Vành và môđun Cohen Macaulay

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM ========o0o======== TRNG TH THY VNH V MễUN COHEN - MACAULAY LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2013 ết q ứ ợ trì tr t tr tự ợ sử ụ ệ ột ọ ị t ệ sử ụ ệ t ợ ý ủ tổ ứ t t t ệ trì tr ợ rõ ố t ọ r ị ý ủ trở ủ ọ r ợ t t tì ủ r t q s tr ệ ứ t ị t tỏ ò ết s s tớ tỏ ò ết ễ ự P ế t tì ể t ợ ữ ế tứ sở rt ết trờ P tổ số t ề ệ t ợ t tự ệ ế ọ t ủ ì t ệ ổ ũ ộ t tr q trì ụ ụ ó ế tứ ị ề ộ ố ề ị ộ s ủ ệ số rt ủ tứ rt số ộ ệ số rt tứ tứ t ủ ệ t ó q trọ tr số ó ề ứ ụ tr ì ọ số ý tết t ế ổ ợ ệ ợ s từ ị ý trộ ủ ệ ợ t ệ t tr trì ủ sr s (A, m) tr ị M A ữ s ý ệ t ế q trọ depth M ộ s ủ M dim M ề ủ M ó depth M dimM ế M ó r M ế M = depth M = dimM ế tr ị A tì t ó A trì ột số tí t tr ủ ợ trì ột số ế tứ sở ị ĩ ề ộ s ề r ữ ụ t ữ ứ ợ trì tr ị ĩ tí t ủ ố ề ũ ợ trì ủ ố ột q trọ ủ ứ ề P ị ĩ ề ộ s ù tí t r ũ trì ị ĩ í q tự í q P ủ t trì tí t ứ ế tì ột tứ A A[x1 , , xn ] ũ ó t ì tr trì ề ệ số rt ủ ị ý tứ rt ệ số e0 e1 ũ ợ trì ế tứ ị r sốt ũ tr t tết A ó ị ỉ ột số ế tứ tết ể trì s ề ộ ị ĩ ột tự tố p0 p1 p2 pn ủ A ợ ọ ột í tố ó ộ tr ú ủ ộ tt í tố tr r ủ A ợ ọ ề A ề ủ A í ệ dim A ị ĩ tr ú ủ ộ tự tố p = p0 p1 p2 pr t t từ ủ p ợ ọ ộ ủ p í ệ ht p I ột A ộ ủ I,í ệ ht I ợ tứ ht I = inf{ht p | p V (I)} tr ó V (I) t tố ủ A ứ I ị ĩ M ột A ó ề ủ M í ệ dim M ợ ị dim M = dim(A/ Ann M ), tr ó Ann M = {a A | aM = 0} ú ý r ề ủ ột ữ s tr ị ột số ữ ệ ề ế (A, m) ột ị tì dim A = ht m p ột tố ủ A ó dim Ap = ht pAp = ht p ị ý sử sử : A B ột ủ tr q Spec(B) t p = q A ó ht(q) ht p + ht(q/pB) = r ế ị ĩ tố q p tố ủ A ột q = p0 p1 pn = p s pi = pi+1 ợ ọ ột tố ò ữ q p ế ọ i tồ t ột tố ữ pi pi+1 ó r A tr ế ọ tố q p ủ R tồ t ột tố ữ q p ọ tố ữ q p ề ó ộ A ợ ọ tr ổ ụ ế A tr ọ A số ữ s tr tr A tr ổ ụ ế A tr A[x1 , , xn ] tr ọ n ố ề ị ị ĩ I ủ A ỗ A N t ị ĩ (0 :N I n ) ế f : N N A tì t I (N ) = n0 ó f : I (N ) I (N ) f (x) = f (x) ó I () tử tr từ trù ợ ọ tử I A ế trù A ột ộ ủ M ột M E0 E1 E2 tr ó ỗ Ei ộ ú ý r ỗ ề ú ợ ột ộ ì tế ỗ ề ó ộ ị ĩ st tứ N A I ủ A n ủ tử I I () ứ M ợ ọ ố ề tứ n ủ N í ệ HIn (M ) ụ tể ế u u N E0 E1 E2 ộ ủ N, t ộ tử I () t ó ứ u u (E0 ) (E1 ) (E2 ) ó HIn (N ) = Ker un / Im un1 ố ề tứ n ủ ứ tr ó ụ tộ ệ ọ ộ ủ N tí t ủ ố ề ị ệ ề M ột A HI0 (M ) = I (M ) M ế ộ tì HIn (M ) = ọ i I tứ M = I (M ) tì HIn (M ) = i n M = M/I (M ) t ó HI (M ) = HIn (M ) n ế ế M M M M tì ỗ n ó ố HIn (M ) HIn+1 (M ) s t ó I (M ) I (M ) I (M ) HI1 (M ) HI1 (M ) HI1 (M ) HI2 (M ) ết q s ó r ề ủ ột ó tể tr t q tí t t ủ ố ề ị ệ ề dim M ọ I ủ A ó HIi (M ) = i < ệt dim M = Sup{i | Hmi (M ) = 0} ọ i > r sốt t tết ó ị ộ s ủ ị ĩ sử ột tử ủ A ột M ột A a1 , , ar A ó a1 , , ar ột M í q M ế ề ệ s tỏ M = (a1 , , ar )M ỗ i > M M a1 (a1 , ai1 )M (a1 , , ai1 )M ột ĩ a1 ủ tr M/(a1 , , ai1 )M i n ế a1 , , ar ột í q ột M M í q tì a1 , ũ ột M i r tt tộ I t ó a1 , , ar í q tr ữ ế tồ t b I s a1 , , ar , b M í q ó a1 , ar ợ ọ ột M í q tố tr I ế í q tr M ỉ ó í q tr N ổ ề ột a1 í q tr M N A ó ột a1 , , ar M r a2 , , ar ột M í q ỉ M/a1 M í q ế a1 , , ar M ột í q tố tr I tì a2 , , ar ột M/a1 M í q tố tr I ứ ọ a b tồ t í t ủ A M/bM = N/bN N = M/aM ế a1 , , ar M í q tì a1 í q tr M a2 í q tr N = M/a1 M i r í q tr M/(a1 , , ai1 )M = N/(a2 , , ai1 )N ó a1 , , ar ột N í q ề ợ ứ t tự ổ qt ế a1 , , ar ột M í q t t N = M/(a1 , , ar )M ế b1 , , bs ột N í q tì a1 , , ar , b1 , , bs ột M í q ổ ề ế tì a1 , , ar ứ a1 , , ar ột ũ A í q M ột A M í q (a1 , , ar )M = M Pé tr a1 ị ột A A ì a1 A í q sr M M t t r é tr a1 ũ ột M M tự tsr a2 A/a1 A/a1 t ợ ột M/a1 M M/a1 M ổ ề n1 A ột trớ ột a1 , , ar M ột M A số í q ỉ ó M n í q ứ ó sử r a1 , , ar M í q ứ M n í q t q r r trờ ợ r = ể ú sử r > tết q a1 , , ar1 M n í q t L = (a1 , , ar1 )M ó (a1 , , ar1 )M n = Ln I ột tự tù ý ht.I = r ó dim(A/I) = Sup {dim(A/p)|p V (I)} = Sup {dimA ht(p)|p V (I)} t ột tố r p tố tể ủ I ht(p) = r ó ể dim(A/I) = dimA r (ii) ế q p tố ủ A Ap t ó dim(Ap ) = ht(q)Ap + dimAp /qAp ó A í ó tr ị ĩ A ế Ap ị ọ tố p ủ A ễ t tí t ợ t q ổ ề A sử r tì B AB B ột tr A ế A B tr ũ ứ q ột tố ủ B p = q A ó Bq tr Ap ổ ề t ó depthBq (Bq ) depthAp (Ap ) = dim(Ap ) t dim(Bq ) dim(Ap ) ó depthBq (Bq ) dim(Bq ) Bq ị ĩ t A ột tr I ột tự AssA (A/I) = {p1 , , ps } tố ết ủ I ó r I trộ ế tt pi tố tể htpi = ht(I) ọ i r trờ ợ tì A/I ó tố ú ó r ị ý ề trộ ú tr ó A ế ề s ú r ế I tự ó ộ r ợ s r tử I trộ ú ý r ột trộ ỉ tố ú ó tố ú A/I ó r = tì ề ệ ó ĩ A ổ ề A tr ế ị ý trộ ú Am ọ tố m tì ị ý trộ ú tr A tr ứ I tự ó ộ r ợ s r tử r t I = q1 qn ột tí s tố tể qi pi s i n sử ột tr ữ tố ết p1 ột tố ú ủ I m ột tố ứ p1 ế qi ể tố p1 , , ps ứ tr m ò ps+1 , , pn tì ó tí s ột tí s tố tể ủ IAm IAm = q1 Am qs Am {p1 Am , , ps Am } tố tố tể ủ IAm ì p1 ú tồ t i s pi p1 ó pi Am p1 Am ề t ì IAm ó ộ r ợ s r tử ị ý trộ ú tr Am ị ý trộ ú tr A ổ ề A trộ ú tr A ế a A í q tì ị ý ề trộ ú tr ứ ột tr sử ị ý ề A/(a) I tự ủ A ứ a sử I/(a) ó ộ r ợ s r r tử tr A/(a) ổ ề tì I ó ộ r + ợ s r r + tử tr A ó ủ I trộ ế {p1 , , pn } tố ết I tì tố ết ủ I/(a) {p1 /(a), , pn /(a)} ì ht(pi ) = ht(I) = ht(I)/(a) I/(a) trộ ổ ề tr ọ A A tr ị ý ề trộ ú ó ế a1 , , ar I ứ I ột tự s ht(I) = r t ó tể ht(a1 , , ar ) = i i r ứ t tự ổ ề trừ trờ ợ ứ I ứ ột tử í q tr q ú t sử ụ ổ ề ị ý A ột tr ó A ỉ ị ý ề trộ ú tr ứ A sử ị í ề trộ ú tr tố ó ộ A p ột r ết r r = dimAp depth(Ap ) depthp A t ổ ề ế r = tì tồ t tử í q tộ p ó depthp A = t dimAp = = depth(Ap ) Ap ế r tì t ổ ề t ó tể tì a1 , , ar p s ht(a1 , , ar ) = i i r (a1 , , ar ) trộ t tết ết ủ ai+1 tộ tố A/(a1 , , ar ) a1 , , ar ột A í q tr p depthp (A) r dimAp = r = depth(Ap ) Ap ợ sử A ể r ị ý ề trộ ú tr ợ Am tố m ó tể ỏ trờ A ổ tì trộ (a1 , , ar ) ột ó ộ r > ó a1 , , ar ột A í q t ị ý A/(a1 , , ar ) (a1 , , ar ) trộ ệ q ột tr A ỉ Am ị ọ tố ứ ụ ị ý ổ ề ệ q A ế ht(a1 , , ) = i i r ị ý A[x1 , , xn ] m A tì a1 , , ar a1 , , ar A ột s A í q ó tứ ũ ó tr ổ ụ ứ ủ ỉ ứ n = q tố B = A[x] t p = q A ỉ r r Bq ết Bq Ap [x]qAp [x] qAp [x] tố ủ Ap [x] t ẹ t pAp ì Ap t ó tể ứ Bq tr trờ ợ A ị p = q A tố ó B/BpB = k[x] k ột trờ ó q = pB q = pB + f B f B = A[x] ột tứ t t ó dim(Bq ) = dim(A) + ht(q/pB) ế q = pB tì dim(Bq ) + dim(A) ể ứ Bq t ỉ ỉ r r ể sử q ì depthBq dimA ế dimA = tì ề dimA = r a1 , , ar ột A í B A Bq ũ ó a1 , , ar ũ Bq í q t ổ ề ễ t ủ tr Bq s r ột Bq í q depthBq (Bq ) r ế q = pB + f B tì dim(Bq ) = dim(A) + ì ọ tố tr ề ó ộ ứ r depthBp (Bq ) dim(A) + ế dimA = tì f ể í q tr ế B ó ó ũ í q tr Bp s r depthBp dimA = r a1 , , ar A í q ì f f í q tr B/(a1 , , ar )B ó a1 , , ar , f B í q ổ ề tì ũ Bp í q ó tr Bp t t ột Bp í q depthBp (Bp ) r + ị ý tì tr ì A A[x1 , , xn ] tr n A tr ổ ụ ệ q ế k ột trờ tì ó tr ổ ụ ọ k[x1 , , xn ] n ệ số rt ủ tứ rt số ộ A rt ó A tr ó A (A) < t B = A[x1 , , xm ] tứ B A số ữ s Bn t tt tứ t t n ó B = Bn M = Mn ột B ữ s tì n0 ó t ó ệ ề ề ộ ủ ệ ề A B n0 Mn A M ệ ề tr ộ ủ Mn s tr t ó A (Mn ) < Mn ữ ữ ó ò ột tứ ệ số ữ tỷ ợ ỉ r tr ị ý s ị ý ị ý tứ rt A[x1 , , xm ] ó A rt t B = B = Bn B0 = A Bn t n0 tt tứ t t n M = Mn ột B n0 ữ s ó tồ t ột tứ ệ số ữ tỷ PM (n) s A (Mn ) tứ ọ = PM (n) n ủ PM (n) ỉ r tr ị ý tr ợ ọ ú ý ọ tứ tứ rt ủ f (x) Q[x] sử t f (n) Z, n Z deg f = d tì t ó tể ết f (x) ợ f (x) = a0 x+d x+d1 a1 + ã ã ã + (1)d ad , d d1 tr ó a0 , a1 , , ad số ị t a0 > ụ ề tr tứ rt PM (n) t ó số a0 , a1 , , ad ; a0 > s PM (n) = a0 deg PM (n) = d ệ số t ủ tứ PM (n) a0 /d! í ụ sử n+d n+d1 a1 + ã ã ã + (1)d ad d d1 n R = k [X0 , X1 , , Xr ] k ột trờ ố tứ n+r r k (Rn ) n+r r = n ế PR (n) ó PR (X) = 1/r!(X + r)(X + R 1) (X + 1) sử A tr ị ự t m I ủ (A, m) ợ ọ ị ĩ ế tồ t n > s mn I m ó mn I m I = m ị ĩ t ó ột I m s I ị ĩ ế ỉ ế I m s I ị ĩ ủ (A, m) M A ữ s {a1 , , an } ệ s ủ I t A = GI (A) = I n /I n+1 n0 I/I ó t ó A = A/I[a1 , , an ] = + I sử ó dim(A/I) = A/I rt tứ (A/I) < n M/I n+1 M ) < ị ý tứ rt n ủ tồ t A (I tứ ệ số ữ tỉ PM,I (n) tỏ A (I ị ĩ n M/I n+1 M ) = PM,I (n) t n PM,I (n) = PM,I (n) = k=0 ó n A (I k M/I k+1 M ) = n+1 M ) k=0 PM,I (n) n ủ ợ ọ M ố I A (M/I tứ rt ủ ệ ề (A, m) ị tr M d ữ s ề ó ủ tứ tộ ọ ị ĩ ị ĩ d A ụ I I m s ủ A M A ữ s ó A (M/I n+1 M ) = PM,I (n) deg PM,I (n) = d n ủ ó tồ t số e0 , e1 , , ed , e0 PM,I (n) = e0 PM,I (n) > s n+d n+d1 e1 + ã ã ã + (1)d ed d d1 số e0 , , ed ọ ệ số rt ủ M ố I í ệ eiI (M ) ệt số e0 tr ể ễ tr ợ ọ số ộ ủ M ố I í ệ e0I (M ) ét tết tr t ó tứ d! n A (M/I M ) ế d = tì eI (M ) = n nd e0I (M ) > dim M = d e0I (M ) = lim erI (M ) ế = e0I (M )rd I, I m s I I tì e0I (M ) eI (M ) ị ý A (M ) e0q (M ) e0q (M ) = q = (x1 , , xd ) ột t số ó A (M/qM ) A (M/qM ) ỉ Gq (M ) = qn M /qn+1 M = n0 M/qM [T1 , , Td ] ệ số rt tứ tứ t ủ ị ý s tr ủ ị ý s M (A, m) tr ị M A ữ dim M = d ệ ề s t ọ t số q = (x1 , , xd ) t ó e0q (M ) = t t số A (M/qM ) q = (x1 , , xd ) t ó e0q (M ) = A (M/qM ) ứ sử (x1 , , xd ) ệ t số ủ M q = (x1 , , xd ) ì M (x1 , , xd ) í q ó t ó Gq (M ) = M/qM [X1 , , Xd ] ó e0 (M ) = A (M/qM ) q ể sử q = (x1 , , xd ) t số tỏ e(q, M ) = A (M/qM ) t B = M/qM [X1 , , Xd ] t ó t : B Gq (M ) ó tồ t t t b ủ B s Gq (M ) = B/b ọ B (n) b (n) ợt tứ rt ủ B b ó n ủ B (n) = ó A (qn /qn+1 ) A (M/qM ) n+1d d1 = B (n) b (n) t A (qn /qn+1 ) ủ t e0q (M ) B (n) ề ó t d ệ số b (n) ó ợt q d (d 1)! ứ b = (0) t sử b = (0) t ó tể ọ ột tử t t f (X) b ì q t số mr q t m/q = m ó mr = (0) ó tể t f tí ủ f ột tử ó ủ m sử f = mf = ó b fB = (M/mM )[X1 , , Xd ], ó ế deg f = p tì b (n) tr ó np+d1 d1 np+d1 d1 (), ộ ủ t t t n p tr (M/mM )[X1 , , Xd ] () t t b (n) ó d t ét tr b = (0) ó t ó Gq (M ) = B = (M/qM )[X1 , , Xd ] (x1 , , xd ) M r M t tì ể tr ủ q ệ số rt tứ t ó r A trộ ế dim A/p = d ọ p Ass A tr ó A ủ ủ A t t r ss r tết sử r A trộ ó ị ỉ e1q (A) = t số q ủ A ss ứ tết tr ú ế A ột ề ủ ột r ứ r e1q (A) t số ọ q tr ột tr ị tù ý A ứ r e1q (A) < ế depth A = d rớ ết t ột số ết q ị s ệ ề sử (A, m) tr ị M A dim M = d ó M A ỉ Hmi (M ) = ọ i = 0, , d ị ĩ sử A tr I ột ủ A P tử a I ợ ọ tử s ề t ủ I sr t ế tồ t số tự c s (I : aA) I c = I n1 ọ n > c ệ ề dimA > sử (A, m) tr ị d = dim A/p = d p ó í t sử ọ Ass(A) \ {m} ó ề s ú Hm1 (A) ữ s F = {p Spec(A) | dim Ap > depth(Ap = 1)} t ữ sử ó tồ t k = A/m trờ I a I \ mI m s ủ A a tử s ề t ủ I dim A/p = d ọ p AssA (A/aA) \ {m} ú ý ế t A ủ tứ A = A tì A ó í t Assh A = {p Ass A| dim A/p = d} sử = ột trể s ủ pAssA I(p) tr A p s I(p) tr A t UA (0) = pAssh A ọ ó t trộ ủ ị ý sử q I(p) tr A (A, m) tr ị d = dimA > ột t số tr A ó ề ệ s t (i) A (ii) A trộ e1q (A) (iii) A trộ e1q (A) = ứ ỉ ứ (ii) (i) q = (a1 , a1 , , ad ) a1 , , aq ệ t số ủ A t ó tể sử trờ k = A/m A ủ ị ú d sử d ị ú d ệ ề tồ t x = a1 tử s ề t ủ t số q Ass(A/xA) \ {m} = Assh(A/xA) ó t trộ U = UA (0) ủ tr A = A/xA ó ộ ữ ó U = Hm0 (A) t ó e1q (A/U ) = e1q (A) = e1q (A) t dim A/U = d t tết q t ó A/U ó Hmi (A) = ọ i = 0, d x A A A ủ A t ó x ã ã ã Hm1 (A) Hm1 (A) Hm1 (A) ã ã ã x ã ã ã Hmi1 (A) Hmi (A) Hmi (A) ã ã ã x ã ã ã Hmd2 (A) Hmd1 (A) Hmd1 (A) ã ã ã ố ề ị ó t ó Hmi (A) = (0) ọ i d ì Hmi (A) = (0) ọ i d r ó Hm1 (A) = xHm1 (A) ì Hm1 (A) = (0) ì Hm1 (A) = (0) ì A Hm1 (A) ữ s ó A ột t ệ ề A ột tr ị tố m d = dimA > U = UA (0) t B = A/U sử r U = (0) dimAU = t ó t < d q ột t số tr A ó t ó lA (A/qn+1 ) = lA (B/qn+1 B) + lA (U/qn+1 U ) ọ số n ó lA (U/qn+1 U ) ột tứ ớ t tồ t số {siq (U )}0it tỏ n t lA (U/q n+1 (1)i siq (U ) U) = i=0 n+ti ti s0q (U ) = e0q (U ) n d lA (A/q n+1 (1)i eiq (B) )= i=0 n+di + di t (1)i siq (U ) i=0 n+ti ti s ệ số tứ t ó ệ q s ổ ề tết tr t ó (1)di edi q (A) ó = ti ti (1)di edi sq (U ) i t, q (B) + (1) t + i d (1)di edi q (B) e1q (A) = e1q (B)e0q (U ) ế t = d1 e1q (A) = e1q (B) t d2 ó t ó e1q (A) e1q (B) r ế t d ệ q q ột t số tr tr ị A d = dimA > ó ị s ú e1q (A) e1q (A) < ế depth A = d ứ ó tể sử A ủ ì e1q (A) e1q (A/U ) U = UA (0) t tí tổ qt t ó tể sử A trộ sử e1q (A) > t ị ý A e1q (A) = ó e1q (A) ó tể sử r trờ A/m ệ q ú d = sử d ọ ột tử x q mq ể x tử s ề t ủ q ó e1q (A) = e1q (A/xA) t q tì e1q (A/xA) ị ý U = UA (0) < ó e1q (A) < t trộ ủ (0) tr A q ột t số ủ A ét ề ệ s e1q (A) = ị ó t ó A/U dimA U d (ii) (i) (i) (ii) ú A ủ ột ó ề ệ tr t ứ ổ ề t ó (ii) (i) sử r A ột ủ ột ú t ứ (i) (ii) t U = UA (0) t C = A/U ó C ột ị trộ ì C ủ ột dimC/P = d ọ P Ass C ế U = tì A trộ t ị ý t ó A sử r U t = (0) t = dimA U ó t d ữ t ệ q e0q (U ) e1q t ó e1q (A) = e1q (C) e0q (U ) < ó e1q (C) = e1q (A) = t ổ ề é t C ột t ị ý ú ý r ế A ủ ột tì (i) (ii) ì ú ú t ọ ữ ị A e1q (A) = ột t số q ủ A ss ể r ss ệ q d = dim A > A ột tr ị tố q t số ủ A sử r m eiq (A) = i d ó A ột ứ ó tể sử r A ủ m t U = UA (0) ó e0q (A) = e0q (A/U ) ì dimA U < d t t ị ý A/U ó lA (A/qn+1 ) = lA (A/[U + qn+1 ]) + lA (U/qn+1 U ) n ó lA (U/qn+1 U ) = (0) n ì lA (A/qn+1 ) = e0q (A) n+d d ọ n lA (A/[U + qn+1 ) = e0q (A/U ) ọ n n+d d ó U = (0) A ột ết r ú t trì ột số ết q ứ ề ụ tể rì ột ó ệ tố ị ĩ tí t ủ í q ộ s ủ ứ tết ế A ó ột tứ A[x1 , , xn ] ũ ó t ì tr ổ ụ rì tết ệ số rt ủ tr q ệ số tứ tứ t ủ tứ rt ệ t s rs tt r ttt rst rs r rs r ts tts r rst Prss r ss str t r ts rs rrt t rt ts rtrs rrt t r tts tt srs rtrs r t s rt ts s ss sst r rs Pr r r t r r rrt tsr tt r tr r rst Prss r rt t tr t rrt