phuong phap tinh tich phan LTDH cuc hay

Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 1/25 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng 1. Caxadx += ∫ 2. C x dxx + + = + ∫ 1 1 α α α ( ) 1≠ α 3. ∫ += Cx x dx ln 4. C a a dxa x x += ∫ ln 5. Cedxe xx += ∫ 6. Cxdxx += ∫ sin.cos 7. Cxdxx +−= ∫ cos.sin 8. ∫ ∫ +=+= Ctgxdxxtg x dx )1( cos 2 2 9. ∫ ∫ +−=+= Cgxdxxg x dx cot)cot1( sin 2 2 10. ∫ += Cx x dx 2 1. C bax a dxbax + + + =+ + ∫ 1 )(1 )( 1 α α α ( ) 1,0 ≠≠ xa 2. ∫ ++= + Cbax a b ax dx ln 1 )0( ≠ a 3. Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 )0( ≠ a 4. Cbax a dxbax ++=+ ∫ )sin( 1 )cos( )0( ≠ a 5. Cbax a dxbax ++−=+ ∫ )cos( 1 )sin( )0( ≠ a 6. ∫ ∫ ++= + dxbaxtg bax dx ))(1( )(cos 2 2 Cbaxtg a ++= )( 1 )0( ≠ a 7 ∫ ∫ ++= + dxbaxg bax dx ))(cot1( )(sin 2 2 Cbaxg a ++−= )(cot 1 )0( ≠ a 8. ∫ ++= + Cbax a bax dx 2 )0( ≠ a 9. ∫ + + − = − C ax ax a ax dx ln 2 1 22 )0( ≠ a 10. ∫ +++= + Caxx ax dx 2 2 ln B. PH ƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ I. Tích phân hàm đa th ức 1) Tích phân dạng ( ) b a A= P x dx ∫ Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản. 2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm. II. Tích phân hàm hữu tỷ 1) Tích phân dạng ( ) b a P x A= dx n x ∫ Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 2/25 Phương pháp: Chia P(x) cho x n để đưa tích phân về dạng b a A= Q , dx k a x x       ∫ trong đó Q(x) là một hàm đa thức. Chú ý: +) Hàm số 1 y x = có một nguyên hàm là hàm số ln y x = +) Hàm số 1 n y x = (n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm số ( ) 1 1 1 n y n x − = − − 2) Tích phân dạng ( ) b a P x A= dx ax b + ∫ Phương pháp: Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng ( ) b a A= Q + dx ax k x b     +   ∫ trong đó Q(x) là một hàm đa thức. Chú ý: +) Hàm số 1 y ax b = + có một nguyên hàm là hàm số 1 ln y ax b a = + 3) Tích phân dạng ( ) ( ) b a P x A= dx (k , 1) ax k N k b ∈ > + ∫ Phương pháp: 1. Đặt ax t b = + ta có: +) t b x a − = +) dt dt adx dx a = ⇒ = 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng ( ) b' a' A= dt k Q t t ∫ 4) Tích phân dạng 2 dx A ax bx c β α = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x 1, x 2 ) Phương pháp: Thực hiện biến đổi tích phân như sau: ( )( ) 2 1 2 dx dx A ax bx c a x x x x β β α α = = + + − − ∫ ∫ = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 x x x x dx dx a x x x x a x x x x x x β β α α − − −     = − − − − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ln ln | dx x x x x a x x x x x x a x x β β α α   − = − − −   − − − −   ∫ Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2 ( ) f x ax bx c = + + có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì khi đó f(x) được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 ). +) ( )( ) 1 1 1 1 x m x n m n x m x n   = −   − − − − −   5) Tích phân dạng 2 dx A ax bx c β α = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c vô nghiệm) Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 3/25 ( ) 2 2 2 1 0 2 2 dx dx dx A C ax bx c a b b x C a x C a a β β β α α α = = = > + +       + + + +               ∫ ∫ ∫ 1. Đặt ( ) 2 tan 1 tan 2 b x C u dx C u du a + = ⇒ = + 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A được ( ) 2 ' ' 2 ' ' 1 tan 1 1 tan C u du A du a C u C a C β β α α + = = + ∫ ∫ Chú ý: +) Nếu tam thức bậc hai 2 ( ) f x ax bx c = + + vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn tam thức về dạng 2 ( ) 2 b f x a x C a     = + +           (C>0). 6) Tích phân dạng 2 dx A ax bx c β α = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép) Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: 2 2 2 1 1 2 2 2 dx dx dx b A x ax bx c a a a b b a x x a a β β β β α α α α   = = = = − +   + +       + +         ∫ ∫ ∫ 7) Tích phân dạng ( ) 2 mx n dx A ax bx c β α + = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c có hai nghiệm x 1, x 2 ) Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 mx n dx mx n dx mx n dx A ax bx c a x x x x a x x x x β β β α α α + + + = = = + + − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 m x x n mx m x x mx n dx dx a x x x x a x x x x x x x x mx nm dx dx a x x a x x x x β β α α β β α α   − + + − + = = +   − − − − − −   + = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 8) Tích phân dạng ( ) 2 mx n dx A ax bx c β α + = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c vô nghiệm) Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 2 mx n dx mx n dx mx n dx A C ax bx c a b b x C a x C a a β β β α α α + + + = = = > + +       + + + +               ∫ ∫ ∫ 1. Đặt ( ) 2 tan 1 tan 2 b x C u dx C u du a + = ⇒ = + , tan 2 b x C u a = − 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A. 9) Tích phân dạng ( ) 2 mx n dx A ax bx c β α + = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx + c có nghiệm kép) Phương pháp: Ta biến đổi tích phân như sau: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 4/25 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b mb mb m x n n mx n dx mx n dx m dx a a a A dx dx b ax bx c a a a b b b x a x x x a a a a β β β β β α α α α α     + + − −     + +     = = = = + + +       + + + +             ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ III. Tích phân hàm vô t ỷ 1) Tích phân dạng: ( , , ) n f ax b x C dx β α + ∫ A = Phương pháp: 1. Đặt u = n ax b + n u ax b ⇒ = + n u b x a − ⇒ = 1 . n n u dx du a − ⇒ = 2. Đổi cận theo biến mới. 3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ. 2) Tích phân dạng: 2 dx ax bx c β α + + ∫ A = (Hệ số a dương) Phương pháp : Đặt 2 u ax ax bx c = + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b ax a ax bx c ax du a dx dx ax bx c ax bx c b b a ax bx c ax au dx dx ax bx c ax bx c   + + + + +   ⇒ = + =   + + + +     + + + + + = = + + + + 2 2 dx du b ax bx c au ⇒ = + + + 3) Tích phân dạng: 2 dx ax bx c β α + + ∫ A = (Hệ số a âm) Phương pháp : 1. Biến đổi: ( ) ( ) 2 1 0 dx A k a k x m β α = > − − + ∫ 2. Đặt sin cos 2 2 x m k t t dx k tdt π π   + = − ≤ ≤ ⇒ =     3. Tính các giá trị cận theo biến mới. 4. Thay vào A được: ' ' ' 2 2 ' ' ' 1 cos 1 cos 1 cos cos sin 1 sin k tdt tdt tdt A t a a a k k t t β β β α α α = = = − − − − − ∫ ∫ ∫ 4) Tích phân dạng: 2 A ax bx c dx β α = + + ∫ (Hệ số a dương) Phương pháp: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 5/25 Đặt: 2 2 2 2 2 ax b du dx u ax bx c ax bx c b dv dx v x a +  =     = + + + + ⇒   =    = +   ( ) 2 2 2 2 2 2 b ax b x b a A x ax bx c dx a ax bx c β α β α   + +       ⇒ = + + + −     + + ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 ax bx C b x ax bx c dx a ax bx c β α β α + +   = + + + −     + + ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ax bx C ax bx c C c A dx dx ax bx c ax bx c β β α α + + + + + − = = + + + + ∫ ∫ 2 2 2 C c dx A ax bx c β α − = + + + ∫ Vậy ta được: 2 2 2 2 2 b C c dx A x ax bx c A a ax bx c β α β α   −   = + + + − +         + +   ∫ 2 2 1 2 2 2 2 b C c dx A x ax bx c a ax bx c β α β α   −   ⇒ = + + + −       + +   ∫ Tính 2 2 dx A ax bx c β α = + + ∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A. 5) Tích phân dạng: 2 A ax bx c dx β α = + + ∫ (Hệ số a âm) Phương pháp: Ta biến đổi như sau: 2 2 2 b c b A a x x dx a C x dx a a a β β α α   = − − − − = − − +     ∫ ∫ 1. Đặt sin cos 2 2 2 b x C t t dx C tdt a π π   + = − ≤ ≤ ⇒ =     2. Đổi cận tích phân. 3. Thay vào A được: ' 2 ' sin cos A a C C t tdt β α = − − ∫ ' 2 ' ' 2 ' ' 2 ' 1 sin .cos os .cos os C a t tdt C a c t tdt C a c tdt β α β α β α = − − = − = − ∫ ∫ ∫ 5) Tích phân dạng: ( ) 2 mx n dx ax bx c β α + + + ∫ A = (Hệ số a dương) Phương pháp: Ta biến đổi như sau: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 6/25 ( ) 2 2 2 2 m bm ax b n a a A dx ax bx c β α + + − = + + ∫ ( ) 2 2 2 2 2 ax b m mb dx dx n a a ax bx c ax bx c β β α α +   + −     + + + + ∫ ∫ Tính: ( ) 1 2 2ax b A dx ax bx c β α + = + + ∫ đặt 2 u ax bx c = + + Tính 2 2 dx A ax bx c β α = + + ∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên). 6) Tích phân dạng: ( ) 2 mx n dx ax bx c β α + + + ∫ A = (Hệ số a âm) Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 mx n dx mx n dx A a b c a b x x C x a a a β β α α + + = = − −   − − − − +     ∫ ∫ 1. Đặt sin cos 2 2 2 b x C t t dx C tdt a π π   + = − ≤ ≤ ⇒ =     2. Đổi cận tích phân. 3. Thay vào A được: ' 2 ' [ ( sin ) ] cos 1 2 sin b m C t n C tdt a A a C C t β α − + = − − ∫ ' ' [ ( sin ) ] cos 1 2 cos b m C t n C tdt a t a β α − + = − ∫ ' ' 1 ( sin ) 2 mb m C t n dt a a β α = + − − ∫ 7) Tích phân dạng: ax b dx cx d β α + + ∫ A = Phương pháp: Ta biến đổi như sau: ax b ax b A dx dx cx d ax b cx d β β α α + + = = + + + ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 (2 ) ( ) 2 2 2 2 2 a an mx n b ax b m m dx dx mx nx k mx nx k mx n dx a an dx b m m mx nx k mx nx k β β α α β β α α + + − + = = + + + + +   + −     + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Tính ( ) 1 2 2 mx n dx A mx nx k β α + = + + ∫ đặt 2 u mx nx k = + + Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 7/25 Tính 2 2 dx A mx nx c β α = + + ∫ (Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên). Chú ý: +) Khi dùng tính chất A A B B = ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác. 8) Tích phân dạng: ( ) 2 , A f ax bx c x dx β α = + + ∫ Phương pháp: Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau: +) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân. +) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân. Cụ thể: a. Cách 1: Đặt 2 t ax bx c = + + b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân. Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số 2 2 ( , f x a x dx β α − ∫ sin x a t = ; 2 2 t π π   ∈ −     2 2 ( , f x x a dx β α − ∫ cos a x t = 0; ; 2 2 t π π π     ∈ ∪         2 2 ( , f x x a dx β α + ∫ tan x a t = ; 2 2 t π π   ∈ −     IV. Tích phân hàm lượng giác 1. Tích phân dạng: sin n A xdx β α = ∫ hoặc os n A c xdx β α = ∫ Phương pháp: a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k ∈ N), ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 2 1 cos2 1 sin sin 1 cos2 2 2 k k k k k x A xdx x dx dx x dx β β β α α α −   = = = = −     ∫ ∫ ∫ ∫ Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k ∈ N), ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 sin sin .sin sin .sin 1 cos .sin k k k k A xdx x xdx x xdx x xdx β β β β α α α α + = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ 1. Đặt cos sin sin u x du xdx xdx du = ⇒ = − ⇒ = − 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức. Trường hợp đối với os n A c xdx β α = ∫ giải tương tự. 2. Tích phân dạng: tan n A xdx β α = ∫ hoặc cot n A xdx β α = ∫ Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 8/25 Phương pháp: a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau: sin tan ln cos cos x A xdx dx x x β β β α α α = = = −    ∫ ∫ (Tử là đạo hàm của mẫu) ( ) [ ] 2 2 tan tan 1 1 tan A xdx x dx x x β β β α α α   = = + − = −   ∫ ∫ b) Trường hợp 3 n ≥ , ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 tan tan .tan tan . 1 tan 1 tan . 1 tan tan n n n n n A xdx x xdx x x dx x x dx xdx β β β α α α β β α α − − − −   = = = + −   = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tính ( ) 2 2 1 tan . 1 tan n A x x dx β α − = + ∫ dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức. Tính 2 2 tan n A xdx β α − = ∫ ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất hoặc bậc hai. Trường hợp đối với cot n A xdx β α = ∫ ta giải tương tự. 3. Tích phân dạng: sin n dx A x β α = ∫ hoặc os n dx A c x β α = ∫ Phương pháp: a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . . 1 cot . sin sin sin sin sin sin k k k k dx dx dx dx A x x x x x x x β β β α α α −   = = = = +     ∫ ∫ ∫ ∫ Đến đây, ta đặt 2 cot sin dx u x du x = ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng tích phân của hàm đa thức. b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 sin sin sin sin sin sin 1 cos k k k k dx xdx xdx xdx A x x x x β β β β α α α α + + = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ Đến đây, ta đặt cos sin u x du xdx = ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng tích phân của hàm hữu tỷ Trường hợp đối với cos n dx A x β α = ∫ ta giải tương tự. 4. Tích phân dạng: cos sin dx A a x b x c β α = + + ∫ Phương pháp: 1. Đặt tan 2 x t = , khi đó ta có: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 9/25 ( ) 2 2 2 1 1 2 1 tan 1 2 2 2 1 x dt dt dx t dx dx t   = + = + ⇒ =   +   2 2 2 1 2 cos , sin 1 1 t t x x t t − = = + + 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 5. Tích phân dạng: sin cos sin xdx A a x b x β α = + ∫ ; cos cos sin xdx B a x b x β α = + ∫ Phương pháp: Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng các tổ hợp kết quả sau: sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin b xdx a xdx a x b x bA aB dx dx a x b x a x b x a x b x β β β β α α α α + + = + = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ cos sin cos sin ln cos sin cos sin cos sin cos sin b xdx a xdx b x a x bB aA dx a x b x a x b x a x b x a x b x β β β β α α α α − − = − = = + + + + ∫ ∫ ∫ Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán. 6. Tích phân dạng: sin .cos n m A x xdx β α = ∫ Phương pháp: a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta biến đổi như sau: ( ) ( ) 2 2 2 sin .cos .cos sin . cos .cos sin . 1 sin .cos k n k n k n A x x xdx x x xdx x x xdx β β α α = = = − ∫ ∫ ∫ Đến đây, ta đặt sin cos u x du xdx = ⇒ = , đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích phân của hàm đa thức. b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau: ( ) ( ) ' 2 2 ' 2 2 sin .cos sin . cos k k k k A x xdx x x dx β β α α = = ∫ ∫ Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó: ( ) 2 2 1 tan 1 du du x dx dx t = + ⇒ = + 2 2 1 cos 1 x u = + , 2 2 2 sin 1 u x u = + Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ. 7. Tích phân dạng: 2 2 ( cos sin ).sin 2 A f a x b x c xdx β α = + + ∫ Phương pháp: 1. Đặt 2 2 cos sin u a x b x c = + + , khi đó ta có: Tài liệu luyện thi đại học Biên soạn: Buicongluan.ltqb@gmail.com Trang 10/25 ( ) ( ) 2 .sin .cos sin 2 du b a x xdx b a xdx = − = − 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. 8. Tích phân dạng: cos .sin m n dx A x x β α = ∫ Phương pháp: a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k') Ta thực hiện biến đổi như sau: ' 1 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 1 1 . . cos .sin cos .sin .sin cos sin sin k k k k k k dx dx dx A x x x x x x x x β β β α α α − −     = = =         ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ' 1 ' 1 2 2 2 2 2 2 1 1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot . sin cot sin k k k k dx dx x x x x x x β α − −   = + + = + +     ∫ ∫ Đến đây, ta đặt 2 cot sin dx u x du x = ⇒ = − , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1) Ta thực hiện biến đổi như sau: ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 2 cos cos cos cos .sin cos .sin cos .sin 1 sin .sin k k k n k n n n dx xdx xdx xdx A x x x x x x x x β β β β α α α α + + + + = = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ Đến đây, ta đặt sin cos u x du xdx = ⇒ = , đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ. V. Tích phân hàm mũ và logarit 1. Tích phân dạng: ( ) x A f e dx β α = ∫ , ( ) x B f a dx β α = ∫ Phương pháp: 1. Đổi biến x u e = , tính dx theo u và du. 2. Đổi cận tích phân. 3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa thức hoặc hàm số hữu tỷ. Trường hợp tích phân ( ) x B f a dx β α = ∫ tương tự. 2. Tích phân dạng: (ln ) A f x dx β α = ∫ , ( ) log a B f x dx β α = ∫ Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt: ln dx u x du x dv dx v x  = =   ⇒   =   =  Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm đa thức hoặc hàm hữu tỷ. . ax t b = + ta có: +) t b x a − = +) dt dt adx dx a = ⇒ = 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng ( ) b' a' A= dt k Q t t ∫ 4).  ∫ ∫ ∫ 1. Đặt ( ) 2 tan 1 tan 2 b x C u dx C u du a + = ⇒ = + 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A được ( ) 2 ' ' 2 ' ' 1 tan 1 1 tan C u du A du a C u C a C β β α. ) 2 tan 1 tan 2 b x C u dx C u du a + = ⇒ = + , tan 2 b x C u a = − 2. Đổi cận của tích phân 3. Thay vào A. 9) Tích phân dạng ( ) 2 mx n dx A ax bx c β α + = + + ∫ (trong đó 2 f(x) = ax + bx