về các tập giả giá và quỹ tích không cohen - macaulay của các môđun hữu hạn sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN VIỆT HƯƠNG VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MÔĐUN HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) M R dim M ≥ depth M. dim M = depth M M R R M nCM(M) nCM(M) = {p ∈ Spec(R) | M p }. R R nCM(M) M M M R i M Psupp R M, Psupp i R M = {p ∈ Spec(R) | H i−dim(R/p) pRp (M p ) = 0}. nCM(M) R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn M R/ Ann R (M) M R/p p ∈ Supp R (M). nCM(M) Psupp i (M) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn R M R Ann R M = {a ∈ R | aM = 0}. Ann R M R p 0 ⊂ p 1 ⊂ . . . ⊂ p n R p i = p i+1 i n R R dim R R M dim M R/ Ann R M. Z {0} ⊂ 2Z 1 Z {0} pZ p Z 1 dim Z = 1. Z 6 . 2 3Z 6 2Z 6 . dim Z 6 = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn p R M 0 = x ∈ M p = Ann R x. M Ass R M. M Supp M Supp M = {p ∈ Spec(R) | M p = 0}. M Ann R M. dim M = max{dim(R/p) | p ∈ Ass R M}. M Supp M = Var(Ann R M). min Supp M = min Var(Ann R M). min Ass M = min Supp M. min Ass M = min Var(Ann R M). dim R[x 1 , . . . , x n ] = n + dim R. R[[x]] =  ∞  i=0 a i x i | a i ∈ R, ∀i  . R[[x]] x R ∞  i=0 a i x i + ∞  i=0 b i x i = ∞  i=0 (a i + b i )x i ∞  i=0 a i x i ∞  j=0 b j x j = ∞  k=0 c k x k c k =  i+j=k a i b j . R[[x]] x R (R, m) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m R[[x]] n =  ∞  i=0 a i x i ∈ R[[x]], a 0 ∈ m  . n x 1 , . . . , x n R R[[x 1 , . . . , x n ]] dim R[[x 1 , . . . , x n ]] = n + dim R. Z[x, y, z]/I I = (x 2 , y)∩(z 3 ) R = Z[x, y, z]. dim R = 3 + dim Z = 4. Ass R (R/I) = {(x, y), (z)}. dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = 3. R[[x, y, z, t]]/J J = (x, y 2 , z) ∩(y, z 3 , t 5 ). R = R[[x, y, z, t]]. dim R = 4+dim R = 4. Ass R (R/J) = {(x, y, z), (y, z, t)}. dim(R/J) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = 1. R (R, m) m M R dim M = d. I R I = R xy ∈ I x ∈ I n > 0 y n ∈ I x, y ∈ R I R √ I = {x ∈ R | ∃n ∈ N x n ∈ I} p R I p Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn q m (M/q n M) dim M = deg (M/q n M) = inf  t | ∃x 1 , . . . , x t ∈ m, (M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞  . R m x 1 , . . . , x t ∈ m m = (x 1 , . . . , x t )R (M/mM) < ∞ (M/(x 1 , . . . , x t )M) < ∞. dim M < ∞ dim(M/(x 1 , . . . , x r )M) ≥ d − r ∀x 1 , . . . , x r ∈ m. r = 1. x ∈ m. dim(M/xM) = k < d − 1. M 1 = M/xM. x 1 , . . . , x k ∈ m (M 1 /(x 1 , . . . , x k )M 1 ) < ∞. (M/(x, x 1 , . . . , x k )M) < ∞. d = dim M  k + 1. d − 1  k, (x 1 , . . . , x d ) ⊆ m M (M/(x 1 , . . . , x d )M) < ∞. (x 1 , . . . , x r ) ⊆ m r  d M dim(M/(x 1 , . . . , x r )M) = d −r. (x n ) ⊆ R m k ∈ N n 0 x n − x m ∈ m k n, m ≥ n 0 . (x n ) ⊆ R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k ∈ N n 0 x n ∈ m k n ≥ n 0 . (x n ), (y n ) (x n − y n )  R (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) (x n )(y n ) = (x n y n )  R  R m  R.  R m R (z n ) ⊆ M m k ∈ N n 0 z n − z m ∈ m k M. m  R  M. K K[x 1 , . . . , x n ] n K S = K[x 1 , . . . , x n ] P = (x 1 , . . . x n )S S R = S P m = (x 1 , . . . x n )R. m R K[[x 1 , . . . , x n ]]. m dim M = dim(  M). x 1 , . . . , x t R M t (x 1 , . . . , x t )M = M x i M/(x 1 , . . . , x t )M i. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Giả giá và quỹ tích không Cohen- Macaulay Mục đích của chương này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen- Macaulay của M trong mối quan hệ với các tập giả giá của M Trước hết chúng ta trình bày khái niệm và tính chất của các tập giả giá Trong suốt chương này, luôn giả thiết hữu hạn sinh chiều 2.1 (R, m) là vành Noether địa phương và M là R -môđun d Tập giả giá và một số tính chất Tập. .. phương và M là R -môđun hữu hạn sinh chiều d Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm quỹ tích không Cohen- Macaulay của các môđun hữu hạn sinh 2.2.1 Định nghĩa Quỹ tích không Cohen- Macaulay của M , kí hiệu bởi nCM(M ), được cho bởi nCM(M ) = {p Spec(R) | Mp không Cohen- Macaulay } Định lí sau đây là một trong 3 kết quả chính của luận văn, mô tả quỹ tích không Cohen- Macaulay của M thông qua các tập giả giá. .. được gọi là môđun Cohen- Macaulay M = 0 hoặc depth M = dim M Vành R được gọi là Macaulay nếu nếu vành Cohen- R xét như R -môđun là Cohen- Macaulay Dưới đây là một số ví dụ về vành và môđun Cohen- Macaulay 1.3.3 Ví dụ Cho K là một trường và x, y, z là các biến và R = K[[x, y, z]] Khi đó: (i) R là vành Cohen- Macaulay; S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 (ii) Môđun M = R/((x2... thế M là Cohen- Macaulay (iii) Ta có Ass N = {(y, z), (x)} Vì thế dim N = max{dim R/(x), dim R/(y, z)} = 2 Theo hệ quả 1.3.1 ta có depth N dim(R/(y, z)) = 1 Do đó N không là môđun Cohen- Macaulay Từ Bổ đề 1.1.14 và Bổ đề 1.2.6 ta thấy rằng tính Cohen- Macaulay có thể chuyển qua đầy đủ 1.3.4 Hệ quả M là Cohen- Macaulay khi và chỉ khi M là Cohen- Macaulay Kết quả tiếp theo khẳng định rằng tính Cohen- Macaulay. .. sâu không thay đổi khi chuyển qua đầy đủ (xem [Mat, Bài tập 16.7 -Trang 133]) 1.2.6 Bổ đề Đặc biệt, 1.3 Cho I là iđêan của R Khi đó depth(I, M ) = depth(I R, M ) depth(M ) = depth(M ) Vành và môđun Cohen- Macaulay Luôn giả thiết hạn sinh với (R, m) là vành Noether địa phương và M là R -môđun hữu dim M = d Từ các Bổ đề 1.1.3 và 1.2.5 ta có ngay kết quả sau 1.3.1 Hệ quả dim M depth M 1.3.2 Định nghĩa Môđun. .. không trộn lẫn và vì thế nó là tựa không trộn lẫn Theo Mệnh đề 1.4.6 ta suy ra R/ AnnR M là catenary phổ dụng 1.5 Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen- Macaulay Tiết này nhằm trình bày một đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay thông qua môđun đối đồng điều địa phương Các thuật ngữ và kết quả của tiết này được tham khảo từ cuốn sách của M Brodmann và R Y Sharp [BS] Cho 1.5.1 Định nghĩa nghĩa I là iđêan của. .. Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Kết quả chỉ ra tính không trộn lẫn và tính catenary phổ dụng khi M là Cohen- Macaulay Giả sử 1.4.7 Định lý (i) M là Cohen- Macaulay Khi đó là không trộn lẫn R/ AnnR M (ii) M Chứng minh là catenary phổ dụng (i) Vì M là môđun Cohen- Macaulay nên M là Cohen- Macaulay theo Hệ quả 1.3.4 Theo Mệnh đề 1.4.4 ta có dim(M ) = dim(R/P ) với mọi P Ass(M ) Vì thế M là không trộn lẫn... là Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu dim M = depth(M ) = d nếu và chỉ nếu dim(M/xM ) = d 1 = depth M 1 = depth(M/xM ), nếu và chỉ nếu M/xM là Cohen- Macaulay chiều d 1 Theo chứng minh Hệ quả 1.3.5 ta thấy rằng mỗi dãy chính quy của là một phần hệ tham số của M M Tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính chất Cohen- Macaulay khi chuyển qua địa phương hóa 1.3.6 Định lý mọi Nếu M là Cohen- Macaulay thì Mp là Cohen- Macaulay. .. 17 trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun đều nhúng được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ 1.5.2 Định nghĩa suất phải thứ Cho L là R -môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn n của hàm tử I -xoắn I () ứng với L được gọi là môđun đối đồng điều thứ n n của L với giá I , kí hiệu là HI (L) Cụ thể, nếu u u 0 1 0 L E0 E1 E2 là giải nội xạ của L, tác động hàm tử... R -môđun L ta định (0 :L I n ) Nếu f : L L là đồng cấu các R -môđun I (L) = n0 thì ta có đồng cấu f : I (L) I (L ) cho bởi f (x) = f (x) Khi đó I () là hàm tử khớp trái, hiệp biến từ phạm trù các R -môđun đến phạm trù các R -môđun I () được gọi là Với mỗi R -môđun L, một hàm tử giải nội xạ của I -xoắn L là một dãy khớp 0 L E0 E1 E2 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn . http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN VIỆT HƯƠNG VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MÔĐUN HỮU HẠN. MÔĐUN HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2011 Số. bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (R, m) M R dim M ≥ depth M. dim M = depth M M