Về tích tenxơ của các không gian babach

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TỐN ĐINH BÍCH HẢO VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN BANACH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN HỌC VINH - 2010 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TỐN VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN BANACH TĨM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƢ PHẠM TOÁN Cán hướng dẫn: Ths Kiều Phƣơng Chi Sinh viên thực hiện: Đinh Bích Hảo Lớp: 47A – Tốn VINH - 2010 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng 1: Tích tenxơ khơng gian véctơ 1.1 Không gian véctơ 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Tích tenxơ khơng gian vectơ Chƣơng 2: Tích tenxơ không gian Banach 18 2.1 Tích tenxơ khơng gian Banach với chuẩn xạ ảnh 18 2.2 Tích tenxơ không gian Banach với chuẩn nội xạ 26 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Tích tenxơ khơng gian véctơ phép tốn quan trọng tốn học Các kết phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc nhiều ngành tốn học khác giải tích, đại số hình học Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hoá học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa cơng cụ, vừa đối tượng nghiên cứu số chuyên ngành toán học Trong Tốn giải tích, vấn đề trang bị tơpơ khơng gian tích tenxơ, nghiên cứu cấu trúc giải tích chúng thực khơng gian tuyến tính tơpơ, khơng gian lồi địa phương (xem[1], [3]) Từ đó, người ta thu ứng dụng Lý thuyết tốn tử, Giải tích phức,… Trong khn khổ khố luận tốt nghiệp đại học, chúng tơi lựa chọn trình bày số vấn đề tích tenxơ hai khơng gian Banach thơng qua đề tài: Về tích tenxơ không gian Banach Dựa vào tài liệu [4], trình bày phương pháp trang bị chuẩn tích tenxơ hai khơng gian Banach nghiên cứu số ví dụ, tính chất khơng gian Với nội dung khố luận viết thành chương: Chương Tích tenxơ khơng gian vectơ Chương Tích tenxơ khơng gian Banach Khóa luận hồn thành trường đại học Vinh hướng dẫn chu đáo nhiệt tình Ths Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Kiều Phương Chi, thầy giáo khoa Tốn, tập thể lớp 47A, bạn bè người thân, đặc biệt gia đình tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả hồn thành khóa luận Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi thiếu xót nội dung hình thức Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2010 Đinh Bích Hảo Chương 1: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN VÉCTƠ Chương trình bày số kết không gian véctơ, không gian Banach cần dùng sau tích tenxơ khơng gian véctơ 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định nghĩa Tập hợp V   với phép cộng véctơ: V V  V  x; y  x y phép nhân vô hướng: K V  V  ; x  x gọi không gian véctơ trường K với x, y , z  V  ,   K điều kiện sau thỏa mãn: i)  x  y   z  x   y  z  ii) x  y  y  x iii) Tồn véctơ khơng, có tính chất 0 x  x0  x iv) Tồn vectơ  x , gọi véctơ đối x , cho x  x  x  x  v)   x     x  vi)     x   x   x vii)   x  y    x   y viii ) 1.x  x Ta gọi phần tử V véctơ, phần tử K phần tử vơ hướng 1.1.2 Ví dụ 1) Cho K trường Khi K n   x  ( x1 , , xn ) : xi  K khơng gian véctơ với hai phép tốn cộng nhân vô hướng thông thường 2) Tập tất đa thức biến K  x với phép cộng đa thức thông thường phép nhân đa thức với phần tử trường không gian véctơ   3) Không gian l1   x  ( xn )  K :    xn    với phép toán cộng  n 1 x  y   xn  yn  , x   xn  , y   yn  phép nhân với vô hướng  x    xn  ,   K, x   xn  không gian véctơ 1.1.3 Định nghĩa Cho X không gian véctơ trường K Một tập hữu hạn M   x1 , x2 , , xn   X gọi độc lập tuyến tính 1 ,2 , ,n K mà n  x i 1 i i  1  2   n  Một tập tùy ý M  X gọi độc lập tuyến tính tập hữu hạn độc lập tuyến tính Cho M   x1 , x2 , , xn  họ véctơ X Ta gọi tập tất tổ hợp tuyến tính véctơ M bao tuyến tính M, kí hiệu span(M) 1.1.4 Định nghĩa Cho X , Y không gian véctơ trường K Ánh xạ f : X Y ánh xạ tuyến tính f  x   y    f  x    f  y  , x, y  X ;  ,   K Ánh xạ tuyến tính cịn gọi tốn tử tuyến tính Nếu f ánh xạ tuyến tính f    Kí hiệu L  X , Y  không gian véctơ ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Ánh xạ tuyến tính f : X  K gọi dạng tuyến tính Khơng gian vectơ X #  L  X , K  gọi đối ngẫu đại số X Nếu f : X  Y ánh xạ tuyến tính ánh xạ f  : Y #  X # xác định f *  y   y f , y  Y # gọi ánh xạ đối ngẫu f Ánh xạ tuyến tính f : X  Y song ánh gọi phép đẳng cấu đại số, không gian X, Y gọi đẳng cấu đại số với 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử E không gian véctơ trường K p : E  x : x hàm, hàm p gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau: i) x  0, x  E; x   x  ; ii)  x   x , x  E;   K ; iii) x  y  x  y , x, y  E 1.2.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E không gian mêtric đầy đủ mêtric sinh chuẩn Không gian mêtric X gọi đầy đủ với dãy Cauchy X hội tụ 1.2.3 Ví dụ 1) Xét K n khơng gian tuyến tính K Với x   x1 , x2 , , xn  ta xác định hàm: : K n  : Kn  n với x :  xi ; i1 : Kn  với x : Max xi 1in 2  n với x :   xi  ;    i1  Khi ; ; chuẩn K n K n không gian Banach với chuẩn 2) Cho K không gian tôpô Hausdorff compact, C ( K ) không gian hàm liên tục K Khi C ( K ) khơng gian Banach với chuẩn f : sup f  x  xK Hơn nữa, X khơng gian Banach C ( K , X ) không gian hàm liên tục K nhận giá trị X không gian Banach với chuẩn f : sup f  x  xK    3) l1   x  ( xn )  K :  xn    không gian định chuẩn với chuẩn xác định  n 1  x    xn , x  ( xn )  l1 n 1 1.2.4 Định nghĩa Cho X, Y không gian định chuẩn trường K Ánh xạ tuyến tính f : X  Y gọi liên tục a  X với   , tồn   cho x  X mà x  a   f  x   f  a    Kí hiệu L  X,Y  không ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y Khơng gian L  X, K   X  gọi không gian liên hợp ( hay đối ngẫu) thứ X Không gian L  X  , K   X  gọi không gian liên hợp thứ hai X 1.2.5 Định nghĩa Cho X, Y không gian định chuẩn Ánh xạ f : X  Y gọi đẳng cự f  x   f  y   x  y , x, y  X 1.2.6 Định lý Cho E không gian Banach Khi E n khơng gian Banach với n chuẩn p( x)   x i , x  ( xi )  E n i 1 n Chứng minh Dễ dàng kiểm tra p( x)   x i , x  ( xi )  E n chuẩn i 1 E n Ta chứng minh tính Banach E n Thật vậy, giả sử ( x k )k 1  ( x1k , , xnk )k 1  E n dãy Cauchy Khi đó, với   0, tồn k0 cho n p( x k  xl )   xik  xil   , k , l  k0 i 1 (1.1) Từ suy xik  xil   , k , l  k0 , i  1, , n Do đó, với i  1, , n , ( xik )k 1 dãy Cauchy E Vì E khơng gian Banach nên xik  xi  E k   Đặt x  ( x1 , , xn )  E n Khi đó, (1.1) ta cố định k  k0 cho l   ta nhận n p( x  x)   xik  xi   , k  k0 k i 1 Vì xk   x k   Điều phải chứng minh p Chứng minh tương tự ta nhận kết sau 1.2.7 Định lý Cho E không gian Banach Khi    l1 ( E )   x  ( xn )  E :  xn     n 1  không gian Banach với chuẩn  p( x)   x n , x  ( xn )  l1 ( E ) n 1 1.2.8 Định lý Cho E khơng gian Banach Khi c0 ( E )  x  ( xn )  E : xn  0 không gian Banach với chuẩn p( x)   xn   sup n xn 1.3 Tích tenxơ khơng gian vectơ 1.3.1 Định nghĩa Cho X , Y , Z không gian vectơ trường K Ánh xạ A : X  Y  Z gọi ánh xạ song tuyến tính 1) A 1 x1   x2 , y   1 A  x1 , y    A x2 , y  , 2) A  x, 1 y1   y2   1 A  x, y1    A  x, y2  , 23 Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.11, tồn ánh xạ tuyến tính B : X  Y  Z cho B( x, y)  B( x, y) với x  X y  Y Ta B n toán tử bị chặn chuẩn xạ ảnh X  Y Với u   xi  yi  X  Y ta i 1 có n B(u )  B( xi , yi )  B i 1 n  xi yi i 1 (bởi B song tuyến tính bị chặn) Bất đẳng thức với biểu diễn u Suy B(u)  B  (u) với u  X  Y Vậy B bị chặn B  B Mặt khác B( x, y)  B( x  y)  B  ( x  y)  B x y với x  X , y  Y Suy B  B Vậy B  B Bây ta mở rộng bảo ˆ Y Z tồn chuẩn (duy nhất) tốn tử B : X  Y  Z thành toán tử B : X  (ta ký hiệu toán tử mở rộng B ) Khi đó, ánh xạ B kiểm tra ánh xạ B B đẳng cự Ta cần ˆ  Y , Z ) Khi đó, ánh B toàn ánh Với L  ( X  xạ song tuyến tính bị chặn xác định B ( x, y )  L( x  y ) với x  X y  Y thoả mãn B  L Suy ánh xạ B B đẳng cự, đẳng cự B ( X  Y , Z ) L( X  Y , Z ) Định lý chứng minh Với Z trường vô hướng ta nhận hệ sau 2.1.9 Hệ Đối ngẫu không gian tenxơ xạ ảnh X  Y không gian dạng song tuyến tính liên tục B ( X  Y ) Sau trình bày ví dụ tích tenxơ xạ ảnh quan trọng 2.1.10 Ví dụ Khơng gian tích tenxơ xạ ảnh l1  X 24 Cho X không gian Banach Xét ánh xạ J cho (an )  x  l1  X (an x)  l1 ( X )  Dãy (an x) dãy khả tổng tuyệt đối  n1    an x    an  x   hay  n1  m a  x  l1  X  Do ánh xạ xác định Nếu u    xi  l1  X , i 1   ain n , i ,   m   m  J  u     ain xi      ain xi   i1 n n1  i1 n  m   n 1 i 1 m    ain xi     ain  xi   xi i 1  n1 i 1  m Suy J  u     u  với biểu diễn u m Ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại Với biểu diễn  a  x u i i 1 m Khi J  u    un  , un   ain xi Ta khẳng định chuỗi i 1 i  e n 1 n  un hội tụ u  l1  X , en  sở véctơ đơn vị tiêu chuẩn l1 Thật k vậy, cho  k phép chiếu l1 lên k tọa độ đầu, tức  k (a )   an en Ta có n 1  k (a)  a k    k   n 1   m k m    u   en  un       xi   en  ain xi  n 1 i 1  i 1  k  m         xi   ain en  xi   n 1   i 1  25  m        k  xi   i 1    m     k xi i 1  Suy   u   k e n1 n   un   k   Vậy khẳng định chứng minh  Ta nhận        u      en  un    en un   un  J  u  n1  n1  n1 suy J  u     u  với biểu diễn u Do ánh xạ tuyến tính J : l1  X  l1  X  đẳng cự Vì khơng gian l1  X  đầy đủ nên J mở rộng thành toán tử đẳng cự từ l1  X vào l1  X  Hơn nữa, tốn tử tồn ánh Thật vậy, v   xn   l1  X  k  xn  k  j tiến tới n j  Mặt khác k k n j n j  (  en  xn )   xn với k  j  k Suy dãy tổng riêng  en  xn , k  1, 2, chuỗi  en  xn n 1 n1  l  X Vì  en  xn hội tụ tới u l  X Ta có 1 n1  J (u )  J (  en  xn )  ( xn )  v n 1 Vậy J tồn ánh Do l  X  l ( X ) 1 dãy Cauchy 26 2.2 Tích tenxơ khơng gian Banach với chuẩn nội xạ Cho X , Y không gian véctơ trường K X # Y # tương ứng đối ngẫu đại số X , Y Với x  X , y  Y ta xét định nghĩa dạng song tuyến tính Bx , y X #  Y # sau Bx, y ( , )   ( x) ( y),  X # , Y # Ánh xạ ( x, y)  X  Y Bx, y  B( X # , Y # ) song tuyến tính tồn ánh xạ J tuyến tính từ X  Y vào B( X # , Y # ) biến x  y thành Bx , y n  Bxi , yi  Khi Ta ánh xạ đơn ánh Thật vậy, giả sử i 1 n   ( xi ) ( yi )  với   X # ,  Y # i 1 Theo Mệnh đề 1.3.5, ta có n  xi  yi  X  Y Vậy J đơn ánh Do i 1 ta xem X  Y không gian B( X # , Y # ) cách đồng n x  y với Bx , y Chú ý u   xi  yi i 1 n Bu ( , )    ( xi ) ( yi ),  X # ,  Y # i 1 Xét hạn chế Bu tích X  Y  Với u  X  Y đặt    u   sup  Bu ( , )    n   xi   yi  :   BX ,  BY  ,   i 1 n cận lấy qua biểu diễn  x  y u i 1 Ta có định lý sau  i i  2.3 27 2.2.1 Định lý Công thức (2.3) xác định chuẩn X  Y Chứng minh Rõ ràng  (u )  với u  X  Y Giả sử  (u )  Khi n   x   y   với   X *   Y * i 1 i i n Vì  (   yi  xi ) với   X Suy * i 1 n   y  x i 1 i i  với n   Y Áp dụng Mệnh đề 1.3.5 ta có u   xi  yi  Ngược lại, u  * i 1 rõ ràng  (u )  Tiếp theo, với   K , với u  X  Y biểu diễn n n i 1 i 1 u   xi  yi u ta có u    xi  yi   n        u   sup    xi  yi :   BX * ,  BY * i1        n  sup    xi  yi :   BX * ,  BY * i1      n   sup   xi  yi :   BX * ,  BY *     u  i1 n Cuối cùng, với u, v  X  Y biểu diễn u   xi  yi i 1 m v   zi  w i tương ứng chúng, ta có j 1 n  n    u  v   sup    xi   yi     zi   w i  :   BX* ,  BY   i 1  i 1   n  sup    xi   yi    i1  n   zi   w i  :   BX ,  BY   i 1   28  n   sup    xi   yi  :   BX  ,  BY    i 1   n   sup     zi   w i  :   BX  ,  BY      u     v   i 1  Vậy  chuẩn X  Y 2.2.2 Định nghĩa Chuẩn  X Y xác định Định lý 2.2.1 gọi chuẩn nội xạ X Y Không gian định chuẩn ( X  Y ,  ) nói chung không gian ˆ Y Banach Bao đầy ( X  Y ,  ) không gian Banach, ký hiệu X   gọi khơng gian tích tenxơ nội xạ X Y Mệnh đề sau đưa cách xác định khác chuẩn nội xạ 2.2.3 Mệnh đề Nếu u  X  Y    u   sup      x y :   B  sup       i i X i 1   n  x  y :   B     i i Y  i 1  n Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh, khẳng định sau x  sup  f ( x) : f  BX *  với x  X Thật vậy, với f  BX * ta có f ( x)  f x  x Suy x  sup f ( x) : f  BX *  Mặt khác, theo hệ Định lý Hahn-Banach, với x  X tồn f  BX * cho f ( x)  x Suy x  f ( x)  sup  f ( x) : f  BX *  29 Khẳng định chứng minh Bây giờ, với u  X  Y biểu diễn n x  y i 1 i  i nó, áp dụng khẳng định trên, ta có    n n   sup   xi yi :   BX *  sup sup  (   xi yi ) :  BY * :   BX *  i1 i1        n   sup     xi  ( yi ) :   BX * ,  BY *   i1    (u ) Tương tự ta có    u   sup   n  x   y  :  B i 1 i i Y     Mệnh đề chứng minh   Trong chứng minh mệnh đề ta thấy x  sup f ( x) : f  BX * Trong thực tế cận cịn lấy tập BX * Vì thế, người ta đưa khái niệm sau 2.2.4 Định nghĩa Tập A  BX * gọi chuẩn hoá x  sup  f ( x) : f  A Xét phép nhúng tắc X khơng gian đối ngẫu thứ hai X ** Khi đó, dễ dàng kiểm tra hình cầu đơn vị BX X tập chuẩn hoá BX ** Từ ta nhận trực tiếp kết sau: 2.2.5 Mệnh đề Nếu u  X *  Y *   n   u   sup   i  x  i  y  : x  BX , y  BY  ,  i1    n cận lấy qua biểu diễn  i 1 i  i u 30 Mệnh đề sau trình bày số tính chất chuẩn nội xạ 2.2.6 Mệnh đề Cho X Y không gian Banach (a)   u     u  , u  X  Y (b)   x  y   x y , x  X , y  Y (c) Nếu   X  ,  Y    hàm tuyến tính bị chặn X  Y      Chứng minh (a) Với   BX  ,  BY  ta có   1,   Vì vậy, với n u  X  Y biểu diễn u   xi  yi nó, ta có i 1  n        u   sup    xi  yi :  B  ,  B   X Y   i1    n   sup    xi  yi :   B  ,  B   X Y  i1       n   inf  sup    xi  yi :   B  ,  B     X Y   i1    n   inf  sup   xi yi :   B  ,  B     X Y   i1   n  inf   i1   xi yi    (u),  cận lấy qua biểu diễn u Ta   u     u  , u  X  Y (b) Với x  X , y  Y , áp dụng hệ Định lý Hahn-Banach ta tìm 0  BX ,  BY   cho 0  x   x ,  y   y , x  X , y  Y Suy 31  n       u   sup   xi  yi :   BX * ,  BY * i1   0  x   y   x y Theo (a) ta có   x  y     x  y   x y , x  X , y Y Suy   x  y   x y , x  X , y Y ˆ Y ta có (c) Với x  y  X      ( x  y)   ( x) ( y) Suy    ( x  y )   ( x) ( y )   x  y     ( x  y) với x  y  X  Y Từ suy   phiếm hàm tuyến tính bị chặn ˆ Y      X   Với   , từ   sup   ( x) : x  1 suy tồn x0  X cho x0   ( x0 )     Tương tự, tồn y0 Y cho y0   ( x0 )     Ta có    sup   ( x)  ( y ) : x  1, y  1  (    )(    ) Cho   ta nhận      Suy      Mệnh đề chứng minh Mệnh đề sau trình bày tenxơ nội xạ ánh xạ 2.2.7 Mệnh đề Cho S : X  W T : Y  Z tốn tử Khi tồn toán tử S  T : X  Y  W  Z cho 32 S  T  x  y    Sx   Ty  x  X , y  Y Hơn nữa, S  T  S T Chứng minh Cho S  T : X  Y  W  Z tích tenxơ hai tốn tử S , T n Nếu u   xi  yi  X  Y i 1  n  W ,Z  S  T  u    sup    Sxi  Tyi  :   BW  ,  BZ    i1   n   sup    S  xi  T  yi :   BW  ,  BZ    i1  n   sup   S  xi  T  yi :   BW  ,  BZ    i1   S T  u  Do S  T bị chặn chuẩn nội xạ S  T  S T Mặt khác, cho   bất kỳ, ta chọn x  BX y  BY cho Sx  1    S Ty  1    T Khi   x  y     S  T  x  y    1    S T Suy S  T  S T Do S  T  S T Tiếp theo, mở rộng S  T bảo toàn chuẩn (duy nhất) lên X  Y ta nhận toán tử S  T theo yêu cầu Mệnh đề chứng minh Sau ta trình bày số tích tenxơ nội xạ quan trọng thường gặp 2.2.8 Định lý Không gian tích tenxơ nội xạ c0  X đẳng cấu với c0 ( X ) Chứng minh Xét ánh xạ J : c0  X  c0  X  cho 33 n u    xi i 1  n k  J (u )    xi   i 1 k Ta có n k k  k n  xi  max  xi  k   (bởi  (ai )k 1  c0 ) 1in i1 i1 0 Suy J (u )  c X  Vậy toán tử cho xác định Tiếp theo, ta đánh giá chuẩn J (u ) Sử dụng tính đối ngẫu c0 l1 , ta có   n k n k Ju  sup  xi  sup sup   xi i1 k k B * i 1 X   n k  sup sup   xi B * k i1 X  sup B X* sup   b b k Bl1  n k k   b  xi k 1i1         u  n  sup sup  b  xi bBl1 B * i 1 X Vậy J đẳng cự từ c0  X vào c0  X  Mở rộng J cho đẳng cự từ c0  X vào c0  X  Ta chứng minh J  c0  X  trù mật c0  X  Thật vậy, giả sử x  ( xn )  c0 ( X ) Khi đó, x  lim x k , k  xk  ( x1 , x2 , , xk ,0,0, ) k Mặt khác, x  J ( en  xn ) (en ) dãy véctơ đơn vị c0 Từ ta k n 1 nhận điều phải chứng minh Vì c0  X  đầy đủ nên J phép đẳng cự, đẳng cấu c0  X c0  X  34 2.2.9 Định lý Khơng gian tích tenxơ nội xạ C ( K ) X đẳng cấu với C ( K , X ) Chứng minh Xét ánh xạ J : C ( K )  X  C ( K , X ) cho n J (u )(t )   f i (t ) xi , i 1 n f với t  K biểu diễn i 1 i xi u  C ( K )  X Đầu tiên ta J bảo toàn chuẩn Thật vậy, với t  K xét ánh xạ định giá t : C( K )  K xác định t ( f )  f (t ), với f  C ( K ) Dễ dàng kiểm tra t  (C ( K ))*  t  với t Hơn nữa, tập  t : t  K  tập chuẩn hoá (C ( K ))* Ta có J (u )  sup tK Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 ta có   u   sup n  f (t ) x i 1  i i  sup tK   ( f ) x i 1 t i i    n   fi xi :   BC K *   i1 Vì  t : t  K  tập chuẩn hoá (C ( K ))* nên   u   sup n    n n   fi xi :   BC K *  sup   t ( fi ) xi   i1 tK i1 Ta nhận J (u )   (u ) Vậy J : C( K )  X  C( K , X ) đẳng cự Tiếp theo ta J (C ( K )  X ) trù mật C ( K , X ) Với f  C ( K , X )   Do tính compact K tồn t1 , , tn  K cho tập mở Vi  t  K : f (t )  f (ti )    , i  1, , n phủ K Gọi g1 , , gn hàm sinh phân hoạch đơn vị từ phủ Vi i 1 K Khi gi  C( K ) , n 35 nhận giá trị đoạn 0,1 , n  g (t )  với t  K giá g i 1 i i nằm Vi (tức gi  Vi ) (xem [1]) Đặt n u   gi  f (ti )  C ( K )  X i 1 (để ý f (ti )  X với ti ) Khi J (u )  f  sup tK n  g (t ) f (t )  f (t ) i 1 i i  sup tK n  g (t )  f (t )  f (t )  i 1 i i n  sup  gi (t ) f (ti )  f (t )  sup f (ti )  f (t )   tK i 1 tK Vậy J (C ( K )  X ) trù mật C ( K , X ) Vì C ( K , X ) đầy đủ nên mở rộng ˆ X đẳng cấu, đẳng cự từ C ( K )  ˆ X vào C ( K , X ) J lên C ( K )    Định lý chứng minh 36 KẾT LUẬN Khố luận thu kết sau Trình bày vấn đề tích tenxơ không gian vectơ Chứng minh chi tiết số mệnh đề, định lý mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt, Định lý 1.3.3; 1.3.10, Mệnh đề 1.3.5; 1.3.8; 1.3.12 Trình bày hai phương pháp trang bị chuẩn tích tenxơ hai khơng gian Banach chuẩn xạ ảnh chuẩn nội xạ Chứng minh chi tiết số kết quả, tính chất ví dụ không gian tenxơ xạ ảnh, không gian tenxơ nội xạ mà tài liệu không chứng minh, cho dạng tập Cụ thể là, chứng minh Định lý 2.1.8; 2.2.8; 2.2.9 , Mệnh đề 2.1.5; 2.2.3; 2.2.6 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm Giải tích hàm, tập, NXBGD, 2002 Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2006 Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 Raymond A Ryan, Introduction to Tensor Product of Banach Spaces, Springer, 2003 ... Chƣơng 1: Tích tenxơ khơng gian véctơ 1.1 Không gian véctơ 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Tích tenxơ không gian vectơ Chƣơng 2: Tích tenxơ khơng gian Banach... Đinh Bích Hảo Chương 1: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN VÉCTƠ Chương trình bày số kết khơng gian véctơ, khơng gian Banach cần dùng sau tích tenxơ không gian véctơ 1.1 Không gian véctơ 1.1.1 Định... Y không gian Banach Bao đầy X  Y ký hiệu X  Y Không gian Banach X  Y gọi tích tenxơ xạ ảnh khơng gian Banach X, Y Mệnh đề sau mơ tả tích tenxơ xạ ảnh không gian hữu hạn chiều không gian