Về lớp Môđun đối Cohen - Macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ LỚP MÔĐUN ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Môđun Artin 1.1 Môđun Artin 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Chiều Noether hệ tham số 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều phương 1.5 Dãy đối quy môđun đối Cohen-Macaulay 11 địa 13 16 Môđun Cohen-Macaulay dãy 18 2.1 Môđun Cohen-Macaulay 18 2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 19 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 28 3.1 Lọc chiều cho môđun Artin 28 3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 35 3.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 38 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 17 đào tạo thạc sĩ trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, người tận tình bảo, dạy dỗ kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua lúc khó khăn học tập Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT trường THPT Cao Bình tỉnh Cao Bằng tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Trong phạm trù môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm cấu trúc chúng biết đến cách trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay ta lớp môđun mới, chứa thực có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng nhà toán học W Vogel J Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P Schenzel Ngô Việt Trung phát vào năm 1970, trả lời giả thuyết D A Buchsbaum Một hướng mở rộng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đưa R P Stanley [18] cho môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau P Schenzel [15], Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp vành địa phương Lớp môđun Cohen-Macaulay dãy chứa thực lớp môđun Cohen-Macaulay cấu trúc chúng biết đến [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương hóa, đối đồng điều địa phương, nay, lớp môđun quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong phạm trù môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay nhiều nhà toán học nghiên cứu gọi môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc lớp môđun biết đến thông qua dãy đối quy, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [6], [19], ) Tương tự ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay phạm trù môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng đối Buchsbaum đưa chúng chứa thực lớp môđun đối Cohen-Macaulay có đặc trưng, tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Buchsbaum quen biết phạm trù môđun Noether Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether, lọc chiều cho môđun Artin xây dựng, từ dẫn đến việc đưa lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy mở rộng khác lớp môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]) Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu hai lớp môđun Cohen-Macaulay dãy môđun đối Cohen-Macaulay dãy hai báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized CohenMacaulay modules" N T Cuong and L T Nhan [6] "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules" N T Dung [7] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương Để tiện theo dõi, chương dành để tóm tắt lại kết chung môđun Artin sử dụng chương tiếp theo: Phương pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối quy môđun đối Cohen-Macaulay Toàn nội dung luận văn nằm chương chương Chương trình bày lại phần báo [6] Đó số kết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lớp môđun gọi Cohen-Macaulay dãy có tính chất tồn lọc = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nt = M môđun M cho (a) Mỗi thương Ni /Ni−1 Cohen-Macaulay (b) dim(N1 /N0 ) < dim(N2 /N1 ) < < dim(Nt /Nt−1 ) Lớp môđun có quan hệ chặt chẽ với lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, nghiên cứu trước Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua địa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng đặc trưng qua đối đồng điều địa phương sau Định lý 2.2.9 Cho = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M lọc chiều M dim Mi = di với i = 1, , t Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi khẳng định sau tương đương: (i) M Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d môđun K j (M ) không Cohen-Macaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − môđun K j (M ) không Cohen-Macaulay chiều j Chương dành để trình bày lại kết mở rộng lớp môđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A gọi đối CohenMacaulay dãy A có lọc môđun = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A cho Bi /Bi−1 môđun đối Cohen-Macaulay, với i = 1, , t N-dim A/Bt−1 < N-dim A/Bt−2 < < N-dim A/B0 = d Lớp môđun chứa thực lớp môđun đối Cohen-Macaulay có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Nội dung chương nằm báo [7], đưa khái niệm lọc chiều cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy số đặc trưng, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính chất chúng Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt môđun Artin, ta thấy A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, lại tính chất tương tự môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]) Một kết Chương đặc trưng đồng điều môđun đối Cohen-Macaulay dãy sau Định lý 3.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun đối Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d, môđun Hjm (A) Rmôđun Cohen-Macaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm (A) R-môđun Cohen-Macaulay chiều j Ta biết x phần tử quy M M môđun Cohen-Macaulay M/xM môđun Cohen-Macaulay P Schenzel [15] chứng minh kết tương tự cho môđun CohenMacaulay dãy Tuy nhiên, có phản ví dụ điều không (Chú ý 3.3.10) Vì vậy, lại đặt vấn đề tìm điều kiện cho phần tử tham số x để đặc trưng tính đối Cohen-Macaulay dãy chia cho phần tử tham số Các kết thu sau Định lý 3.3.5 Cho x ∈ m Giả sử x ∈ / p với p ∈ Att A \ {m} Khi A môđun đối Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thoả mãn d (a) x ∈ / p, với p ∈ i=1 AssR Him (A) (b) :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại kết cho môđun CohenMacaulay dãy, (Hệ 3.3.8), đồng thời Định lý 4.7 P Schenzel [15] không Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Môđun Artin Như biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng Đại số giao hoán Hình học đại số mà cấu trúc chúng biết rõ thông qua lý thuyết Đại số giao hoán: phân tích nguyên sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều tác giả nghiên cứu môđun Artin đưa số lý thuyết - theo nghĩa xem tương ứng đối ngẫu với số lý thuyết quen biết phạm trù môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether, đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ) Mục đích chương hệ thống lại số kết môđun Artin dùng chương sau Trong toàn chương này, ta ký hiệu R vành giao hoán, Noether không thiết địa phương (giả thiết địa phương cần nêu trường hợp cụ thể), A R-môđun Artin Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 Môđun Artin Cho m iđêan cực đại vành R Nhắc lại môđun m-xoắn Γm (A) A định nghĩa (0 :A mn ) Γm (A) = n≥0 Khi đó, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.1 [16, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6] (i) Giả sử A R-môđun Artin khác không Khi có hữu hạn iđêan cực đại m R cho Γm (A) = Nếu iđêan cực đại phân biệt m1 , , mr A = Γm1 (A) ⊕ ⊕ Γmr (A) Supp A = {m1 , , mr } (ii) Với j ∈ {1, , r}, s ∈ R \ mj , phép nhân s cho ta tự đẳng cấu Γmj (A) Do Γmj (A) có cấu trúc tự nhiên Rmj -môđun với cấu trúc này, tập Γmj (A) R-môđun Rmj -môđun Đặc biệt Amj ∼ = Γmj (A), với j = 1, , r Kí hiệu 1.1.2 Để cho thuận tiện, từ trở ta đặt A = A1 ⊕ ⊕ Ar JA = m, m∈Supp A Aj = ∪ (0 :A mnj ) (1 n>0 j r) Chú ý (R, m) vành địa phương JA = m Cho (R, m) vành địa phương Nhắc lại đầy đủ theo tô pô m-adic R, ký hiệu R, tập lớp tương đương dãy Cauchy theo quan hệ tương đương xác định sở lân cận phần tử iđêan Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mt , t = 0, 1, 2, R trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phép nhân dãy Cauchy với hai phép toán này, R làm thành vành Mỗi phần tử r ∈ R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r (xem [11]) Mệnh đề 1.1.3 [16, Bổ đề 1.11, Hệ 1.12] Cho A R-môđun Artin khác không vành địa phương (R, m) Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên R-môđun, R vành đầy đủ theo tôpô m-adic R tập A R-môđun A R-môđun A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên R-môđun Artin Cho (R, m) vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m Kí hiệu D( ) = HomR ( , E) Khi ta có kết sau E Matlis (xem [16, Định lý 2.1]) Mệnh đề 1.1.4 (i) R-môđun E Artin Với f ∈ HomR (E, E), tồn af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E (ii) Nếu N R-môđun Noether, D(N ) Artin (iii) Nếu A R-môđun Artin, D(A) Noether (iv) Ann M = Ann D(M ), M R-môđun cho R (D(M )) 1.2 = R (M ) < ∞, R (M ) Biểu diễn thứ cấp Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho môđun Artin nghiên cứu D Kirby D G Northcott Sau I G Macdonald [10] trình bày lại khái niệm cách tổng quát cho môđun tuỳ ý ông gọi biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ định nghĩa cho môđun Noether Trong luận văn này, dùng theo thuật ngữ I G Macdonald [10] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... môđun đối Cohen- Macaulay dãy mở rộng khác lớp môđun đối Cohen- Macaulay (xem [7]) Mục đích luận văn trình bày lại số nghiên cứu hai lớp môđun Cohen- Macaulay dãy môđun đối Cohen- Macaulay dãy hai... đối Cohen- Macaulay dãy A R -môđun đối Cohen- Macaulay dãy, lại tính chất tương tự môđun Cohen- Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]) Một kết Chương đặc trưng đồng điều môđun đối Cohen- Macaulay dãy. .. 1.5 Dãy đối quy môđun đối Cohen- Macaulay 11 địa 13 16 Môđun Cohen- Macaulay dãy 18 2.1 Môđun Cohen- Macaulay 18 2.2 Môđun Cohen- Macaulay dãy