Về định lý matheron cho không gian tôpô

0 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu 1 Định lý Matheron cổ điển 1.1 Các khái niệm 1.2 Định lý Matheron cổ điển Về Định lý Matheron cho không gian tôpô 2.1 Mở rộng Định lý Matheron cho không gian tôpô 15 15 2.2 Một số ví dụ 19 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 LỜI NÓI ĐẦU Định lý Matheron kết lý thuyết tập đóng ngẫu nhiên, đóng vai trị quan trọng lý thiết xác suất Định lý Matheron cổ điển phát biểu cho không gian metric, khả ly compact địa phương E cho không gian tôpô E compact địa phương, Hausdorff khả ly Khi khơng gian F (khơng gian tập đóng không gian tôpô E) với tôpô Matheron compact, Hausdorff khả ly Trong chứng minh định lý mình, Matheron sử dụng triệt để tính chất compact địa phương không gian E Nhưng miền tự nhiên lý thuyết xác suất không gian Polish (không gian metric đầy đủ, khả ly) tổng quát không gian metric lĩnh vực có ứng dụng Định lý Matheron khơng phải có đầy đủ liệu giả thiết định lý Sự mở rộng Định lý Choquet gắn liền với mở rộng Định lý Matheron Do người ta tìm cách mở rộng vấn đề liên quan đến Định lý Matheron cho không gian tôpô E tổng quát cách "giảm nhẹ" giả thiết định lý Chẳng hạn, gần tác giả Nguyễn Nhuỵ, Đậu Thế Cấp, Bùi Đình Thắng, Vũ Hồng Thanh, đạt số kết mở rộng Định lý Khi nghiên cứu mở rộng Định lý Matheron cho không gian tôpô tổng quát, kết đạt là, trường hợp khơng gian tơpơ E, khơng gian F với tôpô Matheron compact T1 không gian; với giả thiết không gian E Hausdorff khả ly, tơpơ Matheron khơng gian F khả ly; với giả thiết E T1 - không gian có điểm khơng compat địa phương, tôpô miss - and - hit không gian F khơng cịn Hausdorff Trong luận văn chúng tơi trình bày ví dụ minh hoạ kết định lý, ví dụ chứng tỏ giả thiết không gian E Hausdorff điều kiện đủ để không gian F Hausdorff đồng thời tồn không gian E compact địa phương không gian F lại không Hausdorff Bởi vậy, việc đặt vấn đề nghiên cứu mở rộng Định lý Matheron không gian miền tự nhiên lý thuyết tập đóng hồn tồn có ý nghĩa Với nội dung nói luận văn trình bày thành chương Chương Định lí Matheron cổ điển, dành cho việc trình bày kiến thức không gian tôpô, sở không gian tôpô, không gian compact, không gian khả ly, không gian Hausdorff Định lý Matheron cổ điển Chương Về Định lí Matheron cho khơng gian tơpơ, bàn mở rộng Định lý Matheron không gian metric khơng compact địa phương, lấy ví dụ minh hoạ kết trình bày Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.3 đồng thời trình bày phản ví dụ cho kết khơng cịn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Xuân Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Xuân Sơn hướng dẫn chu đáo, giúp đỡ tận tình suốt trình thực luận văn Chúng xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Vinh, Khoa Đào tạo Sau Đại học, thầy giáo Khoa Tốn tạo điều kiện giúp đỡ cho chúng tơi hồn thành nhiệm vụ học viên cao học Trong trình viết chỉnh sửa Luận văn chúng tơi ln nhận giúp đỡ dẫn nhiệt tình TS Lê Xuân Sơn, thầy cô giáo bạn bè Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo bè bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG ĐỊNH LÝ MATHERON CỔ ĐIỂN 1.1 Các khái niệm Trong phần này, trình bày khái niệm đưa tài liệu [1], [5] không gian tôpô, sở không gian tôpô, không gian khả ly, không gian compact, không gian compact địa phương, tiên đề tách số kiến thức bổ trợ sử dụng phần luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập X khác rỗng, hàm số ρ : X×X → R xác định tập tích X × X lên tập số thực R Khi a) Hàm số ρ gọi metric tập X thoã mãn điều kiện sau: i) ρ(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X ii) ρ(x, y) = x = y iii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với x, y ∈ X iV ) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(x, z), với x, y, z ∈ X b) Với ρ metric X, cặp (ρ, X) không gian metric 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X khác rỗng, ký hiệu T họ tập X Khi a) Họ T gọi tôpô X họ T thoã mãn điều kiện sau: i) ∅ X tập thuộc T ii) Hợp họ tuỳ ý tập thuộc T tập thuộc T iii) Giao họ hữu hạn tập thuộc T tập thuộc T b) Tập hợp X với tôpô T X gọi không gian tôpô 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho A tập khơng gian tơpơ X Khi a) Tập A gọi tập mở X điểm x ∈ A, tồn hình cầu mở S(x, r) = {y ∈ X : ρ(x, y) < r, r > 0} chứa điểm x nằm A b) Tập A gọi tập đóng X phần bù X \ A tập mở c) Tập A gọi lân cận điểm x X A có tập mở chứa điểm x 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử X không gian tôpô, với điểm x ∈ X ta ký hiệu Ux họ tất lân cận điểm x Họ B(x) tập X, B(x) ⊂ Ux gọi sở lân cận điểm x, với U ∈ Ux , tồn V ∈ B(x) cho x ∈ V ⊂ U 1.1.5 Định nghĩa ([1], [5]) Giả sử B họ tập mở không gian tôpô X, tức B ⊂ T Khi B gọi sở không gian tôpô X với tập mở X hợp họ tập thuộc B 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô (X, T ) Họ σ tập X gọi tiền sở tôpô T tập hợp X X = S S∈σ họ tất giao hữu hạn phần tử σ lập thành sở T 1.1.7 Định lý ([5]) Họ B tập sở tơpơ tập X= {B : B ∈ B} hai phần tử U V họ B điểm x ∈ U ∩ V , tồn phần tử W B cho x ∈ W W ⊂ U ∩ V 1.1.8 Định nghĩa ([1]) Giả sử A tập không gian tôpô X Khi A gọi tập trù mật X bao đóng A (giao họ tất tập hợp đóng chứa A) tập X 1.1.9 Định lý ([5]) Giả sử A tập khơng gian tơpơ X Khi tập A trù mật X tập mở khác rỗng X có điểm chung với tập A 1.1.10 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi khả ly có tập đếm trù mật X 1.1.11 Định lý ([5]) Nếu khơng gian tơpơ X có sở đếm được, khơng gian X khả ly 1.1.12 Định nghĩa ([1], [5]) Giả sử X không gian tơpơ Khi X T1 - khơng gian với x, y ∈ X, x = y, tồn lân cận U điểm x, lân cận V điểm y cho x ∈ / V y ∈ / U 1.1.13 Định lý ([1]) Không gian tôpô X T1 - không gian điểm x ∈ X tập đóng 1.1.14 Định nghĩa ([5]) Khơng gian tơpơ X gọi T2 - không gian không gian Hausdorff với x, y ∈ X, x = y, tồn lân cận U điểm x, V điểm y cho U ∩ V = φ 1.1.15 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng, A tập X Ta nói phủ A họ tập X mà hợp chúng chứa A Một phủ phủ tập A họ phủ cho mà phủ A Giả sử A tập không gian tôpô X Một phủ mở A phủ A mà tất phần tử thuộc phủ T - mở (các tập mở không gian tôpô X) 1.1.16 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn, tức phủ {Us }s∈S X, k U si tồn tập hữu hạn S = {s1 , s2 , , sk } ⊂ S cho X = i=1 Tập A không gian tôpô X compact không gian A X không gian compact, tức A không gian compact với tôpô cảm sinh 1.1.17 Định lý ([5]) Tập A không gian tôpô X compact phủ mở A có phủ hữu hạn 1.1.18 Định lý ([5]) Không gian tôpô X compact họ tập đóng có tính giao hữu hạn có giao khác rỗng Chứng minh Nếu U họ tập khơng gian tơpơ X, theo công thức Đơ Moocgăng X\ {A : A ∈ U} = {X\A : A ∈ U} Do đó, U phủ không gian tôpô X {X \ A : A ∈ U} = φ Giả sử {Vs }s∈S họ V họ tập mở không gian tơpơ X Vì khơng gian tơpơ X compact họ tập mở mà họ khơng phủ X, khơng phủ X Nên khơng gian X compact với họ {Vs }s∈S họ V có X \ Vs = φ {X \ A : A ∈ V} = φ Những đòi hỏi s∈S tương đương với đòi hỏi rằng, họ tập đóng có tính giao hữu hạn khác rỗng 1.1.19 Định lý ([5], Alexandroff) Nếu σ tiền sở tôpô không gian X cho phủ X phần tử σ có phủ hữu hạn, X compact Chứng minh Để ngắn gọn ta quy ước gọi họ tập không gian X khơng đầy đủ khơng phủ X không đầy đủ hữu hạn họ hữu hạn khơng phủ X Khi điều kiện compact phát biểu sau: Mỗi họ khơng đầy đủ hữu hạn tập mở không gian họ không đầy đủ Ta nhận thấy lớp họ không đầy đủ hữu hạn tập mở có đặc trưng hữu hạn họ không đầy đủ hữu hạn chứa họ tối đại Vì họ khơng đầy đủ hữu hạn tối đại U có tính chất đặc biệt sau: C tập mở X C ∈ / U, tính chất tối đại U tồn họ hữu hạn A1 , , Am U cho C ∪ A1 ∪ ∪ Am = X Do tập mở chứa C không thuộc U Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tập mở C , C ⊂ C cho C ∈ U Khi tồn tập A ∈ U cho C = A, kéo theo U họ đầy đủ hữu hạn, mâu thuẫn Nếu D tập mở khác không thuộc U, U tồn tập hợp B1 , , Bn cho D∪B1 ∪ ∪Bn = X (C∩D)∪A1 ∪ ∪Am ∪B1 ∪ ∪Bn = X, phép tính lý thuyết đơn giản Có nghĩa C ∩ D ∈ / U Do đó, phần tử họ hữu hạn tập mở khơng thuộc U, tập mở chứa giao phần tử họ khơng thuộc U Nói cách khác, phần tử U chứa giao số hữu hạn tập mở C1 ∩ ∩ Cp , thiết có Ci phải thuộc U Định lý chứng minh chi tiết sau Giả sử σ tiền sở, cho phủ mở phần tử tiền sở có phủ hữu hạn (tức họ không đầy đủ hữu hạn không đầy đủ) giả sử B họ không đầy đủ hữu hạn tập mở X Khi tồn họ khơng đầy đủ hữu hạn tối đại tập mở U chứa họ B Ta cần chứng minh U họ không đầy đủ Thật vậy, họ σ ∩ U gồm tất phần tử U thuộc σ không đầy đủ hữu hạn, khơng phủ X Vì σ tiền sở, nên điểm x phần tử tuỳ ý A ∈ U thuộc giao họ hữu hạn phần tử họ σ, giao nằm hồn tồn A Do đó, phần tử họ hữu hạn phải thuộc U, nghĩa {A : A ∈ U} ⊂ {A : A ∈ σ ∩ U}, kéo theo U họ không đầy đủ 1.1.20 Định lý ([5]) Nếu A tập compact không gian Hausdorff X x ∈ X \ A, tồn lân cận không cắt A x Do đó, tập compact khơng gian Hausdorff X tập hợp đóng Chứng minh Lấy x ∈ X \ A, X khơng gian Hausdorff, nên điểm a ∈ A, tồn lân cận U điểm a cho x ∈ / U Do tính compact tập A nên tồn họ hữu hạn tập mở U0 , U1 , , Un phủ A cho x∈ / Ui , với i = 1, 2, , n Đặt V = Ui , i = 0, 1, 2, , n , ta có V tập mở, A ⊂ V x ∈ / V Khi V X \ V lân cận không cắt A x Tiếp theo để chứng minh tập A đóng, chứng minh X \ A tập mở Thật vậy, A ⊂ V x ∈ / V nên với x ∈ X \ A có lân cận X \ V thỗ mãn x ∈ X \ V ⊂ X \ V ⊂ X \ A Do A tập đóng 1.1.21 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X, tồn lân cận U điểm x cho bao đóng U tập compact X 1.2 Định lý Matheron cổ điển Phần chúng tơi trình bày việc xây dựng tôpô miss - and - hit khơng gian F tập đóng khơng gian tơpơ E Trình bày chứng minh chi tiết Định lý Matheron cổ điển Trước hết ta có kết sau 1.2.1 Mệnh đề ([6]) Giả sử E không gian compact địa phương, Hausdorff khả ly Khi a) Với tập compact K ⊂ E, tồn dãy tập mở giảm E: ∞ G1 ⊃ G2 ⊃ Gn ⊃ cho K = Gn Nói cách khác với tập n=1 mở G ⊃ K, bao hàm thức Gn ⊂ G thoả mãn với n đủ lớn b) Với tập đóng F tập compact K rời E, tồn hai tập mở rời G G’ với G ⊃ F G ⊃ K c) Với tập mở G ⊂ E tồn dãy tăng tập mở, compact ∞ tương đối {Bn } với B n ⊂ Bn+1 cho G = ∞ Bn = n=1 B n Đặc biệt n=1 với tập compact K ⊂ G, ta có bao hàm thức K ⊂ Gn với n đủ lớn d) Tồn họ đếm B tập mở E cho tập mở G hợp họ B Hơn nữa, chọn B cho B ∈ B compact tương đối tập mở G hợp tập B ∈ B thoả mãn B ⊂ G 1.2.2 Kí hiệu ([6]) Trong phần ta ký hiệu F, K G tương ứng họ tập đóng, compact mở không gian tôpô E Nghĩa F = {F : F ⊂ E, F − đóng} K = {K : K ⊂ E, K − compact} G = {G : G ⊂ E, G − mở} Với tập A ⊂ E, đặt FA = {F : F ∈ F , F ∩ A = φ}, F A = {F : F ∈ F , F ∩ A = φ} Khi đó, với {Bi , i ∈ I} lớp tập E ta có đẳng thức FBi = F i∈I i∈I F Bi = F Bi , i∈I i∈I Bi 16 Đặt F = {x1 , x2 , , xn }, ta có F K = φ F Gi = φ, với i = 1, 2, , n Suy F ∈ FGK1 ,G2 , ,Gn Rõ ràng F tập hữu hạn, nên F ∈ A, A tập đếm được, kết hợp với Định lý 1.2.3, ta có {FGK1 ,G2 , ,Gn , K ∈ K, G1 , G2 , , Gn ∈ G, n ∈ N} sở tơpơ đếm Do F không gian khả ly 2.1.2 Định lý ([4], [7]) Giả sử E khơng gian tơpơ Khi tôpô miss and - hit không gian F compact Chứng minh Theo Định lý 1.1.18 (Alexandroff), để chứng minh tôpô miss - and hit không gian F compact, cần {F Ki , Ki ∈ K, i ∈ I} {FGj , Gj ∈ G, j ∈ J} phủ mở F gồm phần tử thuộc tiền sở tôpô miss and - hit không gian F, có phủ hữu hạn Thật vậy, F Ki F= FGj i∈I j∈J nên ta có φ= F Ki F\ F\ i∈I FGj j∈J F \ F Ki = F \ FGj i∈I = j∈J F Gj FKi i∈I = j∈J FKi F j∈J Gj , (2.1.1) i∈I Ki ∈ K, với i ∈ I Gi ∈ G, với j ∈ J Đặt Ω = Gj , tập mở Khi đó, đẳng thức (2.1.1) viết j∈J 17 lại φ= FΩ = FKi i∈I FKΩi (2.1.2) i∈I Do tồn số i0 ∈ I cho Ki0 ⊂ Ω Thật vậy, giả sử ngược lại không tồn số i0 để Ki0 ⊂ Ω, với i ∈ I ta có Ki (E \ Ω) = φ Mặt khác ta lại có (E \ Ω) Ω = φ E \ Ω tập FKΩi , mâu thuẫn với giả thiết (2.1.2) Bởi đóng Do E \ Ω ∈ i∈I Ki0 ⊂ Gj j∈J Vì Ki0 compact, tồn phủ mở hữu hạn {Gj1 , Gj2 , , Gjn } Ki0 n cho Ki0 ∈ Gjk , số j1 , j2 , , jn ∈ J Khi k=1 FKi0 F Gj1 F Gj2 F Gjn = φ (2.1.3) Đẳng thức (2.1.3) tương đương với F \ F Ki0 FGj1 FGj2 FGjn = φ, nghĩa F Ki0 FGj1 FGj2 FGjn = F Do F không gian compact 2.1.3 Định lý ([4], [7]) Giả sử E khơng gian tơpơ Khi khơng gian F với tôpô miss - and - hit T1 - không gian Chứng minh Lấy hai phần tử tuỳ ý F1 , F2 ∈ F , F1 = F2 Ta chứng minh tồn lân cận phần tử F1 không chứa phần tử F2 Thật vậy, F2 \ F1 tập rỗng, F1 (E \ F2 ) = φ F2 (E \ F2 ) = φ Khi φ φ F2 ∈ FE\F2 = FE\F F1 ∈ FE\F2 = FE\F 2 φ Suy FE\F lân cận phần tử F1 không chứa phần tử F2 Ngược lại F2 \ F1 tập khác rỗng, tồn điểm x ∈ F2 \ F1 Khi có {x} F2 = φ {x} F1 = φ, 18 kéo theo {x} F1 ∈ F {x} = FE {x} Nghĩa tập FE {x} F2 ∈ / F {x} = FE lân cận phần tử F1 không chứa phần tử F2 Do tơpơ miss - and - hit không gian F T1 - không gian 2.1.4 Định lý ([7]) Nếu E T1 - khơng gian có điểm khơng compact địa phương, tơpơ miss - and - hit khơng gian F Hausdorff Chứng minh Để chứng minh không gian F Hausdorff, nghĩa tồn hai phần tử không gian F cho lận cận chúng có giao khác rỗng Thật vậy, khơng gian E có điểm không compact địa phương, giả sử điểm x0 ∈ E, nghĩa x0 khơng có lân cận compact Lấy điểm x1 ∈ E \ {x0 }, đặt F = {x0 , x1 } F = {x1 } Rõ ràng F = F , E T1 - khơng gian nên F F tập đóng, tức F, F ∈ F Giả sử, UF lân cận F VF lân cận F không gian F có biểu diễn UF = FGK1 ,G2 , ,Gn , với K ∈ K, G1 , G2 , , Gn ∈ G, n ∈ N VF = FGK ,G , ,G m , với K ∈ K, G , G , , G n ∈ G, m ∈ N Ta có F ∩ K = φ, F ∩ Gi = φ, với i = 1, 2, , n F ∩ K = φ, F ∩ G j = φ, với j = 1, 2, , m Đặt I0 = {i : ≤ i ≤ n, x0 ∈ Gi } Nếu I0 = φ, F = {x0 , x1 } F Gi = {x1 }, với i = 1, 2, , n Nên ta có F Gi = F Gi , với i = 1, 2, , n 19 Mặt khác ta có F K⊂F K = φ Do UF lân cận điểm F chứa điểm F , kéo theo UF Ngược lại I0 = φ, đặt G = VF = φ Gi tập khác rỗng, x0 ∈ G Khi i∈I0 tồn điểm x2 ∈ G \ (K điểm x2 ∈ G \ (K cận compact K K ) Thật vậy, giả sử ngược lại không tồn K ), G ⊂ K K kéo theo điểm x0 có lân K , mâu thuẫn với giả thiết x0 điểm không compact địa phương Đặt F = {x1 , x2 }, ta có F (K K ) = φ F G j = φ, với j = 1, 2, , m Khi K K F ∈ FG ,G , ,G m ⊂ FGK ,G , ,G m = VF Mặt khác ta lại có F Gi = φ, với i = 1, 2, , n Thật vậy, i ∈ / I0 , F ∩ Gi chứa điểm x1 Ngược lại F ∩ Gi chứa điểm x2 Bởi K K F ∈ FG1 ,G2 , ,Gn ⊂ FGK1 ,G2 , ,Gn = UF Do F ∈ UF 2.2 VF , nghĩa F khơng phải khơng gian Hausdorff Một số ví dụ 2.2.1 Ví dụ ([4]) Cho E tập khác rỗng Đặt T = φ, E, φ = U ⊂ E : E \ U tập hữu hạn Khi i) T tơpơ E, tôpô gọi tôpô Zariski ii) Nếu E tập khơng đếm được, khơng gian E với tôpô Zariski compact, khả ly không Hausdorff 20 Chứng minh i) Để chứng minh T tôpô E kiểm tra tiêu chuẩn tơpơ Thật vậy, ta có tập φ E thuộc T Nếu U1 , U2 ∈ T , E \ U1 E \ U2 hữu hạn, kéo theo (E \ U1 ) tập hữu hạn Do U1 (E \ U2 ) = E \ (U1 U2 ) U2 ∈ T Nếu {Ut }t∈T họ tập E thuộc T Khi ta có Ut ∈ T Thật vậy, E \ t∈T Ut = t∈T (E \ Ut ) ⊂ E \ U1 hữu hạn với t∈T U1 ∈ T Khi xảy hai khả năng: Khả 1) E \ Ut = φ, kéo theo t∈T Khả 2) E \ Ut = E ∈ T t∈T Ut hữu hạn, kéo theo t∈T Ut ∈ T t∈T Do T tơpơ E ii) Bây ta chứng minh không gian E khả ly Thật vậy, giả sử A tập vô hạn đếm X Khi E \ A tập mở E \ A ∈ T Theo định nghĩa tơpơ Zariski, ta có E \ A rỗng có phần bù hữu hạn Ta có CE E \ A = A, CE (E \ A) hữu hạn, A hữu hạn mâu thuẫn với A vô hạn Vậy E \ A = φ, nghĩa A = E Do E không gian khả ly Tiếp theo ta chứng minh không gian E compact Giả sử {Ui }i∈I phủ mở E U0 tập khơng rỗng thuộc phủ Vì E \ U0 tập hữu hạn có biểu diễn E \ U0 = {p1 , p2 , , pn } Với j = 1, 2, , n tồn tập Uij thuộc phủ cho pij ∈ Uij Khi ta có E = U0 Ui1 Do E khơng gian compact Ui2 Uin 21 Cuối ta chứng minh E không gian Hausdorff Giả sử ngược lại không gian E Hausdorff Khi với hai điểm phân biệt a b thuộc E, tồn lân cận mở U chứa điểm a, lân cận mở V chứa điểm b cho U V = φ Khi đó, ta có E = E \ (U V) = (E \ U) (E \ V) mâu thuẫn, vế trái tập vô hạn vế phải hữu hạn (vế phải hợp hai tập hữu hạn) Do E khơng phải khơng gian Hausdorff 2.2.2 Ví dụ ([4]) Cho không gian tôpô E, với T tôpô Zariski đựơc xác định Ví dụ 2.2.1 Khi E tập khơng đếm được, tơpơ miss - and - hit không gian F Hausdorff không khả ly Chứng minh a) Đầu tiên ta chứng minh tôpô miss - and - hit không gian F không khả ly Giả sử ∆ tập đếm khơng gian F, tập ∆ không trù mật không gian F Thật vậy, đặt R= {F : F ∈ ∆, F = E} Với F ∈ ∆, F = E, ta có F tập hữu hạn.Thật vậy, F ∈ F không gian tập đóng khơng gian tơpơ E nên F đóng, suy E \ F tập mở, kéo theo E \ F ∈ TE , từ định nghĩa tơpơ TE ta có E \ (E \ F) = F hữu hạn Vì tập tất tập hữu hạn tập đếm đếm được, suy R tập đếm tập không đếm E, nên tồn điểm x ∈ E \ R Nhận xét, tập E compact Thật vậy, giả sử A tập E, họ {Vα , α ∈ I} phủ mở A Với số tuỳ ý α0 ∈ I, ta có E \ V0 tập hữu hạn có biểu diễn E \ V0 = {x1 , x2 , , xn }, xi ∈ E, i = 1, 2, , n Giả sử tập E \ V0 điểm x1 , x2 , , xk thuộc A, ≤ k ≤ n 22 Khi tồn lân cận mở Vxi điểm xi , với i = 1, 2, , k cho A ⊂ Vα0 Vx1 Vx2 Vxk Suy A tập compact, kéo theo tập R compact Bởi FER lân cận {x} ∆ FER = φ, điều có nghĩa ∆ tập khơng trù mật khơng gian F Do khơng gian F không khả ly b) Tiếp theo chứng minh không gian F Hausdorff Lấy hai phần tử tuỳ ý F, F ∈ F, F = F vừa tập mở, vừa tập compact Nếu F ⊂ F , đặt K = G = E \ F, K = E \ F G = E Khi FGK lân cận F, FGK lân cận F FGK FGK = F : F ∈ F , F K = φ, F = F : F ∈ F, F K = φ, F K = φ, F G = φ, F G =φ G =φ = F : F ∈ F, F (E \ F) = φ, F (E \ F) = φ = φ Nếu F ⊂ F, đặt K = G = E \ F , K = E \ F G = E Khi FGK lân cận F, FGK lân cận F Thực phép tốn giao trên, ta có FGK Nếu F F F FGK = φ F, chọn K = E \ F, K = G = E \ F G = E Khi ta có FGK lân cận F, FGK lân cận F giao FGK FGK = F1 : F1 ∈ F , F1 K = φ, F1 K = φ, F1 G = φ, F1 G =φ = F1 : F1 ∈ F , F1 K = φ, F1 G=φ = F1 : F1 ∈ F , F1 K = φ, F1 K = φ} = φ Do F khơng gian Hausdorff 23 2.2.3 Nhận xét Khơng gian E Ví dụ 2.2.1 compact, khả ly không Hausdorff không gian F với tơpơ miss - and - hit lại có tính Hausdorff khơng khả ly Do giả thiết E không gian Hausdorff Định lý 1.2.4 điều kiện đủ để không gian F Hausdorff 2.2.4 Ví dụ ([4]) Đặt X = N tập số tự nhiên Giả sử Φ họ gồm φ, X tập tất tập A X thoả mãn: Tồn tập hữu hạn α ⊂ A cho với a ∈ A, a ln biểu diễn a = mp, m ∈ α, p ∈ P ∪ {1}, P tập số nguyên tố Ta nói α tập sinh hữu hạn A Khi Φ họ tập đóng tôpô X X với tôpô rời rạc T1 - không gian compact Hơn không gian Φ với tôpô miss - and - hit Hausdorff Chứng minh Đầu tiên chứng minh Φ họ tập đóng tôpô X Dễ thấy A tập hữu hạn X, A ∈ Φ Thật vậy, chọn α = A tập hữu hạn A với phần tử a ∈ A ln có biễu diễn a = a.1 Nếu hai tập A, B ∈ Φ, A B ∈ Φ Thật vậy, giả sử α, β tập sinh hữu hạn A, B Khi đó, tập A α ∪ β, với a ∈ A B có tập sinh hữu hạn B xảy hai trường hợp: Trường hợp Giả sử a ∈ A ln có biễu diễn a = mp, m ∈ α ⊂ α ∪ β, p số nguyên tố kể phần tử {1} Trường hợp Giả sử ngược lại ta có a ∈ B có biểu diễn a = np, n ∈ β ⊂ α ∪ β, p số nguyên tố kể phần tử {1} Để kết thúc chứng minh Φ họ tập đóng tôpô X, cần với họ {Ai }i∈I ⊂ Φ, ta có Ai ∈ Φ i∈I Thật vậy, giả sử αi tập sinh hữu hạn Ai , i ∈ I Lấy tập sinh tuỳ ý giả sử αi1 , i1 ∈ I Khi có ba trường hợp sau xảy ra: Trường hợp a) αi1 ⊂ αi với i ∈ I \ {i1 } Khi Ai ∈ Φ có i∈I 24 tập sinh hữu hạn αi1 Thật vậy, lấy phần tử tuỳ ý a ∈ Ai , kéo theo i∈I a ∈ Ai1 , nghĩa a = mp, m ∈ αi1 , p số nguyên tố kể phần tử {1} Trường hợp b) Tồn i ∈ I cho αi1 ∩ αi = φ Khi Ai1 Ai = φ Thật vậy, giả sử ngược lại tồn a ∈ Ai1 ∩ Ai có biểu diễn a = mp = nq, (2.2.1) m ∈ αi1 , n ∈ αi , p q số nguyên tố kể phần tử {1} Từ đẳng thức (2.2.1) suy m.p chia hết cho n, p số nguyên tố kể phần tử {1} m chia hết cho n Lập luận tương tự ta có n chia hết cho m, m = n mâu Ai = φ ∈ Φ thuẫn αi1 ∩ αi = φ Suy i∈I Trường hợp c) Khác với trường hợp a), b) Khi chọn i2 ∈ I cho φ = αi1 αi2 = αi1 Tiếp theo, chọn i3 ∈ I cho φ = αi1 αi2 αi3 = αi1 αi2 tiếp tục khơng cịn tồn tập sinh hữu hạn có giao tập thực khác rỗng Khi đó, có αi1 , αi1 αi2 , αi1 αi2 αi3 , dãy giảm tập hữu hạn sau k bước xảy hai trường hợp Trường hợp 1) Giao αi1 αi2 αik = φ với i ∈ / {i1 , i2 , , ik } ta có αi1 αi2 Trường hợp 2) Giao αi1 αi2 αik ⊂ αi αik = φ tồn số i ∈ I cho αi1 αi2 αik αi = φ 25 k αij Giả sử trường hợp 1) xảy ra, đặt α0 = j=1 B = {mp : m ∈ α0 , p ∈ P {1}, p ước phần tử a đó, a ∈ α0 , P tập số nguyên tố} k αij tập hữu hạn Vì tập sinh A hữu hạn, nên α0 = j=1 Do B tập hữu hạn Với a ∈ Ai \ B, ta có i∈I a = m1 p1 = m2 p2 = = mk pk , mj ∈ αij , pj số nguyên tố ps không ước mt t = s Vì p1 = p2 = = pk = p m1 = m2 = = mk = m, kéo theo với a ∈ Ai \ B ln có biểu diễn a = mp Điều chứng tỏ tập i∈I Ai \ B i∈I k có tập sinh hữu hạn αij Bởi j=1 Ai có tập sinh hữu i∈I hạn k B Ai i∈I αij j=1 Giả sử trường hợp 2) xảy ra, ta ký hiệu B = {mp : m ∈ α0 , p ∈ P ∪ {1}, p ước phần tử a đó, a ∈ α0 , P tập số nguyên tố} Khi đó, với a ∈ Ai \ B, ta có i∈I a = mp = nq, k m ∈ αij , n ∈ αi , p q số nguyên tố Vì a ∈ / B, nên j=1 p = q p ước n Mặt khác αi B tập hữu hạn Do tập 26 k Ai \ B = {mp : m ∈ αij , p ước n} hữu hạn, kéo theo j=1 i∈I Ai = Ai \ B i∈I B i∈I tập hữu hạn Suy Ai ∈ Φ Điều chứng tỏ, tập i∈I hữu hạn X đóng, kéo theo tập điểm {x} X theo tôpô đóng, theo Định lý 1.1.12 ta có X T1 - không gian Tiếp theo ta chứng minh không gian X compact Thật vậy, giả sử {Gi }i∈I phủ mở tuỳ ý không gian X Với i ∈ I, đặt A i = X \ Gi Khi Ai tập đóng, giả sử có tập sinh hữu hạn αi Nếu αi = φ, theo lý luận trường hợp c) ta có i∈I Ai = φ mâu thuẫn i∈I với giả thuyết {Gi }i∈I phủ mở không gian X Do αi = φ i∈I Vì αi tập hữu hạn nên tồn số {i1 , i2 , , ik } ⊂ I cho k αij = φ Theo trường hợp 2), ta có j=1 k k Aij = X \ j=1 Gij j=1 tập hữu hạn Suy {Gi }i∈I có phủ hữu hạn k k Aij Gij j=1 j=1 Do X khơng gian compact Để hoàn thành chứng minh, ta cần tôpô miss - and - hit không gian Φ Hausdorff 27 Trước hết, ta đưa hai kết sau đây: 1) Với tập compact K = X k ∈ N, tồn x ∈ / K cho λ(x) > k, λ(x) số ước số phần tử x Thật vậy, chọn phần tử x ∈ / K ký hiệu số nguyên tố thứ i pi Đặt A1i = {xp : p ≥ pi , p ∈ P} Khi đó, {x} A1i tập đóng X có tập sinh hữu hạn {x} Suy ({x} A1i ) K = A1i K tập đóng K Nếu A1i ⊂ K, với i = 1, 2, điều mâu thuẫn, theo cách xác định A1i có tính chất giao hữu hạn A1i = φ Do i∈N A1i K, tồn q1 ∈ P cho xq1 ∈ / K Tiếp tục trình cách thay x xq1 xét tập A2i = {xq1 p : p ≥ q1 , p ∈ P} Lập luận tương tự ta chứng minh A2i K, nên tồn q2 ∈ P cho q1 < q2 xq1 q2 ∈ / K Bằng phương pháp quy nạp, ta dãy số q1 , q2 , , qk ∈ P, q1 < q2 < < qk cho z = xq1 q2 qk ∈ / K Rõ ràng λ(z) > k 2) Với tập đóng A = X, tồn k0 ∈ N cho λ(x) ≤ k0 , với x ∈ A Thật vậy, giả sử α tập sinh hữu hạn A Đặt k0 = 2max{λ(x), x ∈ α} Khi k0 số cần tìm Thật vậy, giả sử x0 ∈ α phần tử có số ước số lớn nhất, với điểm x ∈ A \ α có biểu diễn x = m.p, m ∈ α, p số nguyên tố lớn Do p số nguyên tố, nên λ(x) = λ(mp) ≤ 2λ(m) ≤ 2λ(x0 ) = k0 28 Suy λ(x) ≤ k0 , với x ∈ A Trở lại chứng minh không gian Φ Hausdorff, lấy hai phần tử F = {1, 2} F = {1} hữu hạn, rõ ràng F = F , F, F ∈ Φ Giả sử, FGK1 ,G2 , ,Gn lân cận điểm F FGK ,G , ,G m lân cận điểm F Chúng ta FGK1 ,G2 , ,Gn FGK ,G , ,G m = φ Thật vậy, với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m, ta có X \ Gi X \ G j tập đóng khác X Theo Kết 2, tồn k0 ∈ N cho λ(x) ≤ k0 , với x ∈ X \ Gi λ(y) ≤ k0 , với y ∈ X \ G j Vì tập K ∪ K compact khác X k0 ∈ N nói Theo Kết 1, tồn x0 ∈ / K ∪ K cho λ(x0 ) ≥ k0 + Mặt khác ta lại có x0 ∈ / X \ Gi , với i = 1, 2, , n x0 ∈ / X \ G j , với j = 1, 2, , m Do x0 ∈ Gi G j , với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Bởi vậy, x0 ∈ FGK1 ,G2 , ,Gn FGK ,G , ,G m Do Φ khơng phải khơng gian Hausdorff 29 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Hệ thống số khái niệm Phát biểu chứng minh chi tiết số định lý tài liệu tham khảo [1], [5] Trình bày việc xây dựng với chứng minh không gian tôpô missand- hit không gian tôpô E compact địa phương, Hausdorff khả ly Phát biểu với chứng minh chi tiết Định lý Matheron cổ điển Trình bày mở rộng Định lý Matheron khơng gian F tập đóng không gian E metric, khả ly đầy đủ khơng compact địa phương Trình bày kết khơng gian F với tôpô miss- and- hit T1 khơng gian Nếu E có điểm khơng compact địa phương, F khơng phải khơng gian Hausdorff Trình bày ví dụ khơng gian E compact, khả ly không Hausdorff không gian F với tôpô Matheron lại Hausdorff khơng khả ly Lấy phản ví dụ F không gian Hausdorff 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Tô pô đại cương, NXBGD [2] Lê Xuân Sơn (2008), Các hàm dung lượng không gian Euclid hữu hạn chiều tích phân Choquet chúng, Luận án Tiến sĩ, Đại học Vinh [3] Vũ Hồng Thanh (1998),Về Định lý Matheron Định lý Choquet cho không gian metric không compact địa phương, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh [4] Dau The Cap, Bui Dinh Thang (2008), On the Matheron theorem for topological spaces, VNU Journal of science, Mathematics- Phyisics, No.23, pp.194-200 [5] J L Kelly (1955), General topology, Van Ntand, Princeton, N J [6] G Matheron (1975), Random set and intergral geometry, John Wiley and Sons, New Yrok [7] Nguyen Nhuy, Vu Hong Thanh (1999), On Matheron theorem for non- locally compact metric spaces, Vietnam J Math, 27, 115-121 ... Chương Định lí Matheron cổ điển, dành cho việc trình bày kiến thức không gian tôpô, sở không gian tôpô, không gian compact, không gian khả ly, không gian Hausdorff Định lý Matheron cổ điển Chương Về. .. Chương Về Định lí Matheron cho khơng gian tơpơ, bàn mở rộng Định lý Matheron không gian metric không compact địa phương, lấy ví dụ minh hoạ kết trình bày Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 Định lý 2.1.3... lân cận V điểm y cho x ∈ / V y ∈ / U 1.1.13 Định lý ([1]) Không gian tôpô X T1 - không gian điểm x ∈ X tập đóng 1.1.14 Định nghĩa ([5]) Không gian tôpô X gọi T2 - không gian không gian Hausdorff