Về các tập đóng nửa suy rộng trong không gian tôpô

1 Tr-ờng Đại học Vinh Khoa Toán ===== ===== Lê thị nguyệt Về tập -Đóng nửa suy rộng không gian tôpô Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2008 Tr-ờng Đại học Vinh Khoa Toán ===== ===== Về tập -Đóng nửa suy rộng không gian tôpô Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán h-ớng dẫn khoa học PGS.TS Trần Văn Ân Sinh viên thực Lê Thị Nguyệt Lớp: 44E2 - To¸n Vinh - 2008 Mơc lơc Trang Lời mở đầu Đ1 Các kiến thøc chuÈn bÞ §2 TËp *-nưa më §3 TËp *-®ãng nưa-suy réng 12 Đ4 Tích tập *-đóng nửa-suy rộng 22 KÕt luËn 24 Tài liệu tham khảo 25 LêI Mở ĐầU Năm 1963, N Levine giới thiệu lớp tập mở không gian tôpô, tập nửa mở, tập nửa đóng Dựa kết h-ớng N Levine từ ®ã ®Õn c¸c tËp nưa më, c¸c tËp nưa đóng đà thu hút đ-ợc quan tâm nhiều nhà toán học tên tuổi đà mở rộng nghiên cứu theo h-ớng khác Đến năm 1987, P Bahattacharyya B Klahiri mở rộng khái niệm tập nửa đóng thành tập đóng nửa-suy rộng (sg-đóng) T-ơng tự nh- h-ớng N Levine nhà toán học G.B Gavalagi đà dựa ttên sở ánh xạ lớp tập tác giả đà đ-a khái niệm sg-liên tục, sg-mở, đà có kết dựa khái niệm toán tử bao đóng C* ánh xạ tôpô đại c-ơng tài liệu tham khảo khác D-ới hương dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân đà lựa chọn đề ti Về tập N Levine -đóng nửa-suy rộng không gian tôpô Khoá luận tập trung nghiên cứu tập -đóng nửa-suy rộng, qua mở rộng khái niệm thông th-ờng không gian tôpô cho lớp gồm tập Với mục đích nh- khoá luận đ-ợc trình bầy theo bố cục sau Tập -đóng nửa-suy rộng Đ1 Các kiến thức chuẩn bị Phần nhằm giới thiệu lại cách có hệ thống số khái niệm tính chất tôpô đại c-ơng làm sở cho phần trình bày sau Đ2 Tập -nửa mở Phần giới thiệu số kiến thức tập -nửa mở, tập -đóng nửa để làm sở cho việc trình bày kiến thức tập tập -đóng nửa-suy rộng Đ2 Đ3 Tập -đóng nửa-suy rộng Phần giới thiệu khái niệm tính chất tập -đóng nửa-suy rộng (-sg-đóng), xét mối liên hệ tập đóng tập sg-đóng số điều kiện định Sau xét ảnh nghịch ảnh tập qua ánh xạ định nghĩa Đ4 Tích tập -đóng nửa-suy rộng Phần xét tập tập -sg-đóng không gian tích mở rộng không gian compact theo h-ớng Nhân dịp cho phép gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Văn Ân ng-ời thầy trực tiếp h-ớng dẫn hoàn thành khoá luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán Tr-ờng Đại Học Vinh đà quan tâm giúp đỡ trình học tập, làm việc tr-ờng Mặc dù cố gắng nh-ng điều kiện thời gian hạn chế lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Vinh, tháng 04 năm 2008 Tác giả tập - đóng nửa - suy rộng Đ1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp (X, )trong X tập hợp môt họ tập X thoả mÃn điều kiện sau i)  ‫ﺡ‬, X  ‫;ﺡ‬ ii) NÕu X1  ‫ X2 X1 X2 ; iii) Nếu XiiI họ tập hợp cđa X vµ Xi  ‫ ﺡ‬víi mäi i  I Xi ; iI Tập hợp X gọi không gian, họ gọi tôpô tập hợp X Mỗi phần tử gọi tập mở không gian X, phần bù tập mở gọi tập đóng 1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta có nhận xét sau (i) Tập hợp rỗng toàn không gian tập mở; (ii) Giao số hữu han tập mở tập mở; (iii) Hợp họ tuỳ ý tập mở tập mở 1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô X ®iĨm x  X Khi ®ã (i) TËp U ®-ỵc gọi lân cận điểm x U chứa x (ii) Họ B(x) lân cận điểm x gọi sở taị điểm x với lân cận V x, tồn tập U B(x) cho U V 1.4 Định nghĩa Giả sử X không gian tôpô tập A X Giao họ tất tập đóng chứa A gọi bao đóng tập hợp Avà ký hiƯu lµ cl(A) hay A 1.5 NhËn xÐt Từ định nghĩa ta có nhận xét sau (i) cl(A) tập đóng nhỏ chứa A; (ii) Tập A X đóng cl(A) = A; (iii) Nếu A, B tập X A X cl(A) cl(B) 1.6 Đinh nghĩa Cho không gian tôpô (X, ) Tập A đ-ợc gọi tập đếm suy rộng ( g-đóng) cl(A) O với A O 1.7 Nhận xét Mỗi tập đóng tập g-đóng 1.8 Định lý Giả sử X không gian tôpô Khi với x X x đóng, c x g-đóng Chứng minh Nếu x không đóng tập mở X mà chứa cx X Vì bao đóng c x đ-ợc chứa X Vậy c x g-đóng 1.9 Định lý Hợp hai tập g-đóng tập g-đóng Chứng minh Giả sử A, B hai tập g-đóng X Với tËp më O X mµ A  B  O, ta cÇn chøng minh cl(A  B)  O Thật vậy, từ giả thiết A, B g-đóng nªn cl(A)  O, cl(B)  O suy cl(A)  cl(B)  O, mµ cl(A  B) = cl(A)  cl(B) Do ®ã ta cã cl(A  B)  O Vậy (A B) tập g-đóng 1.10 Định lý Cho X không gian tôpô A X Khi khẳng định sau t-ơng đ-ơng (a) A tập g-đóng; (b) Với x cl(A), cl(x)  A  ; (c) cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng Chứng minh (a) (b) Giả sử A tập g-đóng x  cl(A) nh-ng cl(x)  A =  Khi A X \ cl(A) tập đóng nên X \ cl(x) lµ tËp më Do A lµ tËp g-đóng nên cl(A) X \ cl(x) Suy cl(x) A = Do cl(x) = Điều mâu thuẫn với x cl(A) Vậy với x  cl(A), cl(x)  A   (b)  (c) Giả sử với x cl(A), cl(x) A Ta cần chứng minh cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng Thật vậy, giả sư F  cl(A) \ A víi F lµ tËp đóng khác rỗng Khi tồn điểm x  F  cl(A) \ A Tõ ®ã ta cã cl(x)  F  cl(A) \ A Suy   cl(x)  A  F  A  (cl(A) \ A) A = Điều mâu thuẩn chứng tỏ cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng (c) (a) Giả sử cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng vµ O lµ tËp më X cho A O Khi cl(A) (X \ O) tập đóng cl(A) (X \ O) cl(A)\A Nhê (c) ta suy cl(A)  (X \ O) = Do cl(A) O Vậy A tập g-đóng 1.11 Hệ Tập A không gian tôpô X tập g-đóng A = F \ N F tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng Chứng minh Giả sử A tập g-đóng không gian tôpô X Khi theo Định lý 1.10 (c) cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng Đặt F = cl(A), N = cl(A) \ A Ta cã A = F \ N, F lµ tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng Ng-ợc lại, A = F \ N F tập đóng, N không chứa tập đóng khác rỗng O tập mở X cho A  O Khi ®ã ta cã (F \ N)  (X \ O) =  Suy F  (X \ N)  (X \ O) =  Tõ ®ã ta cã F  (X \ O) N Vì (X \ O) F tập đóng N không chứa tập đóng khác rỗng nên ta suy (X \ O) F =  V× thÕ cl(A)  F O VËy A tập g-đóng 1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ‫)ﺡ‬ Ký hiÖu D = A: A  X A tập g-đóng Với E X ta ký hiÖu C*(E) =  A: E  A  D 1.13 Bỉ ®Ị NÕu E  X th× E  C*(E)  cl(E) Chøng minh Vì tập đóng tập g-đóng, nên C*(E) cl(E) Hiển nhiên ta có E C*(E) Vì E  C*(E)  cl(E) 1.14 Chó ý C¶ hai bao hàm thức bổ đề tr-ớc thùc sù ThËt vËy xÐt X =a, b, c Víi tôpô =, a, a, b, X C*(a) = a,c, có hai tập g-đóng chứa a, c vµ X Trong cl(a) = X cã nghÜa lµ a  (A)  cl(a), tøc lµ C*(a) lµ tËp thùc sù cđa cl(a)   1.15 Định lý Giả sử X không gian tôpô C* toán tử bao đóng Kuratowski X Chứng minh (i) HiĨn nhiªn ta cã C*() =  (ii) Tõ Bỉ ®Ị 1.13 ta suy nÕu E  X E C*(E) (iii) Giả sử A D mà E  F  A Khi ®ã C*(E)  C*(F) = C*(E  F) ThËt vËy v× E, F  A nên C*(E) A, C*(F) A Vì C*(E)  C*(F)  A : E  F  A D = C*(E F) Đảo lại: Giả sö x  C*(E  F), nÕu x  C*(E) C*(F) tồn tập g-đóng A1, A2 víi E  A1, F  A2 vµ x  A1  A2 Nh-ng E  F  A1 A2 A1 A2 tập g-đóng Điều mâu thuẫn với x C*(E F) Vậy C*(E)  C*(F) = C*(E  F) (iv) NÕu E A D C*(E) A C*(C*(E)) A, nhờ định nghĩa C* ta suy C*(C*(E))   A: E  A  D = C*(E) Vì hiển nhiên ta có C*(E) C*(C*(E)) nên ta có C*(C*(E)) = C*(E) Vậy C* toán tử Kuratowski 1.16 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi tập nửa mở (semi open) nÕu tån t¹i tËp më O cho O  A  cl(O) 10 §2 TËp -nưa më 2.1 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi -nửa mở tồn tập më O cho O  A  C*(O) TËp tất cá tập -nửa mở đ-ợc ký hiệu -SO(X) 2.2 Mệnh đề Một tập -nửa mở tập -nửa mở Chứnh minh Giả sử A tập -nửa mở tồn tập mở O cho O  A  C*(O)  cl(O) Suy A lµ tËp nưa më 1.3 VÝ dơ TËp nưa më nh-ng tập -nửa mở Cho X = a, b, c, ‫ = ﺡ‬, X, a, a, b, b Ta thấy cla = a, c Mặt khác a  a, c  cl(a) = a, c Suy a, c nửa mở Nh-ng a, c tập -nửa mở tập g-đóng có chứa a lµ a, b, a, c vµ X suy C*(a) = a Do a  a, c  C*(a) = a Ta có điều phải chứng minh 2.4 Mệnh đề Giả sử (X, )là không gian tôpô A, B X Khi (i) Nếu A tập mở X A tập  - nưa më (ii) NÕu x X vµ x tập - nửa mở x tập mở (iii) TÝch cđa hai tËp - nưa më lµ tËp - nửa mở (iv) Hợp tuỳ ý tập -nửa më lµ tËp -nưa më (v) Giao cđa hai tËp -nữa mở tập -nửa mở Chứng minh (i) Giả sử A tập mở X Khi ta có A A C*(A) A tập - nửa mở (ii) Giả sử x X cho x tập - nửa mở Khi tồn tập mở V cho V  x  C*(V) Suy x = V Vậy x tập mở (iii) Giả sử A, B tập - nửa mở X Khi đó, tồn tập mở U, V cho U  A  C*(U) vµ V  B  C*(V) Tõ ®ã ta cã U x V  A x B  C*(U) x C*(V) = C*(U x V) () Vì U x V tËp më nªn tõ () ta suy A x B lµ tËp - nưa më 14 Chøng minh Từ Định nghĩa 2.10 Mệnh đề 2.4(iv) ta có (i ) (ii) V× A  B, suy -sintA B mặt khác -sintB tập -nửa mở lớn đ-ợc chứa B nên ta có -sintA -sintB (iii) Ta cã -sclA =  {F, F lµ tËp -nưa ®ãng chøa A}, suy X \ - sclA = X \  F, F lµ tËp -nưa ®ãng chøa A =  X \ F, F lµ tập -nửa đóng chứa A Vì F tập -nửa đóng chứa A nên X \ F tập -nửa mở đ-ợc chứa X \ A Vậy X \ F, F tập -nửa đóng chứa A Vậy X \ -sclA = -scl(X \ A) 2.12 MƯnh ®Ị Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi A tập - nửa më vµ chØ A  -scl(-sintA) Chøng minh Điều kiện cần Giả sử A tập nửa mở kh«ng gian t«p« (X, ‫)ﺡ‬ Ta cã -sintA  -scl(-sintA) Vì -sintA = A nên A -scl(-sintA) Điều kiện đủ Giả sử A tập không gian tôpô (X, )và A - scl(-sintA) Vì -sintA tập - nửa mở nên tồn tập më U cho U  - sintA  C*(U) Do C* toán tử Kuratowski nên ta có C*(-SintA)  C*(C*U)) = C*(U) suy U  -sintA  A  C*(-sintA)  C*(U) VËy A lµ tËp - nửa mở 15 Đ3 Các tập - đóng nửa suy rộng 3.1 Định nghĩa Tập A đ-ợc gọi tập - đóng nửa suy rộng đ-ợc viết - sg - đóng -sclA U với mäi tËp - nưa më U kh«ng gian t«p« (X, ) mà A U Tập tất tập - sg - đóng X ký hiệu -SGC(X) 3.2 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi (i) Nếu A tập - nửa đóng A tập -sg- đóng Điều ng-ợc lại không (ii) Với x X, tập {x} tập - nửa đóng tập X \ {x} tập - sg- đóng Chứng minh (i) Giả sử A tập -nửa đóng suy -sclA = A Vì với U  -SO (X, ‫ )ﺡ‬mµ A  U ta cã -sclA = A  U VËy A lµ tËp -sg-đóng Điều ng-ợc lại không lấy X = a, b, c, ‫ = ﺡ‬, a, a, b, X Khi ®ã ta cã C*(a,c) = X Suy a, c không tập -nửa đóng Vì tập - nöa më -SO (X, ‫ = )ﺡ‬, X, a,b Do tập -nửa đóng -SC (X, = )ﺡ‬, c, X Do ®ã ta cã tËp - SGC (X, ‫ = )ﺡ‬, c, a, c, b, c VËy ta có a, c tập -sg-đóng nh-ng tập -nửa đóng (ii) Giả sử x không tËp - nưa ®ãng suy tËp X \ x không tập - nửa mở Do có X lµ tËp -nưa më nhÊt chøa X \ x V× vËy - scl (X \ x)  X nên X \ {x} tập -sg- đóng Vậy tập x -nửa đóng tập X \ x tập -sg-đóng 3.3 Định nghĩa Giả sử (X, )là không gian tôpô A X, A đ-ợc gọi tập -nửa đóng suy rộng đ-ợc viết -gs- ®ãng nÕu víi U lµ tËp më bÊt kú X cho A  U ta cã -sclA  U Tập tất tập -gs-đóng X đ-ợc kí hiệu -GSC(X, ) 16 3.4 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi A tập - sg-đóng A tập -gs-đóng Điều ng-ợc lại không Chứng minh Giả sử U tập mở chứa A A U Khi U tập -nửa mở A tập -sg-đóng nên -sclA U Vậy A tập -gs-đóng Cho tập X = a, b, c, ‫ = ﺡ‬, a, X Khi ®ã (X, )là không gian tôpô -SO(X) = , a, a,b, a, c, X, -SC(X) = , b, c, b, c, X V× chØ cã tËp më X chứa a -scl(a) =X nên a tập -gs-đóng tập -sg-đóng 3.5 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi - më nưa suy réng nÕu phÇn bï X \ A -sg- đóng đ-ợc ký hiệu -sg-mở Tập tất tập -sg-mở X đ-ợc ký hiệu -SGO(X) 3.6 Bổ đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi ®ã A lµ tËp -sg-®ãng vµ chØ víi x -sclA - scl({x}) A Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập -sg-đóng không gian tôpô (X, ) Giả sử tồn x -sclA mà -scl (x) A =  Khi ®ã A  X \ - scl (x) Vì - scl(x) tập - nửa đóng nên X \ scl(x) tập -nửa mở Lại A tập -sg-đóng từ điều suy -sclA X \ -scl(x) Do ®ã ta cã -sclA  -scl(x) = Vì x -sclA Điều mâu thuẫn Vậy -scl(x) A với x -sclA Điều kiện đủ Giả sử U tập -nưa më bÊt k× chøa A LÊy bÊt kú x -sclA từ giả thiết điều kiện đủ ta suy -scl(x) A Do tồn z -scl(x) z A Vì A U nên U tập -nửa mở chứa z Nhờ §Þnh lý 2.6 ta cã U  x ≠  Suy x  U Do ®ã -sclA  U Vậy A tập -sg-đóng 17 3.7 Định lý Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi A tập -sg-đóng -sclA \ A không chứa tập -nửa đóng khác rỗng Chứng minh Giả sử A tập -sg-đóng X Khi với x -sclA nhê Bỉ ®Ị 3.6 ta cã -scl(x)  A Giả sử tồn tập -nửa đóng F cho F   vµ F  -scl(A) \ A LÊy x  F, suy x  - sclA F tập -nửa đóng nên F = -sclF Do ®ã A  -scl(x)  A  -sclF = F A Mặt khác -scl(x) A Điều mâu thuẫn với F -sclA \ A VËy -sclA \ A kh«ng chøa mét tËp - nửa đóng khác rỗng Điều phải chứng minh 3.8 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, )khi A tập -sg-mở với F -SC(X, ‫ )ﺡ‬mµ F  A ta cã F  -sintA Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A tập -sg-më vµ F  -SC(X, ‫ )ﺡ‬sao cho F  A Vì A tập -sg-mở F -SC(X, ), suy X \ A tập -sg-đóng vµ X \ F lµ tËp -nưa më vµ X \ A X \ F Từ Định nghĩa 3.1 ta cã -scl(X \ A)  X \ F Tõ X \ -sclA = -sint(X \ A) kÐo theo F  X \ -scl(X \ A) = -sintA §iỊu kiƯn đủ Để chứng minh A tập -sg-mở ta chứng minh X \ A tập -sg-đóng Giả sử U lµ tËp - nưa më bÊt kú (X, ‫ )ﺡ‬sao cho X \ A  U Khi ®ã X \ A tập -nửa đóng X \ U A Nhờ giả thiết điều kiện đủ ta cã X \ U  -sintA Suy X \ -sint A = -scl(X \ A)  U Do ®ã X \ A tập -sg-đóng Suy A tập -sg-mở Điều phải chứng minh 3.9 Hệ Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Khi A tập -nửa đóng vµ chØ -sint(- sclA)  A 18 Chøng minh Giả sử A tập không gian tôpô (X, ) Tập A -nửa đóng chØ X \ A lµ tËp -nưa më theo Mệnh đề 2.12, tập X \ A tập -nửa më vµ chØ X \ A  -scl(-sint(X \ A)) Tõ ®ã X \ A  -scl(-sint(X \ A)) T-ơng đ-ơng với A X \ -scl(-sint(X \ A)) Tõ X \ -sclA = -sint(X \ A) ta cã X \ -scl(-sint(X \ A)) = -sint(X \ -sint (X \ A) = - sint (-scl(X \ (X \ A))) = -sint(-sclA) Do ®ã X \ -scl(-sint(X \ A)) A t-ơng đ-ơng với -sint (-sclA) A Vậy ta có điều phải chứng minh 3.10 Mệnh đề Giả sử A, B hai tập không gian tôpô (X, ) Khi (i) Nếu A tập -sg-đóng B tập đóng A B tập -sg-đóng (ii) Nếu A tập -sg-mở, B tập mở A B tập -sg-më (iii) NÕu A lµ tËp -sg-më, B lµ tËp -nửa đóng A B tập -sg-đóng (iv) Hợp hai tập -sg-đóng không tập -sg-đóng Chứng minh (i) Giả sử A B U, víi U lµ tËp -nưa më Tõ A lµ tËp -sg-®ãng suy -scl(A  B) = (A  B)  int (-C*(A  B))  U  ( A  B) = U VËy A  B lµ tập -sg-đóng (ii) Vì A tập -sg-mở nên X \ A tập -sg-đóng, B tập mở nên X \ B tập đóng Do ta có (X \ A)  (X \ B) = X \ (A  B) Mµ theo (i) lµ tËp (X \ A) (X \ B) tập -sg-đóng Vậy A  B lµ tËp -sg-më 19 (iii) Cho X = a, b, c, d, ‫ = ﺡ‬, a, b, a, b, X Khi (X, )là không gian tôpô A = a, B=b hai tập -sg-đóng, nh-ng A B = a, b không tËp -sg-®ãng (iv) Cho X = a, b, c, d, ‫ = ﺡ‬, a, b, a, b, X Khi ®ã (X, )là không gian tôpô A = a, B = b hai tập -sg-đóng Mặt khác ta cã C*(a) = C*(b) = C*(a, b) = C*(a, c) = C*(b, c) = C*(X) = X Nh-ng A B = a, b không tập -sg-đóng 3.11 Định nghĩa Cho A tập không gian tôpô (X, ) Khi giao tất tập -sg-đóng chứa A đ-ợc gọi -bao đóng-nửa-suy rộng A ký hiệu -sgclA 3.12 Mệnh đề Giả sử A B tập không gian tôpô (X, ) Khi A B th× -sgclA  -sgclB Chøng minh Do A  B nên tập -sg-đóng mà chứa B chứa A Vì ta có điều phải điều phải chứng minh 3.13 nh ngha Giao tất tập *-gs-đóng chứa A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi *-nửa-baođóng suy rộng (generalized semiclosure) A đ-ợc ký hiệu 8-gsclA 3.14 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, ‫)ﺡ‬ Khi ®ã A  - gsclA  - sgclA -sclA C*(A) Chứng minh Ta có tập -nửa đóng tập -sg-đóng, tập -sg-đóng tập -gs-đóng nên ta có điều phải chứng minh 3.15 Định nghĩa Hợp tất tập -sg-mở nằm A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi -phần trong-nửa suy rộng A đ-ợc ký hiệu -sgintA 3.16 Mệnh đề Giả sử A B tập không gian tôpô (X, ) Khi A B -sgintA -sgintB 20 Chøng minh Ta cã A  B nªn U tập -sg-mở nằm A U B Vậy ta có điều phải chứng minh 3.17 Định nghĩa Điểm x không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi là-điểm biên-nửa phần suy rộng A tồn tập -gs-mở U A U chứa x 3.18 Định nghĩa Cho A tập không gian tôpô (X, đ )iểm x X đ-ợc gọi -điểm biên-nửa-suy rộng tập A tËp - sg- më U chøa x th× U  A ≠  vµ U  (X \ A) ≠ Tập tất *-điểm biên-nửa-suy rộng A đ-ợc ký hiệu -sgdA 3.19 Mệnh đề Giả sử A tập không gian tôpô (X, ‫ )ﺡ‬ Khi ®ã - sgclA = A  - sgdA Chøng minh Ta cÇn chøng minh A  -sgdA  -sgclA vµ -sgcl  A  -sgdA Tr-íc hÕt ta chøng minh A  -sgdA -sgclA LÊy x  A  -sgdA NÕu x  A th× x  -sgclA Nếu x -sgdA Gọi G tập -sg-đóng bÊt kú chøa A §Ĩ chøng minh x  -sgclA, ta ph¶i chøng minh x  G ThËt vËy, nÕu x  G th× x  X \ G Do X \ G lµ tËp - sg-më vµ x  -sgdA nên từ Định nghĩa 3.17, suy A [(X \ G)] Điều mâu thuẫn với A  G Do ®ã x  G VËy A - sgdA -sgclA Ng-ợc lại, chứng minh -sgclA  A  -sgdA LÊy x  - sgclA vµ giả sử x A x - sgclA tồn tập -sg-mở U chứa x cho A  U =  hc (X \ A)  = Vì x A nên suy A  U =  Suy A  X \ U VËy x  -sgclA VËy -sgclA  A  - sgdA 3.20 Định lý Nếu A tập không gian tô pô (X, )thì (i) -sgdA  - sgdB = - sgd(A  B) (ii) -sgclA  - sgclB = -sgcl (A  B) 21 (iii) -sgcl(-sgclA) = -sgclA Chøng minh (i) Gi¶ sử x -sgdA -sgdB Khi không tính tổng quát ta giả sử x -sgd(A) Vì thÕ ta cã U  (X \ A) =  vµ U  A ≠  víi mäi tËp -sg-më U Điều t-ơng đ-ơng với x -sgd (A  B)  (ii) Ta cã - sgcl \ (A  B) = ( A  B)  - sgd(A  B) = (A  -sgdA)  (B  -sgdB) = - sgclA  -sgclB  (iii) - sgcl(-sgclA) = - sgcl (A  -sgd A) = (A  -sgdA)  -sgd(A  -sgdA) = (A  -sgdA)  -sgdA  -sgd(-sgdA) = A  -sgdA = -sgclA  3.21 Hệ Nếu A B tập không gian tôpô (X, )thì (i) - sgcl(X \ A) = X \ -sgintA (ii) - sgint(X \ A) = X \ -sgclA Chøng minh (i) Ta cã X \ -sgint A = X \   F  F lµ tËp -sg-më  A =   X F \ X \ F tập -sg-đóng chứa X \ A = - sgint (X \ A) VËy ta có điều phải chứng minh (ii) Ta có X \ -sgclA = X \  F  F lµ tËp -sg-®ãng chøa A =   (X  F) \ X \ F lµ tËp -sg- më n»m X \ A = - sgint(X \ A) VËy ta có điều phải chứng minh 3.22 Định nghĩa Không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi -nửa-T1/2- không gian lớp tập -sg-đóng trùng với lớp tập -nửa ®ãng 22 3.23 MƯnh ®Ị Gi¶ sư (X, ‫ )là không gian tôpô Khi đó, tập -sg-đóng (X, )là tập -nửa đóng (X, )là -nửa-T1/2- không gian Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2 tập -nửa đóng tập -sg-đóng Vậy từ Định nghĩa 3.23, ta có điều phải chứng minh 3.24 Định nghĩa ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đ-ợc gọi ánh xạ -sg-đóng với tập đóng F (X, )thì (F) tập -sg-đóng (Y, ) 3.25 Định lý Nếu f : (X, ) (Y, ) ánh xạ -sg-đóng - sgcl((A)) f (C*(A)) với tập A cđa (X, ‫)ﺡ‬ Chøng minh Ta cã C*(A) lµ tËp -sg-đóng ánh xạ -sg-đóng nên f ( C*(A)) tập -sg-đóng Mặt khác f (A) f ( C*(A)) nên theo định nghĩa tập -sgcl ta có - sgcl(f (A) f ( C*(A)) 3.26 Định nghĩa ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đ-ợc gọi ánh xạ - sg-mở với tập tập mở U (X, )thì f (U) tập -sg-mở (Y, ) 3.27 Định lý Cho ánh xạ f : (X, ) (Y, ) xét mệnh đề (i) f ánh xạ -sg mở (ii) f (intA) -sgint(f (A)) với tập A X (iii) Mỗi x X tập mở U X chứa x tồn tËp -sg-më V Y chøa f (x) cho V  f (U) Khi ®ã ta cã (i) => (ii) => (iii) Chøng minh (i) => (ii) Ta có intA tập mở F ánh xạ -sg-mở nên f (intA) tập -sg-mở Mặt khác f (intA)  f (A) nªn suy f (intA)  -sgint (f (A)) Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) => (iii) Giả sử U tập mở X chứa x, f(U) tập -sg-mở Y chøa f (x), lÊy V = f (U) th× V f (U) Vậy ta có điều phải chứng minh 23 3.28 Định lý Giả sử f : (X, ) (Y, ) ánh xạ -sg-mở, B Y F tập đóng chứa f -1(B) tồn tập -sg-đóng V Y cho B  V vµ f -1(V)  F - Chứng minh Giả sử F tập đóng chứa f 1(B) Khi X \ F tập mở không - giao víi f 1(B) Suy f (X \ F) tập -sg-mở không giao với B Do Y \ f (X \ F) tập -sg-đóng chứa B Chän V = Y \ f (X \ F) vµ f -1(V) = f -1 [Y \ f (X \ F)] = X \ (X \ F) = F Vậy ta có điều phải chứng minh 3.29 Định nghĩa ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đ-ợc gọi ánh xạ -sg-liên tục f -1(V) -sg-đóng (X, )với tập đóng V (Y, ) 3.30 Mệnh đề ánh xạ f : (X, ) (Y, ) -sg-liên tục nghịch ảnh tập mở tập -sg-mở Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f ánh xạ -sg-liên tục B tập mở Y Khi Y \ B tập đóng Nhờ giả thiết f *-sg-liên tục nên f -1(Y \ B) tập -sg-đóng Suy tập X \ f -1(B) tập -sg-đóng Vậy f -1(B) tập -sg-mở Điều kiện đủ Giả sử B tập đóng Y Khi X \ B tập më Y Nhê gi¶ thiÕt ta cã f -1(X \ B) lµ tËp -sg-më Suy ta cã X \ f -1(B) = f -1(Y \ B) lµ tËp -sg-mở Do f -1(B) tập -sg- đóng Vậy f ánh xạ -sg - liên tục 3.31 Mệnh ®Ị Gi¶ sư f : (X, ‫ )ﺡ‬ (Y, ) ánh xạ liên tục f ánh xạ -sg-liên tục Chứng minh Giả sử A tập đóng Y, f ánh xạ liên tục nên f -1(A) tập đóng X Suy f -1(A) tập -sg-đóng Vậy f ánh xạ -sg-liên tục 3.32 Mệnh đề Giả sử f : (X, ) (Y, ) ánh xạ -sg-liên tục Khi f ánh xạ -gs-liên tục 24 Chứng minh Giả sử A tập đóng không gian Y, f ánh xạ -sg-liên tục nên f -1(A) tập -sg-đóng Mặt khác theo Mệnh đề 3.5, suy f -1(A) tập -gs-đóng Vậy f ánh xạ -gs-liên tục 3.33 Định lý Nếu f : (X, ) (Y, ) ánh xạ -sg-liên tục h : (Y, ) (Z, ) ánh xạ liên tục h f : (X, ) (Z, ) ánh xạ -sg-liên tục Chứng minh Giả sử F tập đóng Z ta cần chứng minh (h o f) -1(F) tập - sg-đóng X ThËt vËy, ta cã (h o f ) -1(F) = f -1(h -1(F)) Do h ánh xạ liên tục nên h -1(F) tập đóng f ánh xạ -sg-liên tục nên f -1(h -1(F)) tập -sg-đóng Vậy h o f ánh xạ -sg-liên tục 25 Đ4 Tích tập -đóng nửa-suy rộng 4.1 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi làm trội phần cđa mét tËp -nưa më nÕu A  intW víi mäi A  W vµ W lµ tËp - nưa më TËp A cđa kh«ng gian t«p« (X, đ )-ợc làm trội bao đóng tập - nửa đóng với tập -nửa đóng F mµ F  A ta cã cl(F)  A 4.2 Bổ đề Giả sử A (X, ), B (Y, ), A x B đ-ợc làm trội phần tập -nửa mở A, B tËp compact vµ W lµ tËp - nưa më cho A x B W tồn tËp më U vµ V mµ A  U, B  V cho U x V  W Chøng minh Giả sử A x B đ-ợc làm trội phần tập - nửa mở, W lµ tËp -nưa më cho A x B W A x B intW intW tập mở, tồn tập mở U X, V më Y mµ A  U, B  V cho U x V  intW VËy ta có điều phải chứng minh 4.3 Định lý Giả sö A  (X, ‫)ﺡ‬, B  (Y, ) Khi ta có (i) Nếu A x B đ-ợc làm tréi bëi phÇn cđa tËp -nưa më A, B tập compact -sg-đóng A x B -sg-đóng (ii) Nếu A x B đ-ợc làm trội bao đóng tập -nửa đóng A, B tập -sg-mở A x B tập - sg-mở Chứng minh (i) Giả sử W tập - nửa më chøa A x B, ta cÇn chøng minh -scl (A x B)  W V× A, B compact, A W, nhờ Bổ đề 4.2, tồn tập mở A  U vµ tËp më B  V cho U x V W Mặt khác A B tập *- sg-đóng nên suy *-sclA U, *-sclB  V, suy -scl(A x B)  -sclA x -sclB  U x V  W VËy A x B tập -sg-đóng (ii) Giả sử F tập -nửa đóng không gian tích (X x Y, ‫ ﺡ‬x ) cho F  A x B Sử dụng giả thiết ta có cl(F) A x B Do với (x, y) F ta cã 26 -scl(x}) x (y})  -scl(x) x -scl(y)  C*(x) x C*(y) = C*(x,y)  cl(F)  A x B Suy -sclx vµ -scly lµ hai tập nửa đóng t-ơng ứng nằm A, B Vì A, B hai tập -sg-mở nên -sclx -sintA vµ -sintB  -sint(A x B) VËy A x B tập -sg-mở 4.4 Định nghĩa Không gian (X, đ )-ợc gọi -Tgs-không gian tập -gs-đóng tập -sg- đóng 4.5 Định nghĩa ánh xạ f : (X, ) (Y, ) đ-ợc gọi *-gs-không giải ®-ỵc (*-gs-irresolute) nÕu víi mäi tËp *-gs-®ãng F cđa Y f -1(F) tập *-gs-đóng X 4.6 Bổ ®Ị NÕu f : (X, ‫ )ﺡ‬ (Y, ) lµ phép đồng phôi, (i) f -gs- không giải ®-ỵc (ii) Víi tËp -sg-®ãng bÊt kú F X ta có f (F) -sg-đóng Y Chứng minh (i) Giả sử F tập -gs-đóng Y vµ U lµ tËp më bÊt kú X cho f -1(F) U Vì f phép đồng phôi nên ta có f (U) mở Y F X Do F tập -gs-đóng nên C*(F) f (U) Lại f phép đồng ph«i ta suy C*( f -1(F))  cl (f -1(F)) U Vậy f (F) tập -gs-đóng Y f *-gs-không giải đ-ợc 4.7 Định lý Giả sử f : (X, ) (Y, ) phép đồng phôi Nếu X -Tgskhông gian Y -Tgs- không gian Chứng minh Giả sử F tập -gs-đóng Y Nhờ Bổ đề 4.6(i) f -1(F) tập -gs-đóng X Vì X -Tgs-không gian, nên f -1(F) tập -sgđóng lại nhê Bỉ ®Ị 4.6(ii) ta suy ra, F = f (f -1(F)) tập *-sg-đóng Y Vậy Y -Tgs-không gian 27 Kết luận Sau gần năm tìm đọc tài liệu nghiên cứu đề tài, d-ới h-ớng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Trần Văn Ân đà đạt đ-ợc sè kÕt qu¶ sau: 1) Giíi thiƯu mét sè vÊn đề tôpô đại c-ơng 2) Hệ thống kh¸i qu¸t c¸c kiÕn thøc, tÝnh chÊt vỊ c¸c tËp *-sg-đóng, ánh xạ -sg-đóng Tìm đ-ợc mối quan hệ tập đóng, tập *-nửa đóng, -sg-đóng qua Mệnh đề 3.2, Mệnh đề 3.5 3) Đ-a chứng minh Mệnh đề 2.8, Mệnh đề 2.9 4) Đ-a chứng minh Định lý tính chất ánh xạ *-sg-đóng, *-sg-mở Định lý 4.3 28 Tài liệu tham khảo [1] M Caldas, R R Saraf (2000), A research on characterizations of semi-T1/2 spaces, Divulgaciones Matematicas, (1), 43-50 [2] W Dunham (1977), T1/2-spaces, Kyungpook Math J., 17 (2), 161-169 [3] W Dunham and N Levine (1980), Furthe rÐults on generalized closed sets in topology, Kyungpook Math J., 20, 169-175 [4] Nguyễn Văn khuê (chủ biên) (2001), sở lý thuyết hàm giải tích hàm, T1 Nxb GD [5] J.L Kelley (1970), Topo đại c-ơng, Nxb ĐH & THCN, Hà Nội 1973 [6] N Levine, Generalized closed sets in topology, Rend Cirs Math Palermo, 19, 89-96 [7] G B Navalagi (2003), Properties of gs-closed sets and sg-closed sets, Topology Atlas, Preprint [8] Olav Njastad (1965), On some classes of nearly open sets, Pacific Journal of MathematÝc, 15 (3), 961-970 ... trình bày kiến thức tập tập -đóng nửa- suy rộng Đ2 Đ3 Tập -đóng nửa- suy rộng Phần giới thiệu khái niệm tính chất tập -đóng nửa- suy rộng (-sg -đóng) , xét mối liên hệ tập đóng tập sg -đóng số điều kiện... hai tập không gian tôpô (X, ) Khi (i) Nếu A tập -sg -đóng B tập đóng A B tập -sg -đóng (ii) Nếu A tập -sg-mở, B tập mở A B tập -sg-mở (iii) Nếu A tập -sg-mở, B tập -nửa đóng A B tập -sg -đóng. .. nghĩa Không gian tôpô (X, đ )-ợc gọi -nửa- T1/2- không gian lớp tập -sg -đóng trùng với lớp tập -nửa đóng 22 3.23 Mệnh đề Giả sử (X, )là không gian tôpô Khi đó, tập -sg -đóng (X, )là tập -nửa đóng