Vẫn như chương trước, giả thiết (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether, A là R-môđun Artin với chiều Noether N-dimA = d. Mục đích của chương là nghiên cứu lớp môđun Artin chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay,được gọi là lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy. Kết quả chính của chương là đặc trưng của lớp môđun này thông qua đồng điều địa phương và điều kiện để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãy khi chia cho phần tử tham số.
3.1 Lọc chiều cho môđun Artin
Định nghĩa 3.1.1. Lọc chiều của A là một lọc
0 =A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂At−1 ⊂ At = A
các môđun con của A, trong đó Ai+1 là môđun con nhỏ nhất của A thoả mãn N-dim(A/Ai+1) < N-dim(A/Ai) với mọi i = 0, . . . , t−1.
Bổ đề 3.1.2. Lọc chiều của A luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Đặt A0 = 0. Giả sử Γ1 là tập tất cả các môđun con B của
A sao cho N-dimA/B < N-dimA/A0 = d. Khi đó Γ1 6= ∅ vì A ∈ Γ1. Vì
A1 là môđun con nhỏ nhất của Γ1. Cho B ∈ Γ1. Khi đó N-dimA/B < d. Từ dãy khớp 0 −→A/(B ∩A1) −→ A/B ⊕A/A1 ta có
N-dim(A/(B ∩A1)) 6 N-dim(A/B ⊕A/A1) < d.
Do đó A/(B ∩ A1) ∈ Γ1, và A1 ⊆ B do A1 là phần tử tối thiểu của Γ1, tức là A1 là môđun con nhỏ nhất trong Γ1.
Kí hiệu 3.1.3. Từ giờ trở đi, ta kí hiệu
A : 0 = A0 ⊂ A1 ⊂. . . ⊂ At−1 ⊂ At = A là lọc chiều của A, và A = h X k=1 (Adk,1 +. . .+Adk,nk)
là biểu biễn thứ cấp tối thiểu của Rb-môđun của A, trong đó mỗi môđun
Adk,j là bpdk,j-thứ cấp, N-dimAdk,j = dk với k = 1, . . . , h, và j = 1, . . . , nk,
và 06 d1 < . . . < dh = d.
Tiếp theo chúng ta mô tả chi tiết lọc chiều A của A theo các môđun con của biểu diễn thứ cấp của Rb-môđun A.
Định lý 3.1.4. Với kí hiệu như 3.1.3, ta có h = t và
Ai = h
X
k=h−i+1
(Adk,1 +. . .+Adk,nk)
là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của Rb-môđun Ai với mọi i = 1, . . . , t.
Chứng minh. Cho i ∈ {1, . . . , h−1}. Đặt Bi = h X k=h−i+1 (Adk,1 +. . .+Adk,nk) và Ci = h−i X k=1 (Adk,1 +. . .+Adk,nk).
Chú ý rằng A/Bi là môđun thương của Ci và N-dimCi = dh−i. Do đó N-dimA/Bi 6 dh−i. Do tính chất tối thiểu của biểu diễn thứ cấp trong Kí hiệu 3.1.3, ta có Adh−i,1 * Bi. Vì vậy
(Adh−i,1 +Bi)/Bi ∼= A
và do đó (Adh−i,1 +Bi)/Bi là bpdh−i,1-thứ cấp. Ta có
N-dim((Adh−i,1 +Bi)/Bi) = dim(R/b pbdh−i,1) = N-dimAdh−i,1 = dh−i
theo Bổ đề 1.3.4 (iii). Do đó
N-dim(A/Bi) ≥ N-dim((Adh−i,1 +Bi)/Bi) = dh−i.
Vì vậy N-dim(A/Bi) = dh−i. Tiếp theo, ta chứng minh Ai = Bi bằng quy nạp theo i. Với i = 1. Vì N-dim(A/B1) = dh−1 < dh = d, ta có A1 ⊆ B1
do tính chất nhỏ nhất của A1. Nếu A1 6= B1, thì ∅ 6= Att b R(B1/A1) ⊆Att b RB1.
Chú ý rằng dimR/b bp = d với mọi bp ∈ Att
b
RB1. Theo Bổ đề 1.3.4 (iii), ta có N-dimA/A1 ≥ N-dimB1/A1 = d, suy ra mâu thuẫn. Vậy A1 = B1. Với i > 1 và giả thiết Ai−1 = Bi−1. Khi đó N-dim(A/Ai−1) =dh−i+1. Vì
N-dim(A/Bi) = dh−i < dh−i+1 = N-dim(A/Ai−1),
và do tính chất tối thiểu của Ai nên Ai ⊆ Bi. Nếu Ai 6= Bi, chứng minh tương tự như trường hợp i = 1, ta được
N-dim(A/Ai) ≥ N-dim(Bi/Ai) ≥ dh−i+1 = N-dim(A/Ai−1),
mâu thuẫn. Do đó h = t và Ai = Bi với mọi i = 1, . . . , t.
Chú ý rằng, ta có AttRA = {bp ∩ R : bp ∈ Att
b
RA} với mỗi R-môđun Artin A. Vì vậy theo Định lý 3.1.4 ta có kết quả sau.
Hệ quả 3.1.5. Với kí hiệu như trong 3.1.3 , với mọi i = 1, . . . , t, ta có
AttRAi = {bpdk,j ∩ R : k = h−i+ 1, . . . , h;j = 1, . . . , nk},
Như đã nhắc ở chương trước, chiều Noether là khái niệm phù hợp nhất để nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin và nhiều tính chất của chiều Krull cho môđun Noether được chuyển qua chiều Noether cho môđun Artin. Tuy nhiên, không phải tính chất nào của chiều Krull cũng được ”bảo toàn” qua đối ngẫu Matlis. Cụ thể là, trong khi với mọi R-môđun Noether M, ta luôn có dimM = maxp∈AssRM dimR/p, thì nhìn chung ta chỉ có bất đẳng thức N-dimA 6 maxp∈AttRAdimR/p, (xem [5, Ví dụ 4.1]). Hơn nữa, ví dụ sau đây cho thấy rằng, hai iđêan nguyên tố gắn kết trong tập AttRA
có thể chứa nhau, mặc dù chiều của các thành phần thứ cấp tương ứng với chúng bằng nhau. Đây cũng là một trong những khó khăn khi dùng tập iđêan nguyên tố gắn kết để tính toán chiều Noether.
Ví dụ 3.1.6. Tồn tại môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu là
A = P
Bk, trong đó Bk là pk-thứ cấp, và tồn tại hai số nguyên k 6= k0 sao cho N-dimBk = N-dimBk0 nhưng pk ⊂ pk0.
Chứng minh. Cho (R,m) là miền nguyên địa phương được xây dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaund [20] sao cho dimR = 2 và dimR/b bq = 1, với
bq ∈ AssR.b Đặt B = Hm1(R). Khi đó AttRB = {0} và N-dimB = 1,
(xem [5, Ví dụ 4.1]). Lấy phần tử 0 6= a ∈ m và đặt C = Hm1(R/aR). Vì dimR/aR = 1, nên theo Mệnh đề 1.4.5, ta có
AttRC = {p ∈ AssR/aR,dimR/p = 1} = AsshR/aR.
Lấy B0 là một thành phần thứ cấp trong biểu diễn thứ cấp tối thiểu của
C. Khi đó AttRB0 = {p} với 0 =6 p ∈ AsshR/aR. Nếu đặt A = B ⊕B0
thì A= B+B0 chính là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Tuy nhiên, trong khi ta có N-dimB = N-dimB0 = 1 thì 0 ⊂ p, p 6= 0.
Cho A là một lọc chiều của A như trong Ký hiệu 3.1.3. Theo Định lý 3.1.4, các môđun Ai nhìn chung không thể tính toán được thông qua biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A như R-môđun, mà chỉ có thể được mô tả qua
biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A như R-môđun. Ví dụ sau đây minh hoạ cho nhận xét này.
Ví dụ 3.1.7. Cho (R,m) là vành địa phương Noether với chiều bằng 2, được xây dựng bởi Ferrand và Raynaud [20] như trong Ví dụ trên. Đặt
A1 = Hm2(R), A2 = Hm1(R)⊕Hm2(R) và A = R/m⊕Hm1(R)⊕Hm2(R). Khi đó ta có.
(i)A = (R/m) +A2 là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu củaR-môđunA,
trong đó R/m là m- thứ cấp và A2 là 0-thứ cấp. Vì vậy AttRA = {m,0}.
(ii) 0 = A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ A3 = A là một lọc chiều của A, với N-dimA = 2,N-dimA/A1 = 1 và N-dimA/A2 = 0.
Ví dụ này cho thấy ta không thể tính toán được môđun con A1 trong lọc chiều của A theo biểu diễn thứ cấp tối thiểu của R-môđun A. Thật vậy, vì R là miền nguyên nên AssR = {0}. Vì (R,m) là vành địa phương nên R/m là trường do đó R/m là m- thứ cấp và dimR/m = 0. Ta có AttRA1 = AttRHm2(R) = {p ∈ AssR : dimR/p = 2} = {0} theo Mệnh đề 1.4.5, vì vậy A1 là 0-thứ cấp. Đặt B = Hm1(R). Ta chứng minh N-dimB = 1 Thật vậy, vì q ∈ AssR,b dimR/qb = 1 với chú ý rằng B =
Hm1(R) ∼= H1
b
m(Rb) như Rb-môđun, nên theo [1, 11.3.3] ta có q ∈ Att
b
RB.
Vì q ∈ AssRb nên q ∩ R ∈ AssR = {0}. Suy ra q ∩ R = 0. Vì vậy AnnRB = Ann
b
RB ∩ R ⊆ q ∩R = 0. Do đó dimB = dimR/AnnRB = dimR = 2. Vì B 6= 0 nên theo Bổ đề 1.3.4 (i), (iv) ta có N-dimB 6= 0 và N-dimB 6 1. Vậy 1 = N-dimB < dimB = 2. Tiếp theo ta chứng minh B là 0-thứ cấp. Cho D(B) = HomR(B;E), trong đó E là bao nội xạ của R/m, là đối ngẫu Matlis của B xét như một Rb-môđun hữu hạn sinh. Vì Rb là Cohen-Macaulay dãy theo [15, Ví dụ 6.1], D(B) là Cohen-Macaulay chiều bằng 1 và depthD(B) = 1. Do mb ∈/ Ass
b RD(B), nên mb ∈/ Att b RB và do đó m ∈/ AttRB = {bp ∩ R : bp ∈ Att b RB}. Lấy
p ∈ AttRB. Nếu p 6= 0, thì tồn tại 0 6= x ∈ p. Cho B1 là p-thứ cấp trong biểu diễn thứ cấp tối thiểu của B. Khi đó p = √
là tồn tại n > 0 sao cho pnB1 = 0. Vì thế xnB1 = 0. Vì p 6= m nên N-dimB1 6= 0theo Bổ đề 1.3.4 (i), do đóN-dimB1 = 1.Vì thếN-dim(0 :B
xn) ≥ N-dimB1 = 1. Mặt khác, theo tính chất δ-hàm tử đối đồng điều và từ dãy khớp 0 −→ R .x n −→ R −→ R/xnR −→ 0 ta có dãy khớp 0−→ Hm0(R/xnR) −→ Hm1(R) .x n −→ Hm1(R) −→Hm1(R/xnR), suy ra ta có dãy khớp 0 −→Hm0(R/xnR) −→ 0 :B xn −→ 0.
Do đó `(0 :B xn) < ∞, nghĩa là N-dim(0 :B xn) 6 0, suy ra mâu thuẫn. Vì vậy B là 0-thứ cấp, và do đó A2 là 0-thứ cấp.
Vì dimR = 2, theo Bổ đề 1.3.4 (iv) ta có N-dimA1 = 2 = N-dimA. Hơn nữa, vì N-dim(Hm1(R)) = 1, nên ta có
N-dim(A/A1) = N-dim(R/m⊕Hm1(R)) = 1.
Hiển nhiên N-dimA/A2 = 0. Do đó ta thu được điều kiện về chiều của lọc đã cho
N-dimA/A2 < N-dimA/A1 < N-dimA.
Bây giờ, ta chứng minh bằng phản chứng A1, A2 là các môđun con nhỏ nhất của A thoả mãn tính chất giảm chiều như trên. Giả sử A01 là môđun con nhỏ nhất của A thoả mãn N-dim(A/A01) < 2. Vì N-dim(A/A1) = 1, ta có A01 ⊆ A1. Nếu A01 6= A1 thì ∅ 6= Att b R(A1/A01) ⊆ Att b RA1 = {bp ∈ AssRb : dimR/b bp = 2}
theo [1, Định lý 7.3.2]. Vì vậyN-dim(A/A01) ≥N-dim(A1/A01) = 2theo Bổ đề 1.3.4 (iii), suy ra mâu thuẫn. Vậy A1 = A01. Tiếp tục, cho A02 là môđun con nhỏ nhất của A thoả mãn N-dim(A/A02) < 1. Vì N-dim(A/A2) = 0,
ta có A02 ⊆ A2. Nếu A02 6= A2 thì ∅ 6= Att b R(A2/A02) ⊆Att b RA2. Chú ý rằngmb ∈/ Att b
RA2.Vì vậy N-dim(A/A02) ≥ N-dim(A2/A02) > 0theo Bổ đề 1.3.4 (i), mâu thuẫn. Vậy A2 = A02.
Như đã đề cập ở chương 1, các nghiên cứu một cách hệ thống về lý thuyết đồng điều địa phương trong [3] là một công cụ hữu ích để nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin. Dưới đây, ta sẽ sử dụng khái niệm và các kết quả trong [3] để đưa ra mô tả cụ thể các môđun thương A/Ai
thông qua môđun đồng điều địa phương. Với kí hiệu như trong 3.1.3 , với mọi i = 1, . . . , t−1, ta đặt b ai = \bpdk,j, trong đó bpdk,j ∈ Att b RA với N-dimAdk,j 6 dt−i.
Mệnh đề 3.1.8. Cho A là một lọc chiều của A như trong 3.1.3. Khi đó
A/Ai ∼= Habi
0 (A)
với mọi i = 1, . . . , t−1.
Chứng minh. Cho 1 6 i 6 t−1 là một số nguyên. Ta xét biểu diễn thứ cấp tối thiểu của Rb-môđun A như trong Kí hiệu 3.1.3. Không mất tính tổng quát ta đặt Ci =
t−i
P
k=1
(Adk,1 + . . .+ Adk,nk). Theo định nghĩa của abi,
tồn tại số nguyên n > 0 sao cho (abi)nCi = 0. Theo Định lý 3.1.4 ta có
Ai = t P k=t−i+1 (Adk,1 + . . .+ Adk,nk) do đó baiA ⊆ Ai (vì A = Ai + Ci nên T n≥0 baniA = T n≥0 b ani(Ai + Ci) ⊆ Ai). Mặt khác, từ định nghĩa của abi ta có Rad(Ann b
RCi) =abi. Vì vậy theo Bổ đề 1.3.4 (iii), ta có dim(R/b abi) = dim(R/b Ann
b
RCi) = N-dimCi = dt−i.
Chú ý rằng dim(R/b bpdk,j) = N-dimAdk,j = dk > dt−i với mọi k > t−i và với mọi j. Do đó dim(R/b abi) < dim(R/b bpdk,j) và abi * bpdk,j. Mà abiAdk,j =
Adk,j với mọi k > t−i và với mọi j.Vì vậyT
n≥0 baniA ⊇Ai và do đó T n≥0 baniA= Ai. Vậy Habi 0 (A) ∼= A/ ∩ n≥0baniA = A/Ai.
3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy
Tiết này dành để giới thiệu một lớp các môđun Artin chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và có các tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy trong phạm trù các môđun Noether.
Định nghĩa 3.2.1. (i) Một lọc B : 0 = B0 ⊂ B1 ⊂ . . . ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A
các môđun con củaAđược gọi là mộtlọc đối Cohen-MacaulaynếuBi/Bi−1
là đối Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t và
N-dim(A/Bt−1) < N-dim(A/Bt−2) < . . . < N-dim(A/B0) =d.
(ii) A được gọi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu tồn tại một lọc đối Cohen-Macaulay của A.
Sau đây là một số ví dụ về môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Ví dụ 3.2.2. (i) Mọi môđun đối Cohen-Macaulay đều là môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay là 0 = A0 ⊂A1 = A.
(ii) Một ví dụ khác về môđun Cohen-Macaulay dãy là môđun đun Artin
A = R/m⊕Hm1(R)⊕Hm2(R) được xây dựng như Ví dụ 3.1.7. Theo Ví dụ 3.1.7, 0 = N-dimA/A2 < N-dimA/A1 = 1 < N-dimA/A0 = 2. Do đó
0 = A0 ⊂Hm2(R) ⊂ Hm1(R)⊕Hm2(R) ⊂ A3 = A (∗)
là lọc chiều của A. Mặt khác, ta thấy A/A2 ∼= R/m là trường nên A/A
2 là đối Cohen-Macaulay. Ta sẽ chứng minh A2/A1 và A1/A0 là các môđun đối Cohen-Macaulay. Thật vậy, ta có A2/A1 ∼= H1
m(R) và vì m ∈/ AttRHm1(R) nên nếu0 6= x ∈ mthì xlà phần tử đối chính quy củaHm1(R). Do đó, ta có 1 = WidthHm1(R) = N-dimHm1(R) suy ra A2/A1 là đối Cohen-Macaulay.
Mặt khác với mỗi R-môđun M chiều d, ta có WidthHmd(M) ≥min{2, d}
nên theo Mệnh đề 1.5.3 (ii), ta có2 6 WidthHm2(R) 6 N-dimHm2(R) = 2. Vì thế Hm2(R) là đối Cohen-Macaulay hay A1/A0 là đối Cohen-Macaulay.
Vậy lọc (∗) chính là lọc đối Cohen-Macaulay, do đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Từ Định nghĩa 3.2.1, ta có một tính chất của môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi chuyển qua đầy đủm-adic, mà tính chất tương tự như vậy lại không đúng cho môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví dụ 6.1]).
Hệ quả 3.2.3. A là một R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu nó là một Rb-môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu Acó một lọc đối Cohen-Macaulay thì nó là duy nhất và nó chính là lọc chiều của A. Để có được điều đó, ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 3.2.4. Giả sử A là môđun đối Cohen-Macaulay. Cho Q là một môđun thương khác không của A. Khi đó N-dimQ = d
Chứng minh. Vì A là R-môđun đối Cohen-Macaulay nên A là Rb-môđun đối Cohen-Macaulay theo Hệ quả 3.2.3. Mặt khác, theo [13, Định lý 3.1.7] ta có dim b RA ≥ Width b RA = d do đó dimR/b bp ≥ Width b RA = d với mọi bp ∈ Att b RA. Chú ý rằng ∅ 6= Att b RQ ⊆Att b RA. Do đó N-dimQ= N-dim b
RQ = max{dim(R/b bp) :bp ∈ Att
b
RQ}= d.
Bổ đề 3.2.5. NếuA là môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen- Macaulay 0 = B0 ⊂ B1 ⊂ . . . ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A, thì A/Bi là môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay
0 = Bi/Bi ⊂ Bi+1/Bi ⊂ . . . ⊂Bt−1/Bi ⊂ Bt/Bi = A/Bi
với mọi i = 1, . . . , t.
Chứng minh. Theo định lý đẳng cấu môđun, với mọi j = 1, . . . , t−1 ta có
(A/Bi)/(Bj/Bi) ∼= A/B