2 Giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay
2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá
Trong tiết này, vẫn luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương và
M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm quỹ tích không Cohen-Macaulay của các môđun hữu hạn sinh. 2.2.1 Định nghĩa. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu bởi nCM(M), được cho bởi
nCM(M) = {p∈ Spec(R) | Mp không Cohen-Macaulay}.
Định lí sau đây là một trong 3 kết quả chính của luận văn, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M thông qua các tập giả giá.
2.2.2 Định lý. Giả sử p∈ SuppR(M). Khi đó (i) Tồn tại i 6 d sao cho p∈ PsuppiR(M) và
depth(Mp) =k −dim(R/p), dim(Mp) =t−dim(R/p),
trong đók = min i6d{i | p ∈ PsuppiR(M)}vàt= max i6d {i | p∈ PsuppiR(M)}. (ii) nCM(M) = [ 06i<j6d PsuppiR(M)∩PsuppjR(M).
(iii) Nếu s 6 d là một số nguyên thì
[
i6s
PsuppiR(M) = {p∈ SuppR(M) | depth(Mp) + dim(R/p) 6 s}.
(iv) Nếu p ∈/ [ i<d
PsuppiR(M) thì Mp là môđun Cohen-Macaulay với chiều d−dim(R/p).
Chứng minh. (i). Vì p ∈ SuppR(M) nên ta có Mp 6= 0. Đặt dimMp = n.
Khi đó n≥ 0. Theo Mệnh đề 1.5.6 ta suy ra HpnR
p(Mp) 6= 0. Vì
n+ dim(R/p) = dim(Mp) + dim(R/p) 6 dimM = d
nên tồn tại i 6 dsao cho n = i−dim(R/p). Do đó Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0,
tức là p∈ PsuppiR(M) với i 6 d.
Cho k = min
i6d{i | p ∈ Psuppi(M)}. Khi đó p ∈ PsuppkR(M). Vì thế HpkR−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Do p ∈/ PsuppiR(M) với mọi i < k nên ta có
Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) = 0 với mọi i < k. Vì thế theo Mệnh đề 1.5.7 ta có depth(Mp) = k−dim(R/p).
Đặt t = max
i6d {i | p ∈ PsuppiR(M)}. Khi đó p ∈ PsupptR(M), và do đó Hpt−Rdim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Do p ∈/ PsuppiR(M) với mọi i > t, nên ta có
Hpi−Rdim(R/p)
p (Mp) = 0 với mọi i > t. Vì thế, theo Mệnh đề 1.5.6 ta có dim(Mp) =t−dim(R/p).
(ii). Cho p ∈ nCM(M). Khi đó Mp không Cohen-Macaulay, tức là depth(Mp) < dim(Mp). Theo (i) với k = min{i | p ∈ PsuppiR(M)} và
t = max{i | p ∈ PsuppRi (M)} thì ta có k < t. Vì thế k < tvà
p ∈ PsuppkR(M)∩PsupptR(M).
Ngược lại, giả sử tồn tại i, j sao cho 06 i < j 6 d và
p ∈ PsuppiR(M)∩PsuppjR(M).
Khi đó theo (i) ta có
depth(Mp) 6 i−dim(R/p) < j −dim(R/p) 6 dim(Mp).
Do đó depth(Mp) < dim(Mp). Vì thế Mp không Cohen-Macaulay, tức là
p ∈ nCM(M).
(iii) Cho p ∈ [
i6s
PsuppiR(M). Khi đó p ∈ PsupprR(M) với r 6 s nào đó. Đặt k = min{i | p ∈ PsuppiR(M)}. Khi đó k 6r 6 s. Theo (i),
depth(Mp) + dim(R/p) = (k −dim(R/p)) + dim(R/p) = k 6s.
Ngược lại, cho p ∈ SuppR(M) sao chodepth(Mp) + dim(R/p) 6 s.Nếu
p ∈/ [ i6s
PsuppiR(M) thì theo (i) ta có depth(Mp) > s−dim(R/p).Vì thế depth(Mp) + dim(R/p) > s, điều này là vô lí.
(iv) Giả sử p ∈/ [ i<d
PsuppiM. Theo (iii), depth(Mp) + dim(R/p) =d.
Vì thế Mp là Cohen-Macaulay chiều d−dim(R/p).
2.2.3 Định nghĩa. Một tập con T của Spec(R) là đóng nếu tồn tại một iđêan I của R sao cho
Một tập con U củaSpec(R)là mở nếu tồn tại một tập đóng T củaSpec(R) sao cho U = Spec(R)\T.Chú ý rằng Spec(R) = Var(0) và ∅ = Var(R). Vì thế Spec(R) và ∅ là những tập đóng. Hơn nữa, giao của một họ tùy ý những tập đóng của Spec(R) là đóng; hợp của hữu hạn tập đóng của Spec(R) là đóng. Vì thế Spec(R)cùng với họ tập đóng này làm thành một không gian tôpô, gọi là tôpô Zariski. Spec(R) được gọi là phổ nguyên tố của R.
Nhắc lại rằng một tập con T của Spec(R) là đóng với phép đặc biệt hóa nếu với mọi p,q ∈ Spec(R) sao cho q⊆ p và q∈ T thì ta có p ∈ T.
2.2.4 Hệ quả. Giả sử M là đẳng chiều và R/AnnRM là catenary. Khi đó PsuppiR(M) là đóng với i = 0,1, d và nCM(M) =
d−1
[
i=0
PsuppiR(M).
Chứng minh. Vì Psupp0R(M) = {p ∈ Spec(R) | Hp0R−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0}.
Do đó Psupp0R(M) ⊆ {m}. Nếu PsuppR0(M) = ∅ thì Psupp0R(M) là đóng. Nếu Psupp0R(M) = {m}thìPsupp0R(M) = Var(m),do đó nó cũng đóng. Cho p ∈ Psupp1(M), khi đó dim(R/p) 6 1. Nếu dim(R/p) = 1 thì Hp0R
p(Mp) 6= 0 và suy ra pRp ∈ Ass(Mp). Theo [Mat, Định lí 6.2] ta có
Ass(Mp) ={qRp | q∈ AssM,q ⊆ p}.
Do đó p ∈ AssRM. Vì thế,
Psupp1R(M) ⊆ {m} ∪ {p ∈ AssM | dim(R/p) = 1}.
Do đó Psupp1(M) chỉ có hữu hạn phần tử tối thiểu. Vì R/AnnRM là catenary, nên Psupp1(M) là đóng với phép đặc biệt hoá (xem [BS1, Bổ đề 2.2]). Do đó Psupp1R(M) là đóng. Vì M là đẳng chiều nên
Var(AnnRM) = [
p∈AssM,dim(R/p)=d
Vì R/AnnRM là catenary, nên PsuppdR(M) = Var(AnnRM). Vì thế PsuppdR(M) là đóng. Vì PsuppiR(M) ⊆ Var(AnnRM) với mọi i nên
PsuppiR(M)∩ PsuppRd(M) = PsuppiR(M) với mọi i = 1, . . . , d−1. Theo Định lí 2.2.2(ii) ta có kết quả.
Kết quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lí 2.2.2(ii), cho ta điều kiện đủ để quỹ tích không Cohen-Macaulay của M là đóng.
2.2.5 Hệ quả. Nếu PsuppiR(M) là đóng với mọi i thì nCM(M) là đóng. Rất tự nhiên, chúng ta muốn hỏi chiều ngược lại của hệ quả trên là đúng hay không. Dưới đây là trả lời khẳng định cho trường hợp vành catenary chiều 3.
2.2.6 Hệ quả. Giả sử M là đẳng chiều và dimM = 3. Nếu R/AnnRM
là catenary thì PsuppiR(M) là đóng với mọi i 6= 2 và nCM(M) =
2
[
i=0
PsuppiR(M). Trong trường hợp này, nCM(M) là đóng nếu và chỉ nếu Psupp2R(M) là đóng.
Chứng minh. Theo hệ quả 2.2.4, PsuppiR(M) là đóng với mọi i 6= 2 và nCM(M) =
2
[
i=0
PsuppiR(M). Vì thế nếu Psupp2R(M) là đóng thì nCM(M) cũng đóng. Giả sử Psupp2R(M) không đóng. Vì R/AnnRM
là catenary, nên Psupp2R(M) là đóng với phép đặc biệt hoá (xem [BS1, Bổ đề 2.2]). Vì Psupp2R(M) không đóng nên nó có vô hạn phần tử tối thiểu. Chú ý rằng 1 6dim(R/p) 6 2 với mọi p∈ min Psupp2R(M). Hơn nữa, dim(R/p) 6 1 với mọi p ∈ PsuppR1(M)∪Psupp0R(M). Do đó mỗi phần tử tối thiểu của Psupp2R(M) là phần tử tối thiểu của nCM(M). Suy ra nCM(M) có vô hạn phần tử tối thiểu, và do đó nó không đóng.
Theo M. Brodmann và R. Y. Sharp [BS1, Ví dụ 3.1], tồn tại một miền nguyên Noether địa phương (R,m) chiều 3 sao cho R là catenary phổ dụng, Psupp2(R) không đóng, và quỹ tích không Cohen-Macaulay của R
cũng không đóng.
Trường hợp R/AnnRM không catenary, chiều ngược lại của Hệ quả 2.2.5 không đúng. Trước khi đưa ra ví dụ, ta cần kết quả sau.
2.2.7 Hệ quả. Giả sử dimM = 3và dim(R/p) = 3 với mọi p ∈ AssRM. Giả sử vànhR/AnnRM không catenary. Khi đó Psupp3R(M)không đóng. Hơn nữa, Psupp0R(M) = ∅, Psupp1R(M) ⊆ {m} và
nCM(M) = Psupp2R(M)∩Psupp3R(M).
Chứng minh. Vì R/AnnRM không catenary và M là đẳng chiều nên Psupp3R(M) không đóng. Rõ ràng Psupp0R(M) = ∅ và Psupp1R(M) ⊆ {m}.Theo Định lí 2.2.2, để chỉ ra nCM(M) = Psupp2R(M)∩Psupp3R(M),
ta cần chứng minh m ∈ Psupp2R(M) ∩ Psupp3R(M). Vì Hm3(M) 6= 0, nên ta có m ∈ Psupp3R(M). Theo giả thiết R/AnnRM không cate- nary, nên tồn tại p ∈ AssRM sao cho R/p không là miền catenary chiều 3. Do đó tồn tại bp ∈ Ass
b
R(R/b pRb) sao cho dim(R/b bp) = 2. Vì Ass
b
RMc = [
q∈AssRM
Ass(R/b qRb) theo [Mat, Định lí 23.2(ii)], nên ta suy ra bp ∈ Ass b RM .c Do đó bp ∈ Att b R(H2 mRb(Mc)) theo [BS, 11.3.3]. Suy ra Hm2(M) 6= 0. Vì thế m∈ Psupp2R(M).
Bây giờ ta chỉ ra ví dụ khẳng định chiều ngược lại của Hệ quả 2.2.5 là không đúng.
2.2.8 Ví dụ. Tồn tại một miền Noether địa phương R có chiều 3 sao cho quỹ tích không Cohen-Macaulay của R là đóng nhưng Psupp2(R) và Psupp3(R) không đóng.
Chứng minh. Theo [BS1, Ví dụ 3.2], tồn tại một miền Noether địa phương (R,m) chiều 3 sao cho R không catenary, Psupp2(R) và Psupp3(R) không đóng, và
Psupp2(R)\ {m,0} = {p ∈ SpecR | ht(p) + dim(R/p) = 2},
Psupp3(R) ={p ∈ SpecR | ht(p) + dim(R/p) = 3}.
Vì thế theo Hệ quả 2.2.7 ta có
nCM(M) = Psupp2(R)∩Psupp3(R) ⊆ {m,0}.
Rõ ràng 0 ∈/ Psupp2(R). Vì R không catenary, nên R không Cohen- Macaulay. Do đó nCM(M) ={m} là một tập đóng.