Phương pháp giải Tích phân - LTĐH

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x − π π   = ∈ −     sin ; ; 2 2 Đặt x a t với t π   = ∈   cos ; 0;hoặc x a t với t − 2 2 x a { } π π   = ∈ −     ; ; \ 0 sin 2 2 a Đatë x với t t π π         = ∈       ; 0. \ cos 2 a hoặc x vơiù t t + 2 2 a x π π   = ∈ −     tan ; ; 2 2 Đặt x a t với t π   = ∈   cos ; 0;hoặc x a t với t + − − + a x a x hoặc a x a x = cos2Đatë x a t − − ( )( )x a b x = + − 2 ( )sinĐatë x a b a t + 2 2 1 a x π π   = ∈ −     tan ; ; 2 2 Đặt x a t với t Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π   ∈ −     ⇒ = − sindx t dt Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Đổi cận: Khi đó: 0 0 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 sin .sin 1 1 cos sin sin 1 1 cos cos cos cos (tan ) 1 .( 0; sin 0 sin sin ) 4 4 4 0 t t x t t t I dx dt dt dt dt x t t t t t t vì t nên t t t π π π π π π   − − = = − = = = −  ÷     = − = − ∈ ≥ ⇒ =     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính 2 3 2 0 cos x I dx x = ∫ Giải: Đặt x=asint, ; . cos 2 2 t dx a tdt π π   ∈ − ⇒ =     Đổi cận: Khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 4 4 4 4 2 2 2 0 0 sin (1 sin ). cos sin cos 1 sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 4 8 8 4 16 0 a I x a x dx a t a t a tdt a t tdt a a a a td t dt t t π π π π π π = − = − = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 2 x 2 2 4 π t 1 0 x 0 a t 0 2 π ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x = − ∫ Đặt x=sint, ; . cos 2 2 t dx tdt π π   ∈ − ⇒ =     Đổi cận: Khi đó: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 sin 1 sin .cos sin cos sin 2 4 4 1 1 1 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 8 8 4 16 0 I x x dx t t tdt t tdt tdt t dt t t π π π π π π = − = − = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 4: Tính 1 3 2 0 1I x x dx = − ∫ Giải: Đặt 2 2 2 1 1t x t x xdx tdt = − ⇔ = − ⇒ = − Đổi cận: Khi đó: 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2) 2 4 0 0 0 0 1 2 1 1 (1 . . ( ) 3 5 15 0 t t I x x dx x x xdx t t t dt t t dt   = − = − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 3 x 0 1 t 0 2 π x 0 1 t 1 0 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Bài 5: Tính 2 3 ln e e dx I x x = ∫ Giải: Đặt ln dx t x dt x = → = Đổi cận: 2 2 3 3 4 1 2 1 15 ( ) 64 ln 4 1 e e dx dt Khi đó I x x t t = = = − = ∫ ∫ Bài 6: Tính 2 3 0 sin cosI x xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: Khi đó: 1 2 3 3 0 0 1 sin cos 6 I x xdx t dt π = = = ∫ ∫ Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 4 x e e 2 t 1 2 x 0 2 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Bài 7: Tính 1 3 4 4 0 ( 1)I x x dx = + ∫ Giải: Đặt t = x 4 +1 3 3 4 4 dt dt x dx x dx ⇒ = ⇒ = Đổi cận: 1 2 3 4 4 4 3 0 1 2 1 1 31 ( 1) 4 20 20 1 Khi đó I x x dx t dt t   = + = = =  ÷   ∫ ∫ Bài 8: Tính 12 12 0 0 sin 4 tan 4 cos4 x I xdx dx x π π = = ∫ ∫ Đặt t = cos4x; 4sin4 sin4 4 dt dt xdx xdx ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2 1 cos4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t x t t π π = = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ . Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 5 x 0 1 t 1 2 x 0 12 π t 1 1 2 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Bài 9: Tính 2 3 0 cosI xdx π = ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 3 4 2 2 0 0 0 cos cos cos (1 sin ) cos x xdx xdx x dx π π π = = − ∫ ∫ ∫ Đặt: t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 3 5 cos (1 sin ) cos (1 ) )1 2 ) 1 2 5 3 5 18 0 Khi đó I xdx x xdx t dt t t dt t t t π π π π = = − = − = − +   = − + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 10: Tính 4 4 0 1 cos I dx x π = ∫ Giải: Đặt t=tanx; 2 1 cos dt dx x ⇒ = Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 6 x 0 2 π t 0 1 x 0 4 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Khi đó: 1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 6 1 1 1 4 (1 tan ) (1 ) 3 3 cos cos 0 t I dx x dx t dt t x π π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 11: Tính 3 2 2 6 cos sin x I dx x π π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 cos (1 sin ) 1 1 1 1 cos ( 1) 1 2 sin sin 2 x x t Khi đó I dx xdx dt dt t t x x t t π π π π   − − = = = = − = − − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 12: Tính 2 3 3 0 sin cosI x xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx; cosdt xdx ⇒ = Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 7 x 6 π 2 π t 1 2 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Khi đó: 1 1 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 4 6 sin cos sin (1 sin )cos (1 ) ( ) 1 1 4 6 12 0 I x xdx x x xdx t t dt t t dt t t π π = = − = − = −   = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 13 : Tính 2 2 sin 0 sin2 x I e xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sin 2 x; sin2dt xdx ⇒ = Đổi cận: Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin2 1 0 x t t I e xdx e dt e e π = = = = − ∫ ∫ Bài 14: Tính 2 2 0 sin2 1 cos x I dx x π = + ∫ Giải: Đặt t = 1+cos 2 x; sin2 sin2dt xdx xdx dt ⇒ = − ⇒ = − Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 8 x 0 2 π t 0 1 x 0 2 π t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- Đổi cận: 1 2 2 2 0 2 1 2 sin2 (ln ln2. 1 cos 1 x dt dt Khi đó I dx t t t x π = = − = = = + ∫ ∫ ∫ Bài 15: Tính 4 3 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Đặt t = tanx 2 2 2 (1 tan ) (1 ) 1 dt dt x dx t dt dx t ⇒ = + = + ⇒ = + Đổi cận Khi đó: 1 1 1 1 1 3 2 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 ( 1) tan ( ) 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ln2 (1 ln 2) 2 2 2 2 2 0 t t t t d t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t π + = = = − = = − = − + + + + = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: Đặt t = 2 ; 2x t x dx tdt ⇒ = ⇒ = Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 9 x 0 2 π t 2 1 x 0 4 π t 0 1 x 0 1 t 0 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân --------------------------------------------------------------------------------------------- --- 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2( ln 1 2(1 ln2). 1 1 0 1 t Khi đó I dx dt dt t t t t x   = = = − = − + = −  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Bài 17: Tính 1 3 3 4 0 1I x x dx = − ∫ Giải: Đặt 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 t x t x x dx t dt = − ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: Khi đó: 1 1 3 3 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 4 16 16 0 I x x dx t dt t = − = = = ∫ ∫ Bài 18: Tính 0 2 1 1 2 4 dx x x − + + ∫ Giải: Ta có: 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 4 ( 1) ( 3) dx dx x x x − − = + + + + ∫ ∫ Đặt : 2 1 3 tan ; . 3(1 tan ) 2 2 x t với t dx t dt π π   + = ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 10 x 0 1 t 1 0 [...]... 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân e 1 + ln x dx Bài 20: Tính I = ∫ x 1 Giải: Đặt t = ln(2-x) ⇒ dt = −dx 2−x x Khi đó: I = ∫ 1 e t e 1 1 Đổi cận: 2 1 + ln x dx = x Bài 21: Tính I = 2 2 1 1 2 ∫ t.2tdt = 2 ∫ t dt = 2 t 3 2 2(2 2 − 1) = 31 3 1 ln(2 − x ) ∫ 2 − x dx 0 Giải: Đặt t = ln(2 − x ) ⇒ dt = −dx 2−x x 1 1 t Ln2... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân - Khi đó: π 2 1 I=∫ dx = sin x π 3 1 1 3 1 ∫ t dt = (ln t ) 3 = − ln 3 = 2 ln 3 3 3 3 1 Bài 24: Tính I = e 1 ∫ x(1 + ln x )dx 1 Giải: Đặt t = 1 + ln x ⇒ dt = dx x x 1 t 1 Đổi cận: e 2 2 2 1 dt dx = ∫ = ln t = ln 2 Khi đó: I = ∫ x (1 + ln x ) t 1 1 1 e 1 3 ∫ 5 x Bài 25: Tính I = x e dx 0 Giải: 3 2 2 Đặt t =... dx Giải: sin3x 3sin x − 4sin3 x 1 I=∫ dx = ∫ dx = ∫ (3 − 4sin2 x )dx = 3x − 2∫ (1 − cos2 x )dx = 3x − 2 x + 2 sin2x + C sin x sin x 2 = x + sin2 x + C 1 Bài 39: Tính I = ∫ 0 x dx x + x2 + 1 4 Giải: Đặt t = x 2 ⇒ dt = 2 xdx x 0 1 t 0 1 Gv: Trần Quang Thuận 21 Đổi cận: Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân - 1... − + − =− + 5  2 5 2 3 ÷1 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15   5 2 3 2 Bài 58: Tính I = 1 ∫ −1 x 5 − 4x dx Giải: Đặt t = 5 − 4 x ⇒ dt = −4dx x -1 1 t 9 1 Gv: Trần Quang Thuận 34 Đổi cận: Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân - 1 Khi đó: x I=∫ 1 dx = ∫ 5−t  1  − dt 4  4÷   = 9 9 9 1 5−t 5 1 1 dt = ∫ dt − ∫ tdt 16 ∫... t 0 1 0 π 4 Gv: Trần Quang Thuận 15 Đổi cận: Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân - π 4 1 π 4 dt 1 + tan u π π =∫ du = ∫ du = u = 2 2 4 4 0 1+ t 0 1 + tan u 0 0 Vậy I = ∫ 2 2 dx ∫x Bài 27: Tính I = 1 + x3 1 Giải: 2 Ta có: 2 dx ∫x 1 + x3 1 =∫ 1 x 2 dx x3 1 + x3 Đặt t = 1 + x 3 ⇒ t 2 = 1 + x 3 ⇒ 2tdt = 3x 2dx... 32: Tính I = ∫ cos xdx π 6 Giải: π 2 π 2 π 2 π 2 π 6 π 6 π 6 π 6 I = ∫ cos3 xdx = ∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1 − sin 2 x ) cos xdx = ∫ (1 − sin 2 x )d (sin x )  sin3 x  π 1 1 1 5 =  sin x − = ÷ = 1− − + 3 2 3 2 24 24  π 6 π 4 sin 4 x 4 4 0 sin x cos x Bài 33: Tính I = ∫ Giải: Gv: Trần Quang Thuận 19 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân ... 20 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân π 2 Bài 36: Tính I = sin3 xdx ∫ 0 Giải: π 2 π 2 π 2 π  cos3 x  1 2 I = ∫ sin xdx = ∫ sin x sin xdx = − ∫ (1 − cos x )d (cos x ) = −  cos x − ÷ 2 = 1− = 3  3 3 0 0 0  0 3 2 Bài 37:Tính I = ∫ 2 cos3x dx sin x Giải: cos3x 4 cos3 x − 3cos sx (4 cos2 x − 3) 4(1 − sin 2... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân π 2 cos x dx 1 + sin 2 x 0 Bài 22: Tính I = ∫ Giải:  π π ; ÷⇒ cos xdx = (1 + tan 2 t)dt  2 2 Đặt sin x = tan t với t ∈  − x 0 0 t Khi đó: I = π 2 π 4 π 4 cos x ∫ 1 + sin 0 π 2 Bài 23: Tính I = ∫ π 3 2 Đổi cận: π 2 x π 4 1 + tan t π dt = ∫ dt = 2 4 0 1 + tan t 0 dx = ∫ 2 1 dx sin x Giải: Đặt t = tan x... 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân t −1 1 3 3 x 2 dt = 1  1 − 1 dt = 1  ln t + 1  3 = 1  ln 3 − 2  Khi đó: I = ÷  ÷ ∫0 (2x + 1)2 dx = ∫1 t 2 2 4 ∫1  t t 2 ÷ 4  t  1 4 3    Bài 41: Tính I = 0 ∫x 2 ( x + 1)9 dx −1 Giải: Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx Đổi cận : x t -1 0 0 1 Khi đó: 0 1 1 1 I = ∫ x ( x + 1) dx... 12 12 11 Bài 42: Tính I = 10 π 2 dx ∫ 1 + cos x 0 Giải: x d ÷ 2 dx dx x π I=∫ =∫ = ∫   = tan =1 1 + cos x 0 2 2 2 x 2 x 0 0 cos 2 cos 2 2 0 π 2 π 2 1 ∫ π 2 Bài 43: Tính I = x 1 + 3x dx 15 Gv: Trần Quang Thuận 24 8 Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân Giải: 1 Ta có: ∫x 0 15 1 1 + 3x dx = ∫ x 8 1 + 3x . NỘI Phương pháp giải tích phân -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - -- - TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP. SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - - -- - Bài 3: Tính