Phương pháp tính Tích phân(full)

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = |a| cost; với [ ] 0;t π ∈ 2 2 x a− Đặt x = a sint ; với { } ; \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x = a cost ; với [ ] 0; \ 2 t π π   ∈     2 2 a x+ Đặt x = |a|tant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc x = |a|cost; với ( ) 0;t π ∈ a x a x + − hoặc a x a x − + Đặt x = acos2t ( ) ( ) x a b x− − Đặt x = a + (b – a)sin 2 t 2 2 1 a x+ Đặt x = atant; với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4 π t 1 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 1 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== Khi đó: 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ = 0 2 2 4 1 os .c t sint dt cos t π − − ∫ = 4 2 0 sin .sint t dt cos t π ∫ = 2 4 2 0 sin t dt cos t π ∫ = 4 2 0 1 1 dt cos t π   −  ÷   ∫ = ( ) tan 4 0 t t π − = 1 4 π − . (vì 0; 4 t π   ∈     nên sint 0 sin sint t≥ ⇒ = ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ Giải: Đặt x = asint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = acostdt Đổi cận: x 0 a t 0 2 π Khi đó: 2 2 2 0 a I x a x dx= − ∫ = ( ) 2 2 2 2 2 0 sin 1 sin .a t a t acostdt π − ∫ = 2 4 2 2 0 sina tcos tdt π ∫ = 4 2 2 0 sin 2 4 a tdt π ∫ = = ( ) 4 2 0 1 4 8 a cos t dt π − ∫ = 4 1 sin 4 2 8 4 0 a t t π   −  ÷   = 4 16 a π Bài 3: Tính 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt x = sint, ; 2 2 t π π   ∈ −     . ⇒ dx = costdt Đổi cận: x 0 1 t 0 2 π Khi đó: 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ = 2 2 2 0 sin 1 sin .t t costdt π − ∫ = 2 2 2 0 1 sin 4 tcos tdt π ∫ = 2 2 0 1 sin 2 4 tdt π ∫ = = ( ) 2 0 1 1 4 8 cos t dt π − ∫ = 1 1 sin 4 2 8 4 0 t t π   −  ÷   = 16 π Bài 4: Tính 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 2 1 x− ⇔ t 2 = 1 – x 2 ⇒ xdx = -tdt Đổi cận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 2 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ = 1 2 2 0 1I x x xdx= − ∫ = ( ) 1 2 0 1 . .t t tdt− ∫ = ( ) 1 2 4 0 t t dt− ∫ = 3 5 1 0 3 5 t t   −  ÷   = 2 . 15 Bài 5: Tính 2 5 ln e e dx I x x = ∫ Giải: Đặt t = lnx ⇒ dt = dx x Đổi cận: x e e 2 t 1 2 Khi đó: 2 5 ln e e dx I x x = ∫ = 2 5 1 dt t ∫ = 4 2 1 15 . 1 4 64t   − =  ÷   Bài 6: Tính ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ Giải: Đặt t = x 4 + 1 ⇒ dt = 4x 3 dx 3 4 dt x dx⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Khi đó: ( ) 1 4 3 4 0 1I x x dx= + ∫ = 2 4 5 1 2 1 1 31 . 1 4 20 20 t dt t   = =  ÷   ∫ Bài 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 1 2 5 5 0 0 1 sin 6 I xcoxdx t dt π = = = ∫ ∫ . Bài 8: Tính 12 4 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 4 x xdx dx cos x π π = ∫ ∫ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 3 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin 4 4 dt dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 12 π t 1 1 2 Khi đó: 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t cos x t t π π = = = − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 9: Tính 2 5 0 I cos xdx π = ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx π π π = = − ∫ ∫ ∫ Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 3 5 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 4 0 0 0 0 1 2 5 1 sin 1 1 2 . 0 3 5 18 t t I cos xdx x coxdx t dt t t dt t π π π π   = = − = − = − + = − + =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 10: Tính 4 4 0 1 I dx cos x π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; 2 1 dt dx cos x ⇒ = Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 3 4 4 2 2 4 2 0 0 0 1 1 1 4 1 tan 1 . 0 3 3 t I dx x dx t dt t cos x cos x π π   = = + = + = + =  ÷   ∫ ∫ ∫ Bài 11: Tính 3 2 2 6 s cos x I dx in x π π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx ⇒ = Đổi cận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 4 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== x 6 π 2 π t 1 2 1 Khi đó: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 6 6 2 2 1 (1 s ) 1 1 1 1 1 . 1 s s 2 2 cos x in x t I dx cosxdx dt dt t in x in x t t t π π π π − −     = = = = − = − − =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 12: Tính 2 3 3 0 sinI xcos xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 4 6 2 2 3 3 3 2 3 2 3 5 0 0 0 0 1 1 sin sin 1 sin 1 . 0 4 6 12 t t I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt π π   = = − = − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin 2 x I e xdx π = ∫ Giải: Đặt t = sin 2 x ; s 2dt in xdx ⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 2 1 2 sin 0 0 1 sin 2 1. 0 x t t I e xdx e dt e e π = = = = − ∫ ∫ Bài 14: Tính 2 2 0 sin 2 1 x I dx cos x π = + ∫ Giải: Đặt t = 1 + cos 2 x ; s 2 s 2dt in xdx in xdx dt⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 2 π t 2 1 Khi đó: ( ) 1 2 2 2 0 2 1 2 sin 2 ln ln 2. 1 1 x dt dt I dx t cos x t t π = = − = = = + ∫ ∫ ∫ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 5 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== Bài 15: Tính 4 3 0 tanI xdx π = ∫ Giải: Đặt t = tanx ; ( ) ( ) 2 2 2 1 tan 1 1 dt dt x dx t dt dx t ⇒ = + = + ⇒ = + Đổi cận: x 0 4 π t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 3 2 4 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 1 tan 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 1 ln 2 . 0 2 2 2 2 2 d t t t t t I xdx dt t dt tdt dt t t t t t π +   = = = − = − = − =  ÷ + + + +   = − + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ Giải: Đặt t = x ; 2 2t x dx tdt⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 . 0 1 1 1 t I dx dt dt t t t t x   = = = − = − + = −  ÷ + + +   ∫ ∫ ∫ Bài 17: Tính 1 33 4 0 1I x x dx= − ∫ Giải: Đặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = − Đổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 1 33 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 0 4 16 16 I x x dx t dt t= − = = = ∫ ∫ Bài 18: Tính 0 2 1 1 2 4 I dx x x − = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) ( ) 0 0 2 2 2 1 1 1 1 2 4 1 3 dx dx x x x − − = + + + + ∫ ∫ Đặt 1 3 tanx t+ = với ( ) 2 ; . 3 1 tan 2 2 t dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 6 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== x -1 0 t 0 6 π Khi đó: 0 6 2 1 0 1 3 3 3 . 6 2 4 3 3 18 0 I dx dt t x x π π π − = = = = + + ∫ ∫ Bài 19: Tính 1 3 8 0 1 x I dx x = + ∫ Giải: Ta có: ( ) 1 1 3 3 2 8 4 0 0 1 1 x x dx dx x x = + + ∫ ∫ Đặt 4 tanx t= với ( ) 3 2 1 ; . 1 tan 2 2 4 t x dx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 0 t 0 4 π Khi đó: ( ) 1 1 3 3 2 4 4 2 8 2 4 0 0 0 0 1 1 tan 1 1 . 4 1 4 1 tan 4 4 16 1 0 x x t I dx dx dt dt t x t x π π π π + = = = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 20: Tính 1 1 ln e x I dx x + = ∫ Giải: Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x = + ⇒ = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 . 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x − + = = = = = ∫ ∫ ∫ Bài 21: Tính ( ) 1 0 ln 2 2 x I dx x − = − ∫ Giải: Đặt ( ) ln 2 2 dx t x dt x − = − ⇒ = − Đổi cận: x 1 1 t ln2 0 Khi đó: ( ) 1 0 ln 2 2 2 0 ln 2 0 ln 2 ln 2 ln 2 . 0 2 2 2 x t I dx tdt tdt x − = = − = = = − ∫ ∫ ∫ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 7 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x π = + ∫ Giải: Đặt sin tanx t = với ( ) 2 ; 1 tan 2 2 t cosxdx t dt π π   ∈ − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 0 2 π t 0 4 π Khi đó: 2 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan 1 sin 1 tan 4 cosx t I dx dt dt x t π π π π + = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 23: Tính 2 3 1 sin I dx x π π = ∫ Giải: Đặt 2 2 1 2 tan 1 tan 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t   = ⇒ = + ⇒ =  ÷ +   Ta tính: 2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t = = + + Đổi cận: x 3 π 2 π t 3 3 1 Khi đó: ( ) 1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t π π = = = = − = ∫ ∫ Bài 24: Tính ( ) 1 1 1 ln e I dx x x = + ∫ Giải: Đặt 1 ln dx t x dt x = + ⇒ = Đổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó: ( ) 2 1 1 2 1 ln ln 2. 1 1 ln e dt I dx t x x t = = = = + ∫ ∫ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 8 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== Bài 25: Tính 3 1 5 0 x I x e dx= ∫ Giải: Đặt 3 2 2 3 3 dt t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ = Đổi cận: x 0 1 t 0 1 Khi đó: 3 1 1 1 5 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 3 3 3 3 3 3 x t t t t e I x e dx te dt te e dt e= = = − = − = ∫ ∫ ∫ Bài 26: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ Giải: Ta có: 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x dx dx dx x x x x x x + + +   + +  ÷ +   = = − +   − + − +  ÷   ∫ ∫ ∫ Đặt 2 1 1 1t x dt dx x x   = − ⇒ = +  ÷   Đổi cận: x 1 1 5 2 + t 0 1 Khi đó: 1 2 0 1 dt I t = + ∫ Đặt ( ) 2 tan 1 tant u dt u du= ⇒ = + Đổi cận: x 0 1 t 0 4 π Vậy 1 2 4 4 2 2 0 0 0 1 tan . 4 1 1 tan 4 0 dt u I du du u t u π π π π + = = = = = + + ∫ ∫ ∫ Bài 27: Tính 2 3 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x = + + ∫ ∫ Đặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 tdt t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Đổi cận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 9 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI =========================================================================== x 1 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t   = = = = − =  ÷ − − +   + +    −  − + = − − + = = − = =  ÷  ÷  ÷ + + −     − ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 28: Tính 2 3 2 0 3 2 1 x I dx x x = + + ∫ Giải: Ta có: ( ) 2 2 3 3 2 2 0 0 3 3 2 1 1 x x dx dx x x x = + + + ∫ ∫ Đặt 1t x dt dx= + ⇒ = Đổi cận: x 0 2 t 2 3 Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 3 2 1 1 3 9 1 3 3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln 3 8 1 2 2 t t t t x x I dx dx dt dt x x t t x t t t dt t t t t − − + − − = = = = = + + +     = − + − = − + + = − − − + − + − = −  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 29: Tính ln2 2 2 0 3 3 2 x x x x e e I dx e e + = + + ∫ Giải: Đặt x x t e dt e dx= ⇒ = Đổi cận: x 0 ln2 t 1 2 Khi đó: ( ) ( ) ln2 ln2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 3 4 9 4 27 2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln 1 1 1 2 2 3 4 3 16 x x x x x x x x e e e t I dx e dx dt dt e e e e t t t t dt dt t t t t + + +   = = = = − =  ÷ + + + + + + + +   = − = + − + = − − − = − = − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 30: Tính ( ) 4 1 1 dx I x x = + ∫ Giải: Đặt 2 2x t dx tdt= ⇒ = Đổi cận: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952 10 [...]... =========================================================================== II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax trong đó P(x) là một đa thức Đặt u = P ( x )    dv =  u = ln x  Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt   dv = 1 2x Bài 1: Tính I = ∫ xe dx 0  du = dx u = x  ⇒ Đặt  1 2x 2x  dv = e dx v = e  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1... Bài 2: Tính I = ∫ u = x du = dx  Đặt  dx ⇒  v = tan x  dv = co s 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: π π π π π 4 π 3 3 x π 3 sin x π 3 3 d ( cosx ) π 3 π 3 I=∫ dx = x tan x 3 − ∫ tan xdx = −∫ dx = +∫ = + ln cosx 3 = − ln 2 2 cos x 3 cosx 3 cosx 3 3 0 0 0 0 0 0 1 2 x Bài 3: Tính I = ∫ x e dx 0 u = x  du = 2 xdx  ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e  Áp dụng công thức tính tích phân... dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 1 1 1 1 tet dt = tet − ∫ et dt = tet − et = 1 ∫ 0 0 0 0 0 Vậy I = 2 e Bài 7: Tính I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx 1 dx  u = ln x  du = ⇒ x Đặt   dv = ( 4 x + 1) dx v = 2 x 2 + x   Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: e e e e 2 I = ∫ ( 4 x + 1) ln xdx = ( 2 x + x ) ln x − ∫ ( 2 x + 1) dx = 2e 2 + e − ( x 2 + x ) = e 2 + 2 1 1 1 1 1 2 Bài 8: Tính I = ∫... π 9−4 3 1 3 = + ln π 36 2 2 4 ( ) π 2 Bài 11: Tính I = e x cos xdx ∫ 0 u = cosx du = − sin xdx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π π π 2 2 I = ∫ e x cos xdx = e x cosx 2 + ∫ e x sin xdx 0 0 0 1 4 2 43 I1 π 2 Tính I1 = e x sin xdx ∫ 0 u = sin x du = cosxdx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π π π 2 π 2 x x x x I1 = ∫... x Đặt   dv = cosdx  v = sin x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: π π π π π 2 2 2 2 2 1 I = ∫ cosx ln ( sin x ) dx = sin x ln ( sin x ) − ∫ cosxdx = in x ln ( sin x ) − sin x = ( ln 2 − 1) π π π π 2 π 6 6 6 6 6 π 3 Bài 10: Tính I = ∫ π 4 xdx sin 2 x u = x du = dx  Đặt  dx ⇒  v = − cot x  dv = sin 2 x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần π π π 3 3 xdx π 1 3 I = ∫ 2 = − x... x 2 2 0 0 0 0 ÷   π π 2 x2 π2 ∫ xdx = 2 2 = 8 0 0 π 2 • • Tính π 2 π 2 ∫ xcos2 xdx 0 du = dx u = x  ⇒ Đặt  1  dv = cos 2 xdx v = sin 2 x  2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: π π π π 2 1 12 cos 2 x 1 ∫ xcos2 xdx = 2 x sin 2 x 2 − 2 ∫ sin 2 xdx = 0 + 4 2 = − 2 0 0 0 0 π 2 2 Vậy I = x sin 2 xdx = π + 4 ∫ 16 0 π 2 Bài 6: Tính I = esin x sin 2 xdx ∫ 0 Giải: π 2 π 2 0 0 Ta có: I = esin... =========================================================================== 1 1 ln 2 1 dt 1 J1 = ∫ = ln t + 1 =  Tính: 0 2 0 t +1 2 2 2 1 1 1 ln 2 1 tdt 1 d ( t + 1) 1 = ∫ 2 = ln t 2 + 1 =  Tính: J 2 = ∫ 2 0 2 0 t +1 4 0 t +1 4 4 π 4  Tính: J 3 = 1 dt = 1 du = π (với t = tanu) 2 ∫ t2 +1 2 ∫ 8 0 0 ln 2 ln 2 π π ln 2 − + = + Vậy I = 2 4 8 8 4 1 π 2 Bài 55: Tính I = ∫ π 3 dx sin x Giải: π 2 Ta có: dx ∫ sin x = ∫ π 3 • π 2 π 3 π 2 sin... +1 2 2 2 2 1 1− t 0 0 2 0 1 1 1 = − ln = ln 3 2 3 2 1 x + sin x dx Bài 56: Tính I = ∫ cos 2 x 0 Giải: 1 1 1 x + sin x xdx sin x I =∫ dx = ∫ +∫ dx 2 2 Ta có: cos x cos x 0 cos 2 x 0 0 1 2 4 14 2 4 4 3 3 I1 I2 π 3  Tính I1 = xdx ∫ cos 2 x 0 u = x  du = dx  ⇒ Đặt  1  dv = cos 2 x dx v = tan x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được: ... Vậy I = e - 2 1 −3 x Bài 4: Tính I = ∫ ( 3x + 1) e dx 0 du = 3dx u = 3 x + 1  ⇒ Đặt  1 −3 x −3 x  dv = e dx v = − e 3  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 1 I = ∫ ( 3x + 1) e −3 x dx = − 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 ( 3x + 1) e −3 x + ∫ e −3 xdx = − ( 3x + 1) e −3 x − ∫ e −3 x d ( e −3 x ) = − ( 3x + 1) e −3 x − e −3 x = − 3 0 0 0 30 0 3 0 3 e 3 3 3 π 2 Bài 5: Tính I = x sin 2 xdx ∫ 0 π... =========================================================================== π 2 Bài 12: Tính I = 1 + sin x e x dx ∫ 1 + cosx 0 π 2 Ta có: π 2 π 2 π 2 π 2 1 + sin x x e dx sin x x 1 e dx sin x x e dx = ∫ +∫ e dx = ∫ +∫ e dx 1 + cosx 1 + cosx 0 1 + cosx 2 0 cos 2 x 0 1 + cosx 0 0 1 44 2 4 43 2 I2 1 4 2 43 I=∫ x x I1 π 2 1 e x dx Tính: I1 = ∫ 2 0 cos 2 x 2 x u = e  du = e x dx    Đặt  dv = dx ⇒  x 2 x  v = tan cos  2   2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần . =========================================================================== PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− Đặt x = |a| sint;. 7: Tính 2 5 0 sinI xcoxdx π = ∫ Giải: Đặt t = sinx ; dt cosxdx⇒ = Đổi cận: x 0 2 π t 0 1 Khi đó: 1 2 5 5 0 0 1 sin 6 I xcoxdx t dt π = = = ∫ ∫ . Bài 8: Tính