Phương pháp giải tích phân lượng giác ôn thi đại học

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCBài 5.. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH tiết 2 TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I.. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi

Trang 1

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 5 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC

1 Thuộc các nguyên hàm :

a/ sin ax+b( )dx 1cos ax+b( )

a

β

α

β α

= −

sin ax+b

ln os ax+b

os ax+b dx c

c

β α

= −

∫

c / cos ax+b( )dx 1sin ax+b( )

a

β

α

β α

=

os ax+b

ln sin ax+b sin ax+b

c

dx

β α

=

∫

2 Đối với : I f x dx( )

β α

=∫

a/ Nếu f(x)=R(sinm x c; osnx) thì ta chú ý :

- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )

- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )

- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )

- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi

3 Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau :

- Biến đổi lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong

nguyên hàm

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Tính các tích phân sau :

a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) = ∫2 + +

0 1 3cos

sin 2 sin

π

dx x

x x

I

x

x x

I=∫2 +

cos 2 sin

π

KQ: 2 ln 2 1−

Giải

2cos 1 sinx sin 2 sin

1

x

+ +

Đặt :

2

osx=

1 3cos

2



 = → = = → =



Khi đó :

2

3

1

2

1

t

 − + 

Trang 2

dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1

2

1 osx

t

π





2

1 2

t

π

Ví dụ 2 Tính các tích phân sau

a ĐH- CĐ Khối A – 2006 2

0

sin 2x

cos x 4sin x

π

=

+

b CĐ Bến Tre – 2005 = ∫2 +

3 cos

π

dx x

x

Giải

a 2

0

sin 2x

cos x 4sin x

π

=

+

∫ Đặt : t= cos2x+4sin2 x⇒ =t2 cos2x+4sin2x

Do đó : 2 ( 2sin cos 8sin cos ) 3sin 2 sin 2 2

3

2





 = → = = → =



2

( )

1

tdt

t

π

b =∫2 +

3

cos

π

dx x

x

os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osx

Cho nên : os3x (1 4sin2 ) ( )

1+sinx 1 sinx

x c

+

dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2

2

1 sinx

t t

t

π





2

2 3

1

t

π

Trang 3

a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2

0

sin sin 2cos cos

2

xdx I

x

π

=

+

∫

b CĐ Y Tế – 2006

2

4

sin x cosx

1 sin2x

π

−

=

+

Giải

2

ln 1 osx 2 ln 2 sin cos 1 osx 1+cosx

2

+

b

+

sin x cosx sin x cosx sin x cosx

sinx+cosx

1 sin2x sinx+cosx

 +  ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇔  + >

Do đó : sinx+cosx =sinx+cosx

Mặt khác : d(sinx+cosx) (= cosx-sinx)dx

Cho nên : 2 ( )

4

ln sinx+cosx ln1 ln 2 ln 2

4

d I

π

a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3

π

=

b CĐ KTKT Đông Du – 2006 4

0

cos2x

1 2sin 2x

π

= +

4

Giải

a

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3

π

=

∫ Vì : cos 2x c= os2x−sin2 x=(cosx+sinx) (cosx-sinx)

osx-sinx os2x

sinx-cosx+3 sinx-cosx+3

c c

Đặt :

2 sinx-cosx+3

t

π





4

2

π

= =  − ÷ = − + ÷ =

Trang 4

b 4

0

cos2x

1 2sin 2x

π

=

+

1 4cos 2 os2xdx=

4

1 2sin 2

4



 = → = = → =



Vậy :

π

+

∫40 cos2x 1 dt 1∫31 3 1

1 2sin 2x 4 t 4 1 4

a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 2 3

0

4sin x

1 cosx

π

= +

b CĐ Bến Tre – 2006 6 3

0

sin3x sin 3x

1 cos3x

π

−

=

+

∫

Giải

2 3

2

1 cos x

I dx 4 sinxdx=4 1 cosx sinxdx=4 1 cosx 2 2

0

sin3x sin 3x

1 cos3x

π

−

=

+

Ta có : sin 3x−sin 33 x=sin 3 1 sin 3x( − 2 x) =sin 3 os 3x c 2 x.

Đặt :

1 dt=-3sin3xdx

sin3xdx=-3

1 os3x

6

dt



= + ⇒ 

 = → = = → =



2

2 1

1

t

π

= − =  − + ÷ =  − + ÷ = − +

a I =

2

3

sin x sin x

cot gx dx sin x

π

−

2

4

π

π−

π+

c I = 2 4

0

sin x dx

π

∫ d I = 2cos 2 x ( si n4x cos4 x ) dx

0

+

∫

π

Giải

a I =

3

1 sinx 1

Trang 5

3

2

1

sin x

b. I =

cosx+sinx

4

π−

= π+

2

cosx+sinx

2

π

−

π

−

∫

2

0

∫

d I = 2cos 2 x ( si n4x cos4 x ) dx

0

+

∫

π

Vì : 4 4 1 2

sin os 1 sin 2

2

Cho nên :

1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 0

a I =2 5

0

sin xdx

π

4 2 6

1

dx sin x cot gx

π π

∫

c I =

3

6

tg x cot g x 2dx

π

0

π

−

∫

Giải

π

Trang 6

b I =

4

2

6

1

dx sin x cot gx

π



 = → = = → =



1 3

1

tdt

t

Vì : tanx-cotx=sinx osx sin2 os2 2 os2x 2cot 2

cosx sinx sinxcosx sin2x

x

−

Cho nên :

t anx-cotx<0;x ;

6 4

3 3

t anx-cotx>0;x ;

4 3

π π

∈ ÷↔ ∈ ÷⇒ ∈ − ÷÷⇔





t anx-cotx t anx-cotx

sin2x sin2x 2

(ln sin 2 ) 4 1(ln sin 2 ) 3 ln 2

2

d I =2 3 3

0

π

−

x= − →π t dx= −dt x= → =t π x= → =π t

Do đó :

2

π

Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I = ⇒ =0 I 0

a

3

4

tan xdx

π

∫ (Y-HN-2000) b

4

0

os2x sinx+cosx+2

c

dx

π

6 2 4 4

os sin

dx x

π

∫ (NNI-2001)

Trang 7

d 4 2

6 0

sin

os

x dx

π

∫ ( GTVT-2000) e 2

2 0

sin 2

4 os

x dx

π

−

0

1 2sin

1 sin 2

x dx x

π

− +

Giải

a

3

4

tan xdx

π

4 4

1 os

x

−

4

dx

π π

3

4

x

π

= ÷ − − + ÷ = − ÷ − − + ÷= +

* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :

( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1

f x = x= x x+ − = x + x − x= x + x − x+ +

3

4

π

= − ÷ = − + ÷ − − + ÷= +

b

4

0

os2x

sinx+cosx+2

c

dx

π

Ta có :

os sin osx-sinx osx+sinx os2x

( )

sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9

c

3

osx+sinx

sinx+cosx+2

c

Đặt :

cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,

4 sinx+cosx+2

t t

t

π





Vậy :

2 2

3

2

3 9 3

2 2

+ +

=  − ÷ = − + ÷ = − + ÷− − + ÷= −

+

∫

Trang 8

c

6

2

4

os

sin

dx

x

π

=

∫

2

1 sin

x

2

1 os2x

−

=∫ + − ∫ + ∫ − ∫ ÷

3

4

π π π

2

1 tan

t anx+ tan tan t anx- tan 4 tan tan 4

2

7 os2x

ln 7 os2x 2 ln

1 os2x

0 2

c

1 sin 2

ln 1 sin 2 4 ln 2

a 2 3 4 0

sin xcos xdx

π

0

sin 3

1 2 os3x

x dx c

π

+

∫

c

5

sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3 sinx

π

Giải

sin xcos xdx 1 cos x cos sinxdxx cos x cos x d cosx

7c x 5c x 0 35

π

Trang 9

1 2 cos3

ln 1 2cos3 2 ln 3

c Ta có :

sinx+ osx

3

c

π

+

 + 

Do :

2

tan

2 6

x d

π

  + 

  ÷

Vậy : 6

0

tan

2 6

ln tan 6 ln 3 ln 3

2 6

x d

x I

x

π π π

  + 

sin 3 os sin 3 os sin 3 os

3

sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx

−

0

3 sinx- 3 osx osx- 3 sinx 6 1 3

0

I

I J

−

ln 3

sint+ 3 ost

os t+3 3 sin t+3

c c

π

−

a 4

0

1

1 sin 2x dx

π

+

02 sinx+cosx

dx

π

+

0

sin x cos x sin xcos x dx

π

3

6

1 sinxsin x+

6

dx

π

π  π 

Giải

2

0 4

Trang 10

b 2

0 2 sinx+cosx

dx

π

+

Đặt :

2

2 2

2

π

+

2

Đặt :

2

1 2 tan

os

2 1 tan

dt

u t







1

2

1

2

u

∫

0

sin x cos x sin xcos x dx

π

∫

Ta có : 10 10 4 4 ( 2 2 ) ( 4 4 ) ( 6 6 )

sin x c+ os x−sin xcos x sin x c+ os x = cos x−sin x cos x−sin x

Vậy :

2

0

∫

d

3

6

1

sinxsin x+

6

dx

π

π  π 

 + − = ⇒  + − =  +   + 

Do đó :

sinxsin x+ sinxsin x+ sinxsin x+

f x

π

sin x+

6 6

I

π

π π

Trang 11

* Chú ý : Ta còn có cách khác

sinxsin x+ sinx sinx+ osx

c

2

2 3 cot

2ln 3 cot 2ln

6

x

π π

+

a 2 23

0

sinxcos

1 os

x

dx

π

+

0

os cos 2

π

c 4 6 6

0

sin 4

os sin

x

dx

π

+

0 os

dx

π

∫ (ĐHTM-95)

Giải

sinxcos 1 os

(sin 2 ) 1

=

Đặt : 2

2

2sin cos sin 2

1 os

2







2 1

1

t

 

b 2 2 2

0

os cos 2

π

( ) os cos 2 1 os2x+cos4x+cos4x.cos2x

1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x

Vậy : 2

0

os2x+ os4x+ os6x sin 2 sin 4 sin 6 2

0

π

∫

c 4

0

sin 4

os sin

x

dx

π

+

Vì : d(sin6x c+ os6x) (= 6sin5 xcosx−6 os sinc 5x x dx) =6sin cosx x(sin4x c− os4x)

(sin6 os6 ) 3sin 2 sin( 2 os2 ) (sin2 os2 ) 3sin 2 cos 2

sin os

ln sin os 4 ln 2

x

Trang 12

1 tan t anx t anx+ tan 4

a 11

0

sin xdx

π

0

sin xcos xdx

π

c 4 2

0

os cos 4

π

0

1 cos2xdx

π

+

Giải

a 11

0

sin xdx

π

∫

Ta có :

sin x=sin x.sinx= 1-cos x sinx= 1-5cos x+10 cos x−10cos x+5cos x c− os x sinx

0

1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxdx

π

0

π −

b 4 2 4

0

sin xcos xdx

π

∫

Hạ bậc :

2

1

1 2cos 2 os 2 os2x-2cos 2 os 2

1 os2x-cos 2 os 2 1 os2x- os2x

1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 os2x-cos4x+

1

2 3cos 2 os6x-cos4x

32 + x c+

0

2 3cos 2 os6x-cos4x sin 2 sin 6 sin 4 4

0

∫

d

2 2

2

1 cos2xdx 2cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx

π

( )

2 sinx 2 sinx 2 1 1 2 2

π

Trang 13

III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

1 Trong phương pháp đổi biến số dạng 2

* Sử dụng công thức :

Chứng minh :

• Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , ⇒ x x b= → == → =0 t b t 0



• Do đó :

0

b

phụ thuộc vào biến số

Ví dụ : Tính các tích phân sau

a/

2

3 0

4sin sinx+cosx

xdx

π

2

3 0

5cos 4sin sinx+cosx

dx

π

−

∫

c/ 4 2( )

0

log 1 t anx dx

π

+

0

sin sin os

x dx

π

+

∫

e/ 1 ( )

0

1 n

m

0

sin cos sin os

dx

π

+

∫

Giải

a/

2

3 0

4sin

sinx+cosx

xdx I

π

=∫ (1) Đặt :

( )

4sin

4cos 2

cost+sint

t

π

 = − = → = = → =



   − +  − 



Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :

3 0

2

4 osx

sinx+cosx

c

π

=∫ =∫

Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : ( )

sinx+cosx sinx+cosx

2

2 0

1

4

x

∫

b/

2

3 0

5cos 4sin

sinx+cosx

π

−

=∫ Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :

Trang 14

0

2

5cos 4sin 5sin 4cos 5sin 4 os

2 sinx+cosx ost+sint sinx+cosx

c

π

2

4

x

c/ 4 2( )

0

log 1 t anx dx

π

+

4

π

 = − = → = = → =





t

−

Vậy :

2

4

0

π π

π

d/ 2 6 6 6

0

sin

sin os

x

π

=

+

( )

6

2

sin

os 2

os sin

t

π

 − 

+

 − +  − 

Cộng (1) và (2) ta có :

os sin

+

e/ 1 ( )

0

1 n

m

∫ Đặt : t=1-x suy ra x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx

1 m n( ) n(1 )m n(1 )m

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 2 2

0

4sin

1 osx

x

dx

c

π

+

0

osx+2sinx 4cos 3sin

c

dx

π

+

3 2 23

0

sinxcos

1 os

x

dx

π

+

0

sinx cos

x

dx x

π

+

∫ ( HVNHTPHCM-2000 )

5 1 5( 3)6

1

sin

2 os

dx

π

+

Trang 15

7 4

0

sinx+2cosx

3sinx cosxdx

π

+

0

1 sinx ln

1+cosx dx

π

+

0

sin

9 4cos

dx x

π

+

∫ (ĐHYDTPHCM-2000 ) 10 2 34 3

0

sin cos sin os

dx

π

+

∫

* Dạng : asinx+bcosx+c

'sinx+b'cosx+c'

a

β α

=∫

Cách giải :

Ta phân tích : asinx+bcosx+c ( ' osx-b'sinx)

'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'

dx A

β α

∫

- Sau đó : Quy đồng mẫu số

- Đồng nhất hai tử số , để tìm A,B,C

- Tính I :

( ' osx-b'sinx) (Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c')

'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'

β α

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ Tính các tích phân sau :

a 2

0

sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3dx

π

0

osx+2sinx 4cos 3sin

c

dx

π

+

c 2

0

sinx+7cosx+6

4sinx 3cosx 5dx

π

0

dx

π

∫

Giải

a 2

0

sinx-cosx+1

sinx+2cosx+3dx

π

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :

1 5

2 1

5

A

A C

C

 = −



− =

Thay vào (1)

sinx+2cosx+3

ln sinx+2cosx+3 2

d

 

 

( )

3 4 4

10 5 5 5

- Tính tích phân J :

Trang 16

Đặt :

( )

2

1

2 0

1

2 2

tan

dx

x c

f x dx

π





+ +



Tính (3) : Đặt :

2

2 2

2

( )

os

du







u

2

2 tan

u



∫

0

3cos 4sin osx+2sinx osx+2sinx

π

−

∫

Giống như phàn a Ta có : 2; 1

0

3cos 4sin

ln 4cos 3sin 4 ln

∫

Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện

BÀI TẬP

1

2

3 3

sin sinx cot

sin

dx x

π

−

0

3 os 4sin 3sin 4cos

dx

π

− +

∫

0

os sin

π

−

2

2 6

1 sin 2 sin sin

dx x

π

−

∫

5 4

0

sinx-cosx

1 sin 2x dx

π

+

2

4

2

15sin 3 cos3x xdx

π

−∫

0

sinxcosx

, 0

os sin dx a b

π

≠ +

0

tan xdx

π

∫

9 3 ( )

2

6

ln sinx

os dx

π

0

2

os4x.cos2x.sin2xdx

c

π

−∫

Trang 17

11.6 4

0

tan

os2x

x

dx

c

π

4

0

sin

4 sin 2 2 1 sinx+cosx

x

dx x

π  −π 

+ +

13 2( )

0

os 1 os

π

−

0

sin 1 osx sin osx

dx

π

+ + +

15 3 2

0

1 sin

os

dx

π

+

0

sin 2

os 4sin

x

dx

π

+

17 3 2 2

0

sin

sin 2 cos

dx

π

∫ CĐST-05) 18 2 2004 2004 2004

0

sin

x dx

π

+

0

sin 3 sin

1 os3x

dx c

π

−

+

3

6sinxsin x+

3

dx

π

π  π

21.2 ( )3

2 0

sin 2 1 sinx x dx

π

+

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	798,5 KB