Phương pháp giải Tích phân

20 835 9
Phương pháp giải Tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- TCH PHN CễNG THC Bng nguyờn hm Nguyờn hm ca nhng hm s s cp thng gp Nguyờn hm ca nhng hm s thng gp Nguyờn hm ca nhng hm s hp Cxdx += ( ) 1 1 1 + + = + C x dxx ( ) 0ln += xCx x dx Cedxe xx += ( ) 10 ln <+= aC a a dxa x x Cxxdx += sincos Cxxdx += cossin Cxdx x += tan cos 1 2 Cxdx x += cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a baxd ++=+ 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 + + + =+ + C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ++= + xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + cot 1 sin 1 2 Cudu += ( ) 1 1 1 + + = + C u duu ( ) 0ln += uCu u du Cedue uu += ( ) 10 ln <+= aC a a dxa u u Cuudu += sincos Cuudu += cossin Cudu u += tan cos 1 2 Cudu u += cot sin 1 2 I. I BIN S TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON 1. i bin s dng 1 tớnh tớch phõn b / a f[u(x)]u (x)dx ũ ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1. t t = u(x) v tớnh / dt u (x)dx= . Bc 2. i cn: x a t u(a) , x b t u(b)= ị = = a = ị = = b . Bc 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = ũ ũ . Vớ d 7. Tớnh tớch phõn 2 e e dx I xlnx = ũ . Gii t dx t lnx dt x = ị = 2 x e t 1, x e t 2= ị = = ị = 2 2 1 1 dt I ln t ln2 t ị = = = ũ . Vy I ln2= . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 1 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vớ d 8. Tớnh tớch phõn 4 3 0 cosx I dx (sinx cosx) p = + ũ . Hng dn: 4 4 3 3 2 0 0 cosx 1 dx I dx . (sinx cosx) (tanx 1) cos x p p = = + + ũ ũ . t t tan x 1= + S: 3 I 8 = . Vớ d 9. Tớnh tớch phõn 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ũ . Hng dn: t t 2x 3= + S: 3 I ln 2 = . Vớ d 10. Tớnh tớch phõn 1 0 3 x I dx 1 x - = + ũ . Hng dn: t 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1) - = ị + + ũ L ; t t tanu= L S: I 3 2 3 p = - + . Chỳ ý: Phõn tớch 1 0 3 x I dx 1 x - = + ũ , ri t t 1 x= + s tớnh nhanh hn. 2. i bin s dng 2 Cho hm s f(x) liờn tc trờn on [a;b], tớnh ( ) b a f x dx ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1. t x = u(t) v tớnh / ( )dx u t dt= . Bc 2. i cn: , x a t x b t = = = = . Bc 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt = = . Vớ d 1. Tớnh tớch phõn 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ũ . Gii t x sin t, t ; dx costdt 2 2 p p ộ ự = ẻ - ị = ờ ỳ ở ỷ 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = ị = = ị = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 2 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 6 2 0 0 cost cost I dt dt cost 1 sin t p p ị = = - ũ ũ 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ũ . Vy I 6 p = . Vớ d 2. Tớnh tớch phõn 2 2 0 I 4 x dx= - ũ . Hng dn: t x 2sint= S: I = p . Vớ d 3. Tớnh tớch phõn 1 2 0 dx I 1 x = + ũ . Gii t 2 x tant, t ; dx (tan x 1)dt 2 2 ổ ử p p ữ ỗ = ẻ - ị = + ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ x 0 t 0, x 1 t 4 p = ị = = ị = 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t p p + p ị = = = + ũ ũ . Vy I 4 p = . Vớ d 4. Tớnh tớch phõn 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ũ . Hng dn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ũ ũ . t x 1 tant+ = S: I 12 p = . Vớ d 5. Tớnh tớch phõn 2 2 0 dx I 4 x = - ũ . S: I 2 p = . Vớ d 6. Tớnh tớch phõn 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ũ . S: I 12 p = . 3. Cỏc dng c bit 3.1. Dng lng giỏc Vớ d 11 (bc sin l). Tớnh tớch phõn 2 2 3 0 I cos x sin xdx p = ũ . Hng dn: t t cosx= ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 3 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- S: 2 I 15 = . Vớ d 12 (bc cosin l). Tớnh tớch phõn 2 5 0 I cos xdx p = ũ . Hng dn: t t sinx= S: 8 I 15 = . Vớ d 13 (bc sin v cosin chn). Tớnh tớch phõn 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ũ . Gii 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 p p = = ũ ũ 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos4x)dx cos2xsin 2xdx 16 4 p p = - + ũ ũ 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x) 16 8 p p = - + ũ ũ 3 2 0 x 1 sin 2x sin4x 16 64 24 32 p ổ ử p ữ ỗ = - + = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy I 32 p = . Vớ d 14. Tớnh tớch phõn 2 0 dx I cosx sin x 1 p = + + ũ . Hng dn: t x t tan 2 = . S: I ln2= . Biu din cỏc hm s LG theo tan 2 a t = : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t = = = + + 3.2. Dng liờn kt Vớ d 15. Tớnh tớch phõn 0 xdx I sinx 1 p = + ũ . Gii t x t dx dt= p - ị = - x 0 t , x t 0= ị = p = p ị = ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sint 1 p p p - p ị = - = - p - + + + ũ ũ 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 p p p = p - ị = + + ũ ũ ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 p p p p = = p - + ũ ũ 2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 2 4 p p ổ ử p ữ ỗ - ữ ỗ ữ ữ ỗ ổ ử ố ứ p p p ữ ỗ = = - = p ữ ỗ ữ ữ ỗ ổ ử ố ứ p ữ ỗ - ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ ũ . Vy I = p . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 4 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phöông phaùp giaûi tích phaân --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tổng quát: 0 0 xf(sinx)dx f(sin x)dx 2 p p p = ò ò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - Þ = - x 0 t , x t 0 2 2 p p = Þ = = Þ = ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 p p - Þ = - p p - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p = = + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx ,n sin x cos x sin x cos x 4 p p + p = = Î + + ò ò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3cosx p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3cosx p = + ò . Giải I 3J 1 3- = - (1). ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3cosx sin x 3 p p + = = p + + ò ò Đặt t x dt dx 3 p = + Þ = ⇒ 1 I J ln3 4 + = (2). Từ (1) và (2)⇒ 3 1 3 1 1 3 I ln3 , J ln3 16 4 16 4 - - = + = - . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ò . Giải Đặt 2 x tant dx (1 tan t)dt= Þ = + x 0 t 0, x 1 t 4 p = Þ = = Þ = ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 tant) I 1 tan t dt ln(1 tant)dt 1 tan t p p + Þ = + = + + ò ò . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 5 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t t u dt du 4 p = - ị = - t 0 u , t u 0 4 4 p p = ị = = ị = 0 4 0 4 I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du 4 p p ộ ổ ửự p ữ ỗ ờ ỳ ị = + = - + - ữ ỗ ữ ữ ỗ ờ ỳ ố ứ ở ỷ ũ ũ 4 4 0 0 1 tanu 2 ln 1 du ln du 1 tanu 1 tanu p p ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ = + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ + + ũ ũ ( ) 4 4 0 0 ln2du ln 1 tanu du ln2 I 4 p p p = - + = - ũ ũ . Vy I ln2 8 p = . Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4 x 4 cosx I dx 2007 1 p p - = + ũ . Hng dn: t x t= - S: 2 I 2 = . Tng quỏt: Vi a > 0 , 0a > , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ] ; - a a thỡ x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 a a - a = + ũ ũ . Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cosx- + = . Tớnh tớch phõn 2 2 I f(x)dx p p - = ũ . Gii t 2 2 J f( x)dx p p - = - ũ , x t dx dt= - ị = - x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - ị = = ị = - [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx p p p p - - ị = - = ị = + = - + ũ ũ 2 2 0 2 cosxdx 2 cosxdx 2 p p p - = = = ũ ũ . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 6 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vậy 2 I 3 = . 3.3. Các kết quả cần nhớ i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a f(x)dx 0 - = ò . ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ò ò . iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) 2 2 n n 0 0 (n 1)!! , n!! cos xdx sin xdx (n 1)!! . , n!! 2 p p ì - ï ï ï ï ï = = í ï - p ï ï ï ï ỵ ò ò nếu n lẻ nếu n chẵn . Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = = . Ví dụ 21. 2 11 0 10!! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p = = = ò . Ví dụ 22. 2 10 0 9!! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 p p p p = = = ò . II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Cơng thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( ) ( ) / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + Þ = + ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udvÞ = + Þ = + ò ò ò b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vd = + Þ = - ò ò ò ò . Cơng thức: b b b a a a udv uv vdu= - ò ò (1). Cơng thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ò ò (2). 2. Phương pháp giải tốn Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ò ta thực hiện Cách 1. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 7 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bc 1. t u f(x), dv g(x)dx= = (hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm v(x) v vi phõn / du u (x)dx= khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn b a vdu ũ phi tớnh c. Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu. c bit: i/ Nu gp b b b ax a a a P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx ũ ũ ũ vi P(x) l a thc thỡ t u P(x)= . ii/ Nu gp b a P(x)ln xdx ũ thỡ t u lnx= . Cỏch 2. Vit li tớch phõn b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ũ ũ v s dng trc tip cụng thc (2). Vớ d 1. Tớnh tớch phõn 1 x 0 I xe dx= ũ . Gii t x x u x du dx dv e dx v e = = ỡ ỡ ù ù ù ù ị ớ ớ = ù ù = ù ùợ ợ (chn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1ị = - = - = ũ ũ . Vớ d 2. Tớnh tớch phõn e 1 I x ln xdx= ũ . Gii t 2 dx du u lnx x dv xdx x v 2 ỡ ù = ù = ỡ ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 xln xdx ln x xdx 2 2 4 + ị = - = ũ ũ . Vớ d 3. Tớnh tớch phõn 2 x 0 I e sin xdx p = ũ . Gii t x x u sinx du cosxdx dv e dx v e = = ỡ ỡ ùù ù ù ị ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sinxdx e sin x e cosxdx e J p p p p ị = = - = - ũ ũ . t x x u cosx du sin xdx dv e dx v e = = - ỡ ỡ ù ù ù ù ị ớ ớ = ù ù = ù ùợ ợ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 8 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 x x x 2 0 0 0 J e cosxdx e cosx e sin xdx 1 I p p p ị = = + = - + ũ ũ 2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2 p p + ị = - - + ị = . Chỳ ý: ụi khi ta phi i bin s trc khi ly tớch phõn tng phn. Vớ d 7. Tớnh tớch phõn 2 4 0 I cos xdx p = ũ . Hng dn: t t x= 2 0 I 2 t costdt 2 p ị = = = p - ũ L L . Vớ d 8. Tớnh tớch phõn e 1 I sin(ln x)dx= ũ . S: (sin1 cos1)e 1 I 2 - + = . III. TCH PHN CHA GI TR TUYT I Phng phỏp gii toỏn 1. Dng 1 Gi s cn tớnh tớch phõn b a I f(x) dx= ũ , ta thc hin cỏc bc sau Bc 1. Lp bng xột du (BXD) ca hm s f(x) trờn on [a; b], gi s f(x) cú BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bc 2. Tớnh 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ũ ũ ũ ũ . Vớ d 9. Tớnh tớch phõn 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ũ . Gii Bng xột du x 3- 1 2 2 x 3x 2- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ũ ũ . Vy 59 I 2 = . Vớ d 10. Tớnh tớch phõn 2 2 0 I 5 4cos x 4sin xdx p = - - ũ . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 9 I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- S: I 2 3 2 6 p = - - . 2. Dng 2 Gi s cn tớnh tớch phõn [ ] b a I f(x) g(x) dx= ũ , ta thc hin Cỏch 1. Tỏch [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= = ũ ũ ũ ri s dng dng 1 trờn. Cỏch 2. Bc 1. Lp bng xột du chung ca hm s f(x) v g(x) trờn on [a; b]. Bc 2. Da vo bng xột du ta b giỏ tr tuyt i ca f(x) v g(x). Vớ d 11. Tớnh tớch phõn ( ) 2 1 I x x 1 dx - = - - ũ . Gii Cỏch 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx - - - = - - = - - ũ ũ ũ 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx - - = - + + - - - ũ ũ ũ ũ 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 - - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = - + + - - - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . Cỏch 2. Bng xột du x 1 0 1 2 x 0 + + x 1 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx - = - + - + + - + - + ũ ũ ũ ( ) 1 2 0 2 1 1 0 x x x x 0 - = - + - + = . Vy I 0= . 3. Dng 3 tớnh cỏc tớch phõn { } b a I max f(x), g(x) dx= ũ v { } b a J min f(x), g(x) dx= ũ , ta thc hin cỏc bc sau: Bc 1. Lp bng xột du hm s h(x) f(x) g(x)= - trờn on [a; b]. Bc 2. + Nu h(x) 0> thỡ { } max f(x), g(x) f(x)= v { } min f(x), g(x) g(x)= . + Nu h(x) 0< thỡ { } max f(x), g(x) g(x)= v { } min f(x), g(x) f(x)= . Vớ d 12. Tớnh tớch phõn { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx= + - ũ . Gii t ( ) ( ) 2 2 h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - + . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 10 . Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952 6 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ò ò (2). 2. Phương pháp giải tốn Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ò ta thực hiện Cách 1. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày đăng: 30/10/2013, 10:11

Hình ảnh liên quan

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những - Phương pháp giải Tích phân

Bảng nguy.

ên hàm Nguyên hàm của những Xem tại trang 1 của tài liệu.
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], giả sử f(x) cĩ BXD: - Phương pháp giải Tích phân

c.

1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], giả sử f(x) cĩ BXD: Xem tại trang 9 của tài liệu.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). - Phương pháp giải Tích phân

c.

1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x) Xem tại trang 10 của tài liệu.
Bảng xét dấu - Phương pháp giải Tích phân

Bảng x.

ét dấu Xem tại trang 11 của tài liệu.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x, y3 = 4 x. - Phương pháp giải Tích phân

d.

ụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x, y3 = 4 x Xem tại trang 16 của tài liệu.
Bảng xét dấu - Phương pháp giải Tích phân

Bảng x.

ét dấu Xem tại trang 17 của tài liệu.
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 2, y2=x quay quanh Ox. - Phương pháp giải Tích phân

d.

ụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 2, y2=x quay quanh Ox Xem tại trang 18 của tài liệu.
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x), y= g(x), x= a và - Phương pháp giải Tích phân

h.

ể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x), y= g(x), x= a và Xem tại trang 18 của tài liệu.
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y=1 lnx - Phương pháp giải Tích phân

8..

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a. x=1; x=e; y=0 và y=1 lnx Xem tại trang 20 của tài liệu.

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan