giải tích hiện đại (các không gian )

Trờng Đại Học hồng đức Khoa: Tự nhiên ====&==== Giải tích hiện đại Thanh Hoá, tháng 8 năm 2006 Chơng I Không gian Hilbert .i1 Không gian tuyến tính Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu không gian Hilbert, trớc hết ta nhắn lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vectơ). Các khái niệm này đã đợc đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên ở đó ta chủ yếu xét các không gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngợc lại, mối quan tâm của ta dành chủ yếu cho các không gian vô hạn chiều. 1. Không gian tuyến tính Tập hợp L (khác ) đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử của L với một số thuộc tính K thoả mãn các điều kiện sau: 1. Với mọi a, b L đều có: a + b = b + a; 2. Với mọi a, b, c L đều có: (a + b) + c = a + (b + c) 3. Trong L tồn tại (duy nhất) một phần tử O (gọi là phần tử không) sao cho: a + 0 = a với mọi a L; 4. Với mỗi a L đều có một phần tử a L (gọi là đối của a) sao cho: a + (- a) = 0; 5. Với mọi , K, a L đều có: (a) = ()a; 6. Với mọi , K và a L đều có: ( + )a = a + a). 7. Với mọi K, a, b L đều có: (a+b) = a + b 8. 1a = a với mọi a L Chú ý: 1. Trờng K đợc hiểu là trờng số thực K hoặc trờng số phức C. Trong trờng hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thức; trong trờng hợp sau - không gian tuyến tính phức tạp. Sau này ta sẽ chỉ nói đơn giản: L là không gian tuyến tính. Trong trờng hợp cần thiết sẽ nói rõ đó là không gian thực hay phức. 2. Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với 0 R. 3. Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử, với n nguyên dơng tuỳ ý. Bài tập: Chứng minh rằng mọi không gian tuyến tính (trừ không gian tầm thờng chỉ gồm đúng một phần tử) đều có lực lợng không dới contimum (tức là có số phần tử không ít hơn tập hợp R). 2 2. Sự phụ thuộc tuyến tính Trớc hết, ta nên ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến tính L. Giả sử I là một tập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm đợc hoặc không đếm đợc) và với mỗi I ta có t- ơng ứng một (và chỉ một) phần tử X L. Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức X = X khi . Nhng về hình thức, ta sẽ phân biệt X với X nếu . Khi đó, tập hợp A các ký hiệu X với I sẽ đợc gọi là hệ phần tử của L. Nói chung, không thể coi A là tập hợp của L. Hệ phần tử A của L đợc gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn tại a , a n A và 1 , n 0 sao cho = = n k kk x 1 0 hệ không phụ thuộc còn gọi là hệ độc lập (tuyến tính). Nếu a 1 a n L thì với mỗi bộ số 1 , n , biểu thức = n k kk a 1 đợc gọi là một tổ hợp (tuyến tính) của a 1 , a n . Tổ hợp 0a 1 + 0a 2 + 0a n gọi là tổ hợp khác gọi là không tầm thờng. Tổ hợp tầm thờng luon là phần tử 0. Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng. a. Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là bằng 0, ngoài tổ hợp tầm thờng. b. Nếu trong hệ số phần tử bằng 0 hoặc hai phần tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc. c. Nếu hệ A chứa hệ B mà B phụ thuộc thì A phụ thuộc. Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau: d. Hệ A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của A biểu thị tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử khác a, tức là biểu thị dới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử đó. Thật vậy, giả sử A là phụ thuộc khi đó tồn tại a 1 a n A và 1 , n sao cho 00 11 2 = == n k kk n k k ava . Trong đó các số k phải có ít nhất một số khác 0, ví dụ k0 . Khi đó: = 0 0 0 kk ak k k k a tức là a k0 biểu thị thuyết tính qua các phân tử a k (k = 1, .,n; k k 0 ). Ngợc lại, giả sử trong A có các phần tử a, a 1 a n sao cho = = n k kk aa 1 khi đó, 0 1 1 = + = n k kk a với k+1 = -1 và a k+1 = a. Rõ ràng 0 1 1 2 + = n k k . Vậy hệ A phụ thuộc. 3 3. Cơ sở và số chiều Tập con A (tức là h gồm các phần tử khác nhau từng đôi mt) đợc gọi là cơ sở của không gian tuyến tính L, nếu: 1. A là độc lập tuyến tính 2. Mỗi phần tử của L đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử thuộc A. Từ đại số tuyến tính, ta biết rằng nếu không gian tuyến tính L có một cơ sở với n phần tử (hay n vectơ) thì mỗi cơ sở khác cũng phải có đúng n phần tử. Trong trờng hợp này ta nói L là không gian n chiều. Nh vậy, nếu L có một cơ sở vô hạn thì mọi cơ sở khác đều là vô hạn, và trong trờng hợp đó ta nói L là vô hạn chiều. Bài tập: 1. Chứng minh rằng với mọi trờng hợp M( ứ) đều tồn tại một không gian tuyến tính L sao cho cơ sở của nó tơng đơng với M (tức là có cùng lực lợng). 2. Chứng minh rằng hai cơ sở của cùng một không gian luôn cùng lực lợng. Ví dụ đơn giản nhất là không vô hạn chiều là không gian R gồm mọi dãy số thực vô hạn, với phép cộng và phép nhân dãy với một số xác định nh sau: (a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 , a 2 + b 2 ) (a 1 , a 2 , ) = ( a 1 , a 2 , ) 4. Không gian con Tập nghiệm M (không rỗng) của L đợc gọi là không gian con, nếu với mọi a, b M và K đều có a + b M và a M. Điều này tơng đơng với việc mọi tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử trong M cũng thuộc M. Đơng nhiên, chính không gian con của L cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp t- ơng ứng từ L lên M). Trong số các không gian con luôn có tập hợp [c] và toàn bộ L, (các không gian con tầm thờng). Với A là bộ phận khác của L, tập hợp L(A) mọi tổ hợp tuyến tính của những hệ con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A. Đây chính là không gian con hẹp nhất chứa A và là giao của mọi không gian con chứa A. Nếu A là hệ độc lập thì nó chính là cơ sở của L(A). Bài tập: 1. Chứng minh rằng giao (khác ) của (một số tuỳ ý) các không gian con của L cũng là không gian con. 2. Đối với A. B L, ký hiệu A + B = [x + y x A, y B). Chứng minh ràng nếu A và B là không gian con thì A + B là không gian con. 4 5. Không gian thơng Cho A là không gian của L. Trong L xét quan hệ hai ngôi. S nh sau: aSb khi và chỉ khi a-b A. Dễ thấy S là quan hệ tơng đơng. Hiệu A-b có thể định nghĩa nh là tổng của a với phần tử đối của b, tức là -b (-1)b) Dễ thấy lớp tơng đơng chứa phần tử a chính là tập hợp a + A = [a+x x A] Nh vậy, a + A = b + A. Lớp tơng đơng chứa 0 chính là không gian con A (A= 0 + A = a + A với mọi a A). Các lớp tơng đơng khác đơng nhiên không phải là không gian con (vì sao?) B, C L/S khi đó, tập hợp B + C = {x + y x B, y C} cũng là một lớp tơng đ- ơng. Thật vậy, lấy a, a B + C khi đó a = x + y và a = x + y với x, x B và y, y C. Do đó a a = (x x) + (y y) là tổng của hai phần tử thuộc A nên a a A hay a S a. Mặt khác, lấy a B + C và a L sao choi a a A, ta còn phải chứng tỏ rằng a B + C. Thật vậy, ta có a = x + y với x B, y C. Lấy x tuỳ ý từ B và đặt y = a x. Khi đó a = x + y; ngoài ra y y = (a x) (a x) = (a a) + (x x) là tổng của hai phần tử thuộc A nên cũng thuộc A. Vậy y C, nghĩa là a B + C. Vậy B + C là lớp tơng đơng. Dễ thấy B + C = (b+c) + A với b và c lấy tuỳ ý tơng ứng từ B và C. Tơng tự, nếu B = { b b B} cũng là lớp tơng đơng và B = ( b) + A Nh vậy, trên L/S có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một số có thể chứng minh rằng các phép toán đó thoả mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính. Không gian L/S xác định theo cách đó gọi là không gian thơng của L theo không gian con A và thờng ký hiệu alf L/A Bài tập: 1. chứng minh rằng nếu L là không gian n chiều và A là không gian k chiều thì L/A là n-k chiều. 5 .i2 ánh xạ tuyến tính Liên qụan mật thiếu với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính hay, nh phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính. Cách gọi thứ hai thờng đợc dùng khi nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ. 1. Định nghĩa và ví dụ ánh xạ tuyến tích từ không gian tuyến tích L vào không gian tuyến thích M đợc gọi là ánh xạ tuyến tích, nếu với mọi a, b L và hia số , đều có: ( a + b) = (a) + (b) Nếu M chính là trờng số (coi nh không gian tuyến tính trên chính nó) thì đợc gọi là phiếm hàm tuyến tính trên L. Sau đây là vài ví dụ. 1. ánh xạ từ không gian tuyến tính đợc C[a,b] vào R biến mỗi hàm C [a,b] thành b a x)( dx là phiếm hàm tuyến tính. 2. Một ánh xạ khác từ C [a,b]) vào R biến thành (a), cũng là phiếm hàm tuyến tính [a, b] x [a, b]. ánh xạ biến mỗi C [a, b] thành g C [a, b] xác định nh sau: g(x) = x a bxadyyfyx )(,)(),( cũng là ánh xạ tuyến tính. 2. Các tính chất cơ bản 1. ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 là 0. 2. ảnh của x qua ánh xạ tuyến tính là -(x). 3. ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ phụ thuộc. 4. Đơn ánh tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ độc lập. Thật vậy, giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ L vào M và A là hệ độc lập trong L, B = f(A) = {f(x) x A}. Giả sử = = n k kk b 1 0 với b 1 , . b n B. Do f là đơn ánh nên với mỗi b k thì chỉ có một phần tử a k duy nhất từ A sao cho b k = f(a k ) (chú ý: hệ độc lập không chỉ có hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của L). Đẳng thức = = n k kk b 1 0 có nghĩa là 00)( 11 = = == n k kk n k kk afhayaf . Do f(0) = 0 và f là đơn ánh nên = = n k kk b 1 0 . Từ tính độc lập của A suy ra 1 = 2 n = 0, nên B độc lập. 5. ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp f 1 {0} {x L f(x) = 0} chỉ chứa đúng một phần tử 0. Tập hợp này đợc gọi là nhân của ánh xạ tuyến tính f và ký hiệu là Kerf. 6. Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian n chiều vào một không gian n chiều thì có tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh là trùng nhau.+ Bài tập: Chứng tỏ rằng nếu L là vô hạn chiều thì đơn ánh tuyến tính từ L vào L có thể không phải toàn ánh. = = n k kk b 1 0 6 7. Tích hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu f: L M, f: M N thì ánh xạ tính là ánh xạ h: L sao choi h(x) = g(f(x)). Đặc biệt, tích hai ánh xạ đẳng cấu, tức là song ánh tuyến tính cũng là đẳng thức. = = n k kk b 1 0 Bài tập: 1. Chứng minh rằng tập hợp Hom(L,M) mọi ánh xạ tuyến tính từ L vào M cũng là không gian tuyến tính với phép cộng xác định nh sau: (f+g)(x) = f(x) + g(x), ngoài ra nếu L, M có số chiều lần lợt là l và m thì Hom(L,M) có số chiều là lm. 2. Chứng minh rằng tập hợp Hom(L) gồm mọi ánh xạ tuyến tính từ L và L là vành có đơn vị với phép cộng (xác định nh trong bài tập 1) và phép nhân ánh xạ. 3. Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính M thì ta có L và M đẳng thức với nhau. Bổ đề: ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi nó biến cơ sở thành cơ sở. Chứng minh: Giả sử f là đẳng thức từ L vào M và A là cơ sở của L, B = f(A). Do tính đơn ánh của f nên B là hệ độc lập. Lấy một phần tử tuỳ ý y M. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử x L sao cho f(x) = y. Vì A là cơ sở tron = = n k kk b 1 0 g L nên x = = n k kk a 1 với a 1 , a n A. Nhng khi đó ta có y = )( 1 k n k kk af = . Do f(a k ) B nên kết hợp với tính độc lập suy ra B là cơ sở. Đảo lại: Giả sử ánh xạ tuyến tính f từ L vào M biến mỗi cơ sở thành cơ sở. Khi đó, nếu A là cơ sở trong L thì B = f(A) là cơ sở trong M. Lấy phần tử tuỳ ý y M. Khi đó, === === n k kk n k kk n k kk afafby 111 )( với a k A nên y có tạo ánh, tức f là toàn ánh. Tiếp theo giả sử f(x 1 ) = f(x 2 ) với x 1 , x 2 L. Vì A là cơ sở nên x 1 và x 2 sẽ biểu thị tuyến tính qua hai h con hữu hạn A 1 và A 2 của A và ta có thể coi rằng cả x 1 và x 2 cùng biểu thị tuyến tính qua A 1 A 2 = {a 1 a n } tức là x 1 = = n k kk a 1 1 và x 2 = = n k kk a 1 2 vì f(x 1 ) = f(x 2 ) nên == = n k kk n k kk afaf 1 2 1 1 )()( hay ( ) 0)( 1 21 = = k n k kk af . Do f(A) độc lập tuyến tính nên suy ra )2()1( kk = với mọi k = 1, n tức là x 1 = x 2 . Do đó f là đơn ánh; suy ra f là đẳng thức (đpcm) Định lý: Hai không gian tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi hai cơ sở tơng ứng (tuỳ ý) của chúng là cùng lực lợng. Chứng minh: Giả sử L và M đẳng cấu với nhau và ánh xạ đẳng cấu cụ thể từ L vào M là f, A và B lần lợt là cơ sở của L và M. Ký hiệu C = f(A). Khi đó C là cơ sở của M và hiển nhiên A và C cùng lực lợng nên suy ra A và B cùng lực lợng. Đảo lại: Giả sử cơ sở A của L và cơ sở B của M là cùng lực lợng. Xét một song ánh tuỳ ý f từ A và B. Ta mở rộng f lên toàn bộ L nh sau: với x = = n k kkk Aaa 1 )( , đặt f(x) 7 = = n k kk af 1 )( . Khi đó f là ánh xạ tuyến tính từ L vào M. Theo bổ đề trên thì f là đẳng thức. Vậy L, M đẳng cấu với nhau. Bài tập: 1: Ta nói không gian tuyến tính L là tổng trực tiếp của các không gian con M và N, nếu L = M + N và M N = {0}. Chứng minh rằng, nếu L là tổng trực tiếp của M và N thì: a, L/M đẳng cấu với N; b nếu a, a M; b, b N và a + b = a + b thì a = a; b = b. 2. Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh tuyến tính từ L vào M thì L/Kerf đẳng cấu với M. 3. Chứng minh rằng nếu L/M có số chiều bằng 1 (khi đó M đợc gọi là siêu phẳng trong L) thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên L sao cho Kerf = M. 4. Chứng minh rằng ánh xạ ngợc của ánh xạ đẳng cấu cũng là ánh xạ đẳng cấu. .i3 Không gian euclide và không gian hilbert Trong bài này, ta nghiên cứu các tính chất của một loại không gian rất gần với không gian Euclide tổng quát mà trờng hợp quan trọng nhất là không gian Hilbort. 1. Các định nghĩa Đinh nghĩa 1: Không gian tuyến tính thực E đợc gọi là không gian Euclide (thực), nếu trên đó có xác định một phép nhân vô hớng, nghĩa là với mỗi cặp (a, b) E x E, ta đều có tơng ứng một số thực, ký hiệu là (a, b) sao cho: 1. (a, b) = (b, a) 2. (a, b 1 + b 2 ) = (a, b 1 ) + (a, b 2 ) a, b 1 , b 2 E 3. (a, b) = (a,b); a, b E, R 4. (a, a) 0 với mọi a E, ngoài ra (a, a) = 0 khi và chỉ khi a = 0. Định nghĩa 2: Không gian tuyến tính phức E đợc gọi là không gian Euclide (phúc), nếu cũng có phép nhân vô hớng thoả mãn các điều kiện 2, 3, 4 nh trên và điều kiên sau: 1. (a, b) = (b, a). Nhận xét: Dùng điều kiện 1, ( hoặc 1 ) kết hợp với điều kiện 2, để thấy rằng: .,,(,,, 22121 Ebabababaa +=+ 1 a mọivới với không gian thực, rõ ràng ta có .,, baba = với không gian thực ta có: .,.,.,,, baabababba ==== Sau đây ta chỉ nhận xét chủ yếu là không gian thực. Các kết quả tơng ớng cho không gian thực có thể nhận đợc bằng việc thay đổi ít nhiều mạch lý giải hoặc công thức. 8 Trong không gian Euclide có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai phân tử hay hai điểm a và b ; đó là số thực không âm: ( ) bababad = ,, Hàm khoảng cách hay metric d có các tính chất sau: 1, d (a , b) = d ( b , a ); 2, d (a , b) = 0 khi và chỉ khi a = b; 3, d (a , b) d (a , c) + d (c , b) với mọi a, b, c E ( Bất đẳng thức vừa nêu đợc gọi là bất đẳng thức tam giác). Cách khác: R : 0 ( x - y 1 x - y) = (k, x) - 2 (x 1 y) + 2 ( xy 1 f) * Tam thức bậc hai theo phải có 0. yyxxyxHay yyyxyx ,,, 0,,, 2 Từ đó: x + y, x + y = x, x + zx, y + y,y x 2 + 2 xy+y 2 = (x + y 2 ) => x+y x+ y. - Để chứng minh tính chất 3, ta xét hàm bậc hai sau (với là biến số thực, x 0): (x) = x + y), x + y ta có: ()k = x, x + x, y + y, x + y, y = 2 x, x + 2x, y + y, y. Vì () 0 với mọi và x, x 2 0. nên biệt thức của nó không dơng. x, y 2 x, x. y, y. Dễ thấy (1) cũng đúng với cả x = 0. Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Cauclung Bunhiakovski. Trờng hợp đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = x. Mặt khác, bất đẳng thức tam giác (đang cần chứng minh) tơng đơng với: a-b, a-b a-c, a-c + )2(,,,2 bcbcbcbccaca + Đặt a-c=x, c-b=y thì đợc a-b = x + y. Nh vậy, (2) trở thành: )3(,,,2,, yyyyxxxxyxyx ++== Vì vế trái bằng x,x + 2x, y + y, y nên (3) trở thành: )4(,,, yyxxyx Rõ ràng (4) là h quả của (1) nhng không tơng đơng! từ đó suy ra tính chất 3 của hàm khoảng cách. Ta nhận xét thêm rằng bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi x = y (hoặc y = x) và (x, y) 0 tức là y, y 0, Điều này có nghĩa là hoặc y = 0 hoặc 0. Nh vậy x = y với 0 (hoặc y = x với 0) Chú ý: 1. Để thực hiện không âm aa, gọi là độ lớn hay chuẩn của a và thờng ký hiệu là a . Khái niệm chuẩn cũng sẽ đợc định nghĩa lại cho không gian tổng quát hơn (không gian định chuẩn) ở phần sau. 2. Nếu a,b = 0 thì ta nói a và b trực giao với nhau. 9 Ký hiệu a b. Dễ thấy điều kiện cần và đủ để a và b trực giao là )5( 222 baba +=+ (điều kiện Pythagoras) 2. Một số ví dụ 1. Xét tập hợp l 2 gồm mọi dãy số thực x = (x 1 , x n ) thoả mãn điều kiện là chuỗi = 1 2 x nx hội tụ. Khi đó với mọi x, y l 2 ta cũng có chuỗi = 1n nn yx hội tụ. Đặt = = 1 , n nn yxyỹn Dễ chứng minh rằng đây là tính vô hớng và l 2 là không gian Euclide (vô hạn chiều) 2. Không gian tuyến tính C[a,b] trở thành không gian Euclide, nếu xác định tính vô hớng nh sau: = b a dxxgxfgf )()(, Tơng tự, không gian tuyến tính phức C[a,b] các hàm phức biến thực x [a,b] cũng là không gian Euclide với tính vô hớng. [ ] [ ] [ ] giao. trựclà g và f thiba, B AB và ntrê 0 g(x) A, ntrê 0 f(x) nếuChoặc === = babaCTrong dxxgxfgf b a ,,: )()(, Bài tập: Với x, y 0, đặt = yx yx . , arccos và gọi là góc giữa x và y. Chứng minh rằng x và y trực giao khi và chỉ khi 2 = . 3. Giới hạn của dãy điểm. Không gian Hilbert Đinh nghĩa 2: Ta nói dãy điểm {x n } = x 1 , x 2 x n trong không gian Euclide E có giới hạn là a, và viết: him x n = a, nếu dãy số ax n có giới hạn bằng 0. Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ. Dễ thấy giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. Ví dụ: Trong C[0,1] dãy {f n }, với f n (x) = x n có giới hạn là hàm đồng nhất bằng 0. Thật vậy. )(0 12 1 0 1 0 2 + === nkhi n dxxfnfn n Bài tập: Hình cầu mở tâm a, bán kính r(>0) (trong không gian Euclide E) ký hiệu B(a;r) là tập hợp mọi phần tử x sao cho d(x,a) < r. a. Chứng minh rằng him x n = a khi và chỉ khi với mọi > 0 đều tồn tại n 0 sao cho khi n n o thì x n B(a, ). b. Chứng minh rằng hình cầu mở chứa vô số điểm Chú ý: Hình cầu mở tâm a, bán kính r còn đợc gọi là lân cận r của a. Đinh nghĩa 3: Dãy {x n } đợc gọi là dãy cơ bản, nếu với mọi > 0 đều tồn tại n 0 sao cho khi m, n n o thì d(x m , x n ) < . 10 [...]... không gian con tuyến tính của không gian Euclide 1 Không gian con của không gian Euclide Giả sử E là không gian Euclide Coi E nh không gian tuyến tính và giả sử F là không gian con tuyến tính của E Khi đó bản thân F là không gian Euclide với tích vô hớng thu hẹp từ E, vì tính vô hớng thu hẹp này vẫn thoả mãn mọi điều kiện của định nghĩa Tuy nhiên, ta sẽ không gọi F là không gian con (euclide) của không. .. x (n) = , 1 gồm các điểm thuc B, nhng giới hạn của nó là x = thuộc B Bài tập: 1 Chứng minh rằng mọi không gian con tuyến tính của không gian Euclide hữu hạn chiều đều là không gian con Euclide (Chú ý: Số chiều của không gian Euclide cũng là số chiều của không gian tuyến tính tơng ứng) 2 Chứng minh rằng không gian con (Euclide) vô hạn chiều của không gian Hilbert cũng là không gian Hilbert, không gian. .. x(n( 2), xn(k) là dãy số cơ bản Vì vậy mỗi dãy nh trên sẽ có một giới hạn là an Ta đợc một dãy a = (a1, a2 an) ta sẽ chứng tỏ rằng a l2 Thật vậy từ ( 1) suy ra: (k ) n (x n=1 k n ( xnl ) ) 2 < (k ) ( 2) Với mọi N (nguyên dơng) cho l trong ( 2) tiến đến , ta đợc: n ( x n =1 Suy ra: n ( x n =1 an ) 2 (k ) n (k ) n an ) 2 ( 3) n= 1 n= 1 ( ( ( a2 Từ sự hội tụ của xnk ) ) 2 và ( xnk ) an ) 2... là không gian con tuyến tính Tiếp theo, giả sử x(n) = (0, x2(n), x3(n) ,) hội tụ với x = (x1, x2, x 3) thì dễ thấy x1 = 0, tức là x A Vậy A là không gian còn Euclide của l2 Mặt khác, nếu xét tập B gồm mọi dãy hữu hạn, tức là các dãy có dạng (x1, x2, xn, 0, 0) Thì B là không gian con tuyến tính nhng B không phải là không gian con Euclide Thật vậy dãy {x(n)} với: 1 1 , ;0,0 ) 2 n 1 1 1 (1, , ; ) , không. .. C[-1,1] không đầy đủ Bây giờ ta nêu ra định nghĩa không gian Hilbert một trong những đối tợng nghiên cứu chính của ngời giải tích vô hạn chiều Định nghĩa 5: Không gian Euclide đầy đủ (vô hạn chiều) đợc gọi là không gian Hilbert Ví dụ điển hình về không gian Hilbert là không gian l2 đã xét ở trên i4 Hệ trực giao và cơ sở trực giao Một trong những bài toán quan trọng của giải tích là bài toán, phân tích. .. tính trực tiếp), do đó cũng có giới hạn bằng 0 Nh vậy, vế trái của ( 4) phải bằng 0 Mặt khác lại có: 1 0 1 0 = ( f ( x) ( x ) 2 dx = ( f ( x) ( x) 2 dx + ( f ( x )) ( x) 2 dx 1 1 0 mà trên [-1, 0) và (0,1] thì f(x) và (x) đều liên tục nên từ đẳng thức trên suy ra: f(x) = -1 trên [-1, 0) và bằng 1 trên (0,1] Một hàm số nh vậy không thể liên tục tại o Mâu thuẫn này chứng tỏ dãy cơ bản {fn} không hội tụ,... trong giải tích cổ điển, mọi dãy hội tụ đều dãy cơ bản Định nghĩa 4: Không gian Euclide đợc gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tụ Ví dụ 1: Không gian L2 là đầy đủ, thật vậy, giả sử x(k) = (x1(k), x2(k), xn(k )) là dãy cơ bản Khi đó, với > 0 sẽ tồn tại k0 sao cho khi k, l k0 thì: ( x n= 1 (k ) n ( xnb ) ) < 2 Từ đó suy ra: với mỗi n đều có xn xn < Nh vậy, với mỗi n thì dãy xn( 1), x(n( 2), ... gian con (euclide) của không gian Euclide E (Lý do của việc này sẽ đợc xét sau) Ta sẽ phân biệt không gian con Euclide với không gian con tuyến tính không gian Euclide Cụ thể, khong gian con Euclide của không gian Euclide là không gian con tuyến tính F có thêm tính đóng, nghĩa là nếu {xn} là dãy điểm trong F và xn x thì x F Sau đây ta xét vài ví dụ Ví dụ 1: Cho H là không gian Hilbert và h là phần tử... ) fn( x ) 2 dx nên (fn) là dãy cơ bản Giả sử: fn f C[-1,1] (hay lom fn = f) Xét hàm: - 1, nếu -1 x < 0 (x) = 0, nếu x = 0 Dễ 1, nếu 0 < x 1 chứng 1 ( f ( x ) ( x ) dx 2 1 1 1 minh ( f ( x ) fn ( x ) dx + 2 1 1 rằng: ( fn( x ) ( x ) dx 2 ( 4) Số hạng thứ nhất ở vế phải có giới hạn bằng 0 Số hạng thứ hai đợc đánh giá nh sau: 11 1 1 1/ n ( fn( x ) ( x ) 2 dx = 2 0 1/ n (1 nx ) 2 dx 2... từ ( 3) suy ra lin x = a b Ví dụ: Không gian C[a, b] với tính vô hớng f,g = f ( x) g ( x )dx là không đầy a đủ Chỉ cần chứng tỏ điều này, ví dụ, cho C[-1,1] Xét dãy {fn} xác định nh sau: (k) 1 1, nếu - 1 x n 1 1 fn(x) nx, nếu - < x < n n 1 1, nếu x 1 n Dễ thấy fn C[-1,1] với mọi n coi m n ta có: d(fm, fn) = = 1/ n /n 1 ( fm( x) fn( x) 2 ) dx 1/ n /n 1 dx = 2 n 1 1 ( fm( x ) fn( . 1 1 2 )( )) ( ()( )( ()( )( (0 dxxxfdxxxfdxxxf mà trên [-1, 0) và (0,1] thì f(x) và (x) đều liên tục nên từ đẳng thức trên suy ra: f(x) = -1 trên [-1, 0) và bằng. chất của không gian con tuyến tính của không gian Euclide. 1. Không gian con của không gian Euclide. Giả sử E là không gian Euclide. Coi E nh không gian tuyến