ∈ N với α ∈ [0; 1] ta có Xnα bαn Suy 1, ∀n Xn Xnα = bn bαn Điều chứng tỏ ∞ n=1 α n0 Xnα , ∀n bαn n0 Xn < ∞ h.c.c bn Do theo bổ đề Kronecher, ta có bn 2.2.2 n Xk −→ h.c.c n → ∞ k=1 Hệ Giả sử {Xn , n thực {an , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên không gian Banach 1}, {bn , n 1} dãy tăng số dương với bn ↑ ∞ cho n = O(bn ) i=1 Giả sử λ ∀ε > ta có ∞ P Xn > λbn < ∞ n=1 ∞ n=1 E Xn I[εan < Xn bn λbn ] − EXn I[εan < Xn Khi ta có luật mạnh số lớn bn ∞ Xi − EXi I[ Xi n=1 λbi ] −→ h.c.c λbn ] < ∞ 24 Chứng minh Với n ∈ N ta đặt λbn ] − EXn I[εan < Xn Vn = Xn I[εan < Xn λbn ] , Yn = Xn I[ Xn > λbn ] Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy đại lượng ngẫu nhiên {Vn , n ta bn n λbi ] − EXi I[εai < Xi Xi I[εai < Xi λbi ] −→ h.c.c i=1 Theo giả thiết ε số dương tùy ý tồn c > cho n cbn , ∀n ∈ N i=1 Do lim sup n→∞ bn lim n→∞ bn n Xi I[ Xi εai ] c ε h.c.c i=1 n E Xi I[ Xi εai ] c ε i=1 Từ ta có bn Từ giả thiết n Xi I[ Xi λbi ] − EXi I[ Xk λbk ] −→ h.c.c i=1 ∞ ∞ P Yn = < ∞ P Xn > λbn = n=1 n=1 Suy P[lim sup[Yn = 0]] = n→∞ Theo bổ đề Borel - Cantelli suy ∞ ∞ P[lim inf [Yn = 0]] = P n→∞ [Yi = 0] = n=1 i=n 1}, 25 Vì với xác suất 1, tồn n0 ∈ N cho Yn = với n Suy bn Do bn 2.2.3 n0 n Yi −→ h.c.c i=1 n Xi − EXi I[ Xi bi ] −→ h.c.c i=1 Hệ Giả sử {Xn , n thực {bn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên không gian Banach 1} dãy số dương với bn ↑ ∞, α ∈ [0, 1] ∞ P[ Xn > bn ] < ∞, (a) n=1 ∞ (b) n=1 E bα n Xn I[ Xn Khi bn bn bn ] − EXn I[ Xn bn ] α < ∞ n Xi − EXi I[ Xi bi ] −→ h.c.c Xi − EXi I[ Xi bi ] −→ h.c.c i=1 n i=1 Chứng minh Với n ∈ N ta đặt Vn = Xn I[ Xn bn ] − EXn I[|Xn bn ] , Yn = Xn I[ Xn > bn ] Bằng cách áp dụng định lí 2.2.1 cho dãy đại lượng ngẫu nhiên {Vn , n ta bn n Xi I[ Xi i=1 bi ] − EXi I[ Xi bi ] −→ 0h.c.c 1}, 26 Từ giả thiết ∞ ∞ P Xn > bn < ∞ P[Yn = 0] = n=1 n=1 Theo bổ đề Borel - Cantelli ta có ∞ ∞ P[lim inf [Yn = 0]] = P n→∞ [Yi = 0] = n=1 i=n Vì với xác suất 1, tồn n0 ∈ N cho Yn = với n bn n0 Khi n Yi −→ h.c.c i=1 Suy bn n Xi − EXi I[ Xi i=1 bn n Xi I[ Xi bi ] − EXi I[ Xi i=1 Do bn 2.2.4 bi ] bi ] + bn n Yi −→ h.c.c i=1 n Xi − EXi I[ Xi bi ] −→ h.c.c i=1 Hệ Giả sử {Xn , n thực {bn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên không gian Banach 1} dãy số dương với bn ↑ ∞, với α ∈ [0, 1] ∞ P[ Xn > bn ] < ∞, (a) n=1 ∞ E Xn I[ Xn bn ] − EXn I[ Xn α n=1 bn n (c) E Xi I[ Xi > bi ] −→ bn i=1 (b) Khi bn bn ] α < ∞, n Xi − EXi −→ h.c.c n → ∞ i=1 27 Chứng minh Vì bn n bn Xi −EXi i=1 n bi ] + bn Xi −EXi I[ Xi i=1 n E Xi I[ Xi > bi ] , i=1 nên từ áp dụng hệ 2.2.3 giả thiết (c) ta có điều phải chứng minh Kết sau suy trực tiếp từ hệ 2.2.4 2.2.5 Hệ Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li {ani , số với max |ani | ↓ 0,{bn , n i n, n 1} mảng tam giác 1} dãy với bn = (max1 i n i n |ani |), giả sử điều kiện a), b), c)trong hệ 2.2.4 thỏa mãn n ani (Xi − EXi ) −→ h.c.c i=1 Chứng minh Theo hệ 2.2.4 bn n Xi − EXi −→ i=1 Suy n ( max |ani |) i n Xi − EXi −→ i=1 Đặt M = max |ani | i n Ta có n n ani (Xi − EXi ) i=1 |ani | Xi − EXi i=1 n M Xi − EXi −→ i=1 Suy n ani (Xi − EXi ) −→ h.c.c i=1 28 2.3 Luật mạnh số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 2.3.1 mệnh đề 2.3.2 sử dụng để thiết lập định lí 2.3.1 Định nghĩa Cho E không gian Banach thực, khả li, {Xn , n ngẫu nhiên nhận giá trị E Khi {Xn , n 1} dãy phần tử 1} gọi compact khả tích ∀ε > 0, tồn tập compact Kε cho sup E Xn I(Xn ∈K / ε ) < ε n Nhận xét i) Nếu E hữu hạn chiều điều kiện compact điều kiện khả tích đều, nghĩa ∀ε > 0, tồn a cho sup E n Xn I( Xn >a) < ε ii) Nếu E vơ hạn chiều điều kiện compact khả tích mạnh điều kiện khả tích Mệnh đề kết rút từ [6] 2.3.2 Mệnh đề Cho {Xn } dãy phần tử nhiên không gian Banach E, giả sử Dãy {Xn } tight, nghĩa với ε > tồn a > cho P[ Xn > a] < ε, ∀n, Dãy { Xn } khả tích đều, 29 Luật số lớn n Xk − E X k k=1 −→ h.c.c n → ∞ bn thỏa mãn, Luật số lớn n f (Xk ) − Ef (Xk ) k=1 −→ h.c.c n → ∞ bn thỏa mãn với hàm thực f liên tục bị chặn E 2.3.3 Định lí Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập không gian Rademacher dạng p với p 2, {an , n 1} {bn , n 1} dãy biến ngẫu nhiên dương bn ↑ ∞ n = O(bn ) cho ∞ n=1 apn < ∞, bpn n = O(bn ) i=1 Giả sử với λ > ∀ ε > ∞ P [ Xn > λ bn ] < ∞ n=1 ∞ n=1 E[ Xn I( ε an < Xn bpn Khi {Xn , n λ bn )−E Xn I( ε an < Xn λ bn )]p < ε 1} compact khả tích bn n (Xi − EXi ) −→ h.c.c i=1 (3.1) 30 Chứng minh Lấy C cho n Cbn , n Từ giả thiết compact khả tích {Xn } ta suy {Xn }-tight { Xn } khả tích Do theo mệnh đề 2.3.2 ta cần chứng minh n Xi − E Xi i=1 −→ h.c.c n → ∞ bn n g(Xi ) − Eg(Xi ) i=1 −→ h.c.c n → ∞ bn với hàm thực g liên tục bị chặn E n ( Xi − E Xi ) i=1 bn n i=1 (g(Xi ) −→ h.c.c (3.2) − Eg(Xi )) −→ h.c.c (3.3) bn với ánh xạ thực liên tục, bị chặn g X Chú ý R khơng gian Rademacher loại p với p ∈ [1, 2], ta áp dụng cho dãy phần tử ngẫu nhiên n i=1 Xi − E( Xi I[ Xi λbi ]) bn −→ h.c.c (3.4) Điều E( Xn I[ Xn > λbn ]) −→ h.c.c (3.5) Lấy ε > tùy ý, theo (3.1), tồn tập compact Kε E cho sup E( Xn I(Xn ∈ / Kε ) ε n Vì Kε compact nên bị chặn Khi tồn số M < ∞ cho Kε ⊆ {X ∈ E : X M } 31 Vì vậy, với n cho λbn M , ta có [ Xn > λbn ] ⊆ [Xn ∈ / Kε ] Vì bn ↑ ∞ với n đủ lớn ta có E( Xn I[ Xn > λbn ]) E( Xn I(Xn ∈ / Kε ) ε Cho (3.5) ε > tùy ý n i=1 E Xi I[ Xi > λbi ]) c bn n i=1 E Xi I[ Xi > λ]) n , theo (3.5) định lí tổng kỳ vọng Cesàro Kết hợp với (3.4) (3.6) ta (3.2) Tiếp theo để (3.3) ta lấy g ánh xạ thực liên tục, bị chặn xác định E Khi đặt B = sup{|g(x)| : x ∈ E} Ta có ∞ n=1 ∞ D(g(x)) b2n n=1 E(g(x))2 b2n ∞ cB n=1 < ∞ n2 theo định lí hai chuỗi ta có ∞ n=1 g(Xn ) − Eg(Xn ) hội tụ h.c.c bn (3.3) suy trực tiếp từ bổ đề Kronecher 2.3.4 Định lí Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li {bn , n dương với bn ↑ ∞ ∞ n=1 εn 1}, {εn , n 1} hai dãy tăng số < ∞ cho ∞ P Xn > εn bn < ∞ n=1 32 bn n Xi −→ h.c.c i=1 Chứng minh Theo bổ đề Borel - Cantelli, tồn n0 ∈ N cho với xác suất Xn εn bn với n n0 ta có ∞ n=n0 Do ∞ Xn bn ∞ εn n=n0 Xn < ∞ bn n=1 Theo bổ đề Kronecher ta có bn n Xn −→ h.c.c i=1 Kết sau suy trực tiếp từ định lí 2.3.4 2.3.5 Hệ Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li {ani , số, {bn , n i n, n 1} dãy với bn = (max1 1} mảng tam giác −1 i n |ani |) ↑ ∞, {εn , n dãy số dương thỏa mãn giả thiết hệ 2.2.5 n ani Xi −→ h.c.c n → ∞ i=1 Chứng minh Theo định lý 2.3.3 bn n Xi −→ h.c.c i=1 Suy n ( max |ani |) i n Xi −→ i=1 1} 33 Đặt M = max |ani | i n Ta có n n Suy |ani | Xi ani Xi i=1 n i=1 M Xi −→ i=1 n ani Xi −→ h.c.c n → ∞ i=1 34 KẾT LUẬN • Chứng minh định lí luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky dãy phần tử ngẫu nhiên • Chứng minh định lí luật mạnh số lớn Cantrell-Rosallsky cho dãy phẩn tử ngẫu nhiên độc lập • Hướng mở rộng: Luật mạnh số lớn cho dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008 [2] Nguyễn Văn Quảng, Phân phối xác suất không gian Banach, giảng dành cho học viên Sau đại học chuyên ngành Xác suất thống kê Toán học, Đại học Vinh, 2007 [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục, 2000 [4] Cantrell-Rosallsky 2003, Some strong laws of large numbers for Banach space valued summands irrespective of their joint districbutions, Stochastic Anal Appl 21,79-95 [5] Cantrell-Rosallsky 2004, A strong law for compactly uniformly integrable sequences of independent random elements in Banach spaces, Bull.Inst.Math, Acad, Sinica 32,15-33 [6] J A Cuesta - C Matrán, Strong convergence of Weight sums of random elements through the equivalence of sequences of districbutions, J Mutivariate Anal, 25(1988), 311-322 ... lí luật mạnh số lớn Cantrell- Rosallsky dãy phần tử ngẫu nhiên • Chứng minh định lí luật mạnh số lớn Cantrell- Rosallsky cho dãy phẩn tử ngẫu nhiên độc lập • Hướng mở rộng: Luật mạnh số lớn cho dãy. .. Chương Luật mạnh số lớn Cantrell- Rosallsky dãy phần tử ngẫu nhiên 2.1 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập 17 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Định lí (Luật yếu số lớn) ... chuẩn), với ω ∈ Ω N Kí hiệu Xn −−→ X 1.1.5 Định lí h.c.c Nếu (Xn ) dãy phần tử ngẫu nhiên Xn −−→ X X phần tử ngẫu nhiên Đặc biệt, (Xn ) dãy phần tử ngẫu nhiên G -? ?o Xn → X X phần tử ngẫu nhiên G -? ?o