Phương pháp giải toán hình giải tích oxy

WWW.ToanCapBa.Net PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH GIẢI TÍCH Oxy TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Phần một: Bài tập liên quan đến xác định yếu tố tam giác Trong phần ta thống kí hiệu: Trong tam giác ABC: - AM, AH, AD trung tuyến, đường cao, phân giác góc A - G, I trọng tâm, tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác - S, p dịên tích, chu vi tam giác Để giải tôt tập phần học sinh cần nắm vần đề sau: - Nếu M ( xM ; yM ) thuộc đường thẳng ∆:ax+by+c=0 ⇔ ax M + byM + c =  x = x0 + at M ( xM ; yM ) thuộc đường thẳng ∆  ⇔ M ( x0 + at ; y0 + bt )  y = y0 + bt ax M + byM + c - Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ d ( M / ∆ ) = a + b2 - Nếu M điểm thuộc cạnh AC tam giác ABC điểm đối xứng với M qua phân giác AD thuộc cạnh AB.(Tính chất quan trọng tam, giác ABC) - Cho đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c = 0, ∆ : a2 x + b2 y + c = góc tạo ∆1 , ∆ kí ur uu r n1.n2 ur uu r a1a2 + b1b2 r = hiệu ϕ ⇔ cos ϕ = cos(n1 , n2 ) = ur uu , ∆1 ; ∆ vuông n1 n2 a12 + b12 a2 + b2 ur uu r góc với n1.n2 = ⇔ a1a2 + b1b2 = - Tam giác ABC cân A ⇔ cosB=cosC - Trong tam giác vuông tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền - S ∆ABC = BC.d( A / BC ) - Nếu đường thẳng ∆ qua M ( xM ; yM ) phương trình r ∆ : a ( x − xM ) + b( y − yM ) = ⇔ ax+by-(axM + byM ) = với n(a; b) VTPT ∆ ( a + b ≠ ) - Phương tích điểm M với đường tròn ( C) tâm I bán kính R uuuruuur P( M /(C )) = MAMB = IM − R (Với A, B giao điểm cát tuyến qua M với đường tròn (C ) Nếu M nằm đường tròn P( M /(C )) > Nếu M nằm đường tròn P( M /(C )) < Nếu M thuộc đường tròn P( M /(C )) = WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Nếu MT tiếp tuyến P( M /(C )) = MT • MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CÀN LƯU Ý: 1) Biết đỉnh A tam giác ABC trung tuyến BM, CN Viết phương trình cạnh? PP: Trước hết ta tìm tọa độ đỉnh B ( xB ; yB ) : Vì B ∈ BM ta có phương trình (1) Từ toạ độ B x + x A yB + y A ; ) N ∈ CN ta có phương trình (2) Giải hệ gồm ta biểu diễn N ( B 2 phương trình (1) (2) ta tìm A toạ độ điểm B Tương tự có đỉnh C N M B C 2) Biết đỉnh A tam giác ABC trung tuyến BM, đường cao BH Viết phương trình cạnh? PP: - Tìm toạ độ B giao điểm BM BH Viết phương trình AB, AC Giao AC BM ta có toạ độ M dùng tính chất trung điểm suy toạ độ C B A H M C 3) Biết đỉnh A đường cao BH trung tuyến CM Viết phương trình cạnh tam giác? WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net PP: Viết phương trình AC.Giao điểm AC CM ta có toạ độ C Gọi B ( xB ; yB ) M x + x A yB + y A ; ) M thuộc CM nên thay vào phương trình CM ta trung điểm AM nên M ( B 2 tìm toạ độ điểm B B M A C H 4) Biết đỉnh A trung tuyến BM, phân giác BD Viết phương trình cạnh? PP: Tìm B giao điểm BM, BD Viết phương trình AB Tìm toạ độ A1 đối xứng với A qua phân giác BD suy A1 thuộc BC Viết phương trình đường thẳng BC (đi qua B, A1 ) Tìm toạ độ C ( xC ; yC ) C thuộc BC ta có phương trình (1) M trung điểm AC x + x A yC + y A ; ) Vì M thuộc trung tuyến BM ta có phương trình (2) Giải hệ suy M ( C 2 (1) (2) ta có toạ độ C B A1 A D M C 5) Biết đỉnh A trung tuyến BM phân giác CD Viết phương trình cạnh? PP:Tìm toạ độ C ( xC ; yC ) Vì C thuộc CD nên ta có phương trình (1) M trung điểm AC x + x A yC + y A ; ) Vì M thuộc BM thay vào ta có phương trình (2) Giải hệ (1) (2) nên M ( C 2 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ta có toạ độ C Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác CD Viết phương trình BC (đi qua C A1) Lấy giao điểm BC BM ta có toạ độ điểm B A1 B D A C M 6) Biết đỉnh A đường cao BH, phân giác BD Viết phương trình cạnh tam giác ? PP: Viết phương trình AC Tìm B giao điểm BH BD viết phương trình AB.Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác BD Viết phương trình BC(đi qua A1 B) Tìm C giao điểm AC BC B A1 A H D C 7) Biết đỉnh A đường cao BH phân giác CD Viết phương trình cạnh tam giác? PP: Viết phương trình AC Tìm C giao điểm AC CD.Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác CD Viết phương trình BC (đi qua C A1) Tìm B giao điểm BH BC WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net A1 B D A H C 8) Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d cách cạnh BC đoạn h cho trước PP: Viết phương trình BC Biểu diễn toạ độ A theo dạng phương trình tham số đường thẳng (d): Dùng công thức tính khoảng cách để tìm toạ độ điểm A 9) Biết đỉnh A trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng (d) cho trước, Biết toạ độ đỉnh B,C diện tích tam giác ABC Tìm toạ độ đỉnh A? PP: Biểu diễn toạ độ A theo phương trình tham số (d).( Nếu biết trọng tâm G thuộc đường thẳng d biễu diễn G trước sau suy toạ độ A theo G) Dùng công thức tính diện tích tam giác S ∆ABC = BC.d( A / BC ) ta tính toạ độ A (Chú ý: Đôi thay cho diện tích tam giác ABC giả thiết toán cho diện tích tam giác GBC GAB, GAC Khi em học sinh cần ý tam giác có diện tích 1/3 lần diện tích tam giác ABC) 10) Biết toạ độ đỉnh A cạnh tam giác cân ABC qua M cho trước, Biết phương trình cạnh không chứa điểm M Tìm toạ độ đỉnh? PP: Gọi ∆ đường thẳng qua M ( xM ; yM ) r ∆ : a ( x − xM ) + b( y − yM ) = ⇔ ax+by-(axM + byM ) = với n(a; b) VTPT ∆ ( a + b ≠ ) Nếu ∆ cạnh tam giác cân ABC ( giả sử cân A) cos(∆,AB)=cos(∆,AC) (nếu biết trước phương trình cạnh AC, AB BC qua M) từ giải a theo b ta viết phương trình ∆ Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(4;-1) phương trình đường trung tuyến BM: 8x-y-3=0, CN:14x-13y-9=0 Tính toạ độ đỉnh B, C HD Giải: Giả sử B ( x1 ; y1 ); B ∈ BM ⇒ x1 − y1 − = (1) Vì N trung điểm AB nên + x1 −1 + y1  + x1   −1 + y1  N( ; ); N ∈ CN ⇒ 14  ÷− 13  ÷− = (2) 2      x1 = ⇒ B (1;5) Giải hệ (1) (2) ta có   y1 = Tương tự ta có C(-4;-5) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Ví dụ 2) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(4;-1) phương trình hai đường phân giác BM:x-1=0; CN:x-y-1=0 Tìm toạ độ đỉnh B,C HD Giải: Theo tính chất đường phân giác: Các điểm đối xứng A qua đường phân giác BM; CN thuộc BC Gọi D điểm đối xứngr với A qua CN đường thẳng AD qua A(4;-1) vuông góc với CN nên có VTPT n(1;1) ⇒ PT ( AD) : x + y − = Nếu AD cắt CN I I trung điểm AD toạ độ I nghiệm hệ x + y − = x = ⇒ ⇒ I (2;1) ⇒ D(0;3)  x − y −1 = y =1 Tương tự gọi E điểm đối xứng với A qua BM ta tìm E(-2;-1) x −0 y −3 = ⇔ 2x − y + = Đường thẳng BC đường thẳng qua D,E: ⇒ PT(BC): −2 −1 − B giao điểm BM BC nên toạ độ B nghiệm hệ x −1 = x = ⇒ ⇒ B (1;5) Tương tự có C(-4;-5)  2 x − y + =  y = Ví dụ 3) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-4;-5) phương trình đường cao AD:x+2y-2=0, đường trung tuyến BM: 8x-y-3=0 Tính toạ độ đỉnh A,B HD Giải: Hs dễ dàng viết phương trình (BC):2x-y+3=0 Tọa độ B nghiệm hệ 2 x − y + = ⇒ x = 1, y = ⇒ B (1;5)  8 x − y − = Giả sử A(x;y) ⇒ x + y − = (1) M trung điểm AC nên −4 + x −5 + y  −4 + x   − + y  M( ; ); M ∈ BM ⇒  ÷−  ÷− = (2) Giải hệ gồm phương 2     trình (1) (2) ta có x = 4; y = −1 ⇒ A(4; −1) Ví dụ 4) Cho tam giác cân ABC có cạnh đáy BC:x-3y-1=0, cạnh bên AB:x-y-5=0 Đường thẳng AC qua M(-4;1) Tìm toạ độ đỉnh C? HD giải: r Gọi n (a; b) VTPT đường thẳng AC, Vì AC qua M(-4;1) ⇒ PT ( AC ) : a ( x + 4) + b( y − 1) = ⇔ ax+by+(4a-b)=0 a + b ≠ ( ) Vì tam giác ABC cân A nên ˆ ⇔ cos(AB,BC)=cos(AC,BC) ⇔ ˆ cosABC=cosACB 1.1+(-3)(-1) 12 + (−3) 12 + (−1) = a + (−3)b 12 + (−3) a + b  a = −b a + b = a − 3b ⇔ a + 6ba − b = coi a ẩn ta có  a = b  TH1: a=-b chọn a=1 suy b=-1 đường thẳng AC x-y+5=0 loại AC song song với AB 2 2 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net b chọn a=1;b=7 đường thẳng AC x+7y-3=0 Khi C giao điểm AC x − 3y −1 = x = / 8 1 ⇒ ⇒C ; ÷ BC nên toạ độ C nghiệm hệ  5 5  x + y − =  y = 1/ TH2: a = Phần hai: Một số dạng tập liên quan đến đường tròn Trong phần để giải tôt tập học sinh cần nắm vấn đề sau: Cho đường tròn ( C) tâm I(a;b) bán kính R điểm M ( x; y ) Các dạng tập thường gặp: 1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C ) A, B cho dây cung ABrcó độ dài l cho trước PP: Gọi n(a; b) VTPT đường thẳng ∆ qua M Phương trình đường thẳng ∆ : a ( x − xM ) + b( y − yM ) = ⇔ ax+by-(ax M + byM ) = Vì 2 AB  l đường thẳng ∆ cắt ( C) theo dây cung AB=l nên d ( I / ∆ ) = R −  từ ÷ = R −   giải phương trình tính a theo b suy phương trình đường thẳng ∆ I A H B 2) Tìm điều kiện để đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C) theo dây cung AB cho diện tích tam giác IAB số cho trước PP: Điều kiện để đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C) d ( I / ∆ ) < R ˆ   AIB ˆ = R sin AIB ˆ ⇒d Khi S ∆IAB = IA.IB.sin AIB ÷ Từ dùng công ( I / ∆ ) = R.cos  2   thức khoảng cách để tìm điều kiện 3) Tìm điều kiện để đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C) A, B cho diện tích tam giác AIB lớn PP: Điều kiện để đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C) d ( I / ∆ ) < R WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Khi S ∆ABC = ˆ = R sin AIB ˆ ⇒ Smax ⇔ sin AIB ˆ = ⇔ ∆AIB vuông cân IA.IB.sin AIB 2 I ⇒ AB = R ⇒ d ( I / ∆ ) R 2 Từ dùng công thức khoảng cách để tìm = R −  ÷ ÷   điều kiện 4) Cho đường tròn (C ) điểm A, B cho trước nằm đường tròn Tìm M thuộc đường tròn cho diện tích tam giác MAB lớn nhất, nhỏ PP: Cách 1: Xét M thuộc đường tròn ⇒ M ( a + R sin α ; b + R cos α ) ( Với I(a;b)) Ta có S ∆ABC = AB.d ( M / AB ) ⇒ Smax ⇔ d ( M/AB) max , Từ viết phương trình đường thẳng qua AB Tính khoảng cách, dùng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki để tìm điều kiện Tương tự ta giải cho trường hợp Smin Cách 2: Xét điểm M thuộc đường tròn S ∆ABC = AB.d ( M / AB ) ⇒ Smax ⇔ d ( M/AB) max , S ⇔ d Từ suy điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng ∆ qua tâm I vuông góc với AB đường tròn (C ) Từ viết phương trình đường thẳng tìm giao điểm, tính khoảng cách suy điểm M cần tìm M I A B 5) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( C) biết tiếp tuyến qua M cho trước r PP: Gọi n(a; b) VTPT đường thẳng tiếp tuyến ∆ : Vì tiếp tuyến qua M nên phương trình ∆ : ∆ : a ( x − xM ) + b( y − yM ) = ⇔ ax+by-(ax M + byM ) = Vì ∆ tiếp tuyến nên d ( I / ∆ ) = R Từ giải a theo b viết phương trình đường thẳng 6) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho trước cho qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) cho diện tích tam giác IAB max WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ˆ = R sin AIB ˆ ⇒ Smax ⇔ sin AIB ˆ = ⇔ MAIB hình vuông IA.IB.sin AIB 2 ⇔ MI = R Từ tính toạ độ điểm M theo phương trình tham số ∆ Giải điều kiện MI = R ⇒ M PP: S ∆IAB = A I M B 7) Qua điểm M cho trước nằm đường tròn viết phương trình tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A,B Tính diện tích tam giác MAB PP: Goi T(x;y) tiếp điểm Vì T thuộc đường tròn ( C) nên ta có x + y + 2ax+2by+c=0 uuur uur (1) T tiếp điểm nên MT vuông góc với IT ⇒ MT IT = từ tính toạ độ véc tơ uuur uur MT , IT dùng công thức tích vô hướng để thiết lập phương trình bậc theo x, y dạng x + y + mx+ny+p=0 (2) Lấy (1) –(2) ta có phương trình đường thẳng cần tìm (Chú ý đường thẳng qua A,B gọi trục đẳng phương đường tròn (C )) Tìm giao điểm A, B từ tính diện tích tam giác MAB 8) Qua điểm cho uuur M u uur trước viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường tròn A, B cho MA = α MB uuur uuur PP: Từ điều kiện MA = α MB tính độ dài dây cung AB Sau quy toán dạng1 - Hoăc xét trường hợp đặc biệt đường thẳng qua M x=x y=y0 với M(x0;y0) - Sau xét đường thẳng y=k(x-x0)+y0 Giao điểm đường thẳng đường tròn nghiệm hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng đường tròn Rút y theo x vào phương trình đường tròn ta có phương trình bậc theo x Dùng định lý viet để tính uuur tổnguuvà ur tích nghiệm ( Chính hoành độ A B) Kết hợp điều kiện MA = α MB để tính k Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(2;1) cắt đường tròn ( C): x + y + x − y − = theo dây cung MN có độ dài HD giải: Đường r tròn ( C) có tâm I(-1;2) bán kính R=3 Gọi n(a; b) VTPT đường thẳng ∆ qua A PT ∆ : a(x-2)+b(y-1)=0 ⇔ ax+by-2a-b=0 (*) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net MN  Vì dây cung MN có độ dài nên d ( I / ∆ ) = R −  ÷ = 9−4 =   −a + 2b − 2a − b = ⇔ b − 3a = a + b ⇔ 4a − 6ab − 4b = Hay 2 a +b  (3 + 11)b a = 2a − 3ab − b = ⇔   (3 − 11)b a =  (3 + 11)b TH1: a = chọn b=4; a= (3 + 11) thay vào (*) ta có phương trình đường thẳng ∆ : (3 + 11) x + y − 11 − 10 = (3 − 11)b chọn b=4;a= (3 − 11) thay vào (*) ta có phương trình đường thẳng ∆ : (3 − 11) x + y + 11 − 10 = Ví dụ 2) Trong mp Oxy cho đường tròn (C ): x + y − x − y + 12 = có tâm I đường thẳng ∆ : x + y − = Tìm đường thẳng ∆ điểm M cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C ) A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn HD giải: Từ phương trình (C) ta suy I (2;3); R = 1 ˆ = R sin AIB ˆ ≤ R ⇒ dtmax ⇔ sin AIB ˆ =1 dt ( IAB ) = IA.IB.sin AIB 2 ⇔ MAIB Là hình vuông cạnh IA=R=1 ⇒ MI = R = Vì M thuộc đường thẳng ∆ TH2: a = nên M(x;4-x) ⇒ MI = ( x − ) + ( − x ) = ⇔ x = 2 3± Vậy có điểm M thoả mãn  3+ 5−   3− 5+  ; ; M  ; toán M  ÷ ÷ ÷  ÷    Ví dụ 3) Trong mp Oxy Gọi (C ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2; −2), B (4;0), C (3; − 1) đường thẳng ∆ : x + y − = Tìm đường thẳng ∆ điểm M cho tiếp tuyến (C ) qua M tiếp xúc với (C ) N diện tích tam giác NAB lớn HD giải: Dễ dàng kiểm tra tam giác ABC vuông C hay AB đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi H hình chiếu N lên AB 1 S ∆ABC = AB.NH ≤ AB.R dấu xảy N trung điểm dây AB hay tiếp tuyến 2 N song song với AB 10 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net r Có AB(2; 2) ⇒ AB = 2 ⇒ R = gọi ∆1 tiếp tuyến qua N suy phương trình ∆1 : x − y + c =  ∆1 : x − y − = = ⇔ c = −2 ∨ c = −6 ⇒   ∆1 : x − y − = M giao điểm tiếp tuyến ∆1 với đường thẳng ∆ : x + y − = từ tìm điểm M thoả mãn M(2;-4) M(6/5;-4/5) Ví dụ 4) Cho đường tròn (C) ( x − 1) + ( y − 2) = N(2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua N cắt (C ) điểm A, B cho a) Dây cung AB lớn b) Dây AB ngắn Vì ∆1 tiếp tuyến nên d I / ∆1 = R ⇔ +1+ c Giải: Dễ thấy điểm N nằm đường tròn Dây cung AB lớn AB đường kính đường tròn suy đường thẳng d qua N tâm I đường tròn (HS tự làm) Vẽ IH vuông góc với đường thẳng d H ta có AB=2AH AB = R − IH ⇒ AB ⇔ IHmax ⇔ H ≡ N Vậy AB ngắn đường thẳng d vuông góc với IN hay d nhận IN làm véc tơ pháp tuyến uur Ta có IN (−1;1) ⇒ PT (d ) : −1( x − 2) + 1( y − 1) = ⇔ − x + y + = I I d A H N B N B A Ví dụ 5) Cho đường tròn ( C) x + y + x − y − 14 = M(2;2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn ( C) A B cho MA=3MB Giải: Dễ dàng tính P( M /( C )) = −6 suy điểm M nằm đường tròn uuuruuur P( M /(C )) = MAMB = IM − R ⇒ − MA.MB = −6 ⇒ 3MB.MB = ⇒ MB = ⇒ MA = ⇒ AB = MA + MB = Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn ( C) theo dây cung AB = ( HS tự làm) 11 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Phần ba: Các dạng tập liên quan đến Elip, Hipebol, Parabol Để giải tốt dạng tập phần học sinh cần nắm vấn đề sau: x2 y I) Đối với phần Elíp + = a b c - Trục lớn 2a; Trục nhỏ 2b; Tiêu cự f=2c với c = a − b ; Tâm sai (E) kí hiệu e = a - Tiêu điểm trái F1 (−c;0) ; Tiêu điểm phải F2 (c;0) - Nếu điểm M thuộc Elip M(asin α ;bcos α ) c - Bán kính qua tiêu điểm trái kí hiệu MF1 = a + xM ;Bán kính qua tiêu điểm phải kí a c hiệu MF2 = a − xM a x2 y II) Đối với Hipebol − = a b c - Trục thực 2a; Trục ảo 2b; Tiêu cự f=2c; c = a + b ;Tâm sai (E) kí hiệu e = a F ( − c ;0) F ( c ;0) - Tiêu điểm trái ; Tiêu điểm phải  a  ; b tan α ÷ - Nếu điểm M thuộc Hipelbol M   cos α  c - Bán kính qua tiêu điểm trái kí hiệu MF1 =| a + xM | ;Bán kính qua tiêu điểm phải kí a c hiệu MF2 =| a − xM | a III) Đối với Parabol: y = px p  - Tiêu điểm F  ;0 ÷ 2  p - Đường chuẩn x = − - Bán kính qua tiêu MF = xM + p - Nếu điểm M thuộc Parabol M ( y2 ; y) 2p 12 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho elip (E) có phương trình 4x2+9y2=36 điểm M(1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt elip (E) điểm M1, M2 cho MM1=MM2 x2 y Giải: Ta có: (E): x + y = 36 ⇔ + =1 Từ suy (E) có tâm đối xứng O, trục lớn Ox có độ dài 2a=6, trục nhỏ Oy có độ dài 2b=4 Để ý rằng, OM= < b = < a = nên suy điểm M(1;1) nằm bên (E) Do đường thẳng d qua M luôn cắt (E) hai điểm phân biệt M1, M2 Dễ thấy, M(1;1) ∉ Ox nên đường thẳng (d): x=1 qua M song song với trục Oy cắt (E) điểm M1, M2 MM1 ≠ MM2 Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua M Phương trình (d) có dạng: (d): y=kx+1k Hoành độ X M1 , X M hai giao điểm M1, M2 (d) (E) nghiệm phương trình: ( ) x + ( kx + − k ) − 36 = ⇔ 9k + x − 18k ( k − 1) x + 9k − 18k − 27 = Vì MM1=MM2 nên suy M trung điểm đoạn M1M2 Do đó: b 18k ( k − 1) X M1 + X M = X M ⇒ S = − = =2⇔k =− a 9k + Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: (d): y = − ( x − 1) + ⇔ x + y − 13 = 2 x y Ví dụ2) Trong mặt phẳng toạ độ, cho (E): + =1 25 16 a) Tìm mối liên hệ k m để đường thẳng (d): y=kx+m, k ∈ R tiếp xúc với (E) b) Khi (d) tiếp xúc với (E), gọi giao điểm (d) với đường thẳng x=5 x=-5 M N Tính diện tích tam giác FMN theo k, F tiêu điểm (E) có hoành độ dương c) Xác định k để tam giác FMN có diện tích nhỏ Giải: a) Elip (E) cho có tâm đối xứng O, trục lớn 2a=10, trục nhỏ 2b=8, tiêu điểm có hoành độ dương F(3;0) Phương trình đường thẳng (d) viết lại: (d) : kx-y+m=0 (d) tiếp xúc với (d) khi: 25k2+16=m2 b) Gọi (d1): x=-5, (d2): x=5 Dễ thấy: ( d ) I ( d1 ) = M ( −5; m − 5k ) ; ( d ) I ( d ) = N ( 5; m + 5k ) r r r r Ta có FM = ( −8; m − 5k ) ; FN = ( 2; m + 5k ) nên FM FN = ⇒ ∆FMN vuông F Do đó: r 1 r 64 + ( m − 5k )   + ( m − 5k )  S ∆FMN = FM FN =   2  1 2 c) Dễ thấy rằng: S ∆FMN ≥  2.8 + ( m + 5k ) ( m − 5k )  = 16 + m − 25k = 16 2 ( 13 WWW.ToanCapBa.Net ) WWW.ToanCapBa.Net Dấu đẳng thức xảy k = ± Vậy tam giác FMN có diện tích nhỏ 16(đvdt) k = ± x2 y + = đường thẳng (d) cắt (E) điểm B C Tìm toạ độ điểm A (E) cho tam giác ABC có diện tích lớn x = −1   2+  x2 y y = =1  +  ⇔ Giải: Xét hệ phương trình:  x = − −1 x − y + =    2− y =  Ví dụ 3) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho elip (E):  2+ 6  2− 6 ; C − − 1; Vậy đường thẳng (d) cắt (E) điểm B  − 1; ÷  ÷ ÷  ÷ 2     2 x y Lấy điểm A(xA,yA) ∈ (E) ta có: A + B = (1) Gọi H hình chiếu vuông góc A lên BC, ta có: dt ( ∆ABC ) = BC AH , BC = 2, AH = d ( A; ( d ) ) = xA − yA + Tam giác ABC có diện tích lớn AH lớn Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: AH= xA − yA + = xA  y  +  −2 A ÷+ 2   Do đó: AH max = ⇒ dt ( ∆ABC ) max ≤  x2 y2  + 8 A + A ÷   =2  x2 A y A + =1    ⇒ A 2; − = đạt khi:  x A  =  y A −2  14 WWW.ToanCapBa.Net ( ) WWW.ToanCapBa.Net x2 − y = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (H) điểm phân biệt A, B cho: r r 3MA − 5MB = Giải: Dễ thấy rằng, đường thẳng (d) qua M, cắt (H) điểm phân biệt trục Oy Do phương trình (d) có dạng: (d):y=kx+2 Hoành độ giao điểm (d) (H) nghiệm phương trình: 4k − x + 16kx + 20 = (1) (d) cắt (H) điểm phân biệt A, B khi:  k≠±    4k − ≠ k ≠ ±  ⇔ ⇔ (2)  2 64k − 20 4k − > 16k − 20 < − < k <   2 Với điều kiện (2) phương trình (1) có nghiệm phân biệt xA,xB theo thứ tự hoành độ −16k  x + x = A B  4k − A B Theo định lý Viét ta có:  (3)  x x = 20  A B 4k − Mặt khác điểm A, B nằm đường thẳng (d) nên ta có toạ độ A B là: A ( x A ; kx A + ) ; B ( xB ; kxB + ) r r Do ta có: MA = ( x A ; kx A ) ; MB = ( xB ; kxB ) Ví dụ 4) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(0;2) Hypebol (H): ( ) ( ) r r 3 x A − xB = ⇔ x A = xB (4) Theo yêu cầu đề ta có: 3MA − 5MB = ⇔  3kx A − 5kxB = Từ (3) (4) ta được: −16k −6 k 5   xB + xB = 4k −  xB = 4k − 12 36k ⇔ ⇒ = ⇔ k = ±1   2 20 12 k − 4k −  x x = x = B B B 4k − 4k −   Với k = ±1 thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán là: y = ± x + Ví dụ 5) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2=4x Một đường thẳng qua tiêu điểm F (P) cắt (P) điểm phân biệt A B CMR tích khoảng cách từ A B đến trục parabol đại lượng không đổi Giải: Parabol(P) cho có tiêu điểm F(1;0), đỉnh O(0;0), đường chuẩn ∆ : x = −1 trục đối xứng Ox Gọi (d) đường thẳng qua tiêu điểm F (P) ( 15 WWW.ToanCapBa.Net ) WWW.ToanCapBa.Net + Khi (d) qua tiêu điểm F song song với Oy phương trình (d) là: x=1 Dễ thấy rằng, lúc (d) cắt (P) điểm A(1;-2) B(1;2) Ta có: d ( A; ( Ox ) ) d ( B ( Ox ) ) = AF BF = −2 −2 = + Khi (d) qua tiêu điểm F song song với Oy phương trình (d) là: y=k(x-1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: k ( x − 1) = x ⇔ k x − k + x + k = (1) ( ) Đường thẳng (d) qua F cắt (P) điểm phân biệt A, B phương trình (1) k ≠ k ≠ ⇔ ⇔ k ≠ (2) có nghiệm phân biệt (x1và x2), tức là:   ∆′ > 1 + k > Khi toạ độ giao điểm (d) (P) A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) với y1=k(x1-1) y2 = k ( x2 − 1) Ta có: d( A / Ox ) d( B / Ox ) = y1 y2 = k ( x1 − 1)( x2 − 1) = k [ x1 x2 + − ( x1 + x2 ) ]  2(k + 2) 2(k + 2)   x1 + x2 =  ⇒ y1 y2 = k 1 + − Theo định lý viét ta có  k  = ⇒ dpcm k2   x x =  Ví dụ 6) Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = 64 x đường thẳng ∆ : 4x-3y+46=0 Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng ∆ tiếp xúc với parabol có bán kính nhỏ Giải: Gọi M(x;y) tiếp điểm đường tròn cần tìm với Parabol Vì M thuộc Parabol nên y2 M ( ; y) 64 Đường tròn (C ) có tâm nằm đường thẳng ∆ tiếp xúc với (P) có bán kính nhỏ nên bán kính khoảng cách ngắn từ M đến ∆ : y2 − y + 46 ( y − 24 ) + 160 64 Ta có d( M / ∆ ) = = ≥ ⇒ d( M / ∆ ) = 80 16 + y = 24 ⇒ M (4; 24) Tâm I đường tròn hình chiếu vuông góc M đường thẳng ∆  x = + 4t ⇒ I (9 + 4t ; 24 − 3t ) Phương trình tham số IM   y = 24 − 3t 37 126 ) Vì I ∈ ∆ ⇒ 4(9 + 4t ) − 3(24 − 3t ) + 46 = ⇒ t = − ⇒ I ( ; 5 2 37   126   Phương trình đường tròn cần tìm  x − ÷ +  y − ÷ =4     16 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Phần tập 1) Cho A(1;1) Tìm toạ độ điểm B đường thẳng y =3 điểm C trục hoành cho tam giác ABC 2) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(2;6) cạnh BC nằm đường thẳng ∆ : x − y + = 3) Cho tam giác ABC có diện tích S = ,toạ độ đỉnh A(2;-3), B(3;-2) trọng tâm tam giác nằm đường thẳng 3x-y-8=0 Tìm toạ độ đỉnh C 4) Cho tam giác ABC có A(2;-1) đường cao có phương trình 2x-y+1=0 3x+y+2=0 Viết phương trình đường trung tuyến qua A 5) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình x-y+1=0 đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 +2x-4y=0 Tìm M thuộc đường thẳng ∆ mà qua kẻ tiếp tuyến đến đường tròn (C ) mà AMˆ B = 60 (Trong A, B tiếp điểm) 6) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân ABC đỉnh A có trọng tâm G ( ; ) phương 3 trình đường thẳng BC x-2y-4=0, phương trình đường thẳng BG x − y − = Tìm toạ độ đỉnh tam giác 7) Cho A(0;1), B(6;3),G(a;0) toạ độ đỉnh A,B trọng tâm G tam giác ABC Tìm đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 10 8) Tìm toạ độ tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết trọng tâm G(2;-1) trực tâm H(1;4) 9) Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính đồng thời tiếp xúc với đường tròn x2+y2=1 đường thẳng 3x-4y-10=0 10) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn x2+y2=25 biết tiếp tuyến hợp với đường thẳng x+2y-1=0 góc có cosin 11) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M(2;1) cắt đường tròn (C ) x + y − x + y − = A ,B mà MA=MB 12) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O(0;0) cắt đường tròn x + y − x − y − = A, b cho OB = BA 13) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;2) cắt đường tròn x2+y2=8 hai điểm A, B mà dây cung AB= 17 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 14) Trong mặt phẳng toạ độ cho Elip (E) có phương trình x + y = 36 điểm M(1;1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) A B cho MA=MB x2 y2 15) Cho Elíp (E) có phương trình + = Gọi F1, F2 hai tiêu điểm (E) Đường 25 thẳng (d) di động qua F2 cắt (E) P Q Giả sử (Ox, F2 P ) =α với ( 1 + 0 ≤ α ≤ 360 ) Tính độ dài F2 P; F2 Q theo α Chứng minh không đổi, F2 P F2 Q Từ tìm giá trị nhỏ lớn đoạn PQ x2 y2 16) Cho Elíp (E) có phương trình + = Xét đường thẳng (d): y=kx+m Tìm mối 25 16 liên hệ k m để (d) tiếp xúc với (E).Khi (d) tiếp xúc với (E), Gọi giao điểm (d) đường thẳng x=5 x=-5 M N.Gọi F tiêu điểm phải (E) Tính diện tích tam giác FMN theo k Tìm k để diện tích tam giác FMN nhỏ x2 y2 17) Cho (E) có phương trình + = A B hai điểm thuộc (E) cho OA vuông a b góc với OB Tìm vị trí A,B E để diện tích tam giác OAB lớn nhất, nhỏ nhất.Tính giá trị x2 y2 18) Cho (E) có phương trình + = đường thẳng (d) x − y + = Đường thẳng (d) cắt (E) A B Tìm C thuộc (E) để tam giác ABC có diện tích lớn 19) Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình Hipebol (H) biết đỉnh trục thực A(-1;1) đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật sở ( x − 1) + ( y − 1) = 20) Trong mặt phẳng Oxy cho M(0;2) hipebol (H) có phương trình x − y = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (H) hai điểm phân biệt A,B cho    3MA − 5MB = 21) Trong mặt phẳng Oxy cho Hipebol (H): x − y = đường thẳng(d): 2x – y +m=0 Chứng minh (d) cắt (H) hai điểm phân biệt A,B thuộc hai nhánh khác (H) Giả sử x A < x B Tìm m để F1 A = F2 B 22) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x có tiêu điểm F Gọi (d) đường thẳng có hệ số góc k qua F cắt (P) A, B (Giả sử (d) không song song với Oy) Tính AB theo k Tìm vị trí A,B để độ dài AB nhỏ 23) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có đỉnh gốc toạ độ qua A( 2;2 ) Đường thẳng (d) qua I(5/2;1) cắt (P) M, N cho IM=IN Tính độ dài MN 18 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 24) Trong mặt phẳng Oxy Cho (P) có phương trình y = x điểm I(2;4) nằm (P) Một góc vuông quay quanh I cắt (P) M,N khác I Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định 25) Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = 64 x đường thẳng (d) có phương trình 4x-3y+36=0 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm (d) tiếp xúc với (P) có bán kính nhỏ 26) Trong mặt phẳng Oxy cho (P) có phương trình y = x Đường thẳng (d) có phương trình x-y-2=0 cắt (P) A B Tìm M cung AB (P) cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới hạn (P) hai dây cung MA,MB nhỏ 27) Tìm m để đường thẳng (d): x + my + − = cắt đường tròn (C ) tâm I co phương trình : x + y − x + y − = A B Tìm m để diện tích tam giác IAB lớn Tìm GTLN 28) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) (C2) có phương trình (C1) : x + y = Tìm m để (C1) cắt (C2) điểm phân biệt (C 2) : x + y − 2mx + 4my + 5m = A,B Chứng minh đường thẳng AB có phương không đổi 29) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x + y − x − y + = đường thẳng (d) có phương trình x+y-2=0 Chứng minh (d) cắt (C ) điểm phân biệt A,B Tìm M thuộc đường tròn (C ) để diện tích tam giác MAB lớn nhất?Nhỏ 30) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ) có phương trình ( x − ) + ( y − 3) = đường thẳng (d) có phương trình x-y-2=0 Tìm M(x ;y ) thuộc (C ) cho P=x +y lớn nhất?Nhỏ nhất? x2 y2 31) Cho Elip (E) có phương trình + = điểm M,N chuyển động Ox Oy 16 cho MN tiếp xúc với (E) Tìm toạ độ M,N để đoạn MN nhỏ Tính GTNN 32) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(2;-4) phương trình đường phân giác góc B, C x+y-2=0 x-3y-6=0 33) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;2) phương trình đường trung tuyến 2x-y+1=0 x+3y-3=0 34) Tam giác ABC có C(4;4) đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình 2x3y+12=0 2x+3y=0 Viết phương trình cạnh tam giác 19 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 35) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2;-1) đường cao kẻ từ A phân giác góc C có phương trình 3x-4y+27=0 x+2y-5=0 36) Cho tam giác ABC vuông A đỉnh A,B nằm trục hoành phương trình cạnh BC x − y − = Tìm toạ độ trọng tâm tam giác biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 37) Lập phương trình cạnh hình vuông ABCD biết đỉnh có toạ độ (-4;5) đường chéo có phương trình 7x-y+8=0 38) Viết phương trình cạnh tam giác MNP biết N(2;-1) đường cao hạ từ M phân giác đỉnh P 3x-4y+27=0 x+2y-5=0 39) Tam giác cân ABC có cạnh đáy BC: x-3y-1=0 cạnh bên AB:x-y-5=0 Đường thẳng chứa cạnh AC qua M(-4;1) Tìm toạ độ đỉnh C 40) Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC biết C(4;3) đường phân giác trung tuyến kẻ từ đủnh x+2y-5=0 4x+13y-10=0 41) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) trung điểm cạnh AB đường trung tuyến đường cao kẻ từ A có phương trình 7x-2y-3=0 6x-y-4=0 Viết phương trình cạnh AC 42) Cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm đường chéo I(6;2) Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng (d) x+y-5=0 Viết phương trình cạnh AB 43) Cho đường tròn (C ) có phương trình x + y + x − y − = A(3;5) Hãy viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C ) Gọi M, N tiếp điểm tương ứng Tính độ dài MN 44) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol có phương trình y = 64 x đường thẳng ∆ có phương trình 4x-3y+46=0 Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm đường thẳng ∆ tiếp xúc với Parabol cho bán kính đường tròn nhỏ 2 45) Cho đường tròn (C) có phương trình ( x − ) + ( y − ) = 36 M(-1;0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C ) theo dây cung AB mà độ dài AB nhỏ 46) Cho đường tròn ( C) có phương trình x + y − x − y − = Tìm điểm M đường thẳng d: x+y+4=0 cho từ M vẽ tới (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với 20 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net x2 y + = điểm N di chuyển đường thẳng ∆ : 3x + y − 24 = Tìm GTNN MN 47) Điểm M di chuyển (E) líp có pt 21 WWW.ToanCapBa.Net ... diện tích tam giác S ∆ABC = BC.d( A / BC ) ta tính toạ độ A (Chú ý: Đôi thay cho diện tích tam giác ABC giả thiết toán cho diện tích tam giác GBC GAB, GAC Khi em học sinh cần ý tam giác có diện tích. .. cos(∆,AB)=cos(∆,AC) (nếu biết trước phương trình cạnh AC, AB BC qua M) từ giải a theo b ta viết phương trình ∆ Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(4;-1) phương trình đường trung... tròn nghiệm hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng đường tròn Rút y theo x vào phương trình đường tròn ta có phương trình bậc theo x Dùng định lý viet để tính uuur tổnguuvà ur tích nghiệm