kinh nghiệm tính khoảng cách hình không gian 11

Ph ơng pháp chung : Phơng pháp: Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b.. Ph ơng pháp chung : Dạng 1: a và b là hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.. Nội dung : Các v

Phần I Khoảng cách

1 Ph ơng pháp chung :

Phơng pháp:

Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a và b.

C1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a và vuông góc với b Tại giao điểm (P) và b kẻ

đờng thẳng c vuông góc với a Xác định giao điểm của c với a và b ⇒ khoảng cách

giữa hai đờng thẳng.

C2: Xác định (P) chứa a và song song với b ⇒ d(a;b) = d(b; (P)).

C3: Xác định (P) chứa a và (Q) chứa b sao cho (P) // (Q) ⇒ d(a;b) = d((P);(Q)).

2 Nội dung :

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a a) Tính khoảng cách từ S đến (A 1 CD) trong đó A 1 là trung điểm của SA.

b) Khoảng cách giữa AC và SD.

L

u ý :

để tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P) ta có thể xác

định mặt phẳng (Q) chứa điểm A và vuông góc với (P) sau đó đi xác định giao tuyến của (P) và (Q) rồi trong (Q) dựng đờng thẳng đi qua A và vuông góc với giao tuyến cắt giao tuyến tại H

Khi đó, khoảng cách từ A đến (P) chính là đoạn AH.

Để thực hiện bài toán xác định khoảng cách giữa một điểm với một mặt phẳng:\ B1: Xác định (Q) và Chứng minh (Q) ⊥(P).

B2: Xác định giao tuyến của (P) và (Q).

B3: Trong (Q) hạ đờng vuông góc với giao tuyến.

Giải

a) Tính d(S, (A1CD)):

Ta có, CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD)

Hay (A1CD) ⊥ (SAD) vì CD ∈ (A1CD)

Có A1D = (A1CD) ∩ (SAD) Trong (SAD) kể SH ⊥ A1D.

Suy ra, SH ⊥ (A1CD) hay d(S, (A1CD))= SH

Xét ∆SA1D có S SA D SH A D S SAD SA.AD

2

1 2

1 2

1

2

1

1

D A

AD SA SH

1

2

.

=

⇒

Có SA = a, AD = a,

2

5 4

2

2 2

2 1 1

a a

a AD

AA D

Suy ra, 5

5

2

5 2

2

.

1

a a

a a D A

AD SA

b) Tính d(AC,SD):

Trong (ABCD) kẻ d đi qua D và song song với AC cắt AB tại B’

Khi đó, AC // = DB’ = a 2, AB’ // = CD = a

⇒ AC // (SB’D) mà SD ∈ (SB’D)

Suy ra, d(AC,SD) =d(AC, (SB'D)) =d(A, (SB'D))

Gọi I là trung điểm của SB’

Xét ∆SAB’ cân tại A (vì SA = AB’ = a) nên AI ⊥ SB’

∆SB’D đều (SD = SB’ = DB’ = a 2) nên DI ⊥ SB’

⇒ SB’ ⊥ (ADI) hay (SB’D) ⊥ (ADI)

Có DI = (SB’D) ∩ (ADI) Trong (ADI) kẻ AK ⊥ DI ⇒ AK ⊥ (SB’D)

Suy ra, d(AC,SD) =d(AC, (SB'D)) =d(A, (SB'D)) = AK

Xét ∆ADI vuông tại A vì AD ⊥ (SAB), AI ∈ (SAB) nên AD ⊥ AI

DI

AD AI AK DI

AK AD

AI

2

1

2

=

⇒

Có AD = a, AI =

2

6 2

2 2 2

a SI

SA + = + = ,

2

6

a

DI = (trung tuyến của tam giác đều)

a

a a DI

AD AI

2 6

2

6

Vậy d(AC,SD) = a

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABC bằng 60 0

SO ⊥(ABCD) và SO = a

4 3

a) Tính d(O, (SCD)).

b) Tính d(SO,AB).

Giải

a) d(O, (SCD)):

Trong (ABCD) kẻ d qua O vuông góc với AD và BC tại E và F

Khi đó, EF ⊥CD và SO ⊥ CD mà EF ∩SO trong (SEF)

⇒ CD ⊥ (SEF) có CD ∈ (SCD) ⇒ (SEF) ⊥ (SCD)

Mà SF = ((SEF) ∩(SCD) Trong (SEF) kẻ OH ⊥ SF

Suy ra, OH ⊥ (SCD) hay d(O, (SCD)) =OH

Xét ∆SOF có

SF

OF SO OH OF

SO SF

OH

2

1

2

=

Có SO = a

4

3

Trong ∆OCD có 12 12 12

OD OC

OF = +

Có

2

3 ,

2

a OD

a

OC = = (vì ABCD là hình thoi có A BˆC = 60 0 )

3 3

16

4 3 1

4

1 1

2 2 2 2

a OF a

a a

OF = + = ⇒ =

Trong ∆SOF có

2

3 16

3 16

9 2 2 2

OF SO

Suy ra,

8 3

2 3 4

3 4

3

a

a a SF

OF SO

Vậy

8

3 ))

( , (O SCD OH a

b) Tính d(SO,AB):

Trong (ABCD) kẻ d’ qua O song song với AB và CD cắt BC và AD lần lợt tại M và N

Vì AB // MN nên AB // (SMN) Khi đó, d(SO,AB) =d(AB, (SMN)) =d(E, (SMN))

Vì AB ⊥ SO, AB ⊥ EF nên AB ⊥ (SEF) mà MN // AB ⇒ MN ⊥ (SEF) hay (SEF) ⊥ (SMN)

Có SO = (SEF) ∩(SMN) Lại có, EO ⊥ SO nên EO ⊥ (SMN) hay d(SO,AB) = EO

Mà EO = OF Khi đó,

4

3 )

, (SO AB EO OF a

Phần II

Bài toán về hai đờng thẳng chéo nhau

1 Ph ơng pháp chung :

Dạng 1: a và b là hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.

Ph

ơng pháp : Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b.

B 1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a và vuông góc với đờng thẳng b.

B 2: Xác định giao điểm I của (P) và b.

B 3: Trong (P) kẻ IH ⊥ a.

B 4: Vì b⊥ (P) nên b ⊥ IH Suy ra IH là đoạn vuông góc chung của a và b.

Dạng 2: a và b là hai đờng thẳng chéo nhau không có quan hệ vuông góc.

Ph

ơng pháp : Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b.

B 1: Xác định (P) chứa đờng thẳng b và song song với đờng thẳng a.

B 2: Trên a lấy M Hạ MH ⊥ (P).

B 3: Trong (P) tại H kẻ đờng thẳng a song song với a cắt b tại A.’

B 4: Từ A kẻ đờng thẳng c song song với MH cắt a tại B.

B 5: Vì MH ⊥ (P) nên MH ⊥ b hay AB ⊥ b = A.

a // (P) nên MH ⊥ a hay AB ⊥ a = B

B 6: Suy ra AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

2 Nội dung :

Các ví dụ minh hoạ cho phơng pháp: Để có cách giảI hợp lý cho mỗi bài toán tìm đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau trớc tiên phải xét xem chúng

có quan hệ vuông góc hay không

Khi giảI quyết bài tập dựng và tính đoạn vuông góc chung gồm 3 công đoạn: CĐ 1: Dựng hình

CĐ 2: Chứng minh

CĐ 3: Tính độ dài

Ví dụ 1:

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a và AD = a, AD ⊥BC Khoảng cách từ A đến BC là a Gọi M là trung điểm của BC.

Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và BC.

Giải

Gọi M là trung điểm của BC

Có DM ⊥ BC ( trung tuyến của tam giác BCD đều)

AD ⊥ BC (gt)

⇒ BC ⊥ (ADM) có M = BC ∩ (ADM).

Trong (ADM) kẻ MN ⊥ AD Vì BC ⊥ (ADM) nên BC ⊥ MN

Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC

Xét ∆ AMD có S AMD MN AD AH.MD

2

1

2

1 =

=

Với H là trung điểm của MD ⇒ AH ⊥ MD (∆AMD cân tại A)

Có AD = a, MD =

2

3

a ,

4

13 16

3

2 2 2

a a DH

AD

Từ (1) suy ra

8

39 2

3 4

13

a

a a AD

MD AH

Ví dụ 2:

Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a.’ ’ ’ ’

Dựng và tính đoạn vuông góc chung của BD và CB’ ’

Giải

Gọi H = B’C ∩ BC’.

Ta có, BC’⊥ B’C ( đờng chéo của hình vuông)

AB ⊥ B’C ( vì AB ⊥ (BCC’B’), B’C ∈ (BCC’B’))

⇒ B’C ⊥ (ABC’) ⊂ (ABC’D’) có H = B’C ∩ (ABC’D’).

Trong (ABC’D’) kẻ MK ⊥ BD’ Vì B’C ⊥ (ABC’D’) nên B’C ⊥ MK

Suy ra, MK là đoạn vuông góc chung của B’C và BD’

Xét ∆BHK ≅ ∆BD 'C' vì Bˆ chung, Kˆ =Cˆ' = 90 0

⇒

'

'.

' '

'

BH C D HK BD

BH C

D

HK

=

⇒

Có D’C’ = a, BH =

2 2

a , BD’ = a 3( đờng chéo của hình lập phơng)

Từ (1) suy ra

6

6 3

2

2 '

'.

a

a a BD

BH C D

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và SA ⊥(ABCD)

SA = a 6.

a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đờng thẳng SC và BD.

b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SC và AD.

Giải

a) Ta có BD ⊥ AC ( đờng chéo của hình vuông)

SA ⊥ BD ( SA ⊥(ABCD))

⇒ BD ⊥ (SAC) mà SC ∈ (SAC) và O =BD∩(SAC)

Trong (SAC) kẻ OI ⊥ SC Vì BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ OI

Suy ra, OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Xét ∆COI ≅ ∆CSA vì Cˆ chung, Iˆ= Aˆ = 90 0

⇒

SC

SA CO OI SC

CO SA

OI = ⇒ = (1)

Có OC =

2

2

a , SA = a 6

a a

a AC

SA

SC = 2 + 2 = 6 2 + 2 2 = 2 2 ( ∆SAC vuông tại A)

Từ (1) suy ra

4

6 2

2

6 2

2

a

a a SC

SA CO

b) Ta có AD // BC ⇒ AD // (SBC) mà SC ∈ (SBC).

Có BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) mà BC ∈ (SBC)

⇒ (SAB) ⊥ (SBC) có SB = (SAB) ∩(SBC)

Trong (SAB) kẻ AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC).

Trong (SBC) kẻ HM // BC cắt SC = M

Từ M kẻ MN // = AH cắt AD tại N

Vì AH ⊥ (SBC) nên AH ⊥ SC hay MN ⊥ SC = M

AD // (SBC) nên AH ⊥ AD hay MN ⊥ AD = N

Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của SC và AD

Xét ∆SAB có

SB

AB SA AH AB

SA SB

AH

2

1 2

1

=

⇒

=

=

Có SA = a 6, AB = a, SB= SA2 +AB2 = 6a2 +a2 =a 7

Từ (2) suy ra

7

42 7

6

a

a a SB

AB SA

Ví dụ 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O và B AˆD= 60 0 Có SA =

SC, SB = SD = a 3.

a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và SB.

b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung giữa hai đờng thẳng BD và SC.

a) Đoạn vuông góc chung của AD và SB

Ta có, AD // BC ⇒ AD // (SBC) mà SB ∈ (SBC)

Trong (ABCD) qua O kẻ IJ ⊥BC, AD

Khi đó, BC ⊥ IJ, BC ⊥ SO nên BC ⊥ (SIJ)

Hay (SBC) ⊥ (SIJ) mà SI = (SIJ) ∩ (SBC).

Trong (SIJ) kẻ JF ⊥ SI ⇒ JF ⊥ (SBC).

Trong (SBC) kẻ FM // BC cắt SB tại M

Từ M dựng MN // = JF cắt AD tại N

Vì JF ⊥ (SBC) nên JF ⊥ SB hay MN ⊥ SB = M

AD // (SBC) nên JF ⊥ AD hay MN ⊥ AD = N

Suy ra, MN là đoạn vuông góc chung của AD và SB

Xét ∆ SIJ có

SI

IJ SO JF IJ SO SI

JF

2

1 2

1

=

⇒

=

= Vì ABCD là hình thoi có B AˆD= 60 0nên BD = a, AC = a 3

Trong ∆OAB có

4

3 3

16 3

4 4 1 1

1

2 2 2 2 2

2

a OI a

a a OC OB

Trong ∆SOB có

2

13 4

3 2 2 2

a OB

SB

Trong ∆SOI có

4

55 16

55 16

3 4

13 2 2 2 2

OI SO

Suy ra

55 39

4 55 4

3 2 2

13

a

a a

SI

IJ SO

Vậy đoạn vuông góc chung của AD và SB là MN =

55

39

a

JF = b) Đoạn vuông góc chung của BD và SC

Ta có, BD ⊥ AC và BD ⊥ SO nên BD ⊥ (SAC)

Trong (SAC) kẻ OE ⊥ SC

Vì OE ∈ (SAC) nên BD ⊥ OE

Suy ra OE là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Xét ∆SOC có

8

39 39

64 3

4 13

4 1

1 1

2 2

2 2

2 2

a OE a

a a OC

SO

Vậy đoạn vuôngg góc chung của BD và SC là OE =

8 9

a

u ý :

Khi đi tính độ dài của đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo

nhau Trong bớc dựng thông thờng mặt phẳng (P) là một tam giác vuông Khi

đó, để tính độ dài đoạn vuông góc chung ta có thể gán đoạn vuông góc chung

đó vào quan hệ với tam giác vuông đó Có ba cách để gán đoạn vuông góc

chung vào quan hệ với tam giác để tính.

TH 1: Nếu đoạn vuông góc chung là một đờng cao của tam giác:

Cách 1: Tính diện tích tam giác đó theo 2 cách.

Cách 2: Sử dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông( công thức đờng cao).

TH 2: Nếu đoạn vuông góc chung không phải là đờng cao của tam giác:

Cách 3: Sử dụng tam giác đồng dạng.

3 Bài tập :

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáylà hình vuông cạnh a.

SA = SB = SC = SD =

2

3

a Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) CMR: (SAC) ⊥(ABCD), (SDB) ⊥(ABCD), (SAB) ⊥(SIJ)

b) CMR: (SAB) ⊥(SCD)

c) Từ tâm O của hình vuông ABCD kẻ OH ⊥SI CMR: OH ⊥(SAB) và tính độ dài OH

Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD có (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng

(DBC) Vẽ các đờng cao BE và DF của tam giác BCD và đờng cao DK của tam giác ACD

b) CMR: AB ⊥(BCD)

c) CMR: (ABE) ⊥(ADC) và (DFK) ⊥(ADC)

d) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của ∆BCD và ∆ACD CMR: OH ⊥(ACD) Tính khoảng cách từ O đên (ACD)

Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các tia Bx và Cy

vuông góc với (P)và nằm về một phía đối với (P) theo thứ tự lấy D, E sao cho

2 ,

2

2

a CE

a

BD= =

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DE, EA theo a

b) ED và BC cắt nhau tại M CMR: AM ⊥AE

c) Tính góc hợp bởi (ABC) và (ADE)

d) H là trung điểm của BC, N là giao của EC và DH CMR: DH ⊥DE và MN ⊥ AE

Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Qua hai đỉnh B và D kẻ tia Bx và Dy

cùng chiều và cùng vuông góc với (ABCD) Lấy M thuộc Bx, N thuộc Dy sao cho

2

.DN a2

BM =

Đặt α =B OˆM, β =D OˆN

a) CMR: tan α tan β = 1

b) CMR: MN ⊥AC

c) CMR: (ACM) ⊥(CAN)

d) CMR: (AMN) ⊥(CMN)

e) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn MN CMR: AH ⊥HC.