về lớp môđun đối cohen - macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ LỚP MÔĐUN ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Môđun Artin 7 1.1 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Chiều Noether và hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay . . . . . 16 2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 18 2.1 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 28 3.1 Lọc chiều cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . 38 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo thạc sĩ của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, người đã tận tình chỉ bảo, dạy dỗ tôi cả về kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong học tập. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT Cao Bình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay. Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W. Vogel và J. Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P. Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiện vào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D. A. Buchsbaum. Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R. P. Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P. Schenzel [15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp vành địa phương. Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự lớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đến bởi [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương hóa, đối đồng điều địa phương, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang được quan tâm nghiên cứu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun này đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [6], [19], ). Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trong phạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạm trù các môđun Noether. Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether, lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ra lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớp môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]). Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớp môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy trong hai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen- Macaulay modules" của N. T. Cuong and L. T. Nhan [6] và "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules" của N. T. Dung [7]. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương. Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chung nhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phương pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay. Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3. Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6]. Đó là một số kết quả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 về lớp môđun được gọi là Cohen-Macaulay dãy có tính chất là tồn tại một lọc 0 = N 0 ⊂ N 1 ⊂ . . . ⊂ N t = M các môđun con của M sao cho (a) Mỗi thương N i /N i−1 là Cohen-Macaulay. (b) dim(N 1 /N 0 ) < dim(N 2 /N 1 ) < . . . < dim(N t /N t−1 ). Lớp môđun này có quan hệ chặt chẽ với các lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, đã được nghiên cứu trước đây. Cấu trúc của lớp môđun này được đặc trưng qua địa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng được đặc trưng qua đối đồng điều địa phương như sau. Định lý 2.2.9. Cho 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ . . . ⊂ M t = M là một lọc chiều của M và dim M i = d i với mọi i = 1, . . . , t. Giả sử R là vành có phức đối ngẫu. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay dãy. (ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d các môđun K j (M) hoặc bằng không hoặc là Cohen-Macaulay chiều j. (iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1 các môđun K j (M) hoặc bằng không hoặc là Cohen-Macaulay chiều j. Chương 3 dành để trình bày lại các kết quả về một mở rộng của lớp môđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A được gọi là đối Cohen- Macaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con 0 = B 0 ⊂ B 1 ⊂ . . . ⊂ B t−1 ⊂ B t = A sao cho B i /B i−1 là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1, . . . , t và N-dim A/B t−1 < N-dim A/B t−2 < . . . < N-dim A/B 0 = d. Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy. Nội dung chương này nằm trong bài báo [7], trong đó đưa ra các khái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc trưng, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi A là  R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tính chất tương tự như vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]). Một trong những kết quả chính của Chương 3 là đặc trưng đồng điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy như sau. Định lý 3.3.3. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy. (ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d, môđun H m j (A) hoặc bằng 0 hoặc là  R- môđun Cohen-Macaulay chiều j. (iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1, môđun H m j (A) hoặc bằng 0 hoặc là  R-môđun Cohen-Macaulay chiều j. Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay. P. Schenzel [15] đã chứng minh một kết quả tương tự cho môđun Cohen- Macaulay dãy. Tuy nhiên, đã có phản ví dụ chỉ ra rằng điều trên là không đúng (Chú ý 3.3.10). Vì vậy, ở đây lại đặt ra vấn đề là tìm điều kiện cho phần tử tham số x để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số. Các kết quả thu được như sau. Định lý 3.3.5. Cho x ∈ m. Giả sử rằng x /∈ p với mọi p ∈ Att A \ {m}. Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau thoả mãn (a) x /∈  p, với mọi  p ∈ d  i=1 Ass  R H m i (A). (b) 0 : A x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại được một kết quả cho môđun Cohen- Macaulay dãy, (Hệ quả 3.3.8), đồng thời chỉ ra rằng Định lý 4.7 của P. Schenzel trong [15] là không đúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chương 1 Môđun Artin Như chúng ta đã biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số mà cấu trúc của chúng đã được biết rõ thông qua các lý thuyết cơ bản của Đại số giao hoán: phân tích nguyên sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, . Đã có nhiều tác giả nghiên cứu về môđun Artin và đưa ra một số lý thuyết - theo một nghĩa nào đó được xem là tương ứng đối ngẫu với một số lý thuyết quen biết trong phạm trù các môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ). Mục đích của chương này là hệ thống lại một số kết quả về môđun Artin được dùng trong các chương sau. Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giả thiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể), A là R-môđun Artin. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1.1 Môđun Artin Cho m là một iđêan cực đại của vành R. Nhắc lại rằng môđun con m-xoắn Γ m (A) của A được định nghĩa bởi Γ m (A) =  n≥0 (0 : A m n ). Khi đó, ta có kết quả sau. Mệnh đề 1.1.1. [16, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6] (i) Giả sử A là một R-môđun Artin khác không. Khi đó chỉ có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho Γ m (A) = 0. Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó là m 1 , . . . , m r thì A = Γ m 1 (A) ⊕. . . ⊕Γ m r (A) và Supp A = {m 1 , . . . , m r }. (ii) Với mỗi j ∈ {1, . . . , r}, nếu s ∈ R \ m j , thì phép nhân bởi s cho ta một tự đẳng cấu của Γ m j (A). Do đó Γ m j (A) có cấu trúc tự nhiên của một R m j -môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γ m j (A) là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là R m j -môđun con. Đặc biệt A m j ∼ = Γ m j (A), với mọi j = 1, . . . , r. Kí hiệu 1.1.2. Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt A = A 1 ⊕ . . . ⊕ A r và J A =  m∈Supp A m, trong đó A j = ∪ n>0 (0 : A m n j ) (1  j  r). Chú ý rằng khi (R, m) là vành địa phương thì J A = m. Cho (R, m) là vành địa phương. Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic của R, ký hiệu bởi  R, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 m t , t = 0, 1, 2, . .  R được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này,  R làm thành một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [11]). Mệnh đề 1.1.3. [16, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artin khác không trên vành địa phương (R, m). Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của  R-môđun, trong đó  R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là  R-môđun con của A. Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của  R-môđun Artin. Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D() = Hom R (, E). Khi đó ta có kết quả sau của E. Matlis (xem [16, Định lý 2.1]). Mệnh đề 1.1.4. (i) R-môđun E là Artin. Với mỗi f ∈ Hom R (E, E), tồn tại duy nhất a f ∈ R : f(x) = a f x, ∀x ∈ E. (ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N) là Artin . (iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether. (iv) Ann M = Ann D(M), và nếu M là R-môđun sao cho  R (M) < ∞, thì  R (D(M)) =  R (M). 1.2 Biểu diễn thứ cấp Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên cứu bởi D. Kirby và D. G. Northcott. Sau đó I. G. Macdonald [10] đã trình bày lại khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó là biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đã định nghĩa cho các môđun Noether. Trong luận văn này, chúng tôi dùng theo thuật ngữ của I. G. Macdonald [10]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... N-dim(A/Bt−1 ) < N-dim(A/Bt−2 ) < < N-dim(A/B0 ) = d (ii) A được gọi là môđun đối Cohen- Macaulay dãy nếu tồn tại một lọc đối Cohen- Macaulay của A Sau đây là một số ví dụ về môđun đối Cohen- Macaulay dãy Ví dụ 3.2.2 (i) Mọi môđun đối Cohen- Macaulay đều là môđun đối Cohen- Macaulay dãy với lọc đối Cohen- Macaulay là 0 = A0 ⊂ A1 = A (ii) Một ví dụ khác về môđun Cohen- Macaulay dãy là môđun đun Artin 2 1 A = R/m ⊕... Cohen- Macaulay dãy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Chương 3 Môđun đối Cohen- Macaulay dãy Vẫn như chương trước, giả thiết (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether, A là R -môđun Artin với chiều Noether N-dim A = d Mục đích của chương là nghiên cứu lớp môđun Artin chứa thực sự lớp môđun đối Cohen- Macaulay, được gọi là lớp môđun đối Cohen- Macaulay dãy. .. /N ) = e(x; M/N ) Vậy M/N là Cohen- Macaulay Do N = N ⊕ N , và N , N là các môđun Cohen- Macaulay dãy cộng với dim N < d, nên áp dụng giả thiết quy nạp cho N, ta có N là Cohen- Macaulay dãy Vì vậy M là Cohen- Macaulay dãy Tiếp theo là tính chất của môđun Cohen- Macaulay dãy khi chuyển qua địa phương hoá Mệnh đề 2.2.7 Nếu M là Cohen- Macaulay dãy thì Mp cũng là CohenMacaulay dãy với mọi p ∈ Supp M Chứng minh... Cohen- Macaulay dãy Tiết này dành để giới thiệu một lớp các môđun Artin chứa thực sự lớp môđun đối Cohen- Macaulay và có các tính chất tương tự lớp môđun Cohen- Macaulay dãy trong phạm trù các môđun Noether Định nghĩa 3.2.1 (i) Một lọc B : 0 = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A các môđun con của A được gọi là một lọc đối Cohen- Macaulay nếu Bi /Bi−1 là đối Cohen- Macaulay với mọi i = 1, , t và N-dim(A/Bt−1 ) < N-dim(A/Bt−2... ta có 1 1 1 = Width Hm (R) = N-dim Hm (R) suy ra A2 /A1 là đối Cohen- Macaulay d Mặt khác với mỗi R -môđun M chiều d, ta có Width Hm (M ) ≥ min{2, d} nên theo Mệnh đề 1.5.3 (ii), ta có 2 2 Width Hm (R) 2 N-dim Hm (R) = 2 2 Vì thế Hm (R) là đối Cohen- Macaulay hay A1 /A0 là đối Cohen- Macaulay Vậy lọc (∗) chính là lọc đối Cohen- Macaulay, do đó A là môđun đối Cohen- Macaulay dãy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu... i = 0, , t Sau đây là một số ví dụ về môđun Cohen- Macaulay dãy Ví dụ 2.2.4 (i) Mọi môđun Cohen- Macaulay đều là môđun Cohen- Macaulay dãy với lọc Cohen- Macaulay là 0 = M0 ⊂ M1 = M (ii) Mọi môđun M có chiều 1 đều là môđun Cohen- Macaulay dãy 0 Chứng minh (ii) Ta có 0 = M0 ⊂ M1 = Hm (M ) ⊂ M2 = M là lọc 0 Cohen- Macaulay của M Thật vậy, vì Hm (M ) là môđun có độ dài hữu hạn 0 nên dim M1 = dim Hm (M ) =... ký hiệu (R, m) là vành địa phương Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Mục đích của chương này là giới thiệu khái niệm môđun Cohen- Macaulay dãy và một số tính chất của lớp môđun này Kết quả chính của chương là đưa ra đặc trưng của lớp môđun Cohen- Macaulay dãy qua đối đồng điều địa phương 2.1 Môđun Cohen- Macaulay Lớp môđun Cohen- Macaulay đóng vai trò quan trọng và chúng đã được... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 (iii) Ta luôn có 0 e(x; M ) (M/xM ) Hơn nữa e(x; M ) > 0 nếu và chỉ nếu t = d = dim M Sau đây là một lớp ví dụ khác về môđun Cohen- Macaulay dãy Mệnh đề 2.2.6 Tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun Cohen- Macaulay dãy là Cohen- Macaulay dãy Chứng minh Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh khẳng định đúng với tổng trực tiếp của hai môđun Cohen- Macaulay dãy Giả sử dim M =... http://www.lrc-tnu.edu.vn 19 (ii) Nếu (x1 , , xt ) là một dãy chính quy của M thì M là CohenMacaulay nếu và chỉ nếu Mt = M/(x1 , , xt )M cũng là Cohen- Macaulay (iii) Mp là Cohen- Macaulay, với mọi p ∈ SuppR M Tiếp theo là đặc trưng của môđun Cohen- Macaulay qua hệ tham số và đối đồng điều địa phương Định lý 2.1.3 Cho M là R -môđun, với dim M = d Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) M là R -môđun Cohen- Macaulay. .. định sau là tương đương: (i) M là Cohen- Macaulay dãy (ii) Với mọi j = 0, 1, , d, các môđun K j (M ) hoặc bằng không hoặc là Cohen- Macaulay chiều j (iii) Với mọi j = 0, 1, , d − 1, các môđun K j (M ) hoặc bằng không hoặc là Cohen- Macaulay chiều j Chứng minh (i) ⇒ (ii) Cho M là Cohen- Macaulay dãy Khi đó Mi /Mi−1 là Cohen- Macaulay với mọi i = 1, , t Từ dãy khớp ngắn 0 −→ Mt−1 −→ M −→ M/Mt−1 −→ . Môđun Cohen- Macaulay dãy 18 2.1 Môđun Cohen- Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Môđun Cohen- Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Môđun đối Cohen- Macaulay dãy 28 3.1. mở rộng khác của lớp môđun đối Cohen- Macaulay (xem [7]). Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớp môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun đối Cohen- Macaulay dãy trong hai bài. môđun Artin, ta có thể thấy rằng A là R -môđun đối Cohen- Macaulay dãy khi và chỉ khi A là  R -môđun đối Cohen- Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tính chất tương tự như vậy đối với môđun Cohen- Macaulay