Môđun đối cohen macaulay dãy luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ PHƯƠNG QUYÊN MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY luËn v¨n th¹c sü to¸n häc Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ PHƯƠNG QUYÊN MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 luËn v¨n th¹c sü to¸n häc Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… .…… Mở đầu…………………… …………………………………………… 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 4 1.1 Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun ………………… 4 1.2 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun… ……………………. 5 1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m - adic ………………………. 5 1.4 Hệ tham số của môđun Noether……. …… …………………… . 7 1.5 Dãy chính quy……………………………………………………… . 7 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương……………………………………. 8 1.7 Môđun Cohen-Macaulay ……………………………………………. 9 1.8 Biểu diễn thứ cấp……………………………….……………………. 9 1.9 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin……………… 11 1.10 Đồng điều địa phương………………………………………………. 12 1.11 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay ………………. 13 1.12 Lọc chiều cho môđun Artin 15 Chương 2. Môđun đối Cohen-Macaulay dãy……………………… . 17 2.1 Môđun Cohen-Macaulay dãy……………………………………… 17 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy……………………… 19 2.3 Một số tính chất và đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy 23 Kết luận………………………………………………………………… 32 Tài liệu tham khảo………………………………….…………………. 33 1 MỞ ĐẦU Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lí thuyết quan trọng của Đại số giao hoán như: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,… Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen- Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự mà vẫn còn có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay đó là lớp môđun Buchsbaum, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Những lớp môđun này có thể được định nghĩa thông qua hàm ( ) ; ( / ) ( ; )I x M l M xM e x M = − , trong đó ( ; )e x M là số bội của M ứng với hệ số tham số x , ( / )l M xM là độ dài của môđun / .M xM Chú ý rằng ( ; )I x M luôn là số nguyên không âm. M là môđun Cohen-Macaulay nếu tồn tại một hệ tham số ( ) , ., 1 x x x d = của M sao cho ( ; )I x M = 0 (khi đó ta cũng có ( ; )I y M = 0 với mọi hệ tham số y của M). M là môđun Buchsbaum nếu ( ; )I x M là hằng số với mọi hệ tham số x của M. M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu ( ; )I x M <∞ với mọi hệ tham số x của M. Một hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Cohen- Macaulay dãy đã được nghiên cứu bởi P. Schenzel [12], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6]. Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu là lớp môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun này đã được biết đến thông qua dãy đối chính qui, bội, đồng điều địa phương, 2 Trong [9], Nguyễn Thị Dung đã mở rộng khái niệm môđun đối Cohen- Macaulay thành khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Lớp môđun này được mở rộng như sau: R-môđun Artin A được gọi là đối Cohen-Macaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con 0 1 1 0 . t t B B B B A − = ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ = sao cho B i /B i-1 là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1,…,t và N-dim A/B t-1 < N-dim A/B t-2 < … < N-dim A/B 0 = d. Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay, không trùng với lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và cũng có nhiều tính chất tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay dãy. Mục đích của Luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo [9] của Nguyễn Thị Dung. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2: Môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Trong chương này chúng tôi chia làm ba phần: Mục 2.1 trình bày về khái niệm và một số tính chất của mô đun Cohen-Macaulay dãy dựa theo [6] và [12] nhằm mục đích so sánh với khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay dãy sẽ trình bày ở các phần tiếp theo. Các Mục 2.2 và 2.3 trình bày các kết quả trong bài báo [9] của Nguyễn Thị Dung. Luận văn được hoàn thành vào tháng 08 năm 2012 tại Trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình trong quá 3 trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin cám ơn quý thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, phòng Sau đại học Trường Đại học Vinh, các đồng nghiệp, gia đình đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ Luận văn luôn kí hiệu (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R-môđun và A là một R-môđun Artin. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. 1.1. Phổ, giá, độ cao và chiều Krull của môđun 1.1.1. Phổ của vành. Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu { } = ∈ ⊇( )V I SpecR Ip p . 1.1.2. Độ cao của iđêan. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R : 0 1 . n ⊃ ⊃ ⊃ p p p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n . Cho Spec R ∈ p , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 = p p được gọi là độ cao của p , ký hiệu là ( ) ht p ; nghĩa là: ( ) ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với 0 = p p }. Cho I là một iđêan của R. Khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa: ( ) ( ) { } ht inf ht Spec , I R I= ∈ ⊇p p p . 1.1.3. Chiều Krull của môđun. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R . 5 Cho M là một R − môđun. Khi đó ( ) dim / Ann R R M được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M. Chú ý rằng ¶ dim dim ,M M = trong đó ¶ M là bao đầy đủ m-adic của M. 1.1.4. Giá của môđun. Tập con { } Supp Spec 0M R M = ∈ ≠ p p của Spec R được gọi là giá của môđun M. Với mỗi x M∈ ta ký hiệu { } 0 R Ann x a R ax = ∈ = ; { } { } 0 0, R Ann M a R aM a R ax x M = ∈ = = ∈ = ∈ . Ta có R Ann x và R Ann M (hoặc Annx và AnnM nếu không tập trung sự chú ý đến vành R) là những iđêan của M. Ann M được gọi là linh hoá tử của môđun M. Hơn nữa nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp M = V(AnnM). 1.2. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Cho M là một R − môđun ta gọi iđêan nguyên tố p của R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thoả mãn: (i) Tồn tại phần tử ∈x M sao cho ( ) = pAnn x ; (ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với /R p . Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc Ass M nếu ta không tập trung sự chú ý đến vành R. Như vậy { } Ass Spec Ann vì .M R x x M= ∈ ∈p p= Chú ý rằng nếu M là R − môđun Noether thì Ass M là tập hợp hữu hạn. 1.3. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m - adic 6 Cho ( ) ,R m là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R ∈ gồm các lớp ghép t r + m với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô − m adic của R ký hiệu bởi µ R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( ) n r các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên 0 n để t n m r r − ∈ m với mọi 0 , n m n > . Dãy ( ) n r được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự nhiên 0 n để 0 t n n r r − = ∈ m với mọi 0 n n > . Hai dãy Cauchy ( ) n r và ( ) n s được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu là ( ) ( ) n n r s: nếu dãy ( ) n n r s − là hội tụ về dãy không. Khi đó quan hệ ∼ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu µ R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu ( ) n r và ( ) n s là các dãy Cauchy thì các dãy ( ) , n n r s + ( ) n n r s cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy ( ) , n n r s + ( ) n n r s là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy ( ) n r và ( ) , n s tức là nếu ( ) ( ) , n n r r: và ( ) ( ) , n n s s: thì ( ) ( ) , , n n n n r s r s + + : và ( ) ( ) , , n n n n r s r s: . Khi đó µ R cùng với hai phép toán hai ngôi “+” và “.” lập thành một vành. Mỗi phần tử r R ∈ có thể đồng nhất với lớp 7 tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành µ ( ) , R R r r → a trong đó ( ) r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là { } t Mm . Khi đó ¶ M là một µ R -môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho ( ) µ 1 2 , , .a a a R= ∈ , ( ) ¶ 1 2 , , .x x x M= ∈ . Ta có ( ) ¶ 1 1 2 2 , , .ax a x a x M= ∈ . 1.4. Hệ tham số của môđun Noether 1.4.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m ; M là một − R môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dimM = d >0. Một hệ gồm d phần tử ( ) 1 : , ., d x x x= của m được gọi là hệ tham số của M nếu ( ) ( ) < ∞ 1 / , ., d l M x x M . 1.4.2. Mệnh đề. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số của M. (ii) Nếu ( ) 1 : , ., d x x x= là một hệ tham số của môđun M và ( ) 1 : , ., d n n n = là một bộ gồm d số nguyên dương thì ( ) ( ) 1 1 : , ., d n n d x n x x= cũng là một hệ tham số của môđun M. 1.5. Dãy chính quy 1.5.1. Định nghĩa. Dãy các phần tử 1 , ., r x x ∈ m được gọi là dãy chính quy hay còn gọi là M − dãy nếu các điều kiện sau được thoã mãn: (i) ( ) 1 / , ., 0 r M x x M ≠ ; . Artin 15 Chương 2. Môđun đối Cohen- Macaulay dãy …………………… . 17 2.1 Môđun Cohen- Macaulay dãy …………………………………… 17 2.2 Môđun đối Cohen- Macaulay dãy …………………… 19. Cohen- Macaulay thành khái niệm môđun đối Cohen- Macaulay dãy. Lớp môđun này được mở rộng như sau: R -môđun Artin A được gọi là đối Cohen- Macaulay dãy nếu