Các dạng toán về hình giải tích trong mặt phẳng, không gian

WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy Bài 1: Tọa độ điểm véctơ mặt phẳng Oxy A Lí thuyết:  Cho ba điểm: A( x A ; y A ); B ( xB ; yB ) ; C ( xC ; yC ) Ta có:  Tọa độ véctơ AB = ( xB − x A ; yB − y A )  x + xB y A + y B  ;  Tọa độ trung điểm I AB là: I  A     x + xB + xC y A + y B + yC  ;  Tọa độ trọng tâm G ∆ABC là: G A  3    Cho hai véctơ: a = ( a1; a2 ); b = ( b1; b2 ) Ta có:  a + b = ( a1 + b1; a2 + b2 )  a − b = ( a1 − b1; a2 − b2 )  a.b = a1.b1 + a2 b2  k a = ( k a1; k a2 )  a = a12 + a22 ( )  cos a; b = a.b a b ( )  a.b = ⇔ ( a; b ) = 90  a.b > ⇔ ( a; b ) < 90  a.b < ⇔ a; b > 900 0  a ⊥ b ⇔ a.b = a1 a2  a // b ⇔ = b1 b2 B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1) a) Chứng minh ∆ABC cân A b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành d) Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh MG = GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông A C Bài tập vận dụng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5); B(-3;2); C(4;1) a) Chứng minh ∆ABC cân A b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH d) Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng minh MG = GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông B -  Bài 2: Phương trình đường thẳng mặt phẳng Oxy A Lí thuyết: Nhắc lại kiến thức đường thẳng lớp 10: Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, k gọi hệ số góc đường thẳng a2 Hệ số góc k = tan α = ( α góc hợp d với trục Ox, a = (a1; a2 ) VTCP d) a1 Cho hai đường thẳng d1 d2 có hsg k1 k2 Ta có:  Nếu d1 ⊥ d : k1.k2 = -1  Nếu d1 // d2 : k1 = k2 Véctơ phương véctơ pháp tuyến đường thẳng:  Véctơ phương đường thẳng véctơ có phương trùng song song với đường thẳng  Thường kí hiệu : a  Véctơ pháp tuyến đường thẳng véctơ có phương vuông góc với đường thẳng Thường kí hiệu  : n     Cách suy từ a sang n n sang a :   Giả sử : a =( a1;a2 )là VTCP d   ⇒ n = (−a2 ; a1 ) n = (a2 ;−a1 ) véctơ pháp tuyến d   Giả sử : n = ( A; B ) VTPT d   ⇒ a = ( − B; A) a = ( B;− A) véctơ phương d (Đảo vị trí đổi dấu hai tọa độ) Phương trình đường thẳng :   Cho a = (a1; a2 ) VTCP d  n = ( A; B ) VTPT d Điểm M( x0 ; y0 ) thuộc d Ta có :  PT tham số d: x = x0 + a1t y = y0 + a2t x − x0 y − y0 =  PT tắc d: a1 a2  PT tổng quát d: A( x − x0 ) + B ( y + y0 ) = hoặc: Ax + By + C =  Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox A(a;0) cắt Oy B(o;b) ptđt d viết theo đoạn chắn là: x y + =1 a b Góc khoảng cách:  Góc hai đường thẳng: WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH   a1.a2 n1 n2  Cos (d1; d ) = cos(n1 ; n2 ) =   = cos(a1 ; a2 ) = n1 n2 a1 a2  Khoảng cách từ M( x0 ; y0 ) đến d: Ax + By + C = Ax0 + By0 + C  d(M;d) = A2 + B PT hai đường phân giác góc tạo : d1 = A1 x + B1 y + C1 = ; d = A2 x + B2 y + C2 = là: A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C2 =±  2 A1 + B1 A22 + B22 Lưu ý: Dấu ± tương ứng với đường phân giác góc nhọn đường phân giác góc tù Để phân biệt dấu đường phân giác góc nhọn dấu đường phân giác góc tù cần nhớ quy tắc sau: Đường phân giác góc nhọn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu lại B:Bài tập điển hình: (GV trực tiếp giải) Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2) a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân B Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đt AB; tắc đt AC; tổng quát BC c) Viết phương trình đường cao BH tam giác ABC d) Viết phương trình đường trung tuyến CM tam giác ABC e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC tam giác ABC g) Viết phương trình đường thẳng qua C song song với AB h) Viết phương trình đường thẳng (h) qua A vuông góc AC k) Gọi K giao điểm (h) trung trực cạnh BC Tìm tọa độ điểm K Chứng minh ABHK hbh l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy cho tam giác ACD vuông C m) Viết phương trình đường thẳng DC Tìm tọa độ giao điểm DC trục hoành 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) hai đường thẳng: d1: x – 2y + = x −1 y + = d2: −3 a) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua M song song d1 b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M song song d2 c) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông góc d1 d) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông góc d2 Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh là: M(2;1); N(5;3); P(3;4) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + = qua điểm A(4;1) a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vuông góc d b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A xuống d c) Tìm điểm đối xứng với A qua d WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1 : x + 2y – = ∆ : x – 3y + = a) Tính góc tạo ∆1 ∆ b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến ∆1 ∆ c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo ∆1 ∆ Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ ABC có cạnh AB: 5x – 3y + = hai đường cao có phương trình: AH: 4x – 3y + = 0; BI: 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh lại đường cao thứ ba ∆ ABC Lập ptđt d qua M(2;5) đồng thời cách hai điểm P(6;2) Q(5;4) Lập ptđt ∆ qua A(2;1) tạo với đt d: 2x + 3y + = góc 450 Lập pt đường thẳng d qua A(3 ;1) cách điểm B(1 ;3) khoảng 2 10 Lập pt cạnh ∆ ABC biết B(-4 ;-5) hai đường cao có pt : 5x + 3y – = 3x + 8y + 13 = 11 Hai cạnh hbh có pt : x - 3y = 2x+5y+6=0 Một đỉnh hbh C(4 ;-1)Viết pt hai cạnh lại đường chéo AC 12 Lập pt cạnh ∆ ABC ,biết A(1 ;3) hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + = ;y – = 13 Cho đt ∆ : x = + 2t y=3+t Tìm M nằm ∆ cách điểm A(0 ;1) khỏang C:Bài tập vận dụng : Cho ∆ ABC, M(-1 ;1) trung điểm cạnh hai cạnh có pt: x+2y-2=0 2x+6y+3=0 Xác định tọa độ đỉnh tam giác Cho hình vuông đỉnh A(-4 ;5)và đường chéo đặt đt :7x-y+8=0 Lập pt cạnh đường chéo thứ hình vuông Một hình bình hành có cạnh nằm đt : x + 3y – = ; 2x - 5y – = Tâm I(3 ;5) Viết pt hai cạnh lại hình bình hành Trong mp 0xy cho đt: d1: 3x + 4y – = ; d2: 4x + 3y – = ; d3: y = a Xác định tọa độ đỉnh A,B,C biết: A= d1 ∩ d2 ; B= d2 ∩ d3 ;C= d1 ∩ d3 b Viết pt đường phân giác góc A,B c Tìm tâm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC Tìm quỹ tích điểm cách đt ∆ : 2x - 5y + = troảng Tìm quỹ tích điểm cách hai đt d1: 4x - 3y + = d2: y – = WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Lập ptđt qua P(2 ;-1) cho đt với đt d1: 2x - 4y + = ; d2: 3x + 6y – = tạo ∆ cân có đỉnh giao điểm d1 d2 Cho ∆ ABC cân A biết AB : x + y + = BC : 2x - 3y – = Lập pt cạnh AC biết qua M(1 ;1) Cho ∆ ABC cân A(3 ;0) tìm tọa độ B C biết B,C nằm đt d :3x + 4y + = SABC = 18 10 Cho ∆ ABC có B(2 ;-1) Đường cao qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác gód C : x + 2y – = Hãy tìm tọa độ đỉnh ∆ ABC 11 Viết pt cạnh ∆ ABC biết tọa độ chân ba đường cao kẻ từ đỉnh A,B,C M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2) -  Bài 3: Phương trình đường tròn mặt phẳng Oxy A Lí thuyết : Phương trình đường tròn : Đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình :  Dạng : ( x − a ) + ( y − b ) = R  Dạng : x + y − 2ax − 2by + c = Trong : R = a + b − c , điều kiện : a + b − c > Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C):  d ( I ; d ) > R ⇔ d ∩ (C ) = φ d điểm chung với (C)  d ( I ; d ) = R ⇔ d ∩ (C ) = { A} d tiếp xúc với (C)  d ( I ; d ) < R ⇔ d ∩ (C ) = { A; B} d cắt (C) hai điểm phân biệt Phương trình trục đẳng phương hai đường tròn không đồng tâm có dạng : x + y − 2a1 x − 2b1 y + c1 = x + y − 2a2 x − 2b2 y + c2 Phương trình tiếp tuyến đường tròn M(x0 ;y0) có dạng : x0 x + y0 y − a( x0 + x) − b( y0 + y ) = B Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải) 1.Tìm tâm bán kính đường tròn có phương trình sau : a) ( x − ) + ( y + 1) = b) ( x + 3) + ( y − 1) = c) x + y − x − y − = d) x + y + x − y + = e) x + y − x + y + = f) x + y − x + y − = g) x + y − x − = h) x + y = Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau : a) (C) có tâm I(1 ;-3) bán kính R=7 WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH b) (C) có tâm I(1;3) qua điểm A(3;1) c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5) d) (C) có tâm I(-2;0) tiếp xúc với d: 2x + y – = e) (C) qua điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2) f) (C) có tâm giao điểm đường thẳng d1 : x – 3y +1 = với đường thẳng d2 : x = -4 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d3 : x + y -1 = Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = a) Viết phương trình tiếp tuyến (T) A(-1 ;0) b) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến // d : 2x – y = c) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến vuông góc với d’ : 4x – 3y + = d) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến qua B(3 ;-11) e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = tiếp xúc với đường tròn (T) Xét vị trí tương đối đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y - = a) d1 : x + y = b) d2 : y + = c) d3 : 3x + 4y +5 = Tìm trục đẳng phương hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 2x + y – = (C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – = Cho hai đường tròn có phương trình : (Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – = (Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + = a) Tìm trục đẳng phương hai đường tròn theo tham số m b) Chứng tỏ m thay đổi, trục đẳng phương qua điểm cố định Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = Viết phương trình đường tròn có tâm giao điểm hai đường thẳng d1 : x – 3y + = d2 : x + = đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – = Viết phương trình đường tròn qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ 10 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng d : 4x + 3y – = tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d2 : 7x – y + = 11 Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + = a) Tìm m để (Cm) đường tròn b) Tìm quỹ tích tâm I đường tròn 12 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: (T1) : x2 + y2 – = (T2) : ( x − ) + ( y − 3) = 16 WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH 13 Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) có tâm đường thẳng d : 3x – y + 10 = 14 Cho điểm M(2 ;4) đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + = a) Tìm tâm bán kính đường tròn (C) b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm AB c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d 15 Cho đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y + 3) = 25 a) Tìm giao điểm A, B đường tròn với trục ox b) Gọi B điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến (C) B c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành dây cung có độ dài AB 16 Cho điểm A(8 ;-1) đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + = a) Tìm tâm bán kính (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A c) Gọi M, N tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN 17 Cho hai đường tròn : (C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - = (C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = a) Tìm tâm bán kính (C1) (C2) b) Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) 18 Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) đường thẳng d : x – y + tròn qua A, qua gốc O tiếp xúc với d = Viết phương trình đường C:Bài tập vận dụng : Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(2;1) bán kính R = b) (C) có tâm I(0;2) qua điểm A(3; 1) c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) B(5; 1) d) (C) có tâm I(1; -2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − y = e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3) f) (C) có tâm giao điểm đường thẳng d: x – 2y – = với trục Ox đồng thời tiếp xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + = Xét vị trí tương đối đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 = a) ∆1 : x − = b) ∆ : x − = c) ∆ : x + y − = Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (T): x2 +y2 = trường hợp sau: a) Biết tiếp điểm A(0; 2) b) Biết tt song song ∆ : x − y + 17 = c) Biết tt vuông góc ∆/ : x − y + = WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH d) Biết tt qua M(2; 2) e) Biết tt tạo với trục Ox góc 450 f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – = Tiếp xúc đường tròn (T) Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = Viết pttt (T) biết tiếp tuyến : a) Tiếp xúc với đương tròn A(-1 ; 0) b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – = d) Đi qua B(3; -11) e) Tìm m để đường thẳng ∆ : x + (m − 1) y + m = có điểm chung với (T) -  - ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy ĐH KA 2004 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B( − 3;−1) Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến AB ĐH KD 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = , d2: 2x + y – = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết A ∈ d1; C ∈ d B, D thuộc trục hoành ĐH KB 2005: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường tròm (C) tiếp xúc với trục hoành A khoảng cách từ tâm I (C) đến điểm B ĐH KD 2005: x2 y Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): + = điểm C(2; 0) Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC tam giác ĐH KA 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng: d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 ĐH KB 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + = điểm M(-3; 1) Gọi T1, T2 tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình T1T2 ĐH KD 2006 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + = đường thẳng d : x – y + 3=0 WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M ó bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngời với (C) 10 ĐH KA 2007 : Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N lâng lượt trung điểm AB BC Viết phương trình đường tròn qua ba điểm H, M, N 11 ĐH KB 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 2) đường thẳng: d1: x + y – = ; d2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc d1, C thuộc d2 cho tam giác ABC vuông cân A 12 ĐH KD 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới C (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB 13 ĐH KA 2008: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 120 14 ĐH KB 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x – y + = đường cao kẻ tưg B có phương trình: 4x + 3y – = 15 ĐH KD 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC 900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm có định 16 ĐH KA 2009: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB 17 ĐH KB 2009:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = hai đường thẳng ∆1 : x − y = , ∆ : x − y = Xác định tọa độ tâm K tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1 ,∆ tâm K thuộc đường tròn (C) 18 ĐH KD 2009: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = viết phương trình đường thẳng AC 19 ĐH KA 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = d2: x − y = Gọi (T) đường tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuuon A viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hoành độ dương 20 ĐH KA 2010: (nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6), đường thẳng qua trung điểm I, J cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho WWW.ToanCapBa.Net Page WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH 21 ĐH KB 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(-4;1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hoành độ dương 22 ĐH KB 2010: (nâng cao) x2 y Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; ) elip (E): + = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hoành độ âm) M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 23 ĐH KD 2010: (chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương 24 ĐH KD 2010: (nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) ∆ đường thẳng qua O gọi H hình chiếu vuông góc A ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH 25 ĐH KA 2011: (chuẩn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + = đường tròn (C): x + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 26 ĐH KA 2011: (nâng cao) x2 y2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn 27 ĐH KB 2011: (chuẩn) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – = d : 2x – y – = Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M thỏa mãn OM.ON = 28 ĐH KB 2011: (nâng cao) 1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1÷ Đường tròn nội tiếp tam giác 2  ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm D, E, F Cho D (3; 1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương 29 ĐH KD 2011: (chuẩn) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C 30 ĐH KD 2011: (nâng cao) Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A -  PHẦN 2: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz WWW.ToanCapBa.Net Page 10 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Bài 1: Tọa độ điểm véctơ không gian Oxyz A Lí thuyết: Các công thức bản:  Cho ba điểm: A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; y B ; z B ); C ( xC ; yC ; zC ) Ta có:  Tọa độ véctơ AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )  x + xB y A + y B z A + z B  ; ;  Tọa độ trung điểm I AB là: I  A  2    x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  ; ;  Tọa độ trọng tâm G ∆ABC là: G A  3    Cho hai véctơ: a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1; b2 ; b3 ) Ta có:  a + b = ( a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )  a − b = ( a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )  a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3  k a = ( k a1; k a2 ; k a3 )  a = a12 + a22 + a32 ( )  cos a; b = a.b a b ( )  a.b = ⇔ ( a; b ) = 90  a.b > ⇔ ( a; b ) < 90  a.b < ⇔ a; b > 900 0  a ⊥ b ⇔ a.b = a1 a2 a3 =  a // b ⇔ = b1 b2 b3 Tích có hướng hai véc tơ không gian ứng dụng:  Khái niệm: Trong không gian Oxyz, tích có hướng hai véctơ a b véctơ vuông góc với a b Kí hiệu : [ a; b ] Cho : a = ( a1; a2 ; a3 ) b = ( b1; b2 ; b3 ) ⇒ [a; b] = ( a a3 b2 b3 ; ba33 ab11 ; ba11 ab22 ) Nhớ : bỏ cột ; bỏ cột đổi chiều ; bỏ cột  Ứng dụng:  S ∆ABC = VABCD = [ AB; AC ] /  VABCD A / B / C / D / = [ AB; AD] AA [ AB; AC ] AD A  A WWW.ToanCapBa.Net Page 11 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH A C B  [a; b].c = ⇒ a, b, c đồng phẳng  [a; b] = ⇒ a, b phương B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm: A(1;-2;4); B(-3;2;0); C(3;-1;0) a) Tìm tọa độ véc tơ: AB; BA; AC ; CA; BC ; CB b) Tìm tọa độ m = AB ; n = AB + AC ; e = AC − 3.BC + AB c) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tính chu vi tam giác ABC d) Tính góc tam giác ABC e) Tìm tọa độ trung điểm I AB Tính độ dài đường trung tuyến CI tam giác ABC f) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GI = CI g) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành h) Tìm điểm E thuộc 0x để tam giác ACE vuông C Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tính diện tích tam giác ABC độ dài đường cao hạ từ A tam giác ABC c) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD d) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD C:Bài tập vận dụng : Cũng với yêu cầu 1, phần tập điển hình thay đổi tọa độ điểm sau: A(3;-4;2); B(-1;0;6); C(5;-3;2) Cũng với yêu cầu 2, phần tập điển hình thay đổi tọa độ điểm sau: A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2), D(6;2;0) -  Bài 2: Phương trình mặt phẳng không gian Oxyz A Lí thuyết:  Cho n = ( A; B; C ) véctơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng (α ) ⇒ phương trình mặt phẳng (α ) : A.( x − x0 ) + B.( y − y0 ) + C.( z − z0 ) = n  Nếu mp (α ) có cặp VTCP a1 a2 VTPT (α ) n = [a1; a2 ] B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1) a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A vuông góc với BC b) Viết phương trình mp (ABC) c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực AC Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M(5 ;1 ;2) song song với mp ( β ) : x + 2y +3z - = WWW.ToanCapBa.Net Page 12 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Viết phương trình mp (α ) chứa MN với M(1 ;0 ;1) ; N(-1 ;3 ;2) vuông góc với mp ( β ) : x – 2y + z +5 =0 Viết phương trình mp (α ) qua gốc tọa độ O, song song với PQ với P(1 ;0 ;1) ; Q(0 ;2 ;0) vuông góc với ( β ) : y – 2z +1 = Viết phương trình mp (α ) qua M(5 ;2 ;-3) vuông góc với hai mặt phẳng (α1 ) : x – z + = (α ) : 2x + 3y + z = C:Bài tập vận dụng : Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) ; B(0;1;0); C(-2;1;-1) a)Viết phương trình mp (α ) qua C vuông góc với AB b)Viết phương trình mp(ABC) c)Viết phương trình mặt phẳng trung trực BC Viết phương trình mp (α ) qua M(2 ;-1 ;0) song song với mp ( β ) : x + y + 3z – = Viết phương trình mp (α ) qua MN với M(1 ;1 ;-2) , N(3 ;1 ;0) vuông góc với mp ( β ) : 5x + 3y - z + = Viết phương trình mp (α ) qua A(1 ;0 ;1) vuông góc với hai mp (α1 ) : x – y + = (α ) : 2x – y + z = o -  Bài 3: Phương trình đường thẳng không gian Oxyz A Lí thuyết:  Cho a = (a1; a2 ) véctơ phương đường thẳng d Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ d Phương trình tham số d là: x = x0 + a1.t y = y0 + a2.t z = z0 + a3.t x − x0 y − y0 z − z0 = = Phương trình tắc d : a1 a2 a3  Trong không gian Oxyz, đường thẳng d xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Nếu mp(P) : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = mp(Q) : A2.x + B2.y + C2.z + D2 = Thì phương trình tổng quát đường thẳng d : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = A2.x + B2.y + C2.z + D2 = Nếu xem mp(P) mp(Q) có véctơ pháp tuyến n1 n2 VTCP d : a = [n1; n2 ] B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; -2); B(3; -1; -1); C(2; 0; 3) a) Viết phương trình tham số AC b) Viết phương trình tắc AB c) Viết phương trình tổng quát BC d) Viết phương trình đường thẳng qua A song song với BC Viết phương trình đường thẳng ∆ trường hợp sau : a) ∆ qua M(2 ;1 ;0) song song với đường thẳng d : x = 3t y=2–t WWW.ToanCapBa.Net Page 13 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH z = 1+ 5t x−2 y+3 z −4 = = b) ∆ qua N(1 ;0 ;-3) song song với đường thẳng d : −1 Viết phương trình đường thẳng qua A(1 ;0 ;-2) vuông góc với mp ( α ) : 2x + y – z +1 = x − y −1 z − = = Viết phương trình mp ( α ) qua M (2 ;-3 ;1) vuông góc với đường thẳng d : 5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x = + 2t mp ( β ) : x – 3y + 2z + = y = -2 – t z = 4t a) Tìm giao điểm d ( β ) b) Viết phương trình mp ( α ) chứa đường thẳng d vuông góc với mp ( β ) Viết phương trình mp ( α ) chứa m(2;1;0), N(3;-1;2) đồng thời vuông góc với mp( β ): 2x + y + z -3 = x −1 y + z − = = Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng d: mp(Oxz) C:Bài tập vận dụng : x − y +1 z − = = Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) : 2x – 3y + z – = đường thẳng d: −3 −2 a) Viết pt mp ( α1 ) qua A(1;1;0) // ( α ) b) Viết pt mp ( α ) qua B(0;1;0) vuông góc với d c) Viết pt đường thẳng d1 qua C(0;2;0) // d d) Viết pt đường thẳng d2 qua D(2;-1;0) vuông góc ( α ) e) Viết pt mp ( α ) chứa d vuông góc ( α ) f) Viết pt đường thẳng d3 nằm ( α ) vuông góc d đồng thời qua E(0;1;2) g) Viết pt hình chiếu vuông góc d xuống mp ( β ) -  Bài 4: Góc khoảng cách không gian Oxyz A Lí thuyết:  Góc:  Góc hai đường thẳng : Cho a1 VTCP đường thẳng ∆1 a2 VTCPcủa đường thẳng ∆ ⇒ Cos( ∆1 : ∆ ) = /Cos( a1 ; a2 )/ = a1.a2 a1 a2  Góc hai mặt phẳng : Cho n1 VTPT mp ( α ) WWW.ToanCapBa.Net Page 14 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH n2 VTPT mp ( β ) ⇒ Cos ( ( α ) ; ( β ) ) = /Cos( n1 ; n2 )/ = n1 ; n2 n1 n2  Góc đường thẳng mặt phẳng : Cho a làVTCP đường thẳng ∆ n VTPT mp ( α ) ⇒ Sin ( ∆; ( α ) ) = /Cos( a ; n )/ = a.n a.n  Khoảng cách:  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M(x0;y0;z0) mặt phẳng ( α ): A.x + B.y + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D ⇒ d(M; ( α )) = A2 + B + C  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 có VTCP a ⇒ d(M; ∆ ) = [ MM ; a] a  Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho đường thẳng ∆1 qua M1 có VTCP a1 đường thẳng ∆ qua M2 có VTCP a2 ⇒ d ( ∆1;∆ ) = [a1 ; a2 ].M 1M [a1 ; a2 ] ⇒ ∆1 chéo ∆ ⇔ [a1 ; a2 ].M 1M ≠  Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến đường thẳng B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) ∆ x = – 5t’ Tìm góc tạo cặp đường thẳng ∆1 x = + 2t y = 3t y= 1+ t’ z = -2 + t z=5 Tìm góc tạo mp sau: (α ) x – y + z + =0 ( β ) : 4x – 3y + 5z + = Tìm góc tạo đường thẳng ∆ : x = 3t mp (α ) : 2x +5y + = y = - 2t z = + 5t Tính khoảng cách từ M( 0;1;-2) đến mp (α ) : 2x + 3y – z – = Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng ∆ : x = + t y = -1 + 3t WWW.ToanCapBa.Net Page 15 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH z = – 2t Tính khoảng cách hai đường thẳng x − y +1 z − x y−2 z ∆1 : = = ∆2 : = = −2 −6 Trên trục Oy, tìm điểm cách hai mp : (α ) : x + y – z + = ( β ) : x – y + z – = C:Bài tập vận dụng : ∆ : x = – t’ Tìm góc tạo đường thẳng ∆1 : x = + 2t y = -1+ t y = -1+3 t’ z = + 4t z = + 2t Tìm góc tạo cặp mp sau: a) (α ) : x + y – 5z + = ( β ) : 5x + y – 3z = b) (α ) : 2x – 2y + z + = ( β ) : z + = c) (α ) : x – 2z + = ( β ) : y = Tìm góc tạo đường thẳng ∆ mp (α ) trường hợp sau : a) x = + 2t (α ) : 2x – y + 2z – = ∆ : y = -1 + 3t z=2-t x + y −1 z − = = b) ∆ : (α ) : x + y – z + = −2 Tìm khoảng cách từ điểm M(1 ;-1 ;2) ; N(3 ;4 ;1) ; P(-1 ;4 ;3) đến mp (α ) : x + 2y + 2z – 10 = x + y −1 z +1 = = Tính khoảng cách từ điểm M(2 ;3 ;1) N(1 ;-1 ;1) đến đường thẳng ∆ : −2 Tìm khoảng cách cặp đường thẳng sau : x −1 y + z x + y −1 z +1 ∆ : x = – 3t’ = = ∆ : = = a) ∆1 : x = + t b) ∆1 : −4 −2 y = -1 - t y = -2+3 t’ z=1 z = 3t’ -  Bài 5: Phương trình mặt cầu không gian Oxyz A Lí thuyết:  Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:  Dạng 1: (x – a )2 + (y – b )2 + (z – c )2 = R2  Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = Trong : R = a + b + c − d , điều kiện : a + b + c − d >  Vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S) :  d ( I ; (α ) ) > R ⇔ (α ) không cắt mặt cầu (S)  d ( I ; (α ) ) = R ⇔ (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d ( I ; (α ) ) < R ⇔ (α ) cắt mặt cầu (S) tạo giao tuyến đường tròn  Đường tròn không gian: Gọi K tâm đường tròn không gian R bán kính đường tròn WWW.ToanCapBa.Net Page 16 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH ⇒ Tâm K hình chiếu I xuống mp( α ) (viết pt đt d qua I ⊥ (α ) ; tìm giao điểm K d (α ) ) ⇒ Bán kính r = R − IK , đó: IK = d ( I ; (α ) ) B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải) Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = b) ( x − 2) + ( y + 1) + z = c) x + y + z − x + y − z + 20 = 2 d) x + y + z − x + y + = 2 e) x + y + z + x − y + z + = f) x + y + z − y − = g) x + y + z = Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng ( α ): a) (S) : x + y + z − x − y + z + = ( α ): x + 2y + z - = b) (S) : x + y + z + x + y − z − = ( α ): x + y – z – 10 = c) (S): x + y + z + x + y − z − = ( α ): x + 2y – 2z + = d) (S) x + y + z + x + y − z − = ( α ) : 3x – 4y = Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-3;1) qua B(5;-2;1) Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-2;1) tiếp xúc với mp ( α ) : 4x – 3y – = Lập phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4) Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) ; D(-2 ;3 ;1) 8.Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) M(4 ;3 ;0), biết (S) : x + y + z − x − y + z + = 9.Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết tiếp diện song song với mp ( α ) : x - 2y + z +3=0 mặt cầu (S) có phương trình : x + y + z − x + y − z + = 10 tìm tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau đây: a) mp ( α ) : x + 2y - 2z + = (S) : x + y + z − x + y − z + = b) mp ( α ) : 2x + 2y + z – = (S) : x + y + z − 12 x + y − z − 24 = C:Bài tập vận dụng : Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 3) = b) x + y + z − x + y − z − = c) x + y + z + x − y + z − = d) x + y + z − x + y + z − = WWW.ToanCapBa.Net Page 17 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Xét vị trí tương đối mp( α ) mặt cầu (S) trường hợp sau : 69 2 =0 a) ( α ) : 3x + 4y – =0 (S) : x + y + z − x + y − z + b) ( α ) : x – y + 2z + = (S) : x + y + z − 3z − = Lập phương trình mặt cầu tâm I(-2;1;1) tiếp xúc với mp( α ) : x + 2y – 2z + = Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1 ;3 ;5) B(7 ;9 ;11) 5.Lập phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C với A(1 ;0 ;-1), B(1 ;2 ;1), C(0 ;2 ;0) 6.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1 ;1 ;1), B( ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1) 7.Tìm tâm bán kính đường tròn sau : a) x – y + z - = x2 + y + z − x + y − 8z − = b) 2x + 3y – z + = x2 + y + z − y − = -  MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP – NÂNG CAO Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) đường thẳng d có phương trình: x − y +1 z − = = ( α ): 2x – 3y + z – = ; d: −3 −2 a) Viết phương trình mặt phẳng (P1) qua A(1;1;0) // ( α ) b) Viết phương trình mặt phẳng (P2) qua B(0;1;0) ⊥ d c) Viết phương trình đường thẳng (d1) qua C(0;2;0) // d d) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua D(2;-1;0) ⊥ ( α ) e) Viết phương trình mặt phẳng (P3) chứa d ⊥ ( α ) f) Viết phương trình đường thẳng (d3) nằm ( α ) vuông góc với d đồng thời qua E(0;1;2) g) Tính khoảng cách từ O đến ( α ) d h) Tính góc d ( α ) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x = 2t y =1− t z = 3+t mp( α ): x + y + z − 10 = a) Tìm giao điểm M ∆ mp( α ) b) Viết phương trình đường thẳng d qua M ⊥ ( α ) c) Viết phương trình mp( β ) chứa ∆ ⊥ ( α ) Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;2) mp( α ): 2x – y +2z + 11 = a) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua M ⊥ ( α ) b) Tìm hình chiếu H M xuống ( α ) c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua ( α ) WWW.ToanCapBa.Net Page 18 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH x = + 2t Trong không gian Oxyz cho điểm m(2;-1;1) đường thẳng d: y = −1 − t z = 2t a) Viết phương trình mp( α ) qua M ⊥ d b) Tìm hình chiếu M’ M xuống d c) Tìm điểm đối xứng M qua d x y − z −1 = Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: ∆ : = d : −1 −1 a) Viết phương trình mp( α )chứa d // ∆ b) Chứng minh ∆ d chéo Tính khoảng cách ∆ d c) Viết phương trình ∆ ’ qua A(1;-2;1) dồng thời vuông góc ∆ d x = 2−t y = + 2t z = + 2t Trong không gian Oxyz cho mp( α ): y + 2z = hai đường thẳng: x =1− t x = 2−t ∆1 : y = t ; ∆2 : y = + 2t z = 4t z =1 a) Tìm giao điểm hai đường thẳng với ( α ) b) Viết phương trình đường thẳng d nằm ( α ) cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ c) Tính khoảng cách ∆1 ∆ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: x +1 y −1 z − x−2 y+2 z ∆1 : = = = = ∆ : 1 −2 ∆ ∆ a) Chứng minh chéo b) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;0;-2) vuông góc với ∆1 ∆ c) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng ∆1 ∆ Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng: ∆1 : x = 3t ; y = –t ; z = + t ∆ : x = + t’ ; y = -2 + 4t’ ; z = + 3t’ x+4 y+7 z ∆3 : = = ∆ a) Chứng minh chéo ∆ ; ∆ chéo ∆ b) Tính khoảng cách ∆1 ∆ c) Viết phương trình đường thẳng ∆ // ∆1 cắt hai đường thẳng ∆ ∆ Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : WWW.ToanCapBa.Net Page 19 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH x = 1− t y=t ∆1 : z = 4t ∆2 : x = − 2t y = −3 + t z = − 5t a) Tính góc hợp ∆1 ∆ b) Tính khoảng cách từ O đến ∆1 ∆ c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp tọa độ Oxz cắt ∆1 ∆ 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: ∆1 : x = + 2t x+2 y−3 z = = y=t ∆ : −2 z = 3− t a) Viết phương trình mp qua A(1;-1;1) song song với ∆1 ∆ b) Viết phương trình mp chứa ∆1 // ∆ c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) đồng thời cắt ∆1 ∆ 11 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;1) hai đường thẳng: x = −1 x −1 y −1 z ∆1 : = = ∆ : y = − t 1 z = 2−t a) Tìm hình chiếu A’ A xuống ∆1 b) Viết phương trình mp( α ) chứa ∆ qua A c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc ∆1 cắt ∆ đồng thời qua A 12 Trong không gian Oxyz cho A(0;1;-1) mp( α ): x – 2y + z = đường thẳng ∆ có phương trình ∆ : x = + 4t y = −1 − t z = − − 4t a) Viết phương trình mp ( β ) qua A, vuông góc với ( α ) // với ∆ b) Chứng minh ∆ cắt ( α ), tìm giao điểm c) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc cắt ∆ x = 1+ t 13 Trong không gian Oxyz cho mp ( α ): x + y + z – = ∆ : y = z = −1 a) Viết phương trình mp( β ) chứa ∆ vuông góc với ( α ) b) Tìm giao điểm A ∆ ( α ) c) Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm mp( α ) vuông góc với ∆ 14 Cho mp( α ) đường thẳng ∆ có phương trình: WWW.ToanCapBa.Net Page 20 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH x − 12 y − z − = = a) Chứng minh ∆ cắt ( α ), tìm giao điểm b) Viết phương trình mp( α ’) qua M(1;2;-1) ⊥ ∆ 15 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = a) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) b) Tìm tọa độ giao điểm (S) với đường thẳng ∆ qua hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) giao điểm 16 Cho mp ( α ): y + z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2z = a) Chứng tỏ ( α ) cắt (S) b) Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến mp( α ) mặt cầu (S) c) Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết tiếp diện //mp( α ) ( α ): 3x + 5y – z – = ∆ : 17 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm: A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm bán kính b) Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C Tìm tâm bán kính đường tròn vừa viết phương trình x = 2−t 18 Trong không gian Oxyz cho mp( α ): x + y – 3z +1 =0, M(1;-5;0) đường thẳng ∆ : a) Viết phương trình mp( α ) chứa ∆ qua Q(1;1;1) b) Tìm N thuộc ∆ cho khoảng cách từ N đến mp( α ) 11 c) Tìm R thuộc Ox cho d(R; ( α ) = 44 d) Tìm P thuộc mp ( γ ): x – 2y – = cho P cách mp ( α ) khoảng 11 d) Tìm E thuộc mp Oxy cho cho E,O,A thẳng hàng, với A(1; 2; 1) y = + 3t z = 2t f) Tìm K thuộc d cho tam giác OAK cân O biết d1 qua giao điểm ∆ ( α ) đồng x −1 y z − = = thời //d’: −2 −1 -  ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz ĐH KA 2004 : Trong không gian Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi,AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ) Goi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SC BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ĐH KB 2004: Trong không gian Oxyz cho A(-4;-2;4) đường thẳng d : x = -3 + 2t y=1-t z = -1 + 4t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vuông góc với đường thẳng d ĐH KD 2004: 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a > 0, b > a)Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng B1C AC1 theo A,B WWW.ToanCapBa.Net Page 21 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH b)Cho a,b thay đổi luông thỏa mãn a + b = Tính a,b để khoảng cách giửa hai đường thẳng B1C AC1 lớn 2) Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1;) mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A,B,C có tâm thuộc mp(P) ĐH KA 2005: x −1 y + z − = = Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: mặt phẳng −1 (P): 2x + y – 2z + = a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mp (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mp (P) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm mp (P), biết ∆ qua A vuông góc vơí d ĐH KB 2005: Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4) a) Tìm tọa độ đỉnh A1;C1 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(ACC1A1) b) Gọi M trung điểm cuả A1B1 Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A,M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 điểm N, tính độ dài đoạn MN ĐH KD 2005: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : x −1 y + z +1 = = d1 : d2 : x = 3t −1 y=4–t z = + 2t a)Chứng minh d1//d2 Viết phương trình mp (P) chứa hai đường thẳng d1 d2 b)Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1d2 lần lược điểm A,B Tính diện tích ∆ OAB (O gốc tọa độ ) ĐH KA 2006: Trông không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A`B`C`D` với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A`(0;0;1) Gọi M N trung điểm AB CD a) Tính khoảng cách giửa hai đường thngr A`C MN b) Viết phương trình mp chứa A`C tạo với mp Oxy góc ( α ) biết Cos( α ) = ĐH KB 2006: x y −1 z +1 = = −1 d2 : x = + t y = -1 - 2t z=2+t Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;2) hai đường thẳng d1 : a) Viết phương trình mp(P) qua A song song với d1, d2 b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A,M,N thẳng hàng ĐH KD 2006 : x −2 y + z −3 = = Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng d1 : −1 WWW.ToanCapBa.Net Page 22 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH d2 : x −1 y −1 z +1 = = −1 a) Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d1 cắt d2 10 ĐH KA 2007 : x y −1 z + = Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : d1 : = −1 D2 : x = -1 + 2t Y=1+t Z=3 a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) : 7x + y – 4z = cắt hai đường thẳng d1,d2 11 ĐH KB 2007: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mp(S) : x2 + y2 + Z2 – 2x + 4y + 2z - = mp(P) : 2x – y + 2z – 14 = a) Viết phương trình mp(Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn 12 ĐH KD 2007: x −1 y + z = = Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) đường thắng ∆ : −1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G ∆ OAB vuông góc với mp(OAB) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đương thẳng ∆ cho MA2 + MB2 nhỏ 13 ĐH KA 2008: Trong không gian VỚI HỆ TỌA ĐỘ Oxyz , cho điểm A(2;5;3) đường thẳng x −1 y z − = = d: 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm Atreen đường thẳng d b) Viết phương trình mp( α )chứa d cho khoảng cách từ A đến mp( α ) lớn 14 ĐH KB 2008: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phăng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC 15 ĐH KD 2008: Trông không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A,B,C,D b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 16 ĐH KA 2009:(chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng , (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0.Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn 17 ĐH KA 2009: (nâng cao) WWW.ToanCapBa.Net Page 23 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai đường thẳng x +1 y z = x −1 y − z +1 = = = = Δ1 : , Δ2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 1 −2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) 18 ĐH KB 2009: (chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ Dđến (P) 19 ĐH KB 2009: (nân cao) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z – = hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ 20 ĐH KD 2009: (chuẩn) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;1;0), B(2;1;0), C(1;1;0) mặt phẳng (P) : x + y + z -20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 21 ĐH KD 2009: (nân cao) x+2 y−2 z = = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : mặt phẳng 1 −1 (P) : x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vuông góc với đường thẳng ∆ 22 ĐH KA 2010: (chuẩn) x −1 y z + = = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: mặt phẳng −1 (P): x − 2y + z = Gọi C giao điểm Δ với (P), M điểm thuộc Δ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 23 ĐH KA 2010: (nân cao) x+2 y−2 z+3 = = Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng Δ: Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ hai điểm B C cho BC = 24 ĐH KB 2010: (chuẩn) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P): y − z + = Xác định b c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) 24 ĐH KB 2010:( nâng cao) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y −1 z = = Xác định tọa độ điểm M 2 trục hoành cho khoảng cách từ M đến Δ OM 25 ĐH KD 2010:(chuẩn) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − = (Q): x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) WWW.ToanCapBa.Net Page 24 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH 25 ĐH KD 2010:( nâng cao) x=3+t Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳngΔ1: y=t Δ2: x−2 y−2 z = = 2 z = t Xác định tọa độ điểm M thuộc Δ1 cho khoảng cách từ M đến Δ2 26 ĐH KA 2011:(chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = 25 ĐH KA 2011:( nâng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB 26 ĐH KB 2011:(chuẩn) x − y +1 z = = Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : mặt phẳng (P) : x + −2 −1 y + z – = Gọi I giao điểm ∆ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với ∆ MI = 14 25 ĐH KB 2011(âng cao) x + y −1 z + = = Tong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : hai điểm A (-2; 1; −2 1); B (-3; -1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích 25 ĐH KD 2011:(chuẩn) x +1 y z − = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d : Viết −2 phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d cắt trục O 25 ĐH KD 2011 (nâng cao) x −1 y − z = = mặt phẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : (P) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) -  - WWW.ToanCapBa.Net Page 25 ... −1 -  ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz ĐH KA 2004 : Trong không gian Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi,AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0),...  PHẦN 2: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz WWW.ToanCapBa.Net Page 10 WWW.ToanCapBa.Net HÌNH GIẢI TÍCH Bài 1: Tọa độ điểm véctơ không gian Oxyz A Lí thuyết: Các công thức bản:  Cho ba... ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy ĐH KA 2004 : Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B( − 3;−1) Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ĐH KB 2004: Trong mặt