quỹ tích không gian cohenmacaulay, quỹ tích không gian cohenmacaulay, đại số giáo hoán, đề tài quan trọng của đại số giao hoán, quỹ tích không gian cohen macaulay của các modun huu han sinh. quỹ tích không gian cohenmacaulay, quỹ tích không gian cohenmacaulay, đại số giáo hoán, đề tài quan trọng của đại số giao hoán, quỹ tích không gian cohen macaulay của các modun huu han sinh.
QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC i Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bao đầy đủ 1.2 Phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều môđun 1.4 Phức đối ngẫu 1.5 Bội hệ tham số 1.6 Đối đồng điều địa phương 1.7 Môđun Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 10 1.7.1 1.7.2 1.7.3 Dãy quy 10 Môđun Cohen-Macaulay 11 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 12 1.8 Môđun Artin 13 1.9 Biểu diễn thứ cấp 13 Chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay vành địa phương có phức đối ngẫu 16 2.1 Một kiểu bất biến môđun 16 2.2 Chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay vành địa phương có phức đối ngẫu 20 Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay môđun hữu hạn sinh 3.1 28 Tập giả giá số tính chất 28 ii 3.2 Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay 30 3.3 Mối liên hệ tính catenary phổ dụng tính không trộn lẫn 34 Kết luận 40 Danh mục tài liệu tham khảo 41 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bao đầy đủ Trong mục trình bày số tính chất bao đầy đủ dựa tài liệu [16], [17] Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ {Rn }n nhóm R thỏa điều kiện: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn với n 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với n, m Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R vành Lấy R0 = R Rn = với n Khi {Rn }n lọc R gọi lọc tầm thường (ii) Cho I iđêan R đặt Rn = I n , với n Khi {Rn }n lọc R, gọi lọc I−adic (iii) Nếu {Rn }n lọc R S vành R {Rn S}n lọc S , gọi lọc cảm sinh S Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc Một R− môđun M lọc R-môđun M với họ {Mn }n R-môđun M thỏa mãn điều kiện: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn với n 0; (iii) Rm Mn ⊂ Mn+m với n, m Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M R-môđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M0 = M Mn = với n (ii) Cho I iđêan R xét lọc I -adic R Định nghĩa lọc I -adic M cách lấy Mn = I n M Khi M R−môđun lọc Cho M R−môđun lọc Lọc {Mn }n M xác định tôpô M tương thích với cấu trúc nhóm aben M mà {Mn } sở lân cận Tôpô gọi tôpô cảm sinh lọc {Mn } Cho M R-môđun với lọc {Mn }n Với tôpô định nghĩa lọc, M có bao đầy đủ M Nó tập lớp tương đương dãy Cauchy phần tử môđun M ứng với quan hệ tương đương định nghĩa sau: (xn ) ∼ (yn ) với m, tồn n0 cho xn − yn ∈ Mm , với n n0 Định lý 1.1.5 Cho M R−môđun lọc với lọc {Mn } bao đầy đủ M Khi M = lim ←−M/Mn Định nghĩa 1.1.6 Tôpô định nghĩa M lọc I−adic gọi tôpô I−adic bao đầy đủ M gọi bao đầy đủ I−adic Cho M R−môđun I iđêan R Cho M R đầy đủ I−adic tương ứng M R Định nghĩa phép nhân vô hướng R lên M xác định (an )(xn ) = (an xn ), {an } dãy Cauchy R (xn ) dãy Cauchy M Phép toán xác định với phép toán này, M R-môđun 1.2 Phân tích nguyên sơ Trong mục trình bày lại số kiến thức phân tích nguyên sơ môđun môđun Noether vành giao hoán theo [16], [17] Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành giao hoán có đơn vị M R-môđun Một iđêan nguyên tố p gọi iđêan nguyên tố liên kết với M tồn = x ∈ M cho p = Ann(x) Tập iđêan nguyên tố liên kết với M ký hiệu AssR (M ) hay Ass(M ) Hơn nữa, Ass(M ) = ∅ M = Đặt biệt M hữu hạn sinh R vành giao hoán Noether Ass(M ) hữu hạn Mệnh đề 1.2.2 Giả sử −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn R−môđun Khi Ass(M’) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M’) ∪ Ass(M”) Định nghĩa 1.2.3 (i) Một R-môđun M gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết (ii) Môđun N M gọi môđun nguyên sơ M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N ) = {p} N gọi p-nguyên sơ (iii) Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N phân tích N = Q1 ∩ ∩ Qs thành giao hữu hạn môđun pi -nguyên sơ Qi M Sự phân tích nguyên sơ gọi tối tiểu bỏ Qi iđêan nguyên tố liên kết M/Qi (1 i s) đôi khác Rõ ràng phân tích nguyên sơ môđun N M đưa dạng phân tích tối thiểu Dưới đặc trưng phân tích nguyên sơ (i) Nếu N = Q1 ∩ ∩ Qs phân tích nguyên sơ tối tiểu N Qi pi −nguyên sơ Ass(M/N ) = {p1 , , ps } (ii) Cho R vành Noether R-môđun M Khi với p ∈ Ass(M ) ta chọn môđun p-nguyên sơ Q(p) cho Q(p) 0= p∈Ass(M ) (iii) Mọi môđun R−môđun M hữu hạn sinh có phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều môđun Cho M môđun vành giao hoán R Đặt AnnR M = {a ∈ R | aM = 0} Khi AnnR M iđêan R Định nghĩa 1.3.1 Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn iđêan nguyên tố R thỏa mãn điều kiện pi = pi+1 với i gọi dãy iđêan nguyên tố độ dài n R Chiều (Krull) vành R, kí hiệu dimR, cận độ dài dãy iđêan nguyên tố R Chiều (Krull) M , kí hiệu dimM , chiều vành thương R/AnnR M Giá M , kí hiệu SuppM , cho công thức SuppM = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} Một phương pháp tính số chiều môđun hữu hạn sinh vành Noether thông qua chiều iđêan nguyên tố liên kết, nêu bổ đề sau Bổ đề 1.3.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu M tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnR M Đặc biệt ta có dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssR M } Chứng minh Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = Var(AnnR M ) Do SuppM = Var(AnnR M ) Theo [17], Định lí 6.5(iii) ta có AssM = SuppM Do AssM = Var(AnnR M ) Định nghĩa 1.3.3 Vành giao hoán có đơn vị R gọi vành địa phương có iđêan tối đại Từ sau, giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với m iđêan tối đại M R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d Định nghĩa 1.3.4 Một iđêan I R gọi iđêan nguyên sơ I = R với x, y ∈ R xy ∈ I x ∈ I tồn số n > cho y n ∈ I Giả sử I iđêan nguyên sơ R Khi tập √ I = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ I} iđêan nguyên tố p R, trường hợp ta gọi I iđêan p-nguyên sơ Định lí sau đây, gọi Định lí đa thức Hilbert - Samuel, cho ta bất biến tương đương với chiều Định lý 1.3.5 ([17], Định lí 13.4) Cho q iđêan m-nguyên sơ M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, (M/qn M ) đa thức với hệ số hữu tỷ n đủ lớn dim M = deg (M/qn M ) = inf {t | ∃x1 , , xt ∈ m, (M/(x1 , , xt )M ) < ∞} Hệ 1.3.6 Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d dim(M/(x1 , , xr )M ) Khi d − r, ∀x1 , , xr ∈ m Chứng minh Bằng quy nạp ta cần chứng minh cho trường hợp r = Cho x ∈ m Giả sử dim(M/xM ) = k < d − Đặt M1 = M/xM Theo Định lí đa thức Hilbert - Samuel, tồn x1 , , xk ∈ m cho (M1 /(x1 , , xk )M1 ) < ∞ Do (M/(x1 , , xk )M ) < ∞ Theo Định lí đa thức Hilbert - Samuel, d = dim M Do d − k + k , vô lí Định nghĩa 1.3.7 Một hệ x1 , , xd ∈ m gọi hệ tham số M (M/(x1 , , xk )M ) < ∞ Bổ đề 1.3.8 dim M = dim(M ) 1.4 Phức đối ngẫu Định nghĩa 1.4.1 Cho D• : −→ D−n −→ −→ D0 −→ D1 Dn −→ phức R-môđun, D• gọi phức đối ngẫu R thỏa mãn điều kiện sau: (i) D• bị chặn tức Dn = với |n| 0; (ii) H i (D• ) hữu hạn với i; (iii) Dn R-môđun nội xạ với n ∈ Z; (iv) Với phức C • thỏa điều kiện (i), (ii) ta có HomR (HomR (C • , D• ), D• ) ≈ C • , ≈ tựa đẳng cấu phạm trù phức Dưới số tính chất phức đối ngẫu (i) Cho B R-đại số hữu hạn sinh Nếu R có phức đối ngẫu B có phức đối ngẫu Mọi vành đa thức có hệ tử trường có phức đối ngẫu (ii) Địa phương hóa vành thương vành có phức đối ngẫu có phức đối ngẫu Vành địa phương đầy đủ có phức đối ngẫu (iii) Nếu R có phức đối ngẫu R vành Catenary, tức dãy iđêan nguyên tố nằm hai iđêan nguyên tố p ⊆ q có độ dài 1.5 Bội hệ tham số Trong mục trình bày lại số kiến thức bội dựa tài liệu [1] Định nghĩa 1.5.1 Cho R vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d Một hệ phần tử x = (x1 , , xt ) R cho R (M/(x)M ) < +∞ gọi hệ bội M Khi ký hiệu bội e(x; M ) M hệ bội x định nghĩa quy nạp theo t sau: Nếu t = e(∅; M ) = R (M ) Nết t > 0, đặt (0 : x1 ) = {m ∈ M | mx1 = 0} Vì M R (M/(x)M ) < +∞ nên (x2 , , xt ) hệ bội (0 : x1 ) M/x1 M Áp dụng giả thiết quy nạp M e(x2 , , xt ; M/x1 M ) e(x2 , , xt ; : x1 ) xác định Khi ta đặt M e(x; M ) = e(x2 , , xt ; M/x1 M ) − e(x2 , , xt ; : x1 ) M Định nghĩa 1.5.2 Một hệ phần tử (x1 , , xd ) m gọi hệ tham số M (x1 , , xd ) hệ bội M Dưới số tính chất số bội e(x; M ) (i)Với hệ tham số x M e(x; M ) R (M/(x)M ) (ii) Giả sử / M0 / ··· / Mn−1 / Mn /0 dãy khớp R-môđun Noether x hệ tham số Mi , i = 0, 1, , n Khi n (−1)i e(x; Mi ) = i=0 (iii) Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M Nếu tồn số nguyên dương k giá trị i cho xki M = e(x; M ) = (iv) Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M n1 , , nt số nguyên dương tùy ý Khi e(xn1 , , xnt t ; M ) = n1 nt e(x1 , , xt ; M ) (v) Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M Khi e(x; M ) = với t > dim M (vi) Nếu x = (x1 , , xt ), y = (y1 , , yt ) hệ bội M x(M ) ⊆ yM e(y; M ) e(x; M ) (vii) Công thức giới hạn Lech: Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M Khi lim min(ni )−→∞ (M/(xn1 , xn2 , , xnt t )M ) = e(x; M ) n1 n2 nt (viii) Công thức Auslander-Buchsbaum (xem [1]): Cho x = (x1 , , xt ) hệ bội M Khi t R (M/(x1 , , xt )M −e(x; M ) = e(xi+1 , , xt ; (x1 , , xi−1 )M : xi /(x1 , , xi−1 )M ) i=1 1.6 Đối đồng điều địa phương Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh I ⊂ R iđêan R Khi ta có hàm tử I -xoắn ΓI (−) từ phạm trù R-môđun vào hiệp biến, cộng tính, khớp trái Với R-môđun M , ΓI (M ) xác định công thức ∞ ΓI (M ) = (0 : I n ) n=0 M Với số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i Ri ΓI (−) hàm tử ΓI (−) Khi môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) thứ i R-môđun M 28 Chương Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay môđun hữu hạn sinh Trong suốt chương ta giả thiết (R, m) vành Noether M Rmôđun hữu hạn sinh với dim M = d Với iđêan I R, kí hiệu Var(I) tập tất iđêan nguyên tố chứa I Trong chương trình bày chi tiết lại số kết [8] 3.1 Tập giả giá số tính chất Định nghĩa 3.1.1 (xem [4]) Cho i số nguyên Tập giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppiR (M ) , định nghĩa sau p) (Mp ) = 0} PsuppiR (M ) = {p ∈ Spec(R)/Hpi−dim(R/ Rp Với tập T Spec(R) , ta đặt Ti = {p ∈ T | dim(R/p) = i} Bổ đề 3.1.2 Cho i số nguyên Các phát biểu sau (i) dim(R/p) ≤ i với p ∈ PsuppiR (M ) (ii) (PsuppiR (M ))i = (AssR M )i p) Chứng minh (i) Cho p ∈ PsuppiR (M ) Khi Hpi−dim(R/ (Mp ) = Suy Rp i dim(R/p) (ii) Rõ ràng p ∈ (PsuppiR (M ))i Hp0Rp (Mp ) = dim(R/p) = i, pRp ∈ AssRp (Mp ) dim(R/p) = i, p ∈ (AssR M )i 29 Tiếp theo ta đưa liên hệ PsuppiR (M ) Var(AnnR Hmi (M )) Trước làm điều cần nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin giới thiệu I G Macdonald [11], R-môđun Artin có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = A1 + + An , Ai pi -thứ cấp Tập {p1 , p2 , , pn } không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu A Tập gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết A kí hiệu AttR A Bổ đề 3.1.3 (xem [11]) Cho A R-môđun Artin Khi A = AttR A = ∅ Hơn nữa, AttR A = Var(AnnR A) Bổ đề 3.1.4 Cho i i (M )) số nguyên Khi PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hm p) i−dim(R/p) Chứng minh Giả sử p ∈ PsuppiR (M ) Khi Hpi−dim(R/ (Mp ) = Vì HpRp (Mp ) Rp Rp -môđun Artin Do theo Bổ đề 3.1.3 tồn iđêan nguyên tố q chứa p) (Mp )) Vì theo nguyên lí nâng địa phương p cho qRp ∈ AttRp (Hpi−dim(R/ Rp yếu ([3], 11.3.8) ta suy q ∈ AttR (Hmi (M )) Theo Bổ đề 3.1.3 ta có suy q ⊇ AnnR (Hmi (M )) p ⊇ AnnR (Hmi (M ) Vì PsuppiR (M ) ⊆ Var(AnnR Hmi (M )) Theo M Brodmann R Y Sharp [4], giả chiều thứ i M , kí hiệu psdi M , định nghĩa sau psdi (M ) = max{dim(R/p) | p ∈ PsuppiR (M )} Như vậy, Hmi (M ) có liên hệ với khái niệm chiều: dim(R/AnnR Hmi (M )), i (M )), psdi (M ), psdi (M ) Dưới ta so sánh số chiều khái dim(R/AnnR Hm niệm Mệnh đề 3.1.5 Cho i psdi (M ) số nguyên Ta có psdi (M ) = dim(R/AnnR Hmi (M )) i dim(R/AnnR Hm (M )) Chứng minh Cho p ∈ PsuppiR (M ) cho psdi (M ) = dim(R/p) Khi i−dim(R/p) HpRp (Mp ) = Lấy p ∈ Ass(R/pR) cho dim(R/p) = dim(R/p) 30 Vì ánh xạ Rp −→ Rp phẳng nên theo Định lí chuyển sở phẳng (xem [3], Định lý 4.3.2) ta có i−dim(R/p) (Mp ) pRp H i−dim(R/p) ∼ (Mp ) ⊗ Rp = = HpRp Suy p ∈ PsuppiR (M ) Vì psdi (M ) dim(R/p) = psdi (M ) Ta dễ dàng kiểm tra PsuppiR (M ) = Var(AnnR Hmi R (M )) = Var(AnnR Hmi (M )) Do psdi (M ) = dim(R/AnnR Hmi (M )) Theo Bổ đề 3.1.3 tồn q ∈ AttR (Hmi (M )) cho dim(R/q) = dim(R/AnnR Hmi (M )) Theo ([3], 8.2.4, 8.2.5) ta có q ∩ R ∈ AttR (Hmi (M )) Do theo Bổ đề 3.1.3 ta có i (M )) = dim(R/q) dim(R/AnnR Hm i (M )) dim R/(q ∩ R) ≤ dim(R/AnnR Hm Có thể xảy trường hợp PsuppiR (M ) tập thực Var(AnnR Hmi (M )) psdi (M ) < dim(R/AnnR Hmi (M )) < dim(R/AnnR Hmi (M )) Ví dụ 3.1.6 (i) D Ferrand M Raynaud [10] xây dựng miền nguyên Noether địa phương (R, m) chiều cho tồn q ∈ Ass(R) với dim(R/q) = Khi ta có Psupp1 (R) = {m} psd1 (R) = Hơn ta có dim(R/AnnR Hm1 (R)) = (R)) = (xem [9], Ví dụ 4.1) dim(R/AnnR Hm (ii) Cho (R, m) miền nguyên Noether chiều cho R không catenary Ta chứng minh dim(R/AnnR Hm2 (R)) = dim(R/AnnR Hm2 (R)) = Vì R không catenary nên tập U = {p ∈ Spec(R) | dim(R/p) + ht(p) = 2} khác rỗng Rõ ràng p ∈ Psupp2 (R) với p ∈ U dim(R/p) ≤ với p ∈ Psupp2 (R) Do psd2 (R) = 3.2 Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay Quỹ tích không Cohen-Macaulay M , kí hiệu nCM(M ), định nghĩa sau nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không Cohen-Macaulay} 31 Định lý 3.2.1 Giả sử p ∈ SuppR (M ) Khi (i) Tồn i ≤ d cho p ∈ PsuppiR (M ) depth(Mp ) = k − dim(R/p), dim(Mp ) = t − dim(R/p), k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} i≤d i≤d i (PsuppR (M ) ∩ PsuppjR (M )) (ii) nCM(M ) = 0≤i t Vì dim(Mp ) = t − dim(R/p) (ii) Cho p ∈ nCM(M ) Do depth(Mp ) < dim(Mp ) Theo (i) với k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} ta có k < t Vì k < t p ∈ PsuppkR (M ) ∩ PsupptR (M ) Ngược lại, giả sử tồn i, j cho ≤ i < j ≤ d p ∈ PsuppiR (M ) ∩ PsuppjR (M ) 32 Khi theo (i) ta có depth(Mp ) ≤ i − dim(R/p) < j − dim(R/p) ≤ dim(Mp ) Do depth(Mp ) < dim(Mp ) Vì p ∈ nCM(M ) PsuppiR (M ) Khi tồn r ≤ s cho p ∈ PsupprR (M ) Đặt (iii) Cho p ∈ i≤s k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} Khi k ≤ r ≤ s Theo (i) ta có, depth(Mp ) + dim(R/p) = (k − dim(R/p)) + dim(R/p) = k ≤ s Ngược lại, cho p ∈ SuppR (M ) cho depth(M p) + dim(R/p) ≤ s Nếu p ∈ / PsuppiR (M ) theo (i) ta có depth(Mp ) > s − dim(R/p) Tức depth(Mp ) + i≤s dim(R/p) > s, điều vô lí PsuppiR M Do theo (iii) ta có, (iv) Giả sử p ∈ / i n − r Cho p ∈ PsuppnR (M ) cho dim(R/p) = psdn (M ) Khi depth(Mp ) + dim(R/p) ≤ n < d theo Định lí 3.2.1(iii) Vì thế, theo Định lí 3.2.1(i) ta có depth(Mp ) ≤ n − dim(R/p) = n − psdn (M ) < n − (n − r) = r 37 Vì M thoả mãn điều kiện Serre (Sr), nên ta có depth(Mp ) = dim(Mp ) Vì M đẳng chiều R/AnnR M catenary, nên ta có depth(Mp ) + dim(R/p) = dim(Mp ) + dim(R/p) = d, điều vô lí Giả sử psdi (M ) ≤ i − r với i < d Cho p ∈ SuppR (M ) Nếu Mp CohenMacaulay ta không cần chứng minh Vì giả thiết p ∈ nCM(M ) Khi d−1 ta có p ∈ PsuppiR (M ) Đặt i=0 k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} Khi k < d p ∈ PsuppkR (M ) Theo giả thiết dim(R/p) ≤ psdk (M ) ≤ k − r Do theo Định lí 3.2.1(i), ta có depth(Mp ) = k − dim(R/p) Định lý 3.3.5 Cho r k − (k − r) = r số nguyên Giả sử M đẳng chiều M thoả mãn điều kiện Serre (Sr) Nếu nCM(M ) = Var(a(M )) R/p không trộn lẫn với p ∈ SuppR (M ) thoả mãn dim(R/p) d − r Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Cho r = Đặt T(M ) = Var(ai (M ) + aj (M )) 0≤i Do 39 dim(Mq ) = Vì M đẳng chiều vành R/AnnR M catenary, nên ta suy dim(R/q) = d − Vậy, M/xM đẳng chiều Theo Định lí 3.2.1(iv) Bổ đề 3.1.3 ta suy nCM(M/xM ) ⊆ Var(a(M/xM )) Cho q ∈ Var(a(M/xM )) Khi q ∈ Var(ak (M/xM )) với k < d − Vì từ dãy khớp (1) ta có q ∈ Var(ak (M )) với số tự nhiên k < d Suy q ∈ Var(a(M )) Do theo giả thiết ta có q ∈ nCM(M ), tức Mq không Cohen-Macaulay Vì x Mq -chính quy nên Mq /xMq không Cohen-Macaulay Do (M/xM )q không Cohen-Macaulay, tức q ∈ nCM(M/xM ) Vì ta có đẳng thức nCM(M/xM ) = Var(a(M/xM )) Chú ý p ∈ SuppR (M/xM ) dim(R/p) d − r = dim(M/xM ) − (r − 1) Vì theo giả thiết quy nạp áp dụng cho môđun M/xM , ta suy vành R/p không trộn lẫn, Định lí chứng minh Có thể xảy Var(a(M )) = nCM(M ) Dưới ví dụ Ví dụ 3.3.6 M Brodmann C Rotthaus [2] xây dựng miền nguyên (R, m) Noether chiều cho R miền nguyên tồn iđêan nguyên tố p cho R/p trộn lẫn Khi ta có p ∈ Var(a(R)) \ nCM(R) Chứng minh Ta kiểm tra dim(R/p) = tồn p ∈ Ass(R/pR) cho dim(R/p) = Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.3.5, ta p ∈ Var(a1 (R)) ∪ Var(a2 (R)) Vì p ∈ Var(a(R)) Vì dim(R/p) = nên ta có dim(Rp ) = = depth(Rp ) Do p ∈ / nCM(R) Ví dụ 3.3.6 cho ta thấy điều ngược lại Định lí 3.3.3(ii) không Hơn nữa, R đẳng chiều thoả mãn điều kiện Serre (S1 ) R/p trộn lẫn với iđêan nguyên tố p chiều Do giả thiết nCM(M ) = Var(a(M )) Định lí 3.3.5 không bỏ 40 Kết luận Trong luận văn, trình bày có hệ thống chứng minh chi tiết kết đưa [6] [8], cụ thể là: Trình bày vắn tắt kiến thức bao đầy đủ; phân tích nguyên sơ; chiều môđun; phức đối ngẫu; bội hệ tham số; đối đồng điều địa phương; môđun Cohen-Macaulay; môđun Cohen-Macaulay suy rộng; môđun Artin biểu diễn thứ cấp Trình bày chứng minh chi tiết kết ∗ Chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay vành địa phương có phức đối ngẫu đưa [6] cụ thể là: - Một dạng bất biến môđun - Chiều quỹ tích không Cohen-Macaulay vành địa phương có phức đối ngẫu ∗ Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay môđun hữu hạn sinh đưa [8] cụ thể là: - Tập giả giá số tính chất - Tập giả giá quỹ tích không Cohen-Macaulay - Mối liên hệ tính catenary phổ dụng tính không trộn lẫn 41 Danh mục tài liệu tham khảo [1] M.Auslander and D A Buchsbaum, Codimension and multiplicity Ann of Math 68 (1958), 625-657 [2] M Brodmann and R Y Sharp, A penculiar unmixed domain, Proc Amer Math Soc 87 (4) (1983) 596 - 600 [3] M Brodmann and R Y Sharp, "Local cohomology: an algebraic in-troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [4] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J, 167 (2002), 217-233 [5] N T Cuong, On the dimension of the non Cohen-Macaulay locus of 0local rings admitting dualizing complexes, Math Proc Camb Phil Soc., 109 (1991), 479-488 [6] N T Cuong, On the length of the powers of systems of parameters in local rings Nagoya Math J 120 (1990) [7] N T Cuong, P Schenzel ang N V Trung Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln Math.Nachr 85 (1978) 57-73 [8] N T Cuong, L T Nhan and N T K Nga, On pseudo supports and nonCohen-Macaulay locus of finitely generated modules, J Algebra, 323 (2010), 3029-3038 [9] N T Cuong, L T Nhan, On the Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2) (2002) 121-130 [10] D Ferrand, M Raynaud, Fibres formelles d’un anneau local Noetherian, Ann Si Ecole Norm Sup (4) (1970) 295-311 42 [11] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a com-mutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [12] Kirby, D (1990), "Dimension andlength for Artinian modules", Quart J Math Oxford(Ser.2), 41, 419-429 [13] J-L Garcia Roig On polynomial bounds for the Koszul homology of certain multiplicity systems J London Math Soc (2) 34 (1986), 411-416 [14] R Hartshorne Algebraic Geometry (Springer-Ver, 1977) [15] Macdonald, I.G.(1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica, 11, 23-43 [16] H.Matsumura Commutative Algebra (Benjamin, New York, 1980) [17] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [18] M Nagata, Local rings, Interscience, New York, 1962 [19] L T Nhan, T N An, On the unmixedness and the universal catenaricity of local rings and local cohomology modules, J Algebra 321 (2009) 303-311 [20] P Schenzel, Einige Anwendungen der lokalen Dualitat und verallge-meinerte Cohen-Macaulay moduln, Math Nac., 69 (1975), 227-242 [21] P Schenzel Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchhsbaum Ringe Lecture Note in Math vol 907 (Springer-Verlag, 1982) [22] R Y Sharp, Some results on the vanishing of local cohomology mod-ules, Proc Lond Math Soc, 30 (1975) 177 - 195 [23] R Y Sharp and M A hamieh Lengths of certain generalize fraction J Pure Appl Algebra 38 (1985), 323-336 [24] Sharp, R.Y (1989), "A method for the study of Artinian modules, with an aplication to asymptotic behavior", Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ., No.15 Springer-Verlag, New York, pp 443-465 [...]... M là một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđun Cohen- Macaulay nếu M = 0 hoặc dim M = depth(M ) Vành R được gọi là vành Cohen- Macaulay nếu nó là một R-môđun CohenMacaulay Định lý 1.7.2.2 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 12 (i) M là môđun Cohen- Macaulay (ii) Tồn tại một iđêan tham số p của M sao... không Cohen- Macaulay trên vành địa phương có phức đối ngẫu Trong chương này, kí hiệu R là vành giao hoán Noether địa phương có phức đối ngẫu khi đó quỹ tích không Cohen- Macaulay của R nCM(R) = {P ∈ Spec(R) | RP không Cohen- Macaulay} là một tập đóng trong Spec(R) theo tôpô Zanriski Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Vấn đề được đặt ra là xác định dim nCM(M ), trong đó nCM(M ) = {P ∈ Spec(R) | MP không Cohen- Macaulay} ... 1.7 1.7.1 Môđun Cohen- Macaulay Môđun Cohen- Macaulay suy rộng Dãy chính quy Trong mục này chúng tôi nhắc lại về dãy chính quy theo [16], [17] Định nghĩa 1.7.1.1 Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun và a1 , , ar là các phần tử của R Ta kí hiệu a = (a1 , , ar ) là iđêan và r ai mi | mi ∈ M, ∀i = 1, r aM = là môđun con của M Dãy (a1 , , ar ) được i=1 gọi là M -dãy chính quy (hay M -dãy)... rỗng Rõ ràng p ∈ Psupp2 (R) với mọi p ∈ U và dim(R/p) ≤ 1 với mọi p ∈ Psupp2 (R) Do đó psd2 (R) = 1 3.2 Tập giả giá và quỹ tích không Cohen- Macaulay Quỹ tích không Cohen- Macaulay của M , kí hiệu là nCM(M ), được định nghĩa như sau nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không Cohen- Macaulay} 31 Định lý 3.2.1 Giả sử p ∈ SuppR (M ) Khi đó (i) Tồn tại i ≤ d sao cho p ∈ PsuppiR (M ) và depth(Mp ) = k − dim(R/p), dim(Mp... d M ) − e(xn1 1 , , xnd d ; M ), với mọi n1 , , n d 1 Dưới đây là một đặt trưng của môđun Cohen- Macaulay suy rộng theo [7] Định lý 1.7.3.3 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen- Macaulay suy rộng (ii) sup{ R (M/(x)M ) − e(x; M )} < +∞, trong đó x chạy trên tất cả các hệ tham... ar các phần tử của R được gọi là dãy lọc chính quy hãy f -dãy đối với M nếu ai+1 ∈ / p với i = 0, , r − 1 p∈Ass(M/(a1 , ,ai )M \{m} Từ các đinh nghĩa trên ta thấy mọi M -dãy đều là f -dãy đối với M Hơn nữa ((a1 , , ai )M : M t ) với i = 0, , r − 1 (a1 , , ai )M : ai+1 ⊂ t 1 1.7.2 Môđun Cohen- Macaulay Trong phần này chúng tôi trình bày về môđun Cohen- Macalay theo [16] Định nghĩa 1.7.2.1 Cho... iđêan của R Ta đặt r(M ) := inf{k : với mọi s.s.o.p của M có (d - k - 1) phần tử là một dãy rút gọn của M} 21 Cuối cùng chúng ta kí hiệu nCM(M) là quỹ tích không Cohen- Macaulay của M tức là nCM(M) := {P ∈ SuppM : môđun MP là không Cohen- Macaulay} Nếu R có phức đối ngẫu thì nC(M) đóng trong tôpô Zanriski của SpecA và dim(nCM(M )) được định nghĩa trong ([14], Chương 3) Bổ đề 2.2.1 Cho x1 , , xj là... được chứng minh xong Một môđun M được gọi là môđun Cohen- Macaulay suy rộng nếu có một s.o.p của M sao cho IM (n; x) không đổi với mọi n1 , , nd đủ lớn Do đó chúng ta có trực tiếp kết quả của Định lý 2.2.6 như sau 27 Hệ quả 2.2.7 ([7], Satz 3 · 8 và [8], Satz 4) Giả sử A có phức đối ngẫu Khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) M là môđun Cohen- Macaulay suy rộng; (ii) d(M ) = 0; (iii) mọi s.o.p... Z]]/(XY, XZ), trong đó K[[X, Y, Z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức Do đó dim(R) = 2 và R không là vành Cohen- Macaulay suy rộng Vì thế dim(R) = 1 Suy ra dim(R/a(M )) = 1 theo Định lý 2.2.6(i) Nhưng dễ thấy dim(nCM(R)) = 0 và endima(M ) (M ) = 2 28 Chương 3 Tập giả giá và quỹ tích không Cohen- Macaulay của môđun hữu hạn sinh Trong suốt chương này ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noether và M là Rmôđun... mọi iđêan tham số p của M (iv) Tồn tại một hệ tham số của M là M -dãy (v) Mọi hệ tham số của M là M -dãy i (M ) = 0 với i = 0, , d − 1 (vi) Hm 1.7.3 Môđun Cohen- Macaulay suy rộng Định nghĩa 1.7.3.1 (xem [7]) Môđun M được gọi là môđun Cohen- Macaulay suy rộng nếu I(M ) = sup{ R (M/(x1 , , xd )M ) − e(x; M )} < +∞ x trong đó x chạy trên tất cả các hệ tham số của M Định nghĩa 1.7.3.2 Một hệ tham