Bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức đại số ở trường trung học phổ thông luận văn thạc sĩ toán học

THỰC TIỄN DẠY HỌC GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SỬ DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN Ở MỘT SỐ TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆN NAY...27 Kết luận chương 1...28 Chương 2.. Polya xây dựng nội dung và phương pháp tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI THỊ DUYÊN

DẠY HỌC GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM

SỐ THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG THỰC HÀNH CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

luËn v¨n th¹c sÜ gi¸o dôc häc

Nghệ An, 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo TS Chu Trọng Thanh – người thầy đã tận tâm, nhiệt tình hướng dẫn tôi trong suốt qúa trình thực hiện luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, các thầy cô giáo trong khoa Toán, phòng Sau Đại học – Trường Đại Học Vinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt qúa trình học tập và thực hiện đề tài.

Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, khích lệ, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, đồng nghiệp và các bạn đọc.

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Tác giả

Cao Hải Vân

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC 5

1.1.1 Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học 5

1.1.1.1 Khái niệm về năng lực 5

1.1.1.2 Năng lực Toán học 6

1.1.2 Cấu trúc năng lực Toán học của học sinh 7

1.2 SUY LUẬN 10

1.2.1 Khái niệm suy luận 10

1.2.2 Các quy luật suy luận 13

1.2.2.1 Quy luật đồng nhất 13

1.2.2.2 Quy luật không mâu thuẫn 13

1.2.2.3 Quy luật bài trung 14

1.2.2.4 Quy luật phản đảo 15

1.2.2.5 Quy luật có lí do đầy đủ 15

1.2.3 Các quy tắc suy luận 16

1.2.3.1 Suy luận diễn dịch (Suy diễn) 16

1.2.3.2 Suy luận quy nạp 22

1.2.4 Mối quan hệ giữa suy luận diễn dịch và suy luận có lí 26

1.3 THỰC TIỄN DẠY HỌC GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SỬ DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN Ở MỘT SỐ TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆN NAY 27

Kết luận chương 1 28

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY LUẬN THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 29

2.1 NỘI DUNG SÁCH GIÁO KHOA VỀ CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 29

2.2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY LUẬN THÔNG QUA DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 31

2.2.1 Một số nguyên tắc đề ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua chủ đề bất đẳng thức ở trường phổ thông 31

2.2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức ở trường phổ thông 31

2.2.2.1 Biện pháp 1 Đảm bảo chuẩn kiến thức về bất đẳng thức tạo tiền đề cho các phép suy luận 31

2.2.2.2 Biện pháp 2 Bồi dưỡng năng lực sử dụng một số quy tắc suy luận chứng minh thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức 36

2.2.2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện khả năng dự đoán và suy luận có lí thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức 45

2.2.2.4 Biện pháp 4 Phối hợp giữa dự đoán và suy luận có lí với suy luận chứng minh trong dạy học giải toán bất đẳng thức 62

2.2.2.5 Biện pháp 5 Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ từ bài toán chứng minh bất đẳng thức sang bài toán cực trị và ngược lại 71

2.2.2.6 Biện pháp 6 Phát hiện và sửa chữa một số sai lầm liên quan đến suy luận trong giải toán bất đẳng thức 78

Kết luận chương 2 88

Chương 3 THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 89

3.1 MỤC ĐÍCH THỬ NGHIỆM 89

3.2 TỔ CHỨC VÀ NỘI DUNG THỬ NGHIỆM 89

3.2.1 Tổ chức thử nghiệm 89

3.2.2 Nội dung thử nghiệm 89

3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 91

3.3.1 Đánh giá định tính 91

3.3.2 Đánh giá định lượng 91

Kết luận chương 3 92 KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

1 Nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông đang là một nhu cầu cấpthiết của xã hội đặt ra đối với ngành giáo dục Việc ứng dụng các thành tựu khoahọc nhất là khoa học giáo dục vào đổi mới phương pháp dạy học là một trongnhững định hướng được quan tâm ở nước ta và các nước trên thế giới Đổi mớiphương pháp dạy học đang trở thành vấn đề then chốt nhằm nâng cao chất lượngdạy học hiện nay Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI của Đảng cũng đã xácđịnh: “Phát triển giáo dục là quốc sách hàng đầu Đổi mới căn bản, toàn diện nềngiáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hoá, dân chủ hóa

và hội nhập quốc tế, trong đó, đổi mới cơ chế quản lý giáo dục, phát triển độingũ giáo viên và cán bộ quản lý là khâu then chốt Tập trung nâng cao chấtlượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo,

kỹ năng thực hành, khả năng lập nghiệp”

2 Toán học vốn là khoa học của nhiều khoa học và kỹ thuật khác trong đờisống Trong nhà trường phổ thông, Toán học đóng một vai trò hết sức quan trọngvào việc phát triển tư duy cũng như hình thành các phẩm chất, phong cách laođộng khoa học cho học sinh Như trong bức thư gửi các bạn trẻ yêu Toán, cốThủ tướng Phạm Văn Đồng đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kỹ thuật,

Toán học giữ một vị trí nổi bật Nó có tác dụng to lớn đối với nhiều ngành khoahọc khác, đối với kỹ thuật đối với sản xuất và chiến đấu Nó còn là môn thể thaotrí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phươngpháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúpchúng ta rèn trí thông minh sáng tạo” Vì vậy nâng cao chất lượng dạy học mônToán ở trường phổ thông đang trở nên cấp thiết đối với ngành giáo dục ViệtNam Một trong những yếu tố góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đó là vaitrò của phương pháp dạy học bộ môn Toán, vai trò của người thầy Hiểu cácnguyên tắc giáo dục, các quy luật của sự phát triển tâm lý học sinh, vận dụngsáng tạo các phương pháp dạy học sẽ là nhân tố quan trọng ảnh hưởng đến chấtlượng giáo dục toàn diện cho học sinh.

3 Suy luận là một hình thức của tư duy và nếu như người thầy biết vận dụngcác quy tắc, quy luật suy luận vào dạy học sẽ giúp cho học sinh phát huy hết tínhsáng tạo trong quá trình giải toán Bồi dưỡng năng lực suy luận cho hoc sinhnghĩa là chúng ta đang góp phần nâng cao năng lực trí tuệ - một trong nhữngnhiệm vụ trọng tâm của nền giáo dục toán nước ta hiện nay Hiện nay đã có một

số công trình khoa học nghiên cứu về suy luận như: Toán học và những suy luận

có lý của G Polya; luận án tiến sĩ của Trần Luận: “Vận dụng tư tưởng sư phạm của G Polya xây dựng nội dung và phương pháp trên cơ sở hệ thống các bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II”;

luận án tiến sĩ của Nguyễn Văn Thuận: “Góp phần phát triển năng lực tư duy

lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học Đại số”… và một số luận văn thạc sĩ giáo dục học liên

quan đến suy luận khác

4 Bất đẳng thức là một chuyên đề khá quan trọng trong chương trình Toánphổ thông Qua thực tiễn dạy học chúng tôi thấy việc áp dụng các quy tắc, quyluật suy luận vào giải toán chứng minh bất đẳng thức không những rèn luyện kỹ

năng giải toán mà nó còn góp phần bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy củahọc sinh Người ta nói không quá rằng bất đẳng thức luôn là một đề tài phát huyhết khả năng sáng tạo của học sinh Có rất nhiều sách về bất đẳng thức nhưng tất

cả chỉ có lời giải, điều chúng ta quan tâm là những cách thức tìm ra lời giải đó

Với các lí do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Bồi dưỡng năng lực suy luận thông

qua dạy học giải toán bất đẳng thức đại số ở trường trung học phổ thông”.

II Mục đích nghiên cứu

Thông qua chủ đề bất đẳng thức rèn luyện và phát triển năng lực suy luậnchứng minh và suy luận có lí cho học sinh phổ thông, qua đó góp phần vào quátrình rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đồng thời đi đúnghướng về tinh thần đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay

III Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về khoa học giáo dục học mônToán về một hình thức tư duy đó là năng lực suy luận, nghiên cứu quá trình dạyhọc về chủ đề bất đẳng thức ở chương trình toán phổ thông

IV Giả thuyết khoa học

Nếu chúng ta quan tâm đúng mức việc vận dụng các kết quả của khoa họcgiáo dục học môn Toán về suy luận vào dạy học giải toán bất đẳng thức, thì sẽgóp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học môn Toán ở trường phổthông, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạyhọc toán trong giai đoạn hiện nay

V Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về hình thức tư duy suy luận;

- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề bất đẳng thức và thực trạng dạy họcchủ đề này ở trường phổ thông;

- Xây dựng các biện pháp đề xuất nhằm nâng cao năng lực suy luận giải toánbất đẳng thức thông qua dạy học chủ đề này.

VI Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tư duy và hình thức tư duy suy luận;

- Nghiên cứu các vấn đề về nội dung và phương pháp dạy học các kiến thứcToán ở trường phổ thông mà trọng tâm là chủ đề bất đẳng thức;

- Phạm vi khảo sát thực tiễn dạy học ở các trường phổ thông trong tỉnh Gia Lai

VII Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận;

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra, khảo sát thực tế…

- Thử nghiệm sư phạm;

- Xử lí số liệu thực tiễn và thử nghiệm bằng phương pháp thống kê Toán học…

VIII Dự kiến đóng góp của luận văn

- Hệ thống một số vấn đề về lý luận dạy học có liên quan đến hình thứcnăng lực Toán học suy luận;

- Đề xuất một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực suy luậnthông qua dạy học giải toán bất đẳng thức cho học sinh;

IX Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương.Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức đại số ở trường trung học phổ thông

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ QUAN ĐIỂM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC

1.1.1 Khái niệm về năng lực và năng lực Toán học

1.1.1.1 Khái niệm về năng lực

Theo quan điểm của nhà tâm lý học Nga V A Cruchetxki thì: Năng lực đượchiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứngnhững yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành cônghoạt động đó" ([17], tr 15)

Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững trithức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạtđộng đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương Vì thế người ta đánhgiá trình độ năng lực của mỗi người thông qua kết quả của hoạt động đó

Ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:

động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổcủa những thành tựu đạt được của xã hội loài người

thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định củacon người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyếtnhững yêu cầu đặt ra Năng lực góp phần làm cho quá trình lĩnh hội tri thức, kỹnăng, kỹ xảo trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi và

dễ dàng hơn

1.1.1.2 Năng lực Toán học

Theo V A Cruchetxki: “Năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểmtâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm trí tuệ) đáp ứng được những yêu cầunhiệm vụ học tập Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì lànhững nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạoToán học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng,sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học” Dựa trên kếtluận nghiên cứu của V A Cruchetxki, Trần Luận đã quan niệm về năng lực

Toán học của học sinh như sau: (Về cấu trúc năng lực Toán học của học sinh,

Viện khoa học giáo dục Việt Nam, [1], tr 87):

a) Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng đượcyêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành

có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó

b) Năng lực Toán học được hiểu dưới hai khía cạnh sau:

- Là năng lực sáng tạo – năng lực hoạt động khoa học Toán học mà hoạt độngnày tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối với loàingười, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội

- Là năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý đáp ứng được yêu cầu củahoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng trong lĩnhvực Toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện nhưnhau

Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lý của học sinh nhằm đápứng những yêu cầu của các hoạt động Toán học thông qua tính linh hoạt, sángtạo để có thể giải quyết các vấn đề đặt ra của tri thức Toán học mà chúng đanghướng tới Khi nói đến học sinh có năng lực Toán học, đó là những học sinh có

đủ khả năng tiếp thu và vận dụng được các kiến thức toán mà mình thu nhậnđược để từ đó có thể giải quyết cũng như phát triển kiến thức đó Mỗi học sinh

có năng lực Toán học khác nhau; biểu hiện trong lớp có người học giỏi, khá kể

cả học sinh học yếu kém Về vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ

A N Kolmogorov, cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ

để cho các em đó tiếp thu, nắm được Toán học trong trường trung học với sựhướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.1.2 Cấu trúc năng lực Toán học của học sinh

Một trong những công trình nghiên cứu về tâm lý năng lực Toán học của học

sinh quy mô nhất là: “Tâm lý năng lực Toán học của học sinh” năm 1967 của V.

A Cruchetxki Trong chương: “Giả thuyết các thành phần của năng lực toán

học với tư cách là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả nêu ra các thành

phần sau đây:

1) Năng lực hình thức hóa tư liệu Toán học, năng lực tách hình thức ra khỏinội dung, năng lực trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và các hìnhdạng không gian và sử dụng cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các quan hệ vàcác liên hệ;

2) Năng lực khái quát hóa tư liệu Toán học, tách những cái chính và bỏ quanhững cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài;3) Năng lực sử dụng hệ thống dấu và số;

4) Năng lực suy luận lôgic, được phân nhỏ hợp lý, tuần tự (A N

Kolmogorov), có liên quan với nhu cầu chứng minh, biện chứng, kết luận;

5) Năng lực rút gọn quá trình suy luận, tư duy bằng các cấu trúc thu gọn;

6) Năng lực tư duy thuận nghịch (năng lực chuyển từ quá trình thuận sang đảocủa tư duy);

7) Tính linh hoạt của tư duy, năng lực chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thaotác trí tuệ khác, thoát được sự ràng buộc vào các khuôn mẫu, công thức;

8) Trí nhớ Toán học;

9) Năng lực của biểu tượng không gian

Trên cơ sở nghiên cứu về các thành phần của năng lực Toán học của học sinh,trong tổng kết công trình nghiên cứu của mình, ông đã đi đến sơ đồ tổng quát vềcấu trúc năng lực Toán học của học sinh như sau:

1 Thu nhận thông tin Toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toánhọc, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

2 Chế biến thông tin Toán học:

a) Năng lực tư duy lôgic trong các quan hệ số lượng và hình dạng khônggian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực tư duy bằng các ký hiệu Toán học;b) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ Toán học vàcác phép toán;

c) Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học và hệ thống các phép toántương ứng Năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn;

d) Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động Toán học;

e) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của tiến trình tưduy thuận sang tiến trình tư duy đảo (trong suy luận Toán học)

3 Lưu trữ thông tin Toán học: Trí nhớ Toán (trí nhớ khái quát về các quan

hệ Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giảitoán; nguyên tắc và đường lối giải toán)

4 Thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hướng Toán học của trí tuệ

Còn theo Viện sĩ A N Kolmogorov cho rằng trong thành phần của nănglực Toán học có:

(1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìmcon đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhàToán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angoritmic”;

(2) Trí tưởng tượng hình học hay là “năng lực trực giác”;

(3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúngđắn Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp Toán học

Chúng ta có thể nhận thấy các sơ đồ nói trên của của các tác giả gần giốngnhư các kỹ năng giải toán của học sinh Sự liên quan của việc giải toán với nănglực Toán học, B V Gơ-nhe-đen-cô đã khẳng định: “Ý nghĩa của các OlympicToán là rất lớn Nhưng chúng chỉ có vai trò hạn chế trong sự phát triển hứng thúToán học của học sinh Chúng phát triển chủ yếu là thiên về việc giải các bàitoán không chuẩn mực Các năng lực Toán học có thể bộc lộ không chỉ trongviệc đó, mà nhiều nhà Toán học bằng các phát minh của mình mà họ đã có đónggóp to lớn cho khoa học nhưng có thể trong thời trẻ không dành được giảithưởng nào trong kỳ thi Họ có những năng lực đặc thù khác: Trong hoàn cảnhyên tĩnh, không vội vã, họ đã khai phá được những con đường giải quyết các vấn

đề lớn đặt ra trước khoa học Sự không thành đạt trong các kỳ thi Olympic hoàntoàn không có nghĩa là thiếu tài năng Toán học…” Chúng ta không phủ nhậnnhững học sinh giỏi toán trong các kỳ thi học sinh giỏi là những học sinh cónăng lực Toán học đặc biệt Các em đã được phát hiện và bồi dưỡng một cáchtích cực nhằm phát huy hết năng lực vốn có Nhưng đó chỉ rất ít trong số hàngtriệu học sinh của nước ta Vấn đề đặt ra cho giáo dục nước nhà là làm sao để cónhiều và nhiều hơn nữa những học sinh như vậy Dạy học như thế nào, để phầnlớn học sinh có thể hoàn thiện những năng lực Toán học như đã nêu ở trên, để từ

đó mỗi học sinh của có thể độc lập giải toán cũng như giải quyết một công việchọc tập khác? Đó đang là vấn đề mà các nhà sư phạm, các nhà giáo dục phải đitìm câu trả lời Việc nghiên cứu các thành phần cấu trúc năng lực Toán học củahọc sinh, từ đó tìm ra những phương pháp góp phần phát triển tư duy cho họcsinh sẽ phần nào giải đáp được câu hỏi trên

1.2 SUY LUẬN

1.2.1 Khái niệm suy luận

Theo Hoàng Chúng: "Suy luận là rút ra phán đoán mới từ một hay nhiều phán

đoán đã có Phán đoán đã có được gọi là tiền đề, phán đoán mới được gọi là kết

luận của suy luận" ([6], tr 56).

Cùng trên quan điểm về suy luận, các tác giả Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn VănVĩnh cho rằng: “Suy luận là quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới rút ra được gọi là hệ quả hay là kết luận ” ([7], tr 140).

Còn theo Phạm Văn Hoàn và các cộng sự thì: “Suy luận là nhận thức hiệnthực một cách gián tiếp Đó là một quá trình tư duy, xuất phát từ một hay nhiềuđiều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới” ([8], tr 85)

Một quan niệm tương tự mà theo Nguyễn Hữu Lương gọi là “hoạt động suy

nghĩ” Theo ông: “Để suy nghĩ, trước hết chúng ta phải huy động các ảnh liên

quan đến vấn đề đặt ra đã và đang tồn tại trong đầu chúng ta, gợi lại (tái hiện) đểnhận ra đâu là giả thiết, đâu là kết luận, nghĩa là ta đã biết trước những gì và phảitìm ra cái gì, hay chứng minh cái gì Ta hình dung ra giữa hai “địa điểm” giảthiết và kết luận còn có những chướng ngại như những con sông chưa thể vượtqua được Suy nghĩ tức là phải tìm ra chiếc cầu, những con đường có thể vượtqua những chướng ngại này để nối liền hai địa điểm đó” ([12], tr 91) Và ông đãđưa ra một sơ đồ về hoạt động suy nghĩ (Sơ đồ như hình vẽ)

Như vậy, suy luận là một hình thức tư duy của con người mà khi gặp một tìnhhuống buộc chúng ta phải suy nghĩ, phải tìm cách để giải quyết nó Trong dạyhọc Toán, suy luận không được thể hiện một cách tường minh, nó được thể hiệndưới dạng ẩn tàng và thường xuyên được sử dụng như một phương thức kiểmchứng năng lực Toán học của học sinh

“Suy nghĩ là quá trình gợi lại giả thiết, kết luận và các kiến thức cũ để tạo nên

mối quan hệ mới”

Sơ đồ hoạt động suy nghĩ

 Cấu trúc của suy luận: Mỗi suy luận gồm có ba thành phần:

- Tiền đề: là những phán đoán xuất phát, tức là những tri thức đã biết, đã

xác định tính chân thực của nó, để từ đó tìm ra được những phán đoán mới,những tri thức mới mà tính chân thực của nó phụ thuộc vào tính chân thực củacác tri thức xuất phát

- Lập luận: là các quy luật lôgic cơ bản kết hợp với các hình thức lôgic của

phán đoán và các quy tắc lôgic xác định, cho phép người ta rút ra được nhữngkết luận nhất định từ những tiền đề

- Kết luận: là những phán đoán mới được rút ra từ những tiền đề bằng các

phép lập luận

 Phân loại:

Suy luận gồm có hai loại: suy luận suy diễn và suy luận có lí

- Suy luận diễn dịch (Suy diễn): Là suy luận tuân theo những quy tắc lôgic

nhất định để bảo đảm rằng nếu tiền đúng thì kết luận rút ra cũng đúng Trong cáchoạt động giải toán nhất là hoạt động chứng minh, suy luận diễn dịch thườngxuyên được sử dụng như là một công cụ hữu ích trong các bài toán Suy luậndiễn dịch là suy luận có cơ sở, đáng tin cậy và không thể chối cãi

- Suy luận có lí: Cho đến nay cũng chưa có một định nghĩa thống nhất về suy

luận có lí Suy luận có lí có thể tạm hiểu là những suy luận mà giữa tiền đề vàkết luận đang có một sự khập khiểng, chưa có độ tin cậy hay những phán đoán tarút ra từ suy luận có lí cần được chứng minh, thử nghiệm, kiểm chứng tính đúngđắn của nó Theo G Polya: “Suy luận có lí là suy luận còn bấp bênh, phải tranhcãi và có điều kiện… Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều cóliên hệ với các suy luận có lí, là suy luận duy nhất mà ta quan tâm trong côngviệc hàng ngày” ([19], tr 4)

Khác với suy diễn, suy luận có lí không tuân theo một quy tắc tổng quát nào

để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác định Cũng theo G Polyathì hai loại suy luận nói trên không hề mâu thuẫn với nhau, mà trái lại bổ sungcho nhau “Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh,được xem như chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứng minh Nhưng Toánhọc trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quátrình hình thành Bạn phải dự đoán một định lý Toán học trước khi bạn chứngminh nó Bạn phải dự đoán ý của chứng minh, trước khi tiến hành chứng minhchi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương

tự, bạn phải thử đi thử lại Kết quả sáng tạo của nhà Toán học là suy luận chứngminh, là chứng minh; nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí

và dự đoán” ([19], tr 5) Hai loại suy luận không những không mâu thuẫn với

nhau mà có mối quan hệ mật thiết trong dạy học môn Toán

1.2.2 Các quy luật suy luận

Trong quá trình lập luận tức là từ tiền đề đến kết luận của phép suy luận cầnđảm bảo một số quy luật suy luận như: quy luật đồng nhất, quy luật không mâuthuẫn, quy luật bài trung, quy luật phản đảo, quy luật phủ định của phủ định, quyluật có lí do đầy đủ… Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu một số quy luật thường gặptrong quá trình suy luận.

Trong quá trình lập luận, tư tưởng nào cũng phải được diễn đạt một cáchchính xác, phải có nội dung xác định và vững chắc tức là mọi tư tưởng đưa raphải đồng nhất với chính nó Ví dụ như hình vuông là hình vuông, hình bìnhhành là hình bình hành chứ không đồng nhất hình vuông với hình bình hành Tuynhiên, điều này chỉ đúng trong mặt tĩnh của không gian Nhưng khi chúng ta xétđến mặt động nghĩa là chúng ta đang xét nó trong không gian afin thì hai kháiniệm trên lại đồng nhất với nhau Do đó, trong quá trình dạy học thì khi đưa ra

một phán đoán nào thì cũng phải xét nó trong một “môi trường” xác định để

tránh những hiểu lầm hoặc không chính xác trong tư duy

1.2.2.2 Quy luật không mâu thuẫn

Hai phán đoán khẳng định và phủ định về cùng một đối tượng thì không thểđồng thời là đúng đắn

Quy luật không mâu thuẫn được biểu thị: “A không thể là không A” hay được

biểu diễn dạng công thức A A . Ví dụ như đường thẳng không thể là đườngkhông thẳng Cũng giống như trong quy luật đồng nhất, luật không mâu thuẫncũng chỉ đúng hoàn toàn khi đối tượng chúng ta đang xét phải cùng nằm trongmột “quan hệ” nhất định

Chẳng hạn, Newton - người phát minh ra phép tính vi phân đã nói rằng: “Tôi coi những phần đường cong rất nhỏ là những đường thẳng” Rõ ràng khẳng định

trên vi phạm cả luật đồng nhất cũng như luật không mâu thuẫn Nhưng nó lại

phản ánh chân thực hơn hiện thực, nó giúp ta hiểu sâu về một dạng vận động củavật chất Tất nhiên điều trên chỉ được con người hiểu và vận dụng nó trong điều

kiện có “vốn” Toán học nhất định Không thể ép học sinh nhỏ tuổi tưởng tượng

điều trên và vận dụng nó thông qua các phép toán như vi tích phân được Tưtưởng trên đã được các nhà sư phạm nghiên cứu để tạo ra những sản phẩm phùhợp với trình độ phát triển của loài người Người thầy cũng nên tập dượt cho họcsinh những thói quen sử dụng qui luận trên trong suy luận cũng như nghiên cứu

1.2.2.3 Quy luật bài trung

Nội dung của quy luật bài trung là hai phán đoán mâu thuẫn với nhau khôngthể cùng giá trị cùng đúng hoặc cùng sai đươc

Quy luật bài trung được thể hiện qua công thức A A

Quy luật này cũng chỉ đúng trong trạng thái tĩnh và tách rời khỏi những mốiliên hệ quan hệ với các sự vật khác Nhưng nếu xem xét trong trạng thái động vàtrong mối quan hệ với sự vật khác thì nó không còn đúng nữa Ví dụ như ta xéthai đường tròn có bán kính khác nhau (C1) và (C2) Rõ ràng nếu ta chỉ xét trongquan hệ mêtric thì (C1) “không là” (C2) (chứ không thể vừa là (C2) vừa không là(C2)) Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ xét trong quan hệ đồng dạng thì (C1) là (C2)(chứ không thể vừa (C2) vừa không thể là (C2)) Nếu chú ý đến cả quan hệ đồngdạng và mêtric thì (C1) vừa là (C2) vừa không là (C2)

Luật bài trung có ý nghĩa vô cùng to lớn Nó giúp ta lựa chọn tư tưởng, tìnhcảm, hành động trong quá trình hoạt động Nó chỉ rõ con đường suy nghĩ chínhxác, thoát khỏi trạng thái mâu thuẫn hỗn loạn của tư tưởng Nó đưa ra chỗ dựavững chắc, quả quyết để tư tưởng tìm ra kết quả chính xác

Quy luật bài trung cũng là cơ sở của một trong những phương pháp chứng

minh trong Toán học, đó là phương pháp chứng minh bằng phản chứng.

1.2.2.4 Quy luật phản đảo

Công thức của quy luật phản đảo là (A B)  (B A)

Trong Toán học, việc giải một số bài toán thuận rất khó chẳng hạn như chứngminh các định lý hình học bằng sử dụng hệ tiên đề thì phép suy luận đảo lạithường xuyên được sử dụng Trong chương trình Toán phổ thông ở đầu cấp, họcsinh đã được trang bị phương pháp chứng minh này Tất nhiên, cơ sở của phépchứng minh này vẫn là quy luật phản đảo trong phép suy luận

1.2.2.5 Quy luật có lí do đầy đủ

Một phán đoán được xem là đúng đắn hay là chứng minh được nếu nó có đầy

đủ luận cứ Nghĩa là, bất kỳ một phán đoán nào đã được chứng minh hay kiểmnghiệm đều là cơ sở cho việc chứng minh các phán đoán khác Mỗi phán đoánmuốn trở thành cơ sở của những phán đoán khác đều phải được chứng minh vớiđầy đủ luận cứ

Theo Phạm Văn Hoàn và các đồng nghiệp: “Quy luật có lý do đầy đủ đòi hỏirằng mọi tư tưởng phải có căn cứ lôgic và chỉ với điều kiện ấy nó mới có được lí

lẽ đúng đắn” ([8], tr 72)

Như vậy, trong quá trình suy luận mà không tuân theo quy luật có lí do đầy đủthì không thể đi đến kết luận chính xác trong phán đoán của mình Do đó trướckhi đưa ra một kết luận nào thì cũng phải suy xét hết tất cả các lý do có căn cứ vàbằng các phép lập luận lôgic Điều này là cần thiết trong quá trình tập luyện cho

học sinh suy luận để loại trừ các khả năng học sinh cho rằng “thừa hay thiếu giả

thiết”.

Trên đây là năm quy luật thường được vận dụng vào trong quá trình suy luận,việc vận dụng linh hoạt và sáng tạo các quy luật nói trên vào quá trình dạy học làhết sức quan trọng bởi nó sẽ đảm bảo được tính chính xác của khoa học Toánhọc nói chung cũng như các suy luận trong đời thường nói riêng

1.2.3 Các quy tắc suy luận

1.2.3.1 Suy luận diễn dịch (Suy diễn)

a) Suy diễn trực tiếp

Suy luận trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề do

đó phép suy diễn này người ta còn gọi là phép suy diễn từ một tiền đề Tronglôgic học thì phép suy diễn trực tiếp bao gồm: phép chuyển hóa, phép đảongược, phép đối lập vị ngữ và suy luận theo “hình vuông lôgic” Trong Toán họcthì phép suy luận trực tiếp chủ yếu là những mệnh đề đơn giản, hay chỉ là cácphép suy ra từ mệnh đề này sang mệnh đề khác

Xét hai mệnh đề phức hợp A và B Nếu ta phát biểu mệnh đề (A B) (Từ Asuy ra B hay nếu có A thì có B) Người ta viết suy luận này dưới dạng: A/B.Trong trường hợp (A B) là hằng đúng thì ta có một phép suy diễn và ta gọi B

là kết luận của A

Trong thực tế dạy học, phép suy luận trực tiếp như trên được sử dụng rấtnhiều Điều quan trọng là giáo viên cho học sinh tiếp cận bài toán như thế nào,nghệ thuật đặt câu hỏi ra làm sao để học sinh có thể rèn được kỹ năng suy diễntrực tiếp, cũng từ đó rèn cho học sinh cả quá trình suy luận Mặt khác, chúng tarèn luyện cho học sinh phép suy luận trực tiếp là đang tập dượt cho học sinhphép suy diễn từ nhiều tiền đề

Sau đây, ta sẽ đi xét một số quy tắc suy diễn từ một tiền đề trong Toán học:

 Nếu A=B (A và B luôn cùng giá trị chân lí) thì A B và B A luônđúng Và ta có hai quy tắc suy diễn: A/B và B/A

Ta xét định lý sau: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hìnhchữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” Nghĩa là chúng ta có hai quytắc suy diễn là: “Nếu ABCD là hình vuông thì nó là một hình chữ nhật có haiđường chéo vuông góc” và “Nếu ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéovuông góc thì nó là hình vuông” Trong từng trường hợp cụ thể, ta có thể vận

dụng tính chất này hay tính chất kia sao cho phù hợp với con đường lập luận củabài toán.

 Quy tắc phản đảo: Công thức của quy luật này là (A B) = (B A ) Đâycũng là một quy tắc suy luận thường được sử dụng trong quá trình suy luận Nó

có tác dụng rèn luyện kỹ năng lật ngược vấn đề, tính linh động trong tư duy cũngnhư phương pháp chứng minh phản chứng

Ví dụ Xét tính khả vi của hàm số sau tại điểm x 0 1

2 3 1( )

Xét một ví dụ khác về quy tắc nói trên: Chứng minh định lý sau:

“Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”

Định lý trên thực sự khó khăn đối với học sinh bằng phép lập luận thuận.Nhưng nếu học sinh biết vận dụng quy tắc trên thì lại không quá khó Bởi họcsinh đã có cơ sở là tính chia có dư của một số tự nhiên để từ đó phân chia cáctrường hợp của một số tự nhiên không chia hết cho 5 Điều quan trọng là họcsinh biết lập luận mệnh đề phản đảo của bài toán và nắm vững quy tắc suy diễnnhư trên

 Xét ví dụ: Mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng là số chẵn đều chia hết cho

2 Do đó số 3478 chia hết cho 2

Quy tắc suy diễn ở đây là: Nếu một phán đoán là đúng với mọi phần tử thuộcmột tập hợp nào đó thì phán đoán là đúng với một phần tử bất kỳ thuộc tập hợp

ấy

Quy tắc được viết dưới dạng: (với mọi xX) P(x)/P(a), với aX

Quy tắc này thường xuyên được sử dụng trong những phép suy luận ở mức độđơn giản, dễ nhận thấy Nhưng không vì lí do đó mà chúng ta coi nhẹ việc rènluyện quy tắc này Nó không những giúp học sinh xử lí nhanh những tình huốngtrong dạy học mà nó còn góp phần phát triển tư duy suy luận một cách nhạy béntrong từng trường hợp cụ thể

b) Suy diễn từ nhiều tiền đề

i Quy tắc modus ponens

Quy tắc suy luận modus ponens thường được sử dụng trong chứng minh một

mệnh đề Toán học bằng cách đi từ các mệnh đề đúng đã biết, suy diễn tới mệnh

đề cần chứng minh

Quy tắc này còn được gọi là quy tắc “Tam đoạn luận khẳng định”.

Công thức của quy tắc là A B, A

B

Ví dụ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b ta luôn có

( )2

a ab b  a b Bài toán xuất phát từ các tiền đề là các kết quả chúng ta có trước đó, đó là

vậy là nhờ các phép biến đổi đại số 2 2 1 2 2 1 2

( ) ( )

a ab b  a b  a b Khi đó,vận dụng kết quả trên, ta suy ra được điều phải chứng minh và dấu đẳng thứcxảy ra khi và chỉ khi a=b

ii Quy tắc modus tollens

Quy tắc modus tollens còn gọi là quy tắc tam đoạn luận phủ định Đây là

cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng

Sơ đồ của quy tắc này là

A

B B

ba bất đẳng thức là sai” là cơ sở cho học sinh tìm ra được lời giải của bài toán.Tức là, ta giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều đúng Khi đó, bằng các phép suydiễn, học sinh phải đi tìm ra một điều mâu thuẫn với giả thiết hay một kết quảđúng trước đó

Thật vậy, nhân các vế tương ứng ba bất đẳng thức nói trên lại với nhau ta được

1 1 1(1 ) (1 ) (1 )

Từ (1) và (2), ta có điều mâu thuẫn.

Vậy có ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho là sai □

iii Quy tắc lựa chọn

Qui tắc này có ý nghĩa tập cho học sinh khả năng suy luận để loại trừ nhữngtrường hợp không xảy ra, từ đó có bước giải quyết bài toán gọn hơn

Sơ đồ của quy tắc là A B, A

Đến đây, bằng phép suy diễn đơn giản, ta loại trừ được khả năng cosx 0 Vì

nếu cosx 0 thì 1 cos

cos 0 2

cos

x x

x

   Trường hợp này phương trình đã cho

vô nghiệm Như vậy, quy tắc lựa chọn giúp chúng ta quy về bài toán giải

phương trình 1 cos

cos

x x

x

  trong trường hợp cosx > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: cos 1 2

cos

x

x

 

   cos 1

cos 1

x x

iv Quy tắc bắc cầu của phép kéo theo

Sơ đồ của quy tắc là  



A B, B C

A CQuy tắc bắc cầu của phép kéo theo là một chuỗi các phép suy diễn từ một tiền

đề để đi đến kết luận Quy tắc này thường xuyên được sử dụng trong dạy họcchứng minh bất đẳng thức Điều quan trọng là biết định hướng và lựa chọnnhững bất đẳng thức trung gian để con đường đi đến kết luận là ngắn nhất Do

đó, cần luyện tập cho học sinh phép suy diễn nào là ngắn gọn nhất, tránh tìnhtrạng đi lòng vòng không cần thiết

Ví dụ Chứng minh rằng, với mọi số dương a, b, c ta luôn có bất đẳng thức

1 1 13

Ở đây, chúng ta tập cho học sinh kỹ năng suy diễn nhờ tính chất bắc cầu củaphép kéo theo

1 1 1 9

3

1 1 13

1.2.3.2 Suy luận quy nạp

Theo G Polya: “Suy luận quy nạp là trường hợp riêng của suy luận có lí” ([19],

tr 9) Do đó, khi nghiên cứu về suy luận có lí, người ta thường quan tâm đến suyluận quy nạp là chủ yếu

Theo Phạm Văn Hoàn thì có bốn hình thức của suy luận quy nạp Đó là:

- Quy nạp hoàn toàn;

- Quy nạp Toán học;

- Quy nạp không hoàn toàn;

- Phép tương tự

a) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là quy nạp trong đó ta rút ra kết luận nói rằng thuộc tính

A có ở tất cả các phần tử của tập hợp đang xét, trên cơ sở biết rằng thuộc tính A

trong đó x lấy giá trị từ x đến 1 x 2

Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rãi để chứng minh các định lý và giảitoán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được chứng

minh là đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra Để thực hiện được quy

nạp hoàn toàn cần:

+ Biết chính xác số đối tượng và từng đối tượng để tránh bỏ sót hay trùng lặp + Số đối tượng không lớn

+ Dấu hiệu của đối tượng có thể xem xét được

Mặc dù, quy nạp hoàn toàn là một hình thức quy nạp nhưng xét tính đúng đắncủa suy luận thì ta có thể xem quy nạp hoàn toàn là suy luận chứng minh ([7], tr.142)

b) Quy nạp Toán học

Trong trường hợp số phần tử đang xét là vô hạn, ta không thể kiểm tra phánđoán đối với mọi phần tử được nên phải sử dụng phương pháp quy nạp Toánhọc Theo G Polya, “Quy nạp Toán học là phương pháp chứng minh, phươngpháp này thường có ích để khẳng định các mệnh đề Toán học mà ta đi tới nhờmột quá trình nào đó” ([19], tr 131) Như vậy, quy nạp Toán học thường xuấthiện như bước kết thúc hay giai đoạn cuối cùng của sự nghiên cứu quy nạp

Quy nạp Toán học tuân theo sơ đồ A(1)  A(k) A(k 1) 

.A(n)

Quy nạp Toán học được thực hiện qua hai giai đoạn, đó là giai đoạn quy nạp

và giai đoạn chứng minh Cho no là một số nguyên dương và P(n) là mệnh đề cónghĩa với mọi số tự nhiên n  no, sao cho:

i) P(no) đúng;

ii) Với mỗi số tự nhiên k  n0, nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng

Khi đó mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n  no

Ví dụ Chứng minh rằng

n

b a

1 1

1 1

 a k  b k a b  0.+) Nếu a<b và theo giả thiết –a<b thì a k b k  a k b k  a k  b k.a b 0.Vậy (3) luôn đúng, hay bất đẳng thức (1) được chứng minh □

Quy nạp hoàn toàn và quy nạp Toán học thường được sử dụng trong suy luận

chứng minh Kết luận rút ra trong hai loại quy nạp này bao giờ cũng chắc chắnđúng, rõ ràng

chung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến ([7], tr 145) Ta

có sơ đồ: A1  A2   A k  A n, trong đó k<n

Theo Phạm Văn Hoàn thì “quy nạp không hoàn toàn để dự đoán những phátminh mới, chứ kết luận qua quy nạp không hoàn toàn mới chỉ có tính chất giảthuyết mà thôi” ([8], tr.88)

Chúng ta quan tâm đến quy nạp không hoàn toàn và gọi tắt nó là quy nạp với đúng nghĩa là "trường hợp riêng của suy luận có lí", "quy nạp chỉ cho một kết luận có

lí mà không phải một kết luận đã được chứng minh" như G Polya đã nói đến Quy

nạp đóng vai trò quan trọng trong quá trình dự đoán, sáng tạo cái mới

d) Phép tương tự

Tương tự cũng được xem như là một dạng suy luận quy nạp Cũng như quynạp không hoàn toàn, kết luận rút ra từ phép tương tự chỉ mang tính chất giảthuyết Tuy nhiên, nó cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng trong quá trìnhgiải toán và sáng tạo Toán học Đặc biệt trong quá trình tự học, mọi “phát minh”của học sinh đều dựa trên một sự tương tự những kết quả đã có nào đó Do đó,giáo viên nên khuyến khích học sinh phát huy hết khả năng bắt chước này Nhưthế, không những giúp các em có thể giải quyết được bài toán hiện tại, mà còn cóthể các em bắt chước để tìm ra những phát minh táo bạo hơn, và cao hơn là tậpcho các em phong cách nghiên cứu Toán học một cách độc lập và sáng tạo

Tóm lại, qui nạp không thể thiếu trong mọi suy luận Toán học, học sinh cầnđược tập luyện thường xuyên để hoàn thiện năng lực suy luận của mình.

1.2.4 Mối quan hệ giữa suy luận diễn dịch và suy luận có lí

G Polya đã khẳng định: Ai cũng biết Toán học có khả năng tuyệt diệu dạy tacách suy luận chứng minh… Với tất cả những ai đang học Toán, Toán sơ cấphoặc Toán cao cấp và quan tâm nắm vững môn học này, tôi muốn nói rằng: “Tấtnhiên chúng ta sẽ học chứng minh, nhưng chúng ta cũng sẽ học cả dự đoán nữa”([19], tr 5) Tư tưởng của ông là coi trọng sáng tạo Toán học cho học sinh thôngqua các hoạt động dự đoán mà nghĩa ở đây là suy luận có lí Ông đã bỏ nhiều

tâm huyết của mình trong quyển sách “Toán học và những suy luận có lí”, với

mong muốn người dạy cũng như người học biết vận dụng hết khả năng suy luận

có lí Dù kết quả có như thế nào thì quá trình suy luận có lí cũng góp phần khôngnhỏ trong sự phát triển tư duy cho học sinh

Theo Phạm Văn Hoàn thì “không thể có suy diễn nếu không có quy nạp” và

“quy nạp liên hệ mật thiết với suy diễn” Như chúng ta đã biết, suy diễn là đi từcái chung đến cái riêng, nhưng để đi đến các luận đề làm cơ sở cho suy diễn thìphải qua quá trình mò mẫm, dự đoán, quan sát và khái quát hóa tri thức đó lên

Do đó, quy nạp giữ vai trò chủ yếu Ngược lại, tri thức thu được nhờ suy luậnquy nạp là chưa đầy đủ, thiếu tin cậy Muốn biết tri thức đó có thuộc chân lí haykhông thì phải qua suy diễn dựa vào các luận đề đã được thực nghiệm kiểmchứng

Trong dạy học Toán, không nên tách rời suy luận chứng minh với suy luận có

lí Bên cạnh tập luyện cho học sinh biết vận dụng các đinh nghĩa, định lý, hệ quả,tính chất vào giải một bài toán, thì giáo viên cũng nên cài vào đó những tìnhhuống gợi vấn đề cho học sinh có thể dự đoán, mở rộng, tổng quát hóa bài toán.Nghĩa là phải biết vận dụng suy luận qui nạp trước khi vận dụng đến suy diễn

“Sáng tạo trong Toán học là một loạt suy diễn và quy nạp kế tiếp nhau: suy diễn

đưa đến những sự kiện cụ thể riêng biệt; sau đó người làm toán so sánh, đốichiếu các sự kiện với nhau phát hiện ra những dấu hiệu chung, rồi có khái quátlên thành một lí thuyết tổng quát; khi lí thuyết này đã đạt được cơ sở vững chắcthì suy diễn lại giúp đi sâu vào lí thuyết đó, giúp phát hiện ra những sự kiện cụthể mới v v…” ([8], tr 90).

1.3.THỰC TIỄN DẠY HỌC GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SỬ

DỤNG CÁC PHÉP SUY LUẬN Ở MỘT SỐ TRƯỜNG PHỔ THÔNG HIỆNNAY

Qua thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, đặc biệt là dạy học giải toán bấtđẳng thức đại số có sử dụng các phép suy luận còn tồn tại một số điểm sau:

 Kiến thức về suy luận đang rất hạn chế, học sinh chưa được tiếp cận hoặctiếp cận những kiến thức này chỉ ở dưới dạng ẩn tàng

 Chủ đề bất đẳng thức là một chủ đề khó đối với người học cũng như ngườidạy Kiến thức liên quan đến chủ đề này khá rộng trong khi số lượng tiết học còn

ít, nhất là ban cơ bản Sách giáo khoa Toán ở trường phổ thông chỉ mới trang bịrất ít phương pháp chứng minh bất đẳng thức, sách tham khảo thì không có chọnlọc, xa rời thực tế dạy học trên lớp

 Kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của học sinh từ lớp dưới còn hạn chếthậm chí chưa hề được tiếp cận Nhiều học sinh học xong chương trình Toán 10

mà vẫn không hề có một kỹ năng hay phương pháp chứng minh bất đẳng thứcnào Giáo viên cũng chưa quan tâm đúng mức đến chủ đề này cũng như việc vậndụng các qui tắc suy luận vào giải toán Do đó, chất lượng dạy học chủ đề bấtđẳng thức đang còn nhiều hạn chế nhất là các trường không chuyên

 Thực tế khảo sát việc dạy học chủ đề bất đẳng thức ở một số trường họctrên địa bàn thành phố Pleiku, tỉnh Gia Lai cho thấy thực trạng trên là rất phổbiến Hầu hết giáo viên chưa có điều kiện để tập luyện cho học sinh năng lực suyluận vào giải toán chủ đề này Do điều kiện địa lý và lịch sử nên học sinh ở đây

không có nhiều điều kiện để tiếp xúc nhiều với chủ đề này Mặt khác, do chủ đềbất đẳng thức trong các kỳ thi chỉ xuất hiện dưới dạng những bài toán khó nênhọc sinh chấp nhận “bỏ” mảng kiến thức này Khi hỏi các giáo viên trong trườngcũng như trên địa bàn thành phố Pleiku thì chủ đề bất đẳng thức được xem như

là một mảng kiến thức “xa xỉ”, không thực tế

Bất đẳng thức luôn là một “mảnh đất” cho sự sáng tạo của người dạy và ngườihọc Toán Tuy nhiên, thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông cònnhiều hạn chế, làm ảnh hưởng đến sức sáng tạo rất lớn có trong chủ đề này củahọc sinh Nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bấtđẳng thức, thì việc vận dụng các kiến thức về suy luận để rèn luyện kỹ năng giảitoán là hết sức quan trọng

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY LUẬN

THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Ở

thuyết và 1 tiết bài tập đối với sách chương trình nâng cao; 1 tiết lí thuyết và 1tiết bài tập đối với chương trình chuẩn

+) Hiểu được khái niệm và nắm được tính chất của bất đẳng thức;

+) Sách giáo khoa không xây dựng lại các quan hệ  , mà chỉ ôn tập bằngcác ví dụ cụ thể Tuy nhiên, nhiều phép chứng minh lại cần sử dụng định nghĩa

a b Vì vậy, sách giáo khoa có đưa ra tương đương: a b  a b 0

+) Khái niệm bất đẳng thức được trình bày theo ngôn ngữ lôgic Bất đẳng thức

là một mệnh đề dạng "a b ","a b ","a b ","a b " Như vậy, có bất đẳng thứcđúng, bất đẳng thức sai và việc chứng minh một bất đẳng thức có nghĩa là chứngminh một bất đẳng thức đúng

+) Học sinh đã biết các tính chất của bất đẳng thức ở các lớp dưới nên sách

giáo khoa chỉ tổng kết trong một mục với tiêu đề Ôn tập và bổ sung tính chất

của bất đẳng thức.

+) Bất đẳng thức Cauchy được chứng minh chặt chẽ như là một ví dụ mẫu vềchứng minh bất đẳng thức dựa vào tương đương a b  a b 0 Bất đẳngthức Bunyakovsky được trình bày dưới dạng bài đọc thêm

+) Các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối được khẳng định như những hệ quảtrực tiếp của định nghĩa giá trị tuyệt đối

Như vậy, thời lượng chương trình sách giáo khoa dành cho chủ đề bất đẳngthức là rất hạn hẹp Khối lượng kiến thức không nhiều, nhưng nó đòi hỏi họcsinh một lượng kỹ năng tương đối lớn đặc biệt là đối với học sinh khá và giỏi.Nếu dựa vào thời lượng phân phối như trên, cùng với mức độ cần đạt về kiếnthức và kỹ năng, thì giáo viên không có nhiều điều kiện để bồi dưỡng năng lựcsuy luận cho học sinh vào chủ đề này Do đó, muốn nâng cao kỹ năng và cácphương pháp chứng minh bất đẳng thức cho học sinh thì các trường học chỉ cóthể dạy bồi dưỡng thông qua các tiết học tự chọn, các buổi bồi dưỡng chuyên đềcho học sinh… Bên cạnh đó, giáo viên cũng có thể hướng dẫn các em cách tựhọc chuyên đề này thông qua một số hình thức như học qua internet thông qua

các diễn đàn Toán học, các tạp chí Toán học như Toán học và tuổi trẻ, Toán tuổi

thơ,… Tất cả đều hướng đến một mục tiêu giúp các em có được một nền tảng

kiến thức để có thể phát triển năng lực Toán học một cách toàn diện thông quadạy học giải toán bất đẳng thức

2.2.MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC SUY LUẬN THÔNG

QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.2.1 Một số nguyên tắc đề ra các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua chủ đề bất đẳng thức ở trường phổ thông

Nguyên tắc 1 Bồi dưỡng và phát triển năng lực suy luận trước hết phải đáp

ứng được mục đích của việc dạy, học môn Toán ở trường phổ thông

Nguyên tắc 2 Bồi dưỡng và phát triển năng lực suy luận dựa trên định hướng

đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Nguyên tắc 3 Hệ thống các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng bồi dưỡng để

phát triển năng lực suy luận đồng thời góp phần quan trọng làm cho học sinhnắm vững tri thức, kỹ năng môn học

2.2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực suy luận thông qua dạy học giải toán bất đẳng thức ở trường phổ thông

2.2.2.1 Biện pháp 1 Đảm bảo chuẩn kiến thức về bất đẳng thức tạo tiền

đề cho các phép suy luận

Chúng ta biết rằng, suy luận bao gồm ba thành phần: tiền đề, lập luận và kếtluận Trước khi nâng cao các kỹ năng cũng như phương pháp chứng minh bấtđẳng thức, thì việc tập luyện cho học sinh những tri thức ban đầu về bất đẳngthức là hết sức quan trọng Đó là các khái niệm, các tính chất, các bất đẳng thức

cơ sở, các phương pháp chứng minh và các kiến thức Toán học liên quan Các

em cần được tập luyện những hoạt động củng cố định nghĩa, các tính chất bấtđẳng thức; học cách chứng minh một số bất đẳng thức cơ sở, cách thức vận dụngcác bất đẳng thức cơ sở; từ đó rèn luyện cho chúng những phương pháp chứngminh cơ bản ban đầu Chúng ta chưa đòi hỏi học sinh phải có kỹ thuật này hay

kỹ thuật khác, mà đơn giản là củng cố và hoàn thiện tri thức chuẩn một cáchchuẩn xác nhất, tạo niềm tin cho các em chuẩn bị chiếm lĩnh những tri thức mới

Ví dụ 2.1.1 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có

2 2 2 2

Giả sử bài toán được dạy sau khi học sinh học định nghĩa và tính chất về bấtđẳng thức Vấn đề là làm thế nào để học sinh có thể giải đúng bài toán dựa trênnhững kiến thức vừa học?

Xuất phát từ hằng đẳng thức (a b c  )2 a2 b2 c2 2(ab bc ca  ) Cảhai bất đẳng thức đều qui về chứng minh a2 b2 c2 ab bc ca  (1.1.1) Cóđược nhận xét như vậy là từ định nghĩa của bất đẳng thức: a b  a b 0.Nhiệm vụ bây giờ là yêu cầu học sinh chứng minh (1.1.1)

Nhân vào hai vế của (1.1.1) với số 2, bài toán lại qui về chứng minh bất đẳngthức 2a2 2b2 2c2  2ab 2bc 2ca  hay 0 (a b )2 (b c )2 (c a )2 0

 (a b )2 (b c )2 (c a )2  Bất đẳng thức này đúng với mọi số thực a, b,0

c Do đó (1.1) được chứng minh và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c □

Ví dụ 2.1.2 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

Cơ sở cho việc tìm lời giải bài toán đó là các hằng đẳng thức đã biết, bất đẳng thức Cauchy cùng với các tính chất của bất đẳng thức Sử dụng khai triển a3b3

và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta luôn có

Vậy (2.1) được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c □

Ví dụ 2.1.3 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh rằng

1 1 1 36

9

x  y  z  x y  y z z x (3.1) Bài toán này nếu vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng Engel thì có vẻkhông hợp lý Một manh mối có thể gợi ra lời giải của bài toán đó là sự đối xứngtrong bất đẳng thức cần chứng minh giữa x, y và z Liên hệ vế trái (3.1) thì họcsinh phải suy được về đánh giá biểu thức 9 x y 2 2  y z2 2 z x2 2  P(x,y,z)

Do sự đối xứng của ba biến x, y, z nên chúng ta có thể dự đoán được dấu “=”xảy ra khi x = y = z = 1 Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

9 x y  y z z x 12 1.1 1.12 x y y z z x2 2 2 2 2 2 123 xyz

Trong phép đánh giá này, kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy làquan trọng Kỹ thuật này được hình thành và củng cố thông qua hoạt động tìm

tòi giải toán của học sinh Để đạt đến trình độ này không phải học sinh nào cũng

có thể làm đươc, đó trước tiên là những học sinh có năng lực Toán học thực sự

a b c d

Nhìn qua bài giải chúng ta thấy lời giải tương đối ngắn gọn, áp dụng bất đẳngthức phù hợp Tuy nhiên, xét kỹ đề bài thì lời giải trên chưa hề sử dụng giả thiết

a + b + c + d = 4 Phải chăng đề bài đã bị dư hay lời giải chưa hợp lí?

Trong lời giải trên, người học đã vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho đánh giá

2

1 b 2b, và khi đó 2

1

a b

 2

a

b Đây là sai lầm mà người học thường mắc phải

trong đánh giá một bất đẳng thức Nguyên nhân chủ yếu là do các em không nắm

vững được tính chất của bất đẳng thức Cần làm rõ cho các em thấy: Thực chấtcủa phép đánh giá trên là phép so sánh hai phân số có cùng tử số và khác mẫu số

mà học sinh đã được học ở các lớp dưới

Để đánh giá được như trên, người học phải biết biến đổi vế trái (4.1) về một biểu

thức ngược dấu Tức là ta có thể viết lại