Phương pháp tính tích phân

TÍCH PHÂN I. ĐỔI BIẾN SỐ 1. Đổi biến số dạng 1 1.1. Phương pháp thường dùng Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], để tính b a f(x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / dx u (t)dt= . Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t= = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f(x)dx f[u(t)]u (t)dt g(t)dt b b a a = = ò ò ò . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ò . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = = = =Þ Þ 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t p p = =Þ - ò ò 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ò . Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx= - ò . Giải Đặt x 2 sin t, t ; dx 2 cos tdt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û x 0 t 0, x 2 t 2 p = = = =Þ Þ 2 2 2 2 0 0 I 2 cos t 4 4 sin tdt 4 cos tdt p p = - =Þ ò ò ( ) 2 2 0 0 2 (1 cos 2t)dt 2t sin 2t p p = + = + = p ò . Vậy I = p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x = + ò . Giải Đặt ( ) 2 x t gt, t ; dx (t g x 1)dt 2 2 p p = - = +Î Þ x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ 4 4 2 2 0 0 tg t 1 I dt dt 4 1 t g t p p + p = = =Þ + ò ò . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Giải 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ò ò . Đặt ( ) 2 x 1 tgt, t ; dx (t g x 1)dt 2 2 p p + = - = +Î Þ x 0 t , x 3 1 t 4 3 p p = = = - =Þ Þ 3 3 2 2 4 4 tg t 1 I dt dt 3 4 12 1 t g t p p p p + ppp = = = - =Þ + ò ò . Vậy I 12 p = . 1.2. Phương pháp đặc biệt (dùng cho trắc nghiệm) Hàm lượng giác ngược + y arcsin x x sin y= =Û với [ ] x 1; 1 , y ; 2 2 p p é ù - -Î Î ê ú ë û . + y arctgx x tgy= =Û với ( ) x , y ; 2 2 p p -ΠΡ . Chẳng hạn: ( ) 2 arcsin , arcsin( 1) , arctg 3 2 4 2 3 p p p = - = - - = - . Công thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 dx x dx 1 x arcsin , arct g a 0 a a a a x a x b b b b a a a a = = > + - ò ò . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = - ò . Giải 2 2 2 0 0 dx x I arcsin arcsin 1 arcsin 0 2 4 x = = = - - ò . Vậy I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Giải 3 1 3 1 2 0 0 d(x 1) I arct g(x 1) arctg 3 arct g1 1 (x 1) - - + = = + = - + + ò . Vậy I 12 p = . 2. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx= . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = ò ò . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = =Þ 2 x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t = = =Þ ò . Vậy I ln 2= . Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Giải 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tgx 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt 2 dx t t gx 1 dt cos x = + =Þ x 0 t 1, x t 2 4 p = = = =Þ Þ ( ) 2 2 3 2 1 1 dt 1 1 1 3 I 1 2 4 8 t 2t - = = = - - =Þ ò . Vậy 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Giải Đặt dx t 2x 3 dt 2x 3 = + =Þ + 2 2 2 t 3 t 1 t 2x 3 x x 1 2 2 - - = + = + =Þ Þ 1 x t 2, x 3 t 3 2 = = = =Þ Þ ( ) 3 3 2 2 2 2dt 1 1 I dt t 1 t 1 t 1 = = -Þ - + - ò ò ( ) 3 2 t 1 1 1 3 ln ln ln ln t 1 2 3 2 - = = - = + . Vậy 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Giải Đặt 2 3 x x 3 t t 1 x x 1 - - + = =Þ + + 2 2 2 4 8tdt x 1 dx t 1 (t 1) - = - =Þ Þ + + x 0 t 3, x 1 t 1= = = =Þ Þ 1 3 2 2 2 2 2 2 1 3 8t dt t dt I 8 (t 1) (t 1) - = =Þ + + ò ò . Đặt ( ) 2 t t gu, u ; dt (t g u 1)du 2 2 p p = - = +Î Þ t 1 u , t 3 u 4 3 p p = = = =Þ Þ ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 tg u tg u 1 du tg udu I 8 8 (tg u 1) tg u 1 p p p p + = =Þ + + ò ò 3 3 2 4 4 8 sin udu 4 (1 cos 2u)du p p p p = = - ò ò ( ) 3 4 4u 2 sin 2u 3 2 3 p p p = - = - + . Vậy I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải Đặt t cos x dt sin xdx= = -Þ x 0 t 1, x t 0 2 p = = = =Þ Þ 0 2 2 2 2 2 0 1 I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt p = - = - -Þ ò ò 1 1 3 5 2 4 0 0 t t 2 (t t )dt 3 5 15 æ ö ÷ ç = - = - = ÷ ç ÷ ç è ø ò . Vậy 2 I 15 = . Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Giải Đặt t sin x dt cos xdx= =Þ x 0 t 0, x t 1 2 p = = = =Þ Þ 2 2 5 2 2 0 0 I cos xdx (1 sin x) cos xdx p p = = -Þ ò ò 1 1 3 5 2 2 0 0 2t t 8 (1 t ) dt t 3 5 15 æ ö ÷ ç = - = - + = ÷ ç ÷ ç è ø ò . Vậy 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 p p = = ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 p p = - + ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 p p = - + ò ò 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 p æ ö p ÷ ç = - + = ÷ ç ÷ ç è ø . Vậy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = + + ò . Giải Đặt ( ) 2 2 x 1 x 2dt t t g dt t g 1 dx dx 2 2 2 t 1 = = + =Þ Þ + x 0 t 0, x t 1 2 p = = = =Þ Þ 1 2 2 0 2 2 1 2dt I . 1 t 2t 1 t 1 1 t 1 t =Þ - + + + + + ò 1 1 0 0 dt ln t 1 ln 2 t 1 = = + = + ò . Vậy I ln 2= . 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ò . Giải Đặt x t dx dt= - = -p Þ x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 p p -p p = - = -Þ - + + +p ò ò 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 p p p = - =p Þ + + ò ò ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 p p p p = = p - + ò ò ( ) ( ) ( ) 2 0 0 t d t 2 4 tg t 2 2 2 4 cos 2 4 p p p - p p p = = - = p p - ò . Vậy I = p . Tổng quát: 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 p p p = ò ò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - = -Þ x 0 t , x t 0 2 2 p p = = = =Þ Þ ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 p p - = -Þ p p - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p = = + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 p p + p = = Î + + ò ò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Gii + 6 6 2 2 0 0 sin x 3 cos x I 3J dx (sin x 3 cos x)dx sin x 3 cos x p p - - = = - + ũ ũ ( ) 6 0 cos x 3 sin x 1 3 p = - - = - (1). + ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 p p + = = p + + ũ ũ t t x dt dx 3 p = + =ị x 0 t , x t 3 6 2 p p p = = = =ị ị 2 2 2 3 3 1 dt 1 sin t dt I J 2 sin t 2 sin t p p p p + = =ị ũ ũ ( ) 2 2 2 3 3 d(cos t) 1 1 1 1 d(cos t) 2 4 cos t 1 cos t 1 cos t 1 p p p p = = - - + - ũ ũ 2 3 1 cos t 1 1 ln ln 3 4 cos t 1 4 p p - = = + (2). T (1) v (2) 3 1 3 I 3J 1 3 I ln 3 16 4 1 1 1 3 I J ln 3 J ln 3 4 16 4 ỡ - ù ỡ - = - ù ù = + ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù - + = ù ù = - ù ù ợ ù ợ . Vy 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 - - = + = - . Vớ d 18. Tớnh tớch phõn 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ũ . Gii t 2 x t gt dx (1 tg t)dt= = +ị x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =ị ị ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 t gt) I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt 1 t g t p p + = + = +ị + ũ ũ . t t u dt du 4 p = - = -ị t 0 u , t u 0 4 4 p p = = = =ị ị ( ) 0 4 0 4 I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du 4 p p p ộ ự = + = - + -ị ờ ỳ ở ỷ ũ ũ 4 4 0 0 1 tgu 2 ln 1 du ln du 1 tgu 1 t gu p p - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ + + ũ ũ ( ) 4 4 0 0 ln 2du ln 1 tgu du ln 2 I 4 p p p = - + = - ũ ũ . Vy I ln 2 8 p = . Ví dụ 19. Tính tích phân 4 x 4 cos x I dx 2007 1 p p - = + ò . Giải Đặt x t dx dt= - = -Þ x t , x t 4 4 4 4 p p p p = - = = = -Þ Þ 4 4 t t t 4 4 cos( t) 2007 cos t I dt dt 2007 1 1 2007 p p - - p p - - = - =Þ + + ò ò ( ) 4 4 t t t 4 4 (1 2007 ) 1 1 cos t dt 1 cos t dt 1 2007 2007 1 p p p p - - + - = = - + + ò ò 4 4 4 0 4 4 1 2 cos t dt I I cos t dt cos t dt 2 2 p p p p p - - = - = = =Þ ò ò ò . Tổng quát: Với a > 0 , 0>a , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ ] ; - aa thì x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 a a - a = + ò ò . Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x) 2f(x) cos x- + = . Tính tích phân 2 2 I f(x)dx p p - = ò . Giải Đặt 2 2 J f( x)dx p p - = - ò , x t dx dt= - = -Þ x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - = = = -Þ Þ [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx p p p p - - = - = = + = - +Þ Þ ò ò 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 p p p - = = = ò ò . Vậy 2 I 3 = . 3.3. Các kết quả cần nhớ i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a f(x)dx 0 - = ò . ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ò ò . II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có ( ) ( ) / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +Þ ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +Þ Þ ò ò ò b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu= + = -Þ Þ ò ò ò ò . Công thức: b b b a a a udv uv vdu= - ò ò (1). Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ò ò (2). 2. Phương pháp giải toán 2.1. Sử dụng công thức Giả sử cần tính tích phân b a f(x)g(x)dx ò ta thực hiện Cách 1. Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân / du u (x)dx= không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu ò phải tính được. Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. Đặc biệt: i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Cách 1. Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ ò ò . Cách 2. ( ) 1 1 1 1 / 1 x x x / x x 0 0 0 0 0 xe dx x e dx xe x e dx (x 1)e 1= = - = - = ò ò ò . Vậy I 1= . Vớ d 2. Tớnh tớch phõn e 1 I x ln xdx= ũ . Gii Cỏch 1. t 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ỡ ù = ù = ỡ ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù = ù ù ợ = ù ù ợ e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + = - =ị ũ ũ . Cỏch 2. e e e / e 2 2 2 1 1 1 1 x x 1 e 1 x ln xdx ln x. dx ln x xdx 2 2 2 4 ổ ử + ữ ỗ = = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ũ ũ ũ . Vy 2 e 1 I 4 + = . Vớ d 3. Tớnh tớch phõn 2 x 0 I e sin xdx p = ũ . Gii Cỏch 1. t x x u sin x du cos xdx dv e dx v e = = ỡ ỡ ùù ù ù ị ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J p p p p = = - = -ị ũ ũ . t x x u cos x du sin xdx dv e dx v e = = - ỡ ỡ ù ù ù ù ị ớ ớ = ù ù = ù ùợ ợ 2 2 x x x 2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I p p p = = + = - +ị ũ ũ 2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2 p p + = - - + =ị ị . Cỏch 2. ( ) 2 2 / x x x 2 0 0 0 I sin x. e dx e sin x e cos xdx p p p = = - ũ ũ ( ) 2 / x 2 0 e cos x. e dx p p = - ũ 2 x x 2 2 0 0 e e cos x e sin xdx p p p ộ ự ờ ỳ ờ ỳ = - + ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ũ ( ) 2 I e 1 I p = - - +ị . Vy 2 e 1 I 2 p + = . Chỳ ý: ụi khi ta phi i bin s trc khi ly tớch phõn tng phn. Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Giải Đặt 2 t x x t dx 2t dt= = =Þ Þ 2 x 0 t 0, x t 4 2 p p = = = =Þ Þ ( ) 2 2 0 0 I 2 t cos t dt 2 t sin t cos t 2 p p = = + = -Þ p ò . Vậy I 2= -p . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ò . Giải Đặt t t t ln x x e dx e dt= = =Þ Þ x 1 t 0, x e t 1= = = =Þ Þ ( ) 1 1 t t 0 0 sin t cos t e (sin 1 cos1)e 1 I e sin t dt 2 2 - - + = = =Þ ò . Vậy (sin 1 cos1)e 1 I 2 - + = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ò ò ò ò . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ò ò . Vậy 59 I 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx p = - - ò . Giải . (sin 1 cos1)e 1 I 2 - + = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện. ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân