Phuong phap tinh khoang cach trong khong gian

MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT: Cách xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Trong không gian cho mp(P) điểm M không nằm mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm sau: Bước 1: Dựng mp(Q) qua M vuông góc với mp(P) Bước 2: Xác định giao tuyến d mp(P) mp(Q) Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d H  MH  mp(P)  d(M;(P)) = MH Bổ đề (*): Cho mp(P) điểm A, H không nằm (P) Gọi I = AH  (P) d(A;(P)) AI ta có: = d(H;(P)) HI Cách xác định khoảng cách đường thẳng chéo +) Cho hai đường thẳng a b chéo TH1: a b vuông góc với +) Chọn điểm M nằm a (thuận lợi nhất) kẻ MH  b  mp(a,H)  b Kẻ HK  a  d(a,b) = HK TH2: a b +) Dựng mp() chứa b song song với a, d(a,b) = d(a,()) = d(M,()), M điểm nằm đường thẳng a Các kỹ xác định hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy hình chóp: +) Nếu tồn mặt phẳng qua đỉnh vuông góc với mặt đáy hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu đỉnh lên giao tuyến mp đáy +) Hình chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy +) Hình chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc hình chiếu đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy II BÀI TẬP: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) Giải: S H A D B O I C \S.ABCD hình chóp nên SO  (ABCD) Qua O kẻ OI vuông góc với AB  (SOI)  (SAB) Kẻ OH  SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH a a2 Ta có: AC = BD = a 2, OI = Xét SAO ta có: SO2 = SA2 - AO2 = 2 1 Xét SOI: 2= + =  OH = a OH SO OI a Vậy: d(O; (SAB)) = a Bình luận: Nếu thay giả thiết toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(C;(SAB)) d(C;(SAB)) CA Ta có: = =  d(C;(SAB)) = 2a d(O;(SAB)) OA Nếu thay giả thiết toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K SC đến (SAB) ta sẻ làm nào: - Ta tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) sử dụng bổ đề (*) để suy d(K;(SAB)) Ta có OK∥ (SAB)  d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a Nhận xét: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt bên khối chóp sau: - Tính khoảng cách từ hình chiếu đỉnh lên mặt đáy đến mp sử dụng bổ đề (*) để suy khoảng cách cần tính Bài tập 2( ĐH_D_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông  B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a 3, SBC=300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Giải: Kẻ SH  BC  SH  (ABC) Xét SHB ta có: SH = SB.sin300 = a 3; BH = SB.cos300 = 3a Qua H kẻ HI  AC I S  (SHI)  (SAC) Kẻ HK  SI K  HK  (SAC)  d(H;(SAC)) = HK Ta có CHI∽ CAB(g-g) AB.CH 3a  HI = = AC 1 28 3a 2= + =  HK = HK HI SH 9a 3a  d(H;(SAC)) = d(B;(SAC)) BC 6a Mà = =  d(B;(SAC)) = d(H;(SAC)) HC K I A H B C   Bài tập 3(ĐH_D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC= BAD = 900, BA=CB=a, AD=2a Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a Giải: S Gọi I trung điểm AD ta có CI = AD  ACD vuông C hay AC  CD H K  (SAC)  (SCD) A D Kẻ AI vuông góc SC I  AI  (SCD)  d(A;(SCD)) = AI Ta có: AC2 = AB2 + BC2 = 2a2 1 1 = + = B C AI AC SA a  AI = a  d(A;(SCD)) = a Nối AB cắt CD K  B trung điểm AK d(B;(SCD)) BK  = = d(A;(SCD)) CK a  d(B;(SCD)) = d(H;(SCD)) SH SA2 2a2 2 a = = = 2 =  d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = d(B;(SCD)) SB SB 2a +a 3 Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải mà ta gặp toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng chứa đường cao khối chóp ta sẻ làm nào? Bài tập 4(ĐH_B_2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chử nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vuông góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 600 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) Giải: B’ C’ A’ D’ B A C O H D Gọi O giao điểm AC BD  A’O  (ABCD) Gọi E trung điểm AD  OE  AD, A’E  AD    A’EO góc mp(ADD’A’) mp(ABCD)  A’EO = 600  AB a  A’O = OE.tan A’EO = tan600 = 2 Ta có B’C ∥ (A’BD)  d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) Kẻ CH  BD H  CH  (A’BD)  d(C;(A’BD)) = CH 1 a Mà = 2+ =  CH = CH CB CD 3a a Vậy d(B’;(A’BD)) = Bình luận: Qua tập ta rút cách tính khoảng cách từ điểm I đến mp() chứa đường cao khối chóp sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d mp() mặt đáy Bước 2: Chọn điểm M nằm mặt đáy thuận lợi nhất, tính khoảng cách từ điểm M đến mp(), cách kẻ MH  d M  MH  ()  d(M;()) = MH d(I;()) Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy d(M;()) Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB=a Gọi I trung điểm BC,   hình chiếu vuông góc H S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2IH , góc SC mp(ABC) 600 Tính khoảng cách từ trung điểm E SB đến mp(SAH) Giải: 2 2 BC = AB + AC = 4a  BC = 2a  BI = a Kẻ BK vuông góc với AH K  BK  (SAH)  d(B;(SAH)) = BK 1 = + = BK BA BI 2a2 a  d(B;(SAH)) = BK = d(E;(SAH)) ES = = d(B;(SAH)) BS a  d(E;(SAH)) = Mà S I B H C K A Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tập 1(ĐH_A_2010) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mp(ABCD) SH=a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Giải: Ta có: CDN = DAM  CN  DM; mặt khác SH  DM  DM  (SCN)  DM  SC Kẻ HK  SC  HK  DM  d(HK, DM) = HK S a2 Ta có SCMD = SABCD - SADM - SCBM = K Mặt khác SCDM = CH.DM 2S 2a  CH = CDM = B DM C 1 19 M H = + = HK CH SH 12a2 A 2a 2a D N  HK =  d(DM, SC) = 19 19 Bài tập 2(ĐH_A_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải: S (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC)  SA  (ABC) H AB  BC  SB  BC   SBA góc mp(SBC) (ABC) D N C  A 0  SBA = 60  SA = AB.tan60 = 2a M Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC N B  MN ∥ BC N trung điểm AC BC MN = =a Kẻ đường thẳng  qua N song song AB, gọi () mp chứa SN   AB ∥ ()  d(AB, SN) = d(A;()) Kẻ AD   D  (SAD)  (), Kẻ AH  SD  AH  ()  d(A,()) = AH 1 13 2a Ta có AD = MN = a  2= + =  AH = AH SA AD 12a 13 2a Vậy: d(AB,SN) = 13 Bài tập 3(ĐH_A_2012) Cho hình chóp S.ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên (ABC) H nằm AB cho AH=2HB Góc SC (ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: S K A C I H B   Ta có SCH góc SC mp(ABC)  SCH = 600 7a2 a Xét ACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 =  CH = a 21  SH = CH.tan600 = Qua A kẻ đường thẳng  song song với BC, gọi () mp chứa SA   BC ∥ ()  d(SA,BC) = d(B,()) = d(H,()) Kẻ HI   I  (SHI)  (), kẻ HK  SI K  HK  ()  d(H,()) = HK a 1 24 a Ta có HI = AH.sin600 =  2= + =  HK = HK SH HI 7a a 3a  d(H,()) =  d(B,()) = 6 3a Vậy: d(SA,BC) = Bài 4(ĐH_D_2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a Giải: 5a a Ta có: AM2 = AB2 + BM2 =  AM = Qua C kẻ đường thẳng  song song với AM, gọi () mặt phẳng chứa B’C   AM∥ ()  d(AM,B’C) = d(M,()) = d(B,()) Kẻ BI   I  (B’BI)  (), kẻ BK  B’I K  BK  ()  d(B,()) = BK   A’ C’ AB Ta có: sinBCI = sinBMA = = AM  B’ 2a  BI = BC.sinBCI = 2 1 2a K 2= 2+ 2=  HK = HK B’B BI 4a I A C 2a a  d(B,()) =  d(M,()) = 7 M a B Vậy: d(B’C,AM) = BÀI TẬP Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a 3, hai mp (SCD) (SAD) vuông góc với mặt đáy Gọi G trọng tâm BCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a Bài tập 2(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị) Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền 3a a 14 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc mp(ABC), SB= Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a Bài tập 3(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Gia Lộc-Hải Dương) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a 2, =300 thể tích lăng trụ a3 Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a Bài tập 4(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách hai đường thẳng SC AB a Bài tập 5(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Nguyễn Đức Cảnh-Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB=BC=a AD=2a, mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy Biết góc tạo (SAB) (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng SB CD theo a Bài tập 6(Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA=a SA vuông góc với mặt đáy Biết ABCD thang vuông A B, AB=a, BC=2a SC vuông góc với BD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a với M trung điểm BC 