Không gian các tập đóng và phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian mêtric 1.3 Không gian Banach 1.4 Tập lồi 1.5 Không gian xác suất 1.6 Ánh xạ đo phần tử ngẫu nhiên 11 Khơng gian tập đóng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng 14 2.1 Khơng gian tơpơ Hausdorff 14 2.2 Tôpô Fell 28 2.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng 29 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NÓI ĐẦU Xác suất thống kê lĩnh vực toán học ứng dụng, địi hỏi sở tốn học sâu sắc Đối tượng nghiên cứu xác suất thống kê tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà ta thường gặp thực tế Lý thuyết xác suất thống kê xây dựng dựa công cụ tốn học đại giải tích hàm, tơpơ, lý thuyết độ đo gắn liền với toán thực tế Xác suất đa trị hướng tương đối tốn học, có nhiều ứng dụng khác như: tối ưu hóa điều khiển, hình học ngẫu nhiên, toán kinh tế, thống kê, Các vấn đề thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, chẳng hạn : Gerald Beer, Charles Castaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Các kết xác suất đa trị mở rộng thực kết xác suất đơn trị Phần tử ngẫu nhiên đa trị khái niệm đối tượng nghiên cứu giải tích xác suất đa trị Xuất phát từ khái niệm này, nghiên cứu vấn đề : Các dạng hội tụ dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị, Kỳ vọng tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị, Luật số lớn biến ngẫu nhiên đa trị, Các biến ngẫu nhiên đa trị ánh xạ đo từ không gian xác suất vào khơng gian tập đóng khơng gian Để nghiên cứu biến ngẫu nhiên đa trị cần nghiên cứu không gian tập đóng khơng gian với cấu trúc đại số tơpơ Vì chọn đề tài luận văn là: "Không gian tập đóng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng" Luận văn gồm hai chương Chương chúng tơi trình bày kiến thức sở giải tích xác suất, cần thiết cho việc trình bày chương Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày khơng gian tập đóng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy Khoa Tốn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để khóa luận hồn thiện Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian tôpô Giả sử X = ∅ Một họ τ tập X gọi tơpơ X có tính chất (τ 1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ (τ 2) U, V ∈ τ U ∩ V ∈ τ (τ 3) Ui ∈ τ, i ∈ I Ui ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, tập U ∈ τ gọi tập mở Phần bù tập mở gọi tập đóng Hợp tất tập mở nằm A gọi phần A, ký hiệu intA Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi tập đóng bé X chứa A gọi bao đóng A, ký hiệu A clA Tập A ⊂ X gọi tập trù mật X A = X 1.1.1 Định lý Tập A trù mật X với tập mở U khác rỗng X U ∩ A = ∅ Không gian tôpô (X, τ ) gọi khơng gian khả ly (tách được) có tập đếm trù mật Họ B(⊂ τ ) gọi sở không gian tôpô (X, τ ) (hoặc sở tôpô τ ) tập mở X hợp tập hợp tập hợp thuộc B 1.1.2 Định lý Họ B(⊂ τ ) sở không gian tôpô (X, τ ) với tập A mở với x ∈ A, tồn lân cận Ux x thuộc B cho Ux ⊂ A Giả sử (X, τ ) không gian tôpô Một họ {Gs }s∈S tập mở X gọi phủ mở X Gs = X s∈S Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian compact từ phủ mở {Gs }s∈S X trích phủ hữu hạn, tức với phủ k mở {Gs }s∈S X , có tồn tập S = {s1 , , sk } ⊂ S cho X = Gsi i=1 Tập A ⊂ X gọi tập compact khơng gian compact tôpô cảm sinh Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff với x, y ∈ X (x = y) tồn tập mở Ux chứa x Uy chứa y cho Ux ∩ Uy = ∅ Trong không gian Hausdorff, tập compact tập đóng Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi không gian compact địa phương với x ∈ X , tồn lân cận U x cho U tập compact X 1.2 Không gian mêtric Giả sử X = ∅ Một ánh xạ d : X × X −→ R gọi mêtric (khoảng cách) X i) d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ X ii) d(x, y) = ⇔ x = y iii) d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈ X iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀ x, y, z ∈ X Khi cặp (X, d) gọi không gian mêtric Giả sử (X, d) không gian mêtric, x ∈ X r số thực dương Khi đó, tập hợp S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} gọi hình cầu mở tâm x, bán kính r Tập hợp S[x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} gọi hình cầu đóng tâm x, bán kính r Tập hợp U ⊂ X gọi tập mở với x ∈ U , tồn r > để S(x, r) ⊂ U Dễ dàng kiểm tra trực tiếp họ tập mở không gian mêtric (X, d) thỏa mãn tiên đề (τ 1) − (τ 3) khơng gian tơpơ Do đó, khơng gian mêtric không gian tôpô Giả sử (X, d) khơng gian mêtric Ta nói dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ X hội tụ x ∈ X n → ∞ d(xn , x) → n → ∞ Ký hiệu xn → x (khi n → ∞) 1.2.1 Định lý Nếu (X, d) khơng gian mêtric tập F ⊂ X tập đóng với dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ F mà xn → x x ∈ F 1.2.2 Định lý Giả sử (X, d) không gian mêtric, A ⊂ X Khi đó, x ∈ A tồn dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ A cho xn → x (khi n → ∞) 1.2.3 Định lý Tập A ⊂ X tập trù mật không gian mêtric (X, d) với x ∈ X , tồn dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ A cho xn → x (khi n → ∞) Giả sử (X, d) không gian mêtric Dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản), với > 0, tồn N cho d(xm , xn ) < với m, n ≥ N Không gian mêtric (X, d) gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Có thể chứng minh tập A ⊂ X không gian mêtric (X, d) tập compact dãy {xn , n ≥ 1} ⊂ A chứa dãy {xnk , k ≥ 1} ⊂ A hội tụ đến điểm thuộc A Nếu (X, d) khơng gian compact tập đóng tập compact Tập F khơng gian tơpơ gọi tập có tính Gδ F giao đếm tập mở 1.2.4 Định lý Trong khơng gian mêtric, tập đóng có tính chất Gδ Chứng minh Giả sử F đóng không gian mêtric (X, d) Với n ≥ 1, đặt Gn = x ∈ X : d(x, F ) < Khi đó, với x ∈ Gn , d(x, F ) = a < n1 Đặt r = d(y, F ) ≤ d(x, y) + d(x, F ) < r + a = n n − a > , ∀ y ∈ S(x, r) n ∞ nên S(x, r) ⊂ Gn Vậy Gn mở Ta chứng minh F = Gn n=1 Thật vậy, với x ∈ F ta có d(x, F ) = < ∞ ∞ Gn Do F ⊂ n, hay x ∈ n=1 ∞ Ngược lại, x ∈ n=1 n với n, nên x ∈ Gn với Gn n=1 Gn x ∈ Gn với n ≥ 1, nên d(x, F ) < n1 Từ đó, với n ≥ có yn ∈ F cho d(x, yn ) < n1 , nên lim d(x, yn ) = 0, chứng ∞ n→∞ ∞ Gn ⊂ F Vậy F = tỏ yn → x Mà F đóng nên x ∈ F Do n=1 Gn Từ n=1 suy F có tính chất Gδ 1.3 Khơng gian Banach Khơng gian vectơ E gọi không gian định chuẩn tồn ánh xạ ||.|| : E → R thỏa mãn (i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ E, (ii) ||x|| = ⇔ x = 0, (iii) ||kx|| = |k|||x||, ∀ k ∈ R, ∀ x ∈ E (iv) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ E Nếu đặt d(x, y) = ||x − y||, (x, y ∈ E) (E, d) không gian mêtric Nếu E không gian vectơ thực khơng gian định chuẩn (E, ||.||) gọi không gian định chuẩn thực Không gian định chuẩn (E, ||.||) gọi không gian Banach (E, d) khơng gian đầy đủ, d mêtric sinh chuẩn ||.|| Nếu E không gian vectơ thực (E, ||.||) khơng gian Banach (E, ||.||) gọi khơng gian Banach thực Ví dụ 1) (Rn , ||.||) không gian Banach thực với chuẩn n x2i ||x|| = với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R i=1 2) Nếu ≤ p ≤ (Lp (Ω, F, P), ||.||) không gian Banach thực với chuẩn ||X|| = (E|X|p ) p Giả sử E không gian Banach thực Ký hiệu E ∗ = {f : E → R, f phiếm hàm tuyến tính, liên tục} Ta gọi E ∗ khơng gian liên hợp E Với f ∈ E ∗ , chuẩn f xác định công thức |f (x)| ||f || = sup = sup |f (x)| = sup |f (x)| x=0 ||x|| ||x||≤1 ||x||=1 Nên |f (x)| ≤ ||f ||.||x|| với x ∈ E Không gian thực H không gian định chuẩn E gọi siêu phẳng E F không gian E chứa H F = H F = E 1.3.1 Định lý Nếu H siêu phẳng H đóng, H trù mật E 1.3.2 Định lý Giả sử f ∈ E ∗ , f = Khi H := f −1 (α) = {x ∈ E : f (x) = α}, α ∈ K siêu phẳng 1.4 Tập lồi Tập C khơng gian tuyến tính E gọi tập lồi với a, b ∈ C , α ∈ [0; 1] αa + (1 − α)b ∈ C Một số tính chất (i) Giao họ tập lồi tập lồi (ii) Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A, ký hiệu : coA (iii) Nếu A B tập lồi α ∈ R tập A + B, αA, clA tập lồi Cho A, B tập không gian vectơ E Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X ∗ , f = gọi tách A B f (a) ≤ f (b) f (a) ≥ f (b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B Điều tương đương với tồn α ∈ R cho f (a) ≤ α ≤ f (b) ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B Lúc ta nói siêu phẳng H := f −1 (α) = {x ∈ X : f (x) = α}, α ∈ K , tách A B Nếu B = {x0 } ta nói siêu phẳng H tách A x0 1.4.1 Định lý Nếu A B tập hợp khác rỗng, lồi A ∩ B = ∅ tồn siêu phẳng tách A B 1.5 Không gian xác suất 1.5.1 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅ P(Ω) họ tất tập Ω Mỗi họ F ⊂ P(Ω) gọi lớp Lớp F ⊂ P(Ω) gọi đại số (i) Ω ∈ F (ii) Nếu A ∈ F (Ω \ A) ∈ F n (iii) Nếu Ak ∈ F, k = 1, 2, , n Ak ∈ F k=1 Nếu thay điều kiện (iii) điều kiện ∞ (iv) Nếu An ∈ F , với n ≥ An ∈ F F gọi σ− đại số k=1 10 1.5.2 Định lý F đại số thỏa mãn điều kiện (i) Ω ∈ F (v) Nếu A, B ∈ F A \ B ∈ F n (vi) Nếu Ak ∈ F, k = 1, 2, , n Ak ∈ F k=1 F σ− đại số thỏa mãn điều kiện (i) Ω ∈ F (v) Nếu A, B ∈ F A \ B ∈ F ∞ (vii) Nếu An ∈ F, với n ≥ An ∈ F n=1 1.5.3 Định nghĩa Giả sử C ∈ P(Ω) Khi đại số (σ− đại số) bé chứa C gọi đại số (σ− đại số) sinh C , ký hiệu A(C)(σ(C)) Giả sử (X, τ ) không gian tôpô (X = ∅, τ họ tập mở) Khi σ− đại số bé chứa tập mở X gọi σ− đại số Borel ký hiệu B(X) Vậy B(X) = σ(τ ) 1.5.4 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅ F σ− đại số tập Ω Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo Giả sử cặp (Ω, F) khơng gian đo Khi ánh xạ µ : F −→ R gọi độ đo F i) µ(A) ≥ 0, ∀ A ∈ F ii) µ(∅) = iii) Nếu An ∈ F với n ≥ Ai ∩ Aj = ∅ với i = j ∞ µ( n=1 ∞ An ) = µ(An ) n=1 Khi đó, tập A ∈ F gọi tập đo µ(A) gọi độ đo A Nếu µ(Ω) < ∞ µ gọi độ đo hữu hạn Đặc biệt, µ(Ω) = µ gọi độ đo xác suất Độ đo xác suất ký hiệu chữ P 20 Chú ý ∞ ||xk − xk−1 ||X < 2ε ||y − x||X ≤ ||y − x1 ||X + k=1 Từ d(y, A) < 2ε Như vậy, với y ∈ An tùy ý, ta có sup d(y, A) ≤ 2ε, ∀ n ≥ n(1) y∈An Vậy ta chứng minh lim H(An , A) = n→∞ +) Ta chứng minh Kk (X) tập đóng (Kb (X), H) Lấy {An } ⊂ Kk (X) H(An , A) → n → ∞ Khi với ε > tồn n0 cho H(An , A) < 2ε , với n ≥ n0 Đặc biệt A ⊂ (ε/2)U + An0 Như An0 tập compact, tồn tập hữu hạn F cho An0 ⊂ (ε/2)U + F Do A ⊂ εU + F , tức A tập bị chặn hoàn toàn, A tập compact tương đối +) Ta chứng minh Kkc (X), Kbc (X) tập đóng (Kb (X), H) Lấy dãy {An } ⊂ Kbc (X) H(An , A) → n → ∞ Ta phải chứng minh A lồi Thật với a, b ∈ A ≤ λ ≤ 1, cho c = λa + (1 − λ)b Dễ dàng chứng minh rằng, với n ∈ N, ta có d(c, An ) ≤ λd(a, An ) + (1 − λ)d(b, An ) ≤ sup d(a, An ) a∈A Do đó, với n ∈ N, ta có sup d(a, An ) ≤ sup d(a, An ) a∈A∪{c} a∈A Mặt khác sup d(a, A ∪ {c}) ≤ sup d(a, A) a∈An a∈An 21 Khi ta có lim H(An , A ∪ {c}) = n→∞ Do A = A ∪ {c}, tức c ∈ A Điều chứng tỏ A lồi Định lý chứng minh 2.1.5 Định lý Nếu X khả ly khơng gian (Kk (X), H) khả ly Chứng minh Lấy tập D đếm trù mật X Gọi D tập hữu hạn D Khi D tập đếm Ta cần chứng minh D trù mật Kk (X) Với K ∈ Kk (X) ε > 0, tồn x1 , x2 , , xl ∈ K cho l K⊂ B(xi , ε), K ∩ B(xi , ε) = ∅, i = 1, l i=1 Vì D tập trù mật X nên tồn Kε = (y1 , y2 , , yl ) ⊂ D cho ||xk − yk ||X < ε, k = 1, l Rõ ràng Kε ∈ D Ta chứng minh H(Kε , K) < 2ε Thật vậy, với z ∈ K , ta có ||yk − z||X ≤ ||yk − xk ||X + ||xk − z||X Lấy inf với z ∈ K , ta có d(yk , K) ≤ ||yk − xk ||X + d(xk , K) Xét d(xk , K) Nếu xk ∈ K d(xk , K) < ε Nếu xk ∈ / K , K ∩ B(xk , ε) = ∅ nên tồn t ∈ K ∩ B(xk , ε) Do d(xk , K) = inf ||xk − s|| ≤ ||xk − t|| < ε s∈K Suy d(xk , K) < 2ε 22 nên sup d(xk , K) ≤ 2ε yk ∈Kε Mặt khác với x ∈ K, y ∈ Kε , xi ∈ Nε , i = 1, l, ta có ||x − y||X ≤ ||x − xi ||X + ||xi − y||X Lấy inf với y ∈ Kε , ta có d(x, Kε ) ≤ ||x − xi ||X + d(xi , Kε ) Lấy inf với xi ∈ Nε , ta có d(x, Kε ) ≤ d(x, Nε ) + ε Vì x ∈ K nên tồn i0 cho x ∈ B(xi0 , ε) Suy ||x − xi0 ||X < ε Suy d(x, Kε ) < ε Suy sup d(x, Kε ) ≤ 2ε x∈K Suy H(Kε , K) = max sup d(yk , K), sup d(x, Kε ) yk ∈Kε ≤ 2ε x∈K Do D trù mật (Kk (X), H) Định lý chứng minh 2.1.6 Định lý Giả sử X∗ không gian liên hợp không gian Banach X Với f ∈ X∗ , f = 0∗ Hα = f −1 (α) := {x ∈ X : f (x) = α} ta có d(x0 , Hα ) = |f (x0 ) − α| , x0 ∈ X ||f ||X∗ 23 Chứng minh +) Giả sử x0 = Khi d(x0 , Hα ) = d(0, Hα ) = inf ||x|| x∈Hα Nếu α = x0 ∈ Hα ⇒ d(x0 , Hα ) = Mặt khác |f (x0 ) − α| |f (0) − 0| = = ||f ||X∗ ||f ||X∗ Đó điều phải chứng minh Nếu α = cách ý f α x f (x) = α, ∀ x = Ta α x ∈ Hα f (x) Lại có ||f ||X∗ f |f (x)| = sup = sup x=0 x=0 ||x||X α f (x) x α f (x) x X |α| |f (y)| |α| = = inf ||y||X d(0, Hα ) y∈Hα ||y||X = sup Do d(0, Hα ) = y∈Hα |α| ||f ||X∗ +) Với x0 ∈ X , ý x0 − Hα = f −1 (f (x0 ) − α) Thật x0 − Hα ⊂ f −1 (f (x0 ) − α) Lấy y ∈ x0 − Hα , suy x0 − y ∈ Hα Do f (x0 ) − y = α nên f (x0 ) − f (y) = α, suy f (y) = f (x0 ) − α Vậy y ∈ f −1 (f (x0 ) − α) Lấy x ∈ f −1 (f (x0 ) − α) Khi f (x) = f (x0 ) − α, suy f (x0 ) − f (x) = α Nên f (x0 − x) = α Do x0 − x ∈ Hα Mặt khác, ta có x = x0 − (x0 − x) suy x ∈ x0 − Hα Do f −1 (f (x0 ) − α) ⊂ x0 − α 24 Từ suy d(x0 , Hα ) = d(0, x0 − Hα ) = |f (x0 ) − α| ||f ||X∗ Định lý chứng minh **) Giả sử S ∗ = {f ∈ X∗ : ||f ||X∗ = 1}, U = {x ∈ X : ||x||X ≤ 1} 2.1.7 Định lý Cho A ∈ Kc (X) α = d(0, A) > Khi đó, tồn f ∈ S ∗ cho siêu phẳng f −1 (α) tách tập lồi αU A Đặc biệt α ≤ inf f (a) a∈A (2.4.1) Chứng minh Chú ý A ∩ int(αU ) = ∅, int(αU ) = ∅ Do tồn f ∈ S ∗ β ∈ R cho siêu phẳng f −1 tách tập lồi αU A, tức sup f (x) ≤ β ≤ inf f (a) a∈A x∈αU (2.4.2) Ta thấy sup f (x) = α x∈αU Thật = ||f ||X∗ = sup x=0 |f (x)| |f (x)| = sup = sup |f (x)| ||x||X α α ||x||X ≤α ||x||X =α (2.4.3) Từ (2.4.2) (2.4.3), ta có (2.4.1) α ≤ β Mặt khác theo Định lý 2.1.6 ta có d(0, f −1 (β)) = |f (0)| − β = β ||f ||X∗ Rõ ràng d(0, A) ≥ d(0, f −1 (β)) α ≥ β Như α = β siêu phẳng f −1 (β) tách tập lồi αU A Định lý chứng minh 2.1.8 Nhận xét Từ (2.4.1), ta có α = inf f (a) a∈A (2.4.4) 25 Thật vậy, bất đẳng thức f (a) ≤ ||f ||X∗ ||a||X = ||a||X Từ suy inf f (a) ≤ inf ||a||X = d(a, 0) = α a∈A a∈A Kết hợp (2.4.1), ta suy α = inf f (a) a∈A Định lý chứng minh **) Với A ∈ K(X), ta định nghĩa s(f, A) = sup f (a), f ∈ X∗ a∈A Chú ý +) s(f, A ⊕ B) = s(f, A + B) = sup f (a + b) = s(f, A) + s(f, B) a∈A,b∈B +) s(f, λA) = λs(f, A), λ ≥ Ký hiệu coA bao đóng lồi A 2.1.9 Định lý (1) x ∈ coA ⇔ f (x) ≤ s(f, A), f ∈ X∗ (2) Cho {A, An , n ∈ N} ⊂ Kc (X) An → A theo khoảng cách Hausdorff Khi lim s(f, An ) = s(f, A), f ∈ X∗ n→∞ Chứng minh (1) +) Với x ∈ coA, tồn tai dãy {xn }, {yn } A dãy {µn } [0; 1] cho lim (µn xn + (1 − µ)yn ) = x n→∞ Chú ý f (µn xn + (1 − µ)yn ) ≤ s(f (A)), với n Từ suy f (x) ≤ s(f, A), f ∈ X∗ +) Ngược lại, lấy x ∈ (coA)C ta có f (x) = s(f, A), f ∈ X∗ Khi (coA)C tập mở Ta lấy hình cầu đóng Uε (x) = {y ∈ X : ||y − x||X ≤ ε} cho Uε (x) ∩ coA = ∅ Suy tồn f ∈ X∗ , β ∈ R cho f −1 (β) tách tập lồi Uε (x) coA 26 Lấy −f thay cho f cần thiết, ta có sup f (a) ≤ sup f (a) ≤ β ≤ f (x) − ε a∈A a∈coA Suy s(f (a)) ≤ f (x) Điều mâu thuẫn với giả thiết Chứng tỏ x ∈ A, suy x ∈ coA (2) Ta có lim sup s(f, A) ≤ s(f, A) n→∞ Theo định nghĩa, với a ∈ An , tồn x ∈ A cho ||a−x||X < d(a, A)+ n1 Do đó, với f ∈ X∗ , từ (1), ta có f (a) ≤ ||f ||X∗ ||a − x||X + f (x) ≤ ||f ||X∗ H(An , A) + n + s(f, A) Nghĩa s(f, An ) ≤ ||f ||X∗ H(An , A) + n + s(f, A) lim sup s(f, A) ≤ s(f, A) n→∞ Tương tự ta có s(f, A) ≤ ||f ||X∗ H(An , A) + n + s(f, An ) Điều chứng tỏ s(f, A) ≤ lim sup s(f, An ) n→∞ Đó điều phải chứng minh 2.1.10 Định lý Với A, B ∈ Kbc (X) sup d(a, B) = sup{s(f, A) − s(f, B) : f ∈ S ∗ } a∈A Chứng minh +) Ta chứng minh sup d(a, B) ≤ sup{s(f, A) − s(f, B) : f ∈ S ∗ } a∈A Lấy a ∈ A, theo Định lý 2.1.7, tồn f ∈ S ∗ cho d(a, B) = d(0, a − B) ≤ inf f (x) x∈a−B 27 Ta có inf f (x) = f (a) − sup f (b) ≤ s(f, A) − s(f, B) x∈a−B b∈B Suy d(a, B) ≤ s(f, A) − s(f, B) ≤ sup{s(f, A) − s(f, B) : f ∈ S ∗ } +) Chứng minh sup{s(f, A) − s(f, B) : f ∈ S ∗ } ≤ sup d(a, B) a∈A Lấy f ∈ S ∗ , cho α = s(f, A) − β, β = s(f, B) Ta chứng minh α ≤ sup d(a, B) (**) a∈A Nếu α ≤ (**) Giả sử α > 0, với < ε < α, ta có a ∈ A cho < a − ε < f (a) − β Như siêu phẳng f −1 (β) tách B a d(a, f −1 (β)) < d(a, B) Theo Định lý 2.1.6, ta có d(a, f −1 (β)) = |f (a) − β| = f (a) − β ||f ||X∗ Do a − ε < f (a) − β < sup d(a, B) a∈A Như vậy, với < ε < α tùy ý, ta suy α ≤ sup d(a, B) a∈A Định lý chứng minh 2.1.11 Hệ Với A, B ∈ Kbc (X), ta có H(A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) a∈A a∈A = sup {|s(f, A) − s(f, B)| : f ∈ S ∗ } 28 Chứng minh Từ Định lý 2.1.10 ta có sup {|f (x)| : x ∈ X} = sup {max{f (x), −f (x)}} = max {sup{f (x) : x ∈ X}, sup{−f (x) : x ∈ X}} (trong f hàm X) Từ hệ ta có định lý sau 2.1.12 Định lý Với A, B, C, D ∈ P0 (X), ta có H(A ⊕ B, C ⊕ D) = H(A + B, C + D) ≤ H(A, C) + H(B, D) Chứng minh Lấy a, b, c, d từ A, B, C, D tương ứng, ta có ||(a + b) − (c + d)||X ≤ ||a − c||X + ||b − d||X Suy d(a + b, C + D) ≤ d(a, C) + d(b, D) ≤ H(A, C) + H(B, D) Tương tự ta có d(c + d, A + B) ≤ d(c, A) + d(d, B) ≤ H(A, C) + H(B, D) 2.2 Tôpô Fell Ký hiệu (X, G) không gian tôpô, A ⊂ X, K họ tập compact X F = {F ⊂ X : F đóng} F = {F ∈ X : F đóng F = ∅} FA = {F ∈ F : F ∩ A = ∅} F A = {F ∈ F : F ∩ A = ∅} 2.2.1 Định nghĩa Tôpô Fell tôpô có sở họ tập FG , ∀ G ∈ G F K , ∀ K ∈ K 29 2.2.2 Định lý (i) Nếu X khơng gian Hausdorff F compact khơng gian tơpơ Fell FK compact F , với K ∈ K (ii) Nếu X không gian compact địa phương Hausdorff F khơng gian compact Hausdorff F không gian compact địa phương Hausdorff (iii) Nếu X khơng gian Hausdorff X khơng gian compact địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai F không gian compact địa phương thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai tôpô Fell (iv) Nếu X không gian Hausdorff thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai F khơng gian compact tơpơ Fell X không gian compact 2.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng 2.3.1 Định nghĩa Cho không gian xác suất (Ω, F, P), ánh xạ X : Ω → F từ Ω vào khơng gian tập đóng F X gọi hàm đa trị hàm nhận giá trị tập đóng Như trước đây, F họ tập đóng X, khơng gian X khơng gian Mêtric đầy đủ, khả ly Mục đích xác định tập đóng ngẫu nhiên X hàm đa trị đo được, sở để giới thiệu khái niệm quan trọng tính đo 2.3.2 Định nghĩa Một ánh xạ X : Ω → F gọi Effros - đo X − (G) = {ω : X(ω) ∩ G = ∅} ∈ F, với G ∈ G , tức với tập mở G +) Effros σ− đại số F sinh họ FG , ∀ G ∈ G +) Đôi khi, hàm đa trị Effros đo gọi đo yếu, để phân biệt với đo mạnh X thõa mãn X − (F ) = {ω : X(ω) ∩ F = ∅} ∈ F, với tập đóng F 2.3.3 Định nghĩa Một phần tử ngẫu nhiên ξ nhận giá trị X gọi lát cắt (đo được) X ξ(ω) ∈ X(ω), ∀ ω ∈ Ω 30 Họ tất ξ X định nghĩa ký hiệu S(X) 2.3.4 Định lý (Định lý tính đo hàm đa trị) Cho X không gian Mêtric khả ly Xét phát biểu sau (1) X − (B) ∈ F, với B ∈ B(X) (2) X − (F ) ∈ F, với F ∈ F (3) X − (G) ∈ F, với G ∈ G , Tức X Effros - đo (4) Khoảng cách hàm ρ(ν, X) = inf{ρ(ν, x) : x ∈ X} gọi phần tử ngẫu nhiên với ν ∈ X (5) Tồn dãy {ζn } lát cắt đo X cho X = cl{ζn , n ≥ 1} (6) Đồ thị X Graph(X) = {(ω, x) ∈ Ω × X : x ∈ X(ω)} ∈ F ⊗ B(X) Khi đó, ta có kết sau (i) (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇔ (4) ⇔ (6) (ii) Nếu X không gian Polish (tức X không gian mêtric đầy đủ, khả ly) (3) ⇔ (5) (iii) Nếu X không gian Polish không gian xác suất (Ω, F, P) đầy đủ (1)-(6) tương đương Một ánh xạ đo X : Ω → F gọi tập đóng ngẫu nhiên X Vì ln giả thiết X không gian Polish không gian xác suât (Ω, F, P) đầy đủ Khi từ Định lý 2.3.4 suy tất định nghĩa tính đo (1)-(6) tương đương Vì X đo cần thỏa mãn số chúng 2.3.5 Định nghĩa (σ− đại số sinh X ) σ− đại số FX sinh tập đóng ngẫu nhiên X σ− đại số sinh tập dạng X − (G) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∩ G = ∅}, với G ∈ G Rõ ràng, FX σ− đại số bé Ω, mà với X Effros -đo Nếu X khơng gian compact tương đối FX sinh X − (K), K ∈ K 31 Tính đo hàm đa trị đặc biệt Nếu X tập ngẫu nhiên lồi, compact yếu khơng gian Banach đưa tiêu chuẩn đơn giản tính đo X 2.3.6 Mệnh đề (tính đo hàm đa trị ngẫu nhiên lồi.) Nếu khơng gian liên hợp X∗ khả ly hàm đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu đo X đo vô hướng, tức hàm tựa X xác định h(X, u) := sup{(x, u) : x ∈ X} biến ngẫu nhiên với u ∈ X∗ , (x, u) ký hiệu giá trị u lên x Chứng minh Điều kiện cần : Suy trực tiếp từ tính chất Định lý 2.3.4, từ h(X, u) = sup{(ζn , u) : n ≥ 1} Điều kiện đủ : Lấy B1∗ hình cầu đơn vị khơng gian đối ngẫu X∗ Khi đó, với z ∈ X , ta có ρ(z, X) = inf sup z − x, u x∈X u∈B ∗ Như x → z − x, u hàm lõm X B1∗ tập lồi, đổi inf sup Do ρ(z, X) = sup z, u − sup x, u u∈B1∗ = sup [ z, un − h X, un ] x∈X un ∈B1∗ đo được, dãy {un , n ≥ 1} trù mật B1∗ Định lý chứng minh 2.3.7 Định nghĩa Tập F ⊂ X gọi tập quy trùng với bao đóng phần (tức F = cl(intF )) 32 2.3.8 Định lý Một hàm đa trị X nhận giá trị đóng, quy hầu chắn khơng gian Polish X tập đóng ngẫu nhiên (nghĩa X Effros - đo được) {ω : x ∈ X(ω)} ∈ F, với x ∈ X Chứng minh Điều kiện cần : Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.4 Điều kiện đủ : Lấy tập Q = {xn : n ≥ 1} đếm trù mật X Với xn , An = {ω : xn ∈ X(ω)} ∈ F Khi đó, An = {ω : X(ω) = ∅} n≥1 đo Vì vậy, khơng tính tổng quát, giả sử X(ω) = ∅ với ω ∈ Ω Xác định phần tử ngẫu nhiên ζ nhận giá trị X, đặt ζ(ω) = x1 ω ∈ A1 , ζ(ω) = x2 ω ∈ A2 \A1 , ζ(ω) = x3 ω ∈ A3 \(A1 ∪ A2 ) Khi đó, ζ lát cắt đo X Ta xác định họ đếm lát cắt đo sau ζn (ω) =  x ,    n ω ∈ An ζ(ω), ω An    , n ≥ Chú ý cl(X ∩ Q) = X , X đóng, quy Khi X = cl{ζn , n ≥ 1}, X Effrors -đo theo Định lý 2.3.4 Định lý chứng minh 33 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Trình bày có hệ thống số kiến thức giải tích xác suất 1.1 Kiến thức không gian tôpô 1.2 Kiến thức không gian mêtric 1.3 Kiến thức không gian Banach 1.4 Kiến thức tập lồi 1.5 Kiến thức không gian xác suất 1.6 Kiến thức ánh xạ đo phần tử ngâu nhiên Trình bày có hệ thống số khơng gian tập đóng phần tử ngẫu nhiên nhân giá trị tập đóng 2.1 Không gian tôpô Hausdorff 2.2 Định nghĩa tính chất tơpơ Fell 2.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng Hướng phát triển luận văn nghiên cứu định lý giới hạn dãy biến ngẫu nhiên đa trị 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Đậu Thế Cấp (1992), Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm Vinh [2] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tôpô đại cương, độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Đỗ Văn Lưu (1998), Tô pô đại cương, giáo trình cao học, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật [4] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Khoa toán Đại học khoa học Huế [5] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [6] Fumio Hiai and Umegaki (1977), Integrals, Conditional Expectation, and Martingales of Multivalued Functions, Journal of Multivariete Analysis 7, 149-182 [7] Ilya Molchano (2005), Theory of Random sets, Springer, London ... dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị, Kỳ vọng tính chất phần tử ngẫu nhiên đa trị, Luật số lớn biến ngẫu nhiên đa trị, Các biến ngẫu nhiên đa trị ánh xạ đo từ không gian xác suất vào không gian tập đóng. .. X −1 (B) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F− đo gọi cách đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G− đo X phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy X phần tử ngẫu nhiên họ σ(X) =... thống số khơng gian tập đóng phần tử ngẫu nhiên nhân giá trị tập đóng 2.1 Không gian tôpô Hausdorff 2.2 Định nghĩa tính chất tơpơ Fell 2.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng Hướng phát