2 Giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay
2.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre
Từ nay đến hết luận văn, với mỗi i ta đặt ai(M) = AnnRHmi (M) và
a(M) = a0(M)a1(M). . .ad−1(M).
Theo Bổ đề 2.1.8, PsuppiRM ⊆ Var(ai(M)). Dưới đây là một tiêu chuẩn để hai tập này bằng nhau (xem [BS1, Mệnh đề 2,5]).
2.3.1 Bổ đề. Nếu R/AnnRM là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì PsuppiRM = Var(ai(M)) với mọi số nguyên i.
Từ Bổ đề 2.3.1 cùng với các kết quả đã chứng minh trong 2 tiết trước ta có các tính chất sau đây, trong số đó một số tính chất đã được chứng minh cho trường hợp vành cơ sở là thương của một vành Gorenstein địa phương, xem [Sh, Mệnh đề 3.8], [S, Hệ quả 3.6], [C, Định lí 2.1.2].
2.3.2 Hệ quả. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả sử R/AnnRM là vành thương của vành Cohen-Macaulay. Khi đó
(i) dim(R/p) 6 i với mọi p∈ Var(ai(M)).
(ii) (AttRHmi(M))i = (Var(ai(M)))i = (AssRM)i.
(iii) psdi(M) = psdi(Mc) = dim(R/ai(M)).
(iv) nCM(M) là đóng.
(v) Nếu M đẳng chiều thì nCM(M) = Var(a(M)).
2.3.3 Định lý. Đặt T(M) = [
06i<j6d
Var(ai(M) +aj(M)). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu R/AnnRM là vành thương của vành Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T(M).
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì R/AnnRM là catenary phổ dụng và
R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssRM.
Chứng minh. (i) suy ra từ Định lí 2.2.2(ii) và Bổ đề 2.3.1.
(ii). Cho p ∈ min AssRM. Đặt dim(R/p) = t. Giả sử R/p trộn lẫn. Khi đó tồn tại bp ∈ Ass(R/b pRb) sao cho dim(R/b bp) = k < t. Chú ý rằng
k < t 6 d. Theo [Mat, Định lí 23.2(ii)] ta có AssMc= [
q∈AssM
Ass(R/b qRb).
Vì thế pb ∈ AssM .c Do dim(R/b bp) = k, nên theo [BS, 11.3.9] ta có bp ∈
Att b R(Hk mRb(Mc)). Chú ý rằng Hk mRb(Mc) ∼= Hk m(M) xét như các Rb-môđun. Vì thế bp ∈ Att b R(Hmk(M)). Theo [BS, 8.2.4, 8.2.5], ta có p = bp ∩ R ∈
AttR(Hmk(M)). Suy ra ak(M) ⊆ p. Hơn nữa, vì dim(R/p) = t và p ∈
AssM, nên theo [BS, 11.3.9] ta có p∈ AttR(Hmt(M)).Do đó at(M) ⊆ p. Vì thếp ∈ Var(ak(M) +at(M)), trong đók < t 6 d.Suy rap ∈ T(M) = nCM(M) theo giả thiết. Vì p ∈ min AssRM, nên Mp có độ dài hữu hạn, do đó Mp là Cohen-Macaulay. Điều này là vô lí. Vậy R/p không trộn lẫn với mọi p ∈ min AssRM.
Cuối cùng ta cần chỉ ra R/AnnRM là catenary phổ dụng. Theo [Mat, Định lí 31.7(1)⇔(2)], ta chỉ cần chứng tỏ R/p là tựa không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố p của R chứa AnnRM. Cho p là một iđêan nguyên tố chứa AnnRM. Khi đó tồn tại q ∈ min AssRM sao cho q ⊆ p. Theo những lập luận ở trên, miền nguyên R/qlà không trộn lẫn. Do đó, từ [Mat, Định lí 3.1.6,(ii)] ta suy ra R/p là tựa không trộn lẫn.
Ta lại tiếp tục trở lại câu hỏi của M. Nagata [Na1]: Liệu R/p không trộn lẫn khi R không trộn lẫn và p ∈ Spec(R). Câu hỏi này được trả lời phủ định bởi một phản ví dụ của M. Brodmann và C. Rotthaus [BR]. Vì thế người ta quan tâm đến câu hỏi với điều kiện nào thì R/p không trộn lẫn. Trước khi trả lời một phần cho câu hỏi này, chúng ta cần một kết quả sau đây liên quan đến các điều kiện Serre trên M. Cho r > 0 là một số nguyên. M được gọi là thoả mãn điều kiện Serre (Sr) nếu
depth(Mp) ≥ min{r,dim(Mp)} với mọi p ∈ SuppR(M).
2.3.4 Bổ đề. Giả sử M là đẳng chiều và R/AnnRM là catenary. Khi đó
M thoả mãn điều kiện Serre (Sr) nếu và chỉ nếu psdi(M) 6 i−r với mọi
i < d. Đặc biệt, nếu M thoả mãn điều kiện Serre (Sr) thì dim(R/p) 6
d−r−1 với mọi p ∈ nCM(M).
Chứng minh. Giả thiết rằng M thoả mãn điều kiện Serre (Sr). Giả sử tồn tại một số tự nhiên n < dsao cho psdn(M) > n−r. Chop ∈ PsuppnR(M) sao cho dim(R/p) = psdn(M). Khi đó depth(Mp) + dim(R/p) 6n < d
theo Định lí 2.2.2(iii). Vì thế, theo Định lí 2.2.2(i) ta có
depth(Mp) 6 n−dim(R/p) = n−psdn(M) < n−(n−r) =r.
Vì M thoả mãn điều kiện Serre (Sr), nên ta có depth(Mp) = dim(Mp).
Vì M là đẳng chiều và R/AnnRM là catenary, nên ta có
điều này là vô lí.
Giả sử psdi(M) 6 i−r với mọi i < d. Cho p ∈ SuppR(M). Nếu Mp
là Cohen-Macaulay thì ta không cần chứng minh gì. Vì thế giả thiết rằng
p ∈ nCM(M). Khi đó ta có p ∈ d−1 [ i=0 PsuppiR(M). Đặt k = min{i | p ∈ PsuppiR(M)}.
Khi đó k < d và p∈ PsuppkR(M). Theo giả thiết dim(R/p) 6psdk(M) 6 k−r.
Do đó theo Định lí 2.2.2(i), ta có
depth(Mp) = k−dim(R/p) ≥k −(k −r) =r.
2.3.5 Định lý. Cho r ≥ 1 là một số nguyên. Giả sử M là đẳng chiều và
M thoả mãn điều kiện Serre (Sr). Nếu nCM(M) = Var(a(M)) thì R/p
không trộn lẫn với mọi p∈ SuppR(M) thoả mãn dim(R/p) ≥ d−r.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo r. Cho r = 1. Đặt
T(M) = [
06i<j6d
Var ai(M) +aj(M). Theo Định lí 2.2.2(ii) ta có
nCM(M) = [
06i<j6d
PsuppiR(M)∩PsuppjR(M)⊆ T(M) ⊆ Var(a(M)).
Vì nCM(M) = Var(a(M)) theo giả thiết nên ta có nCM(M) = T(M).
Theo Định lí 2.3.3(ii), vành R/AnnRM là catenary phổ dụng. Vì M là đẳng chiều và thoả mãn điều kiện Serre (S1) nên theo Bổ đề 2.3.4 ta có dim(R/q) 6 d−2 với mọi q ∈ nCM(M). Cho p ∈ SuppR(M) sao cho dim(R/p) ≥ d−1. Nếu dim(R/p) = d thì p ∈ min AssR(M) và do đó
R/p không trộn lẫn theo Định lí 2.3.3(ii). Cho dim(R/p) = d−1. Vì M
thoả mãn điều kiện Serre (S1) nên ta có AssRM = min AssRM. Do đó dim(R/q) = d với mọi q ∈ AssRM. Suy ra tồn tại x ∈ p sao cho x là
M-chính quy. Giả sử R/p trộn lẫn. Khi đó tồn tại bp ∈ Ass(R/b pRb) sao cho dim(R/b bp) = k < d−1.Vì x ∈ p và dim(R/p) = dim(M/xM), nên ta có p∈ min(AssR(M/xM)). Theo [Mat, Định lí 23.2,(ii)], ta có
Ass b R(M /xc Mc) = [ q∈AssR(M/xM) Ass(R/b qRb). Vì thế bp ∈ Ass b R(M /xc Mc). Từ dãy khớp 0−→ M −→x M −→M/xM −→0, ta có dãy khớp 0−→ Hmk(M)/xHmk(M) −→Hmk(M/xM) −→ 0 :Hk+1 m (M) x −→0.
Vìdim(R/b bp) =knên theo Hệ quả 2.3.2(ii) ta cóbp ∈ Att
b R(Hk mRb(M /xc Mc)). Vì thế bp ∈ Var(Ann b RHmk(M /xc Mc)). Suy ra p= bp∩ R ∈ Var(AnnRHmk(M/xM)).
Từ dãy khớp trên ta có p ∈ Var(ak(M)) ∪Var(ak+1(M)). Vì k < d −1 nên p ∈ Var(a(M)). Do đó, p ∈ nCM(M) theo giả thiết. Điều này là vô lí vì dim(R/p) =d−1. Vậy Định lí đúng cho trường hợp r = 1.
Chor > 1và giả thiết rằng Định lí đúng cho tất các các R-môđun đẳng chiều L thoả mãn điều kiện Serre (Sr−1) sao cho nCM(L) = Var(a(L)).
Cho p ∈ SuppR(M) sao cho dim(R/p) ≥ d − r. Nếu dim(R/p) = d
thì R/p không trộn lẫn theo Định lí 2.3.3(ii). Giả sử dim(R/p) < d.
Vì dim(R/q) = d với mọi q ∈ AssR(M), ta suy ra p 6⊆ q với mọi
SuppR(M/xM). Vì M thoả mãn điều kiện Serre (Sr) và x là Mq-chính quy nên ta có
depth(M/xM)q = depth(Mq)−1 ≥min{dim(M/xM)q, r −1}.
Do đóM/xM thoả mãn điều kiện Serre (Sr−1).Choq ∈ min AssR(M/xM).
Khi đó depth(Mq) = 1. Chú ý rằng M thoả mãn điều kiện Serre (S2) vì
r > 1. Do đó dim(Mq) = 1. Vì M đẳng chiều và vành R/AnnRM là catenary, nên ta suy ra dim(R/q) = d −1. Vậy, M/xM là đẳng chiều. Theo Định lí 2.2.2(iv) ta suy ra nCM(M/xM) ⊆ Var(a(M/xM)). Cho
q ∈ Var(a(M/xM)). Khi đó q ∈ Var(ak(M/xM)) với k < d − 1 nào đó. Vì thế từ dãy khớp trên ta có q ∈ Var(ak(M)) với một số tự nhiên
k < d. Suy ra q ∈ Var(a(M)). Do đó theo giả thiết ta có q ∈ nCM(M),
tức là Mq không Cohen-Macaulay. Vì x là Mq-chính quy nên Mq/xMq
cũng không Cohen-Macaulay. Do đó (M/xM)q không Cohen-Macaulay, tức là q∈ nCM(M/xM). Vì vậy ta có đẳng thức
nCM(M/xM) = Var(a(M/xM)).
Chú ý rằng p ∈ SuppR(M/xM) và
dim(R/p) ≥d−r = dim(M/xM)−(r −1).
Vì vậy theo giả thiết quy nạp áp dụng cho môđun M/xM, ta suy ra vành
R/p không trộn lẫn, Định lí được chứng minh.
Có thể xảy ra Var(a(M)) 6= nCM(M). Dưới đây là một ví dụ.
2.3.6 Ví dụ. Năm 1983, M. Brodmann và C. Rotthaus đã xây dựng một miền nguyên (R,m) Noether chiều 3 sao cho Rb là một miền nguyên và tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho R/b p là trộn lẫn. Khi đó ta có
Chứng minh. Ta phải có dim(R/p) = 2 và tồn tại bp ∈ Ass(R/b pRb) sao cho dim(R/b bp) = 1. Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.3.5, ta có thể chỉ ra rằng p ∈ Var(a1(R))∩Var(a2(R)). Vì vậy
p ∈ Var(a(R)). Vì dim(R/p) = 2 nên ta có dim(Rp) = 1 = depth(Rp). Do đó p ∈/ nCM(R).
Ví dụ 2.3.6 cho ta thấy rằng điều ngược lại của Định lí 2.3.3(ii) là không đúng. Hơn nữa, mặc dù R là đẳng chiều và thoả mãn điều kiện Serre (S1) nhưng R/p là trộn lẫn với một iđêan nguyên tố p chiều 2. Do đó giả thiết nCM(M) = Var(a(M)) trong Định lí 2.3.5 không bỏ được.
Tài liệu tham khảo
[BS] M. Brodmann and R. Y. Sharp, ``Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[BS1] M. Brodmann and R. Y. Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math. J., 167 (2002), 217-233. [C] N. T. Cuong, On the dimension of the non Cohen-Macaulay locus of
local rings admitting dualizing complexes, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 109 (1991), 479-488.
[CNN] N. T. Cuong, L. T. Nhan and N. T. K. Nga, On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, J. Algebra, 323 (2010), 3029-3038.
[Mac] I. G. Macdonald, Secondary representation of modules over a com- mutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43.
[Mat] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986.
[Na] M. Nagata, ``Local rings", Interscience, New York, 1962.
[S] P. Schenzel, Einige Anwendungen der lokalen Dualitat und verallge- meinerte Cohen-Macaulay moduln, Math. Nac., 69 (1975), 227-242. [Sh] R. Y. Sharp, Some results on the vanishing of local cohomology mod-