Do đó để phph-ơng trình có nghiệm duy nhất thì.
Trang 1I Phơng pháp đánh giá
Giải phương trình: 3− x + 4 x + 1=-16x2-8x+1 (1)
Giải
ĐK:
4
3 4
1
≤
≤
− x (*)
Ta có
( 3−4x + 4x+1)2 =3−4x+2 (3−4x)(1+4x) +1+4x =4+2 (3−4x)(1+4x) ≥ 4
2 4 1 4
Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 ≤2 (3)
Từ (2) và (3) ta có:
= +
−
−
= + +
−
⇔
2 1 8 16
2 4 1 4
3
)
1
(
x
x x
= + +
= + + +
− +
−
⇔
0 1 8 16
4 4 1 ) 4 1 )(
4 3 ( 2 4 3
2 x x
x x
x x
−
=
= +
−
⇔
4 1
0 ) 4 1 )(
4 3 (
x
x x
−
=
−
=
=
⇔
4 1 4 1 4 3
x x
x
4
1
−
=
⇔ x (thoả mãn(*))
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là
4
1
−
=
x
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) −4x−1+ 4x2 +8x+3= −4x2 −4x
2) x2 −2x+5+ x−1=2
II Phơng pháp đặt ẩn phụ
VD1:Giải phuơng trình:
1+ x + 8−x + (1+ x)(8−x) =3
Giải
C1: ĐK:−1≤ x≤8
Đặt t = 1 + x + 8 − x (đk t ≥ 0)
⇒t2 =1+x+8−x+2 (1+ x)(8− x)
2
9 )
8 )(
1
(
2 −
=
− +
Trang 2Khi đó phơng trình đã cho trở thành: 3
2
9
2
=
− + t
t
⇔ t2 + 2 t − 15 = 0
⇔ t t ==−35
Với t=3, ta có: 1 +x + 8 −x = 3
⇔ 1 +x+ 8 −x+ 2 ( 1 +x)( 8 −x) = 9
⇔ ( 1 +x)( 8 −x) = 0
=
−
=
⇔
8
1
x
x
(thoả mãn (*)) Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:x1=-1 và x2=8
C2: ĐK:−1≤ x≤8
Đặt
−
=
+
=
x v
x u
8
1
(u,v≥ 0)
−
=
+
=
⇒
x
v
x
u
8
1
2
2
⇒u2 +v2 = 9
Ta có hệ phơng trình:
= + +
= +
3
9 2 2
uv v u
v u
= + +
=
− +
⇔
6 )
( 2
9 2 ) ( 2
uv v u
uv v
u
−
=
+
=
−
−
⇔
2 6
9 2 2
6 2
uv v
u
uv uv
−
= +
=
−
⇔
2 6
0 ) 20 (
uv v
u
uv uv
−
= +
=
=
⇔
2 6 20 0
uv v
u uv uv
(loại) Với
=
= +
0
3
uv
v u
ta có:
=
=
3
0
v
u
hoặc
=
=
0
3
v u
+)
=
=
0
3
v
u
=
−
= +
⇒
0 8
9 1
x
x
8
=
⇔x
+):
=
=
3
0
v
u
=
−
= +
⇒
9 8
0 1
x
x
⇔ ⇔ x= 1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm: x1=1 và x2=8
VD 2: Giải phơng trình
1 2 2
1 )
1
4
( x− x2 + = x2 + x+
Giải
−
=
+
=
=
+
=
⇔
7 20
3
0
v
u
uv
v
u
uv
Trang 3Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
1 2 ) 1 ( 2 1 )
1
4
( x− x2 + = x2 + + x− (1)
Đặt t = x2 +1 (đk t >1), phơng trình (1) trở thành:
(4x-1)t=2t2+2x-1 ⇔2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)
Coi (2) là phơng trình bậc hai ẩn t, khi đó phơng trình (2) có:
R x x
x
=
∆ (4 1)2 8(2 1) (4 3)2 0,
Phơng trình (2) ẩn t có các nghiệm là:
t1=2x-1 và t2=
2
1
(loại)
Với t1=2x-1, ta có: x2 + 1 = 2x− 1
−
= +
≥
−
) 1 2 ( 1
0 1 2
x x
x
=
−
≥
⇔
0 4 3 2 1
2 x x x
=
=
≥
⇔
3 4 0 2 1
x x
x
3
4
=
⇔x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
3
4
=
x
Lu ý : phơng trình trên có thể giải theo cách đa về phơng tích
VD3: Giải phơng trình
1 1 2
3 − x + x − =
Giải
ĐK:x≥ 1 (*)
Đặt
−
=
−
=
1
2
3
x
v
x u
, v≥ 0
−
=
−
=
⇒
1
2
2
3
x
v
x
u
⇒u3 +v2 = 1
Khi đó ta có hệ phơng trình:
=
+
=
+
1
1
2
3 v
u
v
u
1 ) 1
3 + − =
⇒u u ⇔ u3 + u2 − 2 u = 0
−
=
=
=
⇔
2 1 0
u u u
Với u=0, ta có: 3 2 − x = 0 ⇔x=2 Với u=1, ta có: 3 2 − x = 1 ⇔ 2 − x = 1 ⇔ x = 1
Với u=-2, ta có: 3 2 − x = − 2 ⇔ 2 − x = − 8 ⇔ x = 10
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là:x=1,x=2,x=10
Trang 4Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) x2 + x + 5 = 5
3
1 ) 3 ((
4 ) 1
)(
3
−
+
− + +
−
x
x x
x
x
3) x2 − 3x+ 3 + x2 − 3x+ 6 = 3
III Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Dạng phơng trình:
Dạng 1: f(x) =g(x)
=
≥
⇔
) ( ) (
0 ) (
2 x g x f
x g
Dạng 2: f(x) = g(x)
=
≥
⇔
) ( ) (
0 ) (
x g x f
x g
VD1: Giải phơng trình
x+4 − 1− x = 1−2x
Giải
ĐK:
≥
−
≥
−
≥
+
0 2
1
0 1
0 4
x
x
x
2
1
4 ≤ ≤
−
Với đk(*) phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
4 1
2
1− x + −x = x+ ⇔ 1 − 2 x + 1 − x + ( 1 − 2 x )( 1 − x ) = x + 4
⇔ (1− x)(1−2x) = 2x+1
+
=
−
−
≥ +
) 1 2 ( ) 2 1 )(
1 (
0 1 2
x x
x x
= +
−
≥
⇔
0 7 2 2 1
2 x x x
−
=
=
−
≥
⇔
7 0 2 1
x x x
0
=
⇔ x (thoả mãn (*)) Vậy phơng trình có nghiệm là x=0
VD2:Giải phơng trình
Trang 51 2 2 1 2
2
1 + − − − − − =
x
Giải
Ta có: x− 1 + 2 x− 2 − x− 1 − 2 x− 2 = 1
⇔ x−2+2 x−2+1− x−2−2 x−2+1=1
⇔ ( x− 2 + 1 ) 2 - ( x− 2 − 1 ) 2 =1
⇔ x− 2 + 1 − x− 2 − 1 = 1
⇔ x− 2 + 1 − x− 2 − 1 = 1
⇔ x− 2 = x− 2 − 1
⇔ x− 2 = ( x− 2 − 1 ) 2
⇔ x− 2 = x− 2 + 1 − 2 x− 2
2
1
2 =
−
4
1
2 =
−
⇔ x
4
9
=
⇔ x
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
4
9
=
x
Luyện tập
Giải các phơng trình sau:
1) 3 +x 6 −x = 3
2) x(x− 1 ) + x(x+ 2 ) = 2 x2
3) 2x2 +8x+6+ x2 −1=2x+2
IV Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số VD1:Giải phơng trình
4x−1+ 4x2 −1=1
ĐK:
2
1
≥
x
Xét hàm số f(x) = 4x− 1 + 4x− 1 trên
+∞ ; 2 1
+∞
∈
∀
>
−
+
−
2
1 ,
0 1 4
4 1
4
2 )
(
2
x
x x
x
f
⇒Hàm số f(x) đồng bjến trên
+∞ ; 2 1
2
1
( =
f
Trang 6⇒Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất :
2
1
=
x
VD2(A-2007): Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực:
3 x− 1 +m x+ 1 = 2 4 x2 − 1
Giải
ĐK:x≥ 1
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
m x
x x
+
− +
+
−
1
1 2
1
1
Đặt 4
1
1
+
−
=
x
x
t , khi đó phơng trình (1) trở thành: -3t2+2t=m (2)
1
2 1 1
1
+
−
= +
−
=
x x
x
t và x≥ 1 nên 0 ≤t< 1
Xét hàm số f(t)=-3t2+2t, với 0 ≤t< 1,ta có bảng biến thiên sau:
t 0
3
1
1
f(t) 3
1
0 -1
Từ bảng biến thiên ta suy ra phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn 0 ≤t< 1 khi
3
1
1 < ≤
⇒Phơng trình (1) có nghiệm khi
3
1
1 < ≤
Vậy với
3
1
1 < ≤
− m thì phơng trình đã cho có nghiệm
Luyện tập
1)Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
1
3 = 2 +
x
2)Giải phơng trình:
5 4
1 = − 3 − +
x
V Phơng pháp điều kiện cần và đủ
VD1:tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
4 −x + x+ 5 =m
Giải
Điều kiện cần:
Nhận thấy nếu phơng trình có nghiệm x0 thì (-1-x0 ) cũng là nghiệm của
ph-ơng trình Do đó để phph-ơng trình có nghiệm duy nhất thì
Trang 7x = − − ⇔ x0 = −21
1
0 = −
x
vào phơng trình đã cho ta đợc: m=3 2
Điều kiện đủ:
Với m= 3 2 phơng trình đã cho trở thành:
2 3 5
4 −x+ x+ =
= + +
−
≥
+
≥
−
⇔
18 ) 5 4
(
0
5
0
4
2
x x
x
x
= + + +
− +
−
−
≥
≤
⇔
18 5 )
5 )(
4 ( 2 4
5 4
x x
x x
x
x
= +
−
≤
≤
−
⇔
9 ) 5 )(
4
(
2
4 5
x x
x
= +
−
≤
≤
−
⇔
81 ) 5 )(
4 ( 4
4 5
x x
x
= + +
≤
≤
−
⇔
0 1 4 4
4 5
2 x x x
−
=
≤
≤
−
⇔
2
1
4 5
x
x
2
1
−
=
⇔ x
Vậy với m= 3 2 thì phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Lu ý: phơng trình trên có thể giải bằng phơng pháp sử dụng tính đơn điệu