Về đồng điều của các không gian tôpô

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN KHOA VỀ ĐỒNG ĐIỀU CỦA CÁC KHÔNG GIAN TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN 2011 MỞ ĐẦU Trong phát triển toán học đại, lý thuyết phạm trù, đại số đồng điều, tôpô đại số tôpô vi phân chiếm vị trí ngày quan trọng Với nội dung phong phú phương pháp nghiên cứu độc đáo, ngành nói chứng tỏ hiệu lực việc giải nhiều vấn đề lớn toán học Gần đây, số kết ngành bắt đầu có ứng dụng vào lĩnh vực tốn ứng dụng điều khiển học, khoa học máy tính, tốn kinh tế Vì vậy, làm quen với ngành nói đòi hỏi thực tế nhiều người học toán làm toán Luận văn dựa tài liệu có trình bày lại kiến thức sở phạm trù đại số đồng điều, tơpơ đại số Nhằm mục đích đó, luận văn cố gắng chọn lọc nội dung phong phú ngành nói số vấn đề sở Luận văn gồm chương Chương trình bày lý thuyết phạm trù hàm tử cách sơ cấp làm sở cho nội dung chương Chương trình bày khái niệm kết đại số đồng điều lý thuyết đồng điều không gian tôpô Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang – người thầy giáo đặt vấn đề nghiên cứu tận tình dẫn, để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Bộ mơn Đại số, Khoa Tốn học Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học Mặc dù có nhiều cố gắng song nhiều nguyên nhân, luận văn chắn cịn có nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Nghệ An, ngày 26 tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG PHẠM TRÙ 1.1 Khái niệm phạm trù 1.1.1 Định nghĩa phạm trù Ta nói có phạm trù A khi: a) Có lớp mà phần tử gọi vật phạm trù, kí hiệu lớp Ob(A); b) Ứng với cặp vật A,B,  Ob(A) có tập hợp kí hiệu Mor (A,B) mà phần tử cấu xạ từ A đến B Tập hợp Mor(A,B) rỗng f Nếu f  Mor (A,B) ta kí hiệu f : A  B , hay A   B , A gọi nguồn, B gọi đích f c) Nếu f : A  B , g: B  C ứng với cặp f , g có h: A  C gọi hợp thành g với f kí hiệu h  g f h  gf Đồng thời tiên đề sau phải thỏa mãn: C1) Hai tập hợp Mor (A,B) Mor  A, B rời nhau, trừ A  A ', B  B ' chúng trùng Nói cách khác, A  A ' B  B ' hai cấu xạ f : A  B, f ' : A '  B ' khác C2) Luật hợp thành cấu xạ có tính kết hợp, nghĩa ln ln có (hg ) f  h( gf ) hợp thành có nghĩa (nói cách khác, đích f trùng với nguồn g, đích g trùng với nguồn h) s) Với vật A  Ob (A) tồn phần tử 1A  Mor (A,B) gọi cấu xạ đồng nhất, cho f 1A = f ,1A g = g hợp thành có nghĩa (tức A nguồn f , đích g) Cấu xạ đồng nhất, e cấu xạ đồng e  e.1A  1A Ví dụ 1) Phạm trù St tập hợp: vật tập hợp bất kì, Mor (A.B) tập hợp ánh xạ từ A vào B, hợp thành hiểu theo nghĩa thông thường 1A ánh xạ đồng từ A lên A 2) Phạm trù Top không gian tôpô: Các vật khơng gian tơpơ, cịn Mor (A, B) tập hợp ánh xạ liên tục từ A vào B 3) Phạm trù Gr nhóm: cấu xạ phép đồng cấu nhóm 4) Phạm trù Ab nhóm Aben: cấu xạ phép đồng cấu nhóm 5) Phạm trù Ri vành: cấu xạ đồng cấu vành 6) Phạm trù tập hợp có điểm sở: vật cặp (A,a) đến (B,b) ánh xạ từ A đến B chuyển a tới b 7) Phạm trù khơng gian tơpơ có điểm sở: vật cá cặp (A, a) gồm không gian tôpô A điểm a  A Các cấu xạ từ (A, a) đến (B, b) ánh xạ liên tục từ A đến B chuyển a tới b Một phạm trù có vật gọi mơnơit (nửa nhóm có đơn vị); hợp thành ln ln có nghĩa Nếu    với cặp cấu xạ nửa nhóm Aben Một phạm trù từ vật đến vật khác có nhiều cấu xạ, gọi lớp sắp; Mor  A, B    ta viết A  B nói A đứng trước B hay B đứng sau A 1.1.2 Nguyên tắc đối ngẫu Phạm trù đối (hay đối ngẫu) phạm trù A’ phạm trù A*, có vật A cho MorA*(A,B) = MorA(A,B) với cặp vật A, B Hợp thành A* xác định g * f *  ( fg )* ( f * cấu xạ f xét A*) Có thể nghiệm lại dễ dàng tiên đề C1 , C2 , C3 Rõ ràng (A*)* = A với khái niệm định nghĩa cho phạm trù có khái niệm đối ngẫu, tức khái niệm xét phạm trù đối ngẫu Cũng thế, mệnh đề p chứng minh cho phạm trù A có mệnh đề đối ngẫu p* cho phạm trù A*, giả thiết p cho A* p* cho (A*)* = A thực tế, cách làm để chuyển từ khái niệm hay mệnh đề qua đối ngẫu với đảo ngược tất mũi tên liên quan tới khái niệm hay mệnh đề đó; nói rõ hơn: đổi f : A  B thành f : B  A , đổi f  Mor (A,B) thành f  Mor (B,A) tất hợp thành đọc theo thứ tự ngược lại 1.1.3 Phạm trù Một phạm trù A’ gọi phạm trù A nếu: 1) Ob (A’)  Ob(A) 2) Mor A’ ( A, B)  MorA ( A, B) với A, B  Ob (A’) 3) Hợp thành cặp cấu xạ A’ hợp thành chúng A 4) 1A A’ 1A A , với A  Ob (A’) Nếu cịn có điều kiện Mor (A,B) = MorA(A,B) với A,B  Ob(A’) A’ gọi A’ phạm trù đầy A Chẳng hạn, phạm trù nhóm Aben (Ab) phạm trù đầy phạm trù Gr Lớp tập hợp với ánh xạ bảo tự, phạm trù Lớp dàn phạm trù phạm trù đó, khơng đầy Phạm trù Gr khơng phải phạm trù St, hai nhóm khác chung tập hợp Vì lẽ tương tự, Top, Ab, Ri… phạm trù St 1.1.4 Đơn cấu Một cấu xạ f : A  B gọi đơn cấu hay cấu xạ mônô với cặp cấu xạ  ,  có đích A, đẳng thức f   f  kéo theo    (tức đẳng thức giản ước bên trái cho f ) Ví dụ Trong phạm trù St tập hợp đơn cấu chẳng qua ánh xạ – vào Thật vậy, cho f : A  B ánh xạ – từ tập hợp A vào tập hợp B Nếu cặp ánh xạ  : X  A , Y  A ta có f   f  đương nhiên X = Y, với x  X ta có f ( ( x))  f ( ( x)) nên (do 1- 1)  ( x)   ( x) , chứng f  B ánh xạ – thí có: tỏ    Ngược lại, A  a1.a2  A với a1  a2 , f (a1 )  f (a2 ) ; lấy tập hợp X hai ánh xạ  ,  từ X vào A cho  biến phần tử cảu X thành a1 ,  biến phần tử X thành a2 ta có f   f  X khác  Trong phạm trù Top, Gr, Ab, đơn cấu ánh xạ - vào Tuy nhiên có phạm trù St đơn cấu không thiết ánh xạ – vào Chẳng hạn, phạm trù mà vật A, B, với A tập hợp gồm hai phần tử, B tập hợp gồm phần tử MorA ( A, B)  MorSt ( A, B), Mor( A, A)  1A , Mor( B, B)  1B , Mor( B, A)   Rõ ràng cấu xạ f : A  B ta có f   f       1A f ánh xạ – vào Từ định nghĩa suy f : A  B đơn cấu với vật X, ánh xạ làm ứng   Mor( X , A) với f  Mor  ( X , B) – vào Cũng dễ thấy rằng: Nếu f g đơn cấu fg (nếu xác định) đơn cấu Nếu fg đơn cấu f đơn cấu (nhưng g khơng thiết) Thật vậy, f.g đơn cấu ( fg )  ( gf )  f   f      , chứng tỏ gf đơn cấu gf đơn cấu f   f   ( gf )  ( gf )     , chứng tỏ f đơn cấu 1.1.5 Toàn cấu Đối ngẫu với khái niệm đơn cấu khái niệm toàn cấu, định nghĩa sau: Mỗi cấu xạ f : A  B gọi toàn cấu hay cấu xạ epi với cặp cấu xạ  ,  có nguồn B đẳng thức  f   f kéo theo    (tức đẳng thức giản ước bên phải cho f) Ví dụ Trong phạm trù St, toàn cấu chẳng qua ánh xạ lên Thật vậy, cho f : A  B ánh xạ từ A lên B, cặp ánh xạ  : B  X  : B  Y ta có  f   f X = Y, với b  B có a  A cho f (a)  b ( f ánh xạ lên), nên  ( f (a))   ( f (a) )hay  (b)   (b) chứng tỏ    Ngược lại, f : A  B khơng phải ánh xạ từ A lên B có b  B cho khơng có a  A mà f (a)  b ; lấy tập hợp X  x1 , x2  xét ánh xạ  biến phần tử B thành x1 ánh xạ  biến b thành x2 phần tử khác B thành x1 , ta có  f   f    Trong phạm trù Top, Gr, Ab tồn cấu ánh xạ lên Tuy nhiên có phạm trù St có tồn cấu ánh xạ lên Chẳng hạn phạm trù A mà vật là: A gồm phần tử, B gồm hai phần tử, MorA ( A, B)  MorSt ( A, B); MorA(A,A)={1A}, Mor A(B,B)={1B} Một ví dụ khác tầm thường phạm trù không gian tôpô tách, với cấu xạ ánh xạ liên tục Trong phạm trù này, xét cấu xạ f lồng Q (tập hợp số hữu tỉ) vào R ( đường thẳng số thực) cấu xạ khơng phải ánh xạ lên, tồn cấu X khơng gian tách u, v hai cấu xạ khác (u  v) từ R đến X tồn số thực r  R cho u(r )  v(r ) , X khơng gian tách, có hai lân cận mở rời nhau, u(r) v(r) X; nghịch ảnh lân cận tập hợp mở R, giao chúng tập hợp mở nên chứa điểm q  Q ; ta có uf (q)  u(q), vf  q   v  q  nên uf (q)  vf (q) chứng tỏ uf  vf Từ định nghĩa suy f : A  B toàn cấu với vật X ánh xạ làm ứng   Mor( B, X ) với  f  Mor( A, X ) – vào Cũng dễ thấy rằng: Nếu f g tồn cấu gf xác định) tồn cấu Nếu gf tồn cấu g tồn cấu (nhưng f khơng thiết) Một cấu xạ vừa đơn cấu vừa toàn cấu gọi song cấu 1.1.6 Đẳng cấu Một cấu xạ f : A  B gọi đẳng cấu tồn cấu xạ g: B  A cho gf = 1A fg = 1B Khi g xác định g f  gf  1A g   g .1B  g   fg    g f  g  1A.g  g Ta gọi g nghịch đảo f viết g  f 1 Ký hiệu Isom (A,B) tập hợp đẳng cấu từ A đến B Đương nhiên Isom  A, B   Mor  A, B  Nếu Isom  A, B    , nghĩa tồn đẳng cấu từ A đến B ta nói hai vật A,B đẳng cấu, hay tương đương viết A  B hay, cần nói rõ phép đẳng cấu (vì có nhiều phép f đẳng cấu từ A đến B) viết A  B ( cịn phép đẳng cấu viết f : A  B ) Rõ ràng quan hệ đẳng cấu quan hệ tương đương theo nghĩa: phản xạ (bất kỳ vật củng đẳng cấu với chinh nó, nhờ cấu xạ đồng nó),đối xứng (  f 1   f ) bắc cầu (nếu f  A  B, g : B  C gf : A  C ,với 1 nghich đảo f 1 g 1 ) Một đẳng cấu từ A đến A gọi tự đẳng cấu A Tập hợp tự đẳng cấu A, tức Isom(A,A) thường ký hiệu Aut(A) Ở thấy phạm trù gồm vật nửa nhóm Nếu thêm vào đó, cấu xạ đẳng cấu (có nghịch đảo) nhóm Như Aut (A) nhóm phạm trù St, đẳng cấu chẳng qua ánh xạ – lên, hai tập hợp A, B đẳng cấu chúng có lực lượng Trong phạm trù Top, đẳng cấu  đồng phôi Trong phạm trù Gr, đẳng cấu  đẳng cấu theo nghĩa nhóm Một cấu xạ f : A  B cho có cấu xạ g : B  A với gf  1A gọi có nghịch đảo trái Một cấu xạ f : A  B cho có cấu xạ g : B  A với fg  1B gọi có nghịch đảo phải Đương nhiên đẳng cấu cấu xạ vừa có nghịch đảo trái nghịch đảo phải Vì cấu xạ đồng vừa đơn cấu toàn cấu nên gf  1A kéo theo f đơn cấu, g tồn cấu Vậy cấu xạ có nghịch đảo trái đơn cấu, cấu xạ có nghịch đảo phải tồn cấu, cịn đẳng cấu song cấu Tuy nhiên song cấu không thiết đẳng cấu (chằng hạn phép lồng Q vào R phạm trù không gian tôpô tách nêu trên, vừa đơn cấu toàn cấu, khơng phải đẳng cấu) Một phạm trù song cấu  đẳng cấu gọi phạm trù cân đối nói, phạm trù St cân đối, Top không cân đối Ta ý kiện đơn giản sau đây: Nếu f : A  B có nghịch đảo trái mà lại tồn cấu đẳng cấu Nếu f : A  B có nghịch đảo phải mà lại đơn cấu đẳng cấu Dĩ nhiên cần chứng minh mệnh đề thứ Giả sử f : A  B có nghịch đảo trái toàn cấu cho g : B  A cấu xạ nghệm gf  1A Ta có ( fg ) f  f ( gf )  f 1A  f  1B f f toàn cấu suy fg  1B 10 1.2 Hàm tử 1.2.1 Định nghĩa Cho hai phạm trù A, B Một hàm tử hiệp biến T từ A đến B quy tắc cho tương ứng với vật A A vật T(A) B với cấu xạ f : A  B A cấu xạ T ( f ) : T ( A)  T ( B) B cho 1) T (1A )  1T ( A) với vật A A (bảo toàn cấu xạ đồng nhất) 2) Nếu f : A  B, g : B  C hai cấu xạ A T ( gf )  T ( g ).T ( f ) (bảo đảm phép hợp thành) Khái niệm hàm tử phản biến định nghĩa tương tự, khác cấu xạ f : A  B A tương ứng cấu xạ T ( f ) : T ( B)  T ( A) B (điều kiện 2) thay bởi: f : A  B , g : B  C hai cấu xạ A T ( gf )  T ( f )T ( g ) nói: hàm tử phản biến từ A đên B Là hàm tử hiệp biến từ A* đến B* Ví dụ 1) Hàm tử đồng A Hàm tử từ A đến A cho tương ứng với vật A vật với cấu xạ  cấu xạ Dĩ nhiên hàm tử hiệp biến Kí hiệu 1A 2) Hàm tử đối ngẫu A Hàm tử A đến A*, cho tương ứng với vật A vật A* với cấu xạ  : A  B cấu xạ  *: B*  A * Dĩ nhiên hàm tử phản biến 3) Cho A phạm trù B Hàm tử hiệp biến từ A đến B, cho tương ứng với vật A A vật với cấu xạ A cấu xạ B gọi hàm tử tắc A vào B 4) Hàm tử hiệp biến tử Gr vào St, cho tương ứng với nhóm tập hợp ( tức tập hợp phần tử nhóm bỏ cấu trúc nhóm) với đồng cấu nhóm phép đồng cấu ấy, xét phương 19 2.2 Phức xích kỳ dị 2.2.1 Định nghĩa Ta gọi đơn hình tiêu chuẩn thứ nguyên p (p nguyên  0) tập hợp p điểm x   x0 , , x p  p 1 nghiệm p xi  0,  xi  i 0 Đó khơng gian con, compắc, Rp+1 Khi p = ta điểm, p = ta đoạn, p = ta tam giác, Các điểm = (0, …., 1,…., 0) (có toạ độ thứ i 1, toạ độ khác 0) gọi đỉnh đơn hình Rõ ràng ta có: p  p =  x   xi :x i  0, i o   x    i i 0  p nghĩa p bao lồi tập hợp đỉnh Tập hợp  (i) p gồm điểm x = ( x0, , xp )p có xi = 0, gọi diện (nói rõ hơn, diện p – thứ nguyên), thứ i p Đó bao lồi tập hợp a , , a , , a  , ký hiệu a i p i có nghĩa khơng có đỉnh Nếu p – đơn hình tiêu chuẩn thứ nguyên p – với i ta định nghĩa ánh xạ ei: p –  p (x0, ,xp -1 )  ( x0, ,xi -1 , 0, xi, ,xp -1 ) Rõ ràng ei liên tục áp p – lên (pi ) Bây cho không gian tôpô E Ta gọi đơn hình kỳ dị thứ nguyên p E ánh xạ liên tục s:  p  E Tập hợp s(p)  E gọi giá đơn hình kỳ dị Với p > 0,  i  p ta định nghĩa diện thứ i đơn hình kỳ dị s đơn hình kỳ dị p -1 thứ nguyên s(i):  p1  E xác định s(i) :  p1  E xác i  định bới s = s ei Như thế: s   x   s  x0 , , xi1,0, xi , , x p1   s  x0a0   xi 1ai 1  xi 1   x p1a p  i 20 Cho Sp tập hợp đơn hình kỳ dị thứ nguyên p không gian tôpô E, Cp(E) nhóm Aben tự sinh tập hợp Sp Mỗi phần tử Cp(E) gọi xích kỳ dị thứ nguyên p Như xích kỳ dị thứ nguyên p tổng hình thức: C   nk sk , Sk đơn hình kỳ dị thứ nguyên p, nk số k nguyên, số hữu hạn nk khác Với đơn hình kỳ dị s (thứ nguyên p  1) E ta định nghĩa biên s là: p s    1 s   i i i 0 s(i) diện thứ i s Vì s(i) đơn hình kỳ dị thứ nguyên p-1 nên s  C p1  E  Vì Sp sở Cp(E) nên ánh xạ  : S p  Cp(E) khuếch thành đồng cấu từ Cp(E) đến Cp-1(E), gọi toán tử biên Khi p = ta định nghĩa : C0(E) 0 ánh xạ  = 2.2.2 Bổ đề Ta có  ◦  = Chứng minh Dĩ nhiên cần rõ ràng s = với đơn hình kỳ dị s Trước hết ta nhận xét với i > j: ei e j  x0 , , x p2   e j ei 1  x0 , , x p2  i –  j thì:  x , , x    x , , x    x , , x ,0, x , , x p 2 ej j 1 j j 1 i 2 ei ,0, x j , , x p 2    ,0, xi 1, , x p 2  đó:  x , , x    x , , x ,0, x , , x      x , , x ,0, x , , x ,0, x , , x  ei 1 p 2 0 j 1 j i 2 i 2 i 1 i 1 p 2 ej p 2 chứng tỏ nhận xét đúng; cịn i – = j kiểm tra lại nhận xét cách tương tự   Từ đặt sij = s   i Vậy:  j ta có, với i > j : sij   s0ei .e j  s0e j ei 1  s j ,i 1 21 p p p 1   s    1 s    1   1 s   i i  i 0 p = i i 0 i 1 j j 0 p i  j p 1   1   1 s j ,i1    1   1 s ji i 0 i j j 0 i i 0 j j i với k  h, hệ số skh là:  1 k  h1   1 k h 0 s  Thành thử ta có phức sau phạm trù Ab:    C p1  E   C p  E   C p1  E     C0  E   0 gọi phức xích kỳ dị khơng gian tôpô E 2.2.3 Đồng điều kỳ dị Ta gọi nhóm vi phân nhóm Aben C với tự đồng cấu : C  C cho  = Từ đồng cấu gọi toán tử vi phân hay toán tử biên C Nếu C, C’ hai nhóm vi phân cấu xạ c’ f e c’ từ C đến C’ đồng cấu f: C  C ’ giao hoán với e c f toán tử vi phân, nghĩa cho ta có biểu đồ giao hốn bên Với định nghĩa cấu xạ thế, nhóm vi phân lập thành phạm trù Một nhóm chia bậc nhóm Aben C, tổng trực tiếp họ nhóm C p  (p Z = tập hợp số nguyên): C   Cp pZ Trường hợp thường gặp C p  0 với p < Nếu C, C’ hai nhóm chia bậc đồng cấu f: C  C’ gọi có bậc r f  C p   C p' r (với p) Một nhóm vi phân chia bậc nhóm chia bậc có tốn tử vi phân có bậc r Hai trường hợp quan trọng là: c 22 1) r = –1 Khi ấy, ký hiệu p thu hẹp  Cp, ta thấy nhóm vi phân chia bậc chẳng qua phức phạm trù nhóm Aben:    p 1 p p 1  C p1  C p  C p1   (1) Ngược lại, có phức tổng trực tiếp Cp trang bị cấu trúc nhóm vi phân chia bậc, với tốn tử vi phân có bậc - 2) r = +1 Khi ta ký hiệu Cp thay cho Cp, p thay cho p có phức: p 1 p 1     C p1  C p  C p1   p (2) Ngược lại, có phức phạm trù Ab lấy tổng trực tiếp Cp ta có nhóm vi phân chia bậc, với tốn tử vi phân có bậc +1 Phức (1) (tức nhóm vi phân chia bậc với tốn tử vi phân có bậc –1) thường gọi phức xích; phức (2) (tức nhóm vi phân chia bậc với tốn tử vi phân có bậc +1) thường gọi phức đối xích Dĩ nhiên, cách đặt C–p = Cp ta biến phức xích (1) thành phức có dạng (2) (cũng đặt C–p = Cp ta biến phức (2) thành phức có dạng (1) Một cấu xạ phức xích f: CC’ (theo nghĩa cấu xạ phức ) định nghĩa đồng cấu bậc 0, giao hốn với tốn tử vi phân, từ nhóm chia bậc C đến C’ Theo kết đả biết, với cấu xạ ấy, lớp phức xích làm thành phạm trù Aben Với không gian tôpô E, ta ký hiệu C(E) phức xích kỳ dị    C p1  E   C p  E   C p1  E     C0  E   0 (3) Ta có: 2.2.4 Định lý Phép tương ứng E  C(E) xác định hàm tử hiệp biến từ phạm trù không gian tôpô đến phạm trù phức xích Chứng minh Cho f: E  E’ ánh xạ liên tục Ta chứng minh ánh xạ xác định cấu xạ phức xích C(f): C(E)  C(E’), tức biểu đồ giao hoán 23  C p1  E   C p  E   C p1  E    C0  E     (I )    C p1  E '  C p  E '  C p1  E '   C0  E '  Thật vậy, đơn hình kỳ dị s  Cp(E) f chuyển thành đơn hình kỳ dị f s  Cp(E’), ánh xạ s  f.s khuếch tuyến tính thành đồng cấu từ Cp(E) đến Cp(E’) Vả lại hình vuông (1) chẳng hạn, s  Cp(E) chuyển theo đường tới p   1 i i 0   f s  i theo đường tới p    1  f s  i i i 0 mà f s(i) = f s, ei =  f s  i  nên hình vng (1) giao hốn Vậy C hàm tử hiệp biến từ phạm trù Top đến phạm trù phức xích Nhóm Z p  E   Z p  C  E    Ker  p gọi nhóm p – chu trình, nhóm Bp  E   Bp  C  E    Im  p1 nhóm p – biên nhóm H p  E   H p  C  E    Z p  E  / Bp  E  nhóm đồng điều kỳ dị thứ p E Thành thử ta đặt tương ứng với không gian tơpơ E nhóm chia bậc H  E    H p  E  ; p  0,1,2 Mỗi ánh xạ liên tục f: E  E’ cảm sinh cấu xạ phức xích C  f  : C  E   C  E ' , cấu xạ này, đả biết trước, lại cảm sinh cấu xạ H  f  : H  E   H  E ' Vậy H hàm tử từ phạm trù Top đến phạm trù nhóm chia bậc Ta gọi hàm tử đồng điều kỳ dị Do đó: Hai khơng gian tơpơ đồng phơi có nhóm đồng điều kỳ dị đẳng cấu: H  E   H  E ' Nói cách khác, nhóm đồng điều kỳ dị bất biến tôpô không gian tôpô 24 2.3 Không gian liên thông 2.3.1 Định nghĩa Một đường từ a đến b không gian tôpô E ánh xạ liên tục  từ đoạn I =  0,1 đến E cho     a ,  1  b Khi đó, khơng gian tơpơ E tổng họ không gian rời E  , cho hai điểm a, b thuộc E E có đường từ a đến b Mỗi không gian E gọi thành phần liên thông đường E Một không gian tôpô E có thành phần liên thơng đường gọi không gian liên thông đường 2.3.2 Định lý Nhóm đồng điều kỳ dị khơng gian tổng trực tiếp nhóm đồng điều kỳ dị thành phần liên thơng đường Chứng minh Vì đơn hình tiêu chuẩn p liên thơng đường nên đơn hình kỳ dị s:  p  E ánh xạ p vào thành phần liên thông (đường) E Vậy, E thành phần liên thơng E Cp(E) =  C p  E  với  p, nghĩa C(E) = C  E  Từ suy dễ dàng Z p  C  E    Z p  C  E   , Bp  C  E    Bp  C  E   Vậy H p  E   H p  E  với p, hay H  E   H  E  Bây ta tính nhóm đồng điều H0(E) Trước hết ta ý - đơn hình kỳ dị E đồng với điểm E, – xích (tức phần tử C0(E)) chẳng qua tổng n x k k , với xk  E , nk số nguyên số hữu hạn nk khác Nói cách khác C0(E) nhóm Aben tự sinh tập E Như thường lệ ta ký hiệu Z nhóm số nguyên 2.3.3 Bổ đề Đồng cấu  : C0  E   Z xác định toàn cấu, nghiệm 1 = n x k k   nk 25 Thật vậy, hiển nhiên  tồn cấu, với đơn hình kỳ dị s thứ nguyên ta có 1(s) = 0, mà 1 tập hợp - đơn hình (cơ sở nhóm C1(E)) toàn C1(E) 2.3.4 Định lý Nếu E   khơng gian liên thơng đường H0(E)  Z Chứng minh Ta có Z0(E) = C0(E) Ta chứng minh B0(E) = Ker Vì  = nên B0  E   Ker  Ngược lại, s   nk xk Ker  n k 0 lấy điểm a  E ta xét ánh xạ liên tục k từ I = [0,1] đến E cho k    a, k 1  xk (tức đường E từ a đến xk); I = [0,1] đồng phơi với đơn hình tiêu chuẩn 1, nên k xác định đơn hình kỳ dị sk thứ nguyên có sk  xk  a Ta có s   nk xk    nk  a   nk sk   nk sk , s     nk sk  , chứng tỏ s  B0  E  , nghĩa Ker  B0  E  Vậy B0  E   Ker   tồn cấu nên Z  C0  E  / B0  E   H  E  Hai định lý đưa tới: 2.3.5 Hệ Nhóm đồng điều kỳ dị H0(E) khơng gian tơpơ E nhóm Aben tự sinh tập hợp thành phần liên thơng đường Thật vậy, E =  H0(E) = 0, kết Nếu E   E  họ thành phần liên thơng H  E   H  E  , mà H  E   Z , H0(E) nhóm Aben tự mà phần tử sinh E Tóm lại, H0(E) nói lên số thành phần liên thơng đường E 26 2.4 Đồng luân 2.4.1 Định nghĩa Hai ánh xạ liên tục f, g từ không gian tôpô E đến không gian tôpô E’ gọi đồng luân, f biến dạng cách liên tục thành g, nghĩa tồn ánh xạ liên tục h: E x I  E’ (như thường lệ I = [0,1]) cho với x  E: h  x,0   f  x  , h  x,1  g  x  Hàm h gọi phép đồng luân từ f đến g ta viết h: f g Ví dụ: E = E’ = Rn f: x  0, g: x  x (tức f(x) = 0, g(x) = x) Ta lấy h: Rn x  Rn hàm h(x,t) = tx Trước ta định nghĩa khái niệm đồng luân cho hai cấu xạ phức Khái niệm áp dụng cho phức xích C(E), C(E’), có nghĩa là: hai cấu xạ f: C(E)  C(E’) g: C(E)  C(E’) gọi đồng luân tồn đồng cấu k bậc (khơng bắt buộc giao hốn với tốn tử biên) từ nhóm chia bậc C(E) đến nhóm chia bậc C(E’) cho: f  g  k   k (nhắc lại đồng cấu bậc từ C(E) đến C(E’) họ đồng cấu k p : C p  E   C p1  E ' ) Sự kiện sau giải thích lý thuật ngữ 2.4.2 Định lý Hai ánh xạ liên tục f, g: E E’ mà đồng ln cảm sinh hai cấu xạ phức xích C(f), C(g) : C(E)  C(E’) đồng luân Chứng minh Với p ta định nghĩa đồng cấu k : C p  E   C p1  E ' sau: Cho s: p  E đơn hình kỳ dị E Với i = 0,1…, p ta ký hiệu k1 s: p+1  E’ ánh xạ: i   x , , x    h s x , , x , x , x , , x  p1  p1   i1 i1 i2 p1   x j  j 0   h: E x I  E’ phép đồng luân từ f đến g (chú ý  x , , x i 1 , xi  xi 1, xi 2 , , x p1   p !) 27 Ta đặt: p k  s     1 k i s i i 0 Rõ ràng ki s (p+1) - đơn hình kỳ dị E’, k  s   Cp1  E '  Như ta ánh xạ k: S p  Cp1  E '  (Sp tập hợp p – đơn hình kỳ dị E), ta khuếch thành đồng cấu k: Cp  E   Cp1  E '   j Cho  ki s  diện thứ j đơn hình ki s Ta kiểm tra lại dễ dàng hệ thức sau đây:  k s   f s,  k s   g.s ,  k s    k s       k s   k s   j  i  ,  k s   k s  i  j   0  p 1 p j i 1 j i  i 1 i 1 j 1 i  i 1 i ,     j i  4 Ta có: p 1 p k  s     1 i j j 0 i 0    1  k i s   j 1  k s   j i    1 i j 0 j i  p  k s   j i    k s  i 0 j i  p   1  k s  i j  0i  p  j i 0i  j 1 p áp dụng công thức (4) ta được: k  s     1 i j k i s    j 0 j i  p    k i s   i 1 0i  p i  i 1 0i  p    1    k s  i j  k i s    k s     j 1 0i  j 1 p Thay đổi số ký hiệu ta có: k  s     1 i  j 1 0 j i  p 1 +   1 i  j 1 0i  j  p k i s     k s    k p s  j  0 k i s    f s  g.s  j  p 1   1 0i  p 1 0 j  p Do đó: k  s   f s  g.s  k  s   i  j 1 k i s  j i   28 điều với s: p  E nên: C(f) – C(g) = k + k nghĩa C  f  C  g  Từ định lý định lý : Nếu f1, f2: X  X  đồng luân cấu xạ cảm sinh H n  f1  : H n  X   H n  X  Và H n  f  : H n  X   H n  X  trùng nhau: f1 f  H n  f1   H n  f  : Ta suy hệ sau 2.4.3 Hệ Nếu hai ánh xạ f, g: E  E’ đồng cấu xạ cảm sinh H(f), H(g): H(E)  H(E’) trùng Dễ thấy đồng luân quan hệ tương đương tập hợp ánh xạ liên tục từ E đến E’ Thật f h(x,t)=f(x); f g : E  E ' phép đồng luân h(x,t), g đồng luân h’(x,t) = h(x,1-t); f g f : E  E ' , phép đồng luân f phép g : E  E ' phép đồng luân h1(x,t), k : E  E' phép đồng luân h2(x,t) f k phép đồng luân  1  h1  x,2t    t      h  x, t    h  x,2t  1   t      2  Vả lại: Nếu f0 g0 f0 f1 : E  E ' g0 g1 : E '  E '' g1 f1 : E  E '' Thật vậy, cho h1 phép đồng luân từ f0 đến f1, h2 phép đồng luân từ g0 đến g1 Khi g0 , h1: E x I  E” phép đồng luân từ g0f0 đến g0f1 h2  f1  x  , t  : E  I  E " phép đồng luân từ g0f1 đến g1f1 Các kết cho ta thấy thành lập phạm trù mà vật không gian tôpô, Mor(E,E’) tập hợp lớp đồng luân ánh 29 xạ liên tục từ E đến E’ Phạm trù phạm trù thương Top, gọi phạm trù đồng luân không gian tôpô (hay gọn hơn, phạm trù đồng luân) Ta nói f : E  E’ tương đương đồng luân lớp đồng luân [f] đẳng cấu phạm trù đồng luân, nghĩa tồn g: E’E cho gf 1E fg 1E ' Ta viết f: E E ' , nói hai khơng gian E, E’ thuộc kiểu đồng luân Theo hệ trên, hàm tử đồng điều H: E  H(E) thực chất hàm tử từ phạm trù đồng luân đến phạm trù nhóm chia bậc Vậy ta có: 2.4.4 Định lý Hai không gian tôpô thuộc kiểu đồng ln có nhóm đồng điều kỳ dị đẳng cấu Nói cách khác, nhóm đồng điều kỳ dị bất biến đồng luân không gian tôpô Đương nhiên hai không gian đồng phôi thuộc kiểu đồng luân Nhưng ngược lại nói chung khơng Chẳng hạn, R n biết , với f: x  0, g:  ta có gf 0 vì, 1Rn , fg  10 ; Rn 0 không đồng phôi hai tập hợp Rn 0 khơng lực lượng Thành thử phân hạng không gian tôpô theo kiểu đồng luân thô phân hạng theo lớp đồng phôi, bất biến đồng luân bất biến tôpô 30 2.5 Không gian co rút đƣợc 2.5.1 Định nghĩa Không gian tôpô không rỗng, đơn giản nhất, không gian gồm điểm Một không gian kiểu đồng luân với không gian điểm, gọi không gian co rút 2.5.2 Bổ đề Một không gian E co rút ánh xạ đồng 1E: x  x đồng ln với ánh xạ khơng đổi từ E đến E (Một ánh xạ không đổi từ E đến E’ ánh xạ chuyển điểm x  E đến điểm cố định a  E’) Chứng minh Giả sử E co rút f: E  P phép đồng luân từ E đến không gian điểm P Gọi g: P  E nghịch đảo đồng luân f, nghĩa ánh xạ liên tục cho gf Ngược lại, giả sử 1E 1E , ta thấy gf ánh xạ không đổi C , với C ánh xạ không đổi, chuyển x  E đến x0E Cho h phép đồng luân từ 1E đến C, P không gian  x0  , i: P  E ánh xạ đồng nhất, ta có h: 1E iC Ci = 1p , chứng tỏ E kiểu đồng luân với P Chẳng hạn Rn không gian co rút Một cách tổng quát, tập hợp lồi E  Rn khơng gian co rút được, x0  E, C : E  x0  h (x,t) = tx0 + (1–t)x phép đồng luân từ 1E đến C 2.5.3 Định lý Các nhóm đồng điều kỳ dị không gian E co rút là:  Z H p E    0  p  0  p  1 Chứng minh Theo kết đả biết ta cần tìm nhóm đồng điều khơng gian điểm P =  x0  Rõ ràng P liên thông đường nên theo định lý 2.3.4, H  P  Z Cho p  Đơn hình kỳ dị thứ nguyên p sp: p  P, C p  P   ns p : n  Z  Ta có sp = sp – đó: 31 p s p    1 g p1  p lẻ, = sp-1 p chẵn i i 0  C p  P  Vậy: Z p  P     0  C p  P  Bp  P     0 ( p lẻ ) p chẵ n ( p lẻ ) p chẵ n v H p  P   0 với p  Cho A không gian không gian tơpơ E Ta nói ánh xạ liên tục r: E  A phép co rút từ E đến A, r \ A = 1A Khi A gọi co rút E Gọi i: A  E ánh xạ bao hàm A vào E, ta có r ◦ i = 1A H  r  H  i   1H A : H(E) H(r) H(A) H(t) H(A) Như H(i) đơn cấu, nghĩa H(A) nhóm H(E) Nếu phép co rút r: E  A ta có thêm ir 1E r gọi phép co rút biến dạng E đến A Khi ta có H(i).H(r) = 1H(E) , kết hợp với H(i).H(r) = 1H(A) ta được:  H  i  : H  A   HE Rõ ràng nói: khơng gian E co rút có điểm aE cho a co rút biến dạng E 32 KẾT LUẬN Dựa tài liệu có, Luận văn trình bày kiến thức sở phạm trù đại số đồng điều, tôpô đại số Nhằm mục đích đó, luận văn cố gắng chọn lọc nội dung ngành toán học nói để trình bày số vấn đề sở cần thiết Nội dung chủ yếu luận văn Trình bày lý thuyết phạm trù hàm tử cách sơ cấp làm sở cho nội dung chương sau Trình bày khái niệm kết đại số đồng điều lý thuyết đồng điều không gian tôpô 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] G Birkhoff S Maclane (1979), Tổng quan đại số đại (Bản dịch tiếng Việt), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Đoành, Tạ Mân (2009), Nhập môn tôpô đại số, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [4] S T Hu (1973), Nhập môn đại số đồng điều (Bản dịch tiếng Việt), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] S Lang (1975), Đại số (Bản dịch tiếng Việt), NXB NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [8] Hoàng Tuỵ, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê (1979), Hà Huy Khoái, Mở đầu số lý thuyết đại tôpô đại số, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội TIẾNG ANH [9] A Dold (1972), Lectures on algebraic topology, Springer – Verlag, Berlin Heidenberg, New York [10] E H Spanier (1966), Algebra Topology, Mc Graw – Hill Book Co ... nghĩa Không gian tôpô không rỗng, đơn giản nhất, không gian gồm điểm Một không gian kiểu đồng luân với không gian điểm, gọi không gian co rút 2.5.2 Bổ đề Một không gian E co rút ánh xạ đồng 1E:... tử đồng điều kỳ dị Do đó: Hai khơng gian tơpơ đồng phơi có nhóm đồng điều kỳ dị đẳng cấu: H  E   H  E ' Nói cách khác, nhóm đồng điều kỳ dị bất biến tôpô không gian tôpô 24 2.3 Không gian. .. 17 CHƢƠNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ 2.1 Những kiến thức chuẩn bị đồng điều Như biết tơpơ học ngành tốn học nghiên cứu không gian tôpô ánh xạ liên tục chúng Hai không gian tôpô coi tương