Về dãy lọc chính quy chặt và môđun Cohen Macaulay chính tắc

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM - TRN TH THU DUNG V DY LC CHNH QUY CHT V MễUN COHEN-MACAULAY CHNH TC Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Thỏi Nguyờn - 2013 trì ứ ủ t ộ trì tr ết q ệ ủ t t r ị ủ ủ rở ọ P ị ết s s t P ị t tì ú ỡ tr sốt q trì tự ệ t t ệ t ọ ộ Pò ý ọ rờ ọ ọ t ề ệ t ợ t tr sốt q trì ọ t ứ t trờ ũ ợ tỏ ò s s tớ t ệ ộ q t s t ọ ề ệ ú t t tốt ọ ù ó rt ề ố s tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý ế ó ó ủ t t r ị ụ ụ r ụ ụ ế tứ ị ể ễ tứ tố ết ủ rt ột số ị ề ố ề ị ề t ứ ụ ọ í q ề t í ữ ủ t tố ết tr í t ết ệ t r sốt tết (R, m) tr ị M R ữ s dim M = d A R rt í ệ AssR M t tố ết ủ M í ệ t tố ết ủ A AttR A r ột ễ ự Ptr ệt r tệ ệ ọ í q ủ M t trò q trọ ủ ó tr ệ ứ trú ủ s rộ ó ế ợ tr t trí sử ụ ể ứ ữ ề ủ số ề ế ột trờ ợ ệt ủ ó ệ t tệ r rs ỗ I ủ R r ỉ r r AttR (0 :A I n ) ụ tộ n n ủ ì tế t ợ n AttR (0 :A I n) ữ ũ ết r ố ề ị Hmi (M ) rt ọ số i ó ột ỏ tự n1 nk i (M ) (x , , xk )R) n1 , ,nk AttR (0 :Hm n1 nk i n1 , ,nk AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M ) ó t ữ t r ệ t ợ ỗ số i ỗ (x1 , , xk ) tử ủ R tr tr trờ ợ tổ qt t tr ột tr r ự ột tr ị (T, m) tử u, v m s dim T = dim T /(u, v)T = AssR H(u,v)T (T ) ột t ì tế t n n n AssR (R/(u , v )R) ó i n n n AttR (Hm (T /(u , v )T )) ột t tế t tì ề ệ ủ i ó ỏ (x1 , , xk ) ể t tố ết tr ữ r rs ứ tí ữ t ợ tr (x1 , , xk ) t ế tr í t t q t ụ í ủ trì tí t sở ủ t ột ết q ữ ủ t tố ết ủ ố ề ị tr ủ rs ột tr í t t q t tr ủ ế tứ sở ề ể ễ tứ t tố ết ột số ị ề ố ề ị ụ ụ s r ết q í ủ ệ tí t ủ t ợ trì tr tết r ết n1 nk i (M ) (x , , xk )R) n1 , ,nk AttR (0 :Hm n1 nk i n1 , ,nk AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M )) ữ ọ t ú t ứ t (x1 , , xk ) ủ M ết ố ể ứ ột tr ủ í t t q t ế tứ ị r sốt tết R ột tr ụ í ủ ột số ế tứ sở ụ ụ t ể ứ ết q ết trì ột số ệ ề ể ễ tứ ết ột số ết q ề t tố ết rt tết ợ t từ ủ ết trì ột số ệ tí t tết ề ố ề ị tr ố s ủ r r ể ễ tứ r sốt tết tết L ột R t tết ữ s ũ t tết rt ị ĩ x tì t ó é R ế tồ t ột số tự n ể xn L = x tr L ỹ ế xL = L tì t ó é x tr L t ó L tứ ế L = é x tr L t ũ ọ tử x R r trờ ợ t ợ x R s é x tr L ũ t ột tố p t ọ L ptứ ột ể ễ L = L1 + + Ln tr ó ỗ Li pi tứ ợ ọ ột ể ễ tứ ủ L L ể ễ ợ ế L = L ó ể ễ tứ ể ễ tứ L = L1 + + Ln ợ ọ tố tể ế pi ột ỗ Li từ tứ ọ i L = L1 + + Li1 + Li+1 + + Ln ú ý ị ĩ ủ tứ t ó ổ trự tế ủ ữ ptứ ptứ t ế ủ ột ptứ ptứ L1 , , Lr ptứ ủ L tì L1 + + Lr ptứ ủ L ệ q ỗ ể ễ tứ ề ó tể q ề tố tể ứ sử L = L1 + + Ln ột ể ễ tứ ủ R L ú ý t tứ từ é ữ t tứ ứ ù ột tố t ó tể rút ọ ể ễ tứ t ột ể ễ tứ tố tể P tế t trì ị í t ủ ể ễ tứ ổ ề sử ủ L Li L = L1 + + Ln ột ể ễ tứ tố tể pi tứ p Spec(R) t ể s t p {p1 , , pn } L ó t ptứ L ó t Q s AnnR Q = p ứ sử tr ể ễ tứ p = pi t Pi = j=i Lj ì Li từ L = L1 + + Ln L/Pi = ữ L/Pi = (Li + Pi )/Pi = Li /(Li Pi ) ì Li pi tứ t ú ý L/Pi pi tứ ủ L sử P t ptứ ủ L ì R tr p ữ s sử p = (a1 , , at ) ì P ptứ ỗ i = 1, , t, tồ t ni s ani i P = ọ n = max{n1 , , nt } ó pk P ị = ọ k nt P ptứ P = P = pP t ế P = pP tì k nt t ó = pk P = pk1 (pP ) = pk1 P = = pP = P, ề t ì tế Q = P/pP t ủ L P ptứ Q ptứ ó AnnR Q p õ r p AnnR Q r AnnR Q = p sử t Q = L/B tỏ AnnR Q = p ó n Q = L/B = ( n Li )/B = i=1 ỗ ế i=1 i t ó (Li + B)/B = Li /(Li B) ó t ú ý (Li + B)/B = tì ó pi tứ ệ ỏ t từ tr ể ễ Q ủ = n i=1 (Li +B)/B t ợ ột ể ễ tố tể Q ó ệ tứ tự ỉ số t ó tể tết Q ó ột ể ễ tứ tố tể Q = i = 1, , m ột số tự m ọ (Li + B)/B m i=1 Qi tr ó n ó Qi pi tứ i = 1, , m ễ ể tr ợ tế t tết t ó p s p = pi Qi pi tứ AnnR (Q) = p1 pm ì = p1 .pm ó tồ t i {1, , m} ị í s ệ q trự tế ủ ổ ề ị ý ị í t tứ t sử L = L1 + + Lm pi tứ Li L = L1 + + Ln ể ễ tứ tố tể ủ L Li qi tứ ó m = n {p1 , , pn } = {q1 , , qn } ị í t tứ t t {p1 , , pn } ụ tộ ọ ể ễ tứ tố tể ủ ễ tứ tố tể ủ L ú ý r tồ t ể L t tứ ứ ù ột tố ế tố tố tể tr t {p1 , , pn } tì t tứ t ứ ị t ó ộ ủ ị í t tứ ị ý ị í t tứ sử L = L1 + + Ln L = L1 + + Ln ể ễ tứ tố tể ủ L Li , Li pi tứ ế pi min{p1 , , pn } tì Li = Li ứ tử a( ì pi tố tể tứ pj pi ọ j = i tồ t pj ) \ pi j = i, a pj an Lj = = an Lj n ủ j=i a / pi an Li = Li an Li = Li ọ n ì tế n ủ t ó an L = Li = Li P ố ủ tết trì tí ể ễ ợ ủ rt ế ết tết tết ổ ề ế A = ột R rt A tổ ủ tự tì A tứ ứ sử é A tứ ó tồ t x R s x tr A t ũ ỹ ì tế ỗ i {1, , d} ụ ổ ề ố tr t ó AttR (Hmi (M/x1 M )) \ {m} = AttR (0 :Hmi+1 (M ) x1 ) \ {m}, ọ i = 1, , d ó ổ ề ợ ứ k = k > (x1 , , xk ) ột t ủ M t M0 = M Mt = M/(x1 , , xt )M t = 1, , k tết tì xt / p ọ p dt+1 AttR (Hmi (Mt1 )) \ {m} t t r i=1 r tì dt+1 AttR (Hmi (Mt1 )) \ {m} AssR (Mt1 ) i=1 ó xt / p ọ p AssR (Mt1 ) \ {m}, ỗ t = 1, , k ó t ổ ề tì R (0 :Mt1 xt ) < ì từ (0 :Mt1 xt ) Mt1 Mt1 /(0 :Mt1 xt ) 0; x t Mt1 /(0 :Mt1 xt ) Mt1 Mt ó Hm0 (Mt ) (0 :Hm1 (Mt1 ) xt ) 0; Hmi (Mt1 )/xt Hmi (Mt1 ) Hmi (Mt ) (0 :Hmi+1 (Mt1 ) xt ) ó Nt = Hmi (Mt1 )/xt Hmi (Mt1 ) t ó (0 :Nt (xt+1 , , xk )R) (0 :Hmi (Mt ) (xt+1 , , xk )R) (0 :Hmi+1 (Mt1 ) (xt , , xk )R) Ext1R (R/(xt+1 , , xk )R, Nt ) t = 1, , k i ì xt / p ọ p AttR (Hmi (Mt1 )) \ {m} t ó R R (Nt ) < ì tế R (0 :Nt (xt+1 , , xk )R) < Ext1R (R/(xt+1 , , xk )R, Nt ) < ì ụ ổ ề ố ọ tr t = k, , t ó AttR (Hmi (M/(x1 , , xk )M )) \ {m} = AttR (Hmi (Mk )) \ {m} = AttR (0 :Hmi+1 (Mk1 ) xk ) \ {m} = AttR (0 :Hmi+2 (Mk2 ) (xk1 , xk )R) \ {m} = = AttR (0 :Hmi+k (M ) (x1 , , xk )R) \ {m} ọ i = 1, , d k ó ổ ề ợ ứ ổ ề d ọ (x1 , , xk ) t ủ M ó xj+1 /p AttR (0 :Hmi (M ) (x1 , , xj )R) \ {m} ọ j = 0, , k p i=1 ứ p ì (x1 , , xk ) t ủ M xj+1 / p ọ d ij i=j+1 AttR (Hm (M/(x1 , , xj )M )) \ {m} t ủ (x1 , , xj ) ũ M ọ j = 1, , k ổ ề t ó AttR (Hmij (M/(x1 , , xj )M ))\{m} = AttR (0 :Hmi (M ) (x1 , , xj )R)\{m} ọ i = j + 1, , d ó ổ ề ợ ứ ế t ỉ r ợ r AttR (0 :Hmi (M ) (x1 , , xj )R) {m} ọ i = 1, , j i = tr ứ ổ ề ụ t = t ó Hm0 (M/x1 M ) (0 :Hm1 (M ) x1 ) R (Hm (M/x1 M )) (M ) R (0 :Hm < t ó R (0 :Hm1 (M ) x1 ) < ì tế (x1 , , xj )R) < j r AttR (0 :Hm1 (M ) (x1 , , xj )R) {m} j tr ứ ủ ổ ề 1 t M0 = M Mn,t = M/(xn1 , , xnt t )M t = 1, , j tết r n t1 )) \ {m}, AttR (Hmi (Mn,t1 )) \ {m} = AttR (0 :Hmi+t1 (M ) (xn1 , , xt1 ọ t = 1, , j ọ i ứ ủ ổ ề t ó Hmi (Mn,t1 )/xnt t Hmi (Mn,t1 ) Hmi (Mn,t ) :Hmi+1 (Mn,t1 ) xnt t ó L = Hmi (Mn,t1 )/xnt t Hmi (Mn,t1 ), t ó n n n t+1 (0 :L (xn1 , , xj j )R) (0 :Hmi (Mn,t ) (xt+1 , , xj j )R) n n n t+1 (0 :Hmi+1 (Mn,t1 ) (xnt t , , xj j )R) Ext1R (R/(xt+1 , , xj j )R, L), t = 1, , j i = 1, , d ù ổ ề ố tết R (L) n < t s r tứ ú ý r xj j / p ọ n j1 p AttR (0 :Hmi+j1 (M ) (xn1 , , xj1 )R) \ {m} ọ j = 1, , k t ó n xj j / p ọ n j1 p AttR (Hmi (M/(xn1 , , xj1 )M )) \ {m} (xn1 , , xnk k ) ột t ủ M ì ổ ề tr t ó ột ết q ữ ủ tố ết ủ ố ề ị s ị ý (x1 , , xk ) t ủ M ó ọ i = 1, , d t s ụ tộ n1 , , nk AttR (0 :Hmi (M ) (xn1 , , xnk k )R) \ {m}; AttR (Hmi (M/(xn1 , , xnk k )M )) \ {m} ệt ọ n1 , ,nk i t ợ AttR (0 :Hmi (M ) (xn1 , , xnk k )R) n1 , ,nk n1 nk i AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M )) t ữ ứ í ệ n1 , , nk số i {1, , d} Di (M ) ố ts ủ Hmi (M ) ứ ổ ề t s r (x1 , , xk ) ột ủ R Di (M ) p AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M )) \ {m} ó pRp AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M ))p ì x1 , , xk ột í q tố ủ ột í q tố ủ Di (M )p ó x1 n1 , , xk nk ũ Di (M )p ề ứ tỏ r pRp AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M ))p ì p AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M )) \ {m} ó s r AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M )) \ {m} AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M )) \ {m} tự t ó AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M )) \ {m} AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M )) \ {m} ì t ó AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M )) \ {m} = AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M )) \ {m} ệ tứ tr ứ ổ ề tì AssR (Di (M )/(xn1 , , xnk k )Di (M )) \ {m} = AttR (0 :Hmi (M ) (xn1 , , xnk k )R) \ {m}; AssR (Di (M )/(x1 , , xk )Di (M )) \ {m} = AttR (0 :Hmi (M ) (x1 , , xk )R) \ {m} ó AttR (0 :Hmi (M ) (xn1 , , xnk k )R) \ {m} ụ tộ n1 , , nk n n ì (x1 , , xk ) t ủ M t ổ ề tì (x1 , , xk k ) ũ t ủ M ó t ổ ề t ó AttR (Hmi (M/(xn1 , , xnk k )M )) \ {m} = AttR (0 :Hmi+k (M ) (xn1 , , xnk k )R) \ {m}; Att(Hmi (M/(x1 , , xk )M )) \ {m} = AttR (0 :Hmi+k (M ) (x1 , , xk )R) \ {m} n n i ó AttR (Hm (M/(x1 , , xk k )M ))\{m} ụ tộ n1 , , nk tr í t r tết tết (R, m) ột tr ị M ột R ữ s dim M = d ụ í ủ tết trì tr ủ í t t q ệ ọ í q t tr ủ ị rớ ết ú t ệ t ú ý r ệ ộ s ề ủ ợ tr ết ỗ tr M I t í ệ ộ s ủ M I depth(I; M ) ộ s ủ M tr ự m ợ í ệ depth M ú ý r depth M ị ĩ ó R ợ ọ dim M M ế depth M = dim M ế ó R ú ý sử x m M í q ó depth(M/xM ) = depth M dim(M/xM ) = dim M ì tế M ế ỉ ế M/xM tí t t ủ ố ề ị trì tr ết t s r tr s ổ ề ệ ề s t M Hmi (M ) = ọ i < d ể tệ ệ í t ị ĩ Ptr ú t ệ rst ị ĩ ộ ữ t r ế tồ t ột ộ ủ ộ ề ộ ữ R ợ ọ ó ề R tr ó ỉ ó ữ R ợ ọ rst ế R ó ú ý r ế R rst tì R ề ợ tể ệ q tr s ủ rst ổ ề t ị í ệ ề s t (R, m) rst ị n Ext (R/m, R) = R/m n ó R R t n N s ExtiR (R/m, R) = ọ i n ú t ó tể tệ ệ í t tết r R t ủ ột r (R , m ) dim R = t i N t K i (M ) = st ị i Extti R (M, R ) ú ý r K (M ) R ữ s ọ K i (M ) ết tế tứ i ủ M K d (M ) í t ủ M ợ í ệ K(M ) ú ý r E(R/m) ộ ủ R/m ố ị t s Hmi (M ) = HomR (K i (M ); E(R/m)), i = 1, , d ữ AssR K i (M ) = AttR Hmi (M ) ọ i ị ĩ í t M ợ ọ í t ế K(M ) ủ M ú ý r ế M tì M í t ể tr í t t q t t ổ ề s ổ ề M tì ỗ x m i N ế x tử í q t ủ i tồ t K i+1 (M )/xK i+1 (M ) K i (M/xM ) (0 :K i (M ) x) ứ x M í q t R (0 :M x) < ó từ (0 :M x) M M/(0 :M x) 0; x M/(0 :M x) M M/xM t ó Hmi (M )/xHmi (M ) Hmi (M/xM ) (0 :Hmi+1 (M ) x) ọ i ú ý r HomR K i+1 (M )/xK i+1 (M ); E(R/m)) = (0 :Hmi+1 (M ) x); HomR ((0 :K i (M ) x); E(R/m)) = H i (M )/xH i (M ) m ì tế từ tí ủ tử ế m HomR (; E(R/m)) ố tr t ó ết q ế t ú t ệ ộ t ủ rt ị ĩ A R rt ó mA m2 A mn A ủ A ì tế tồ t k N s mn A = mk A ọ n k ú ý r mk ọ p AttR A \ {m} ó k R (A/m A) ó ộ ữ ọ k R (A/m A) ộ t ủ RlR (A) = n R (A/m A) p A í ệ RlR (A) ú ý r n ủ n k ề s tết R t ủ ột rst ị ỗ t x = (x1 , , xd ) ủ M t Mx,0 = M Mx,i = M/(x1 , , xi )M i ị í s ết q í ủ tết t ột tr ủ í t t q t ị ý sử R t ủ ột rst ị ệ ề t M ột í t ọ t x = (x1 , , xd ) ủ M t ó d2 RlR (Hmdi (Mx,i1 )) = i=1 t ột t x = (x1 , , xd ) ủ M s d2 RlR (Hmdi (Mx,i1 )) = i=1 ứ ứ q t ể ú d ế d tì d ột t x = (x1 , , xd ) ủ M tết r ị ú í t ề d ì x1 tử ọ í q t ủ M t ổ ề t ó K i+1 (M )/x1 K i+1 (M ) K i (M/x1 M ) (0 :K i (M ) x1 ) () i = 0, 1, , d tết tì M í t tứ K(M ) ú ý r AssR K(M ) = AttR Hmd (M ) = {p AssR M | dim(R/p) = d} x1 tử ọ í q t x1 / p ọ p AssR K(M ) ó x1 K(M )í q ú ý t s r K(M )/x1 K(M ) r depth(K(M )/x1 K(M )) = d ó Hmi (K(M )/x1 K(M )) = i = 0, ú ý r AssR K(M/x1 M ) = AttR Hmd1 (M/x1 M ) = {p AssR (M/x1 M ) | dim(R/p) = d 1} ì d m / AssR K(M/x1 M ), ì tế tồ t tử y m s y / p ọ p AssR K(M/x1 M ) P tử y K(M/x1 M ) í q tứ depth(K(M/x1 M )) > ó Hm0 (K(M/x1 M )) = t ị í ì t i = d s Hm0 (K(M )/x1 K(M )) Hm0 (K(M/x1 M )) Hm0 (0 :K d1 (M ) x1 ) Hm1 (K(M )/x1 K(M )) t s r ọ Hm0 (0 :K d1 (M ) x1 ) = ì x1 í q t x1 / p p AttR (Hmd1 (M )) \ {m} = AssR (K d1 (M )) \ {m} ó x1 ) < r (0 :K d1 (M ) x1 ) = Hm0 (0 :K d1 (M ) x1 ) = i = d t ợ K(M )/x1 K(M ) = K(M/x1 M ) ì R (0 :K d1 (M ) K(M/x1 M ) ó M/x1 M í t t ủ x = (x2 , , xd ) ó x t M/x1 M tết q (d1)2 (d1)i RlR (Hm ((M/x1 M )x ,i1 )) = i=1 d2 di i=2 RlR (Hm (Mx,i1 )) = ì (0 :K d1 (M ) x1 ) = d1 (M )) = ì tộ AssR (K d1 (M )) ó RlR (Hm r m d2 RlR (Hmdi (Mx,i1 )) = i=1 ể x = (x1 , , xd ) t ủ M t ề ệ ứ ệ ề q t ì d rờ ợ d depth K(M ) min{2, d} ú d sử ú ế d t ó d2 di i=2 RlR (Hm (Mx,i1 )) = 0, tứ (d1)2 (d1)i RlR (Hm ((M/x1 M )x ,i1 )) = 0, i=1 tr ó x = (x2 , , xd ) t ủ M/x1 M ó t tết q ụ M/x1 M t s r M/x1 M í t tứ K(M/x1 M ) t s r / AttR (Hmd1 (M )) ì x1 RlR (Hmd1 (M )) = ì m í q t t ó x1 / p ọ p AttR (Hmd1 (M )) \ {m} = AssR (K d1 (M )) \ {m} x1 K d1 (M )í q tứ (0 :K d1 x1 ) = ì t i = d t ó K(M )/x1 K(M ) = K(M/x1 M ) ì ó K(M/x1 M ) K(M )/x1 K(M ) ì x1 tử í q ủ K(M ) K(M ) tứ M í t ết r ú t trì ột số ết q ề t tr rs tss rt sts tt r s t t r rts Pr r rr t tr s Pr r t ộ í ủ ột số ế tứ ó q ế ể ễ tứ t tố ết ủ rt ột số ị ề ố ề ị rì ệ ột số tí t sở ề t ữ s tr tr ị n1 nk i (M ) (x , , xk )R) n1 , ,nk AttR (0 :Hm n1 nk i n1 , ,nk AttR (Hm (M/(x1 , , xk )M )) ữ ọ t ứ t (x1 , , xk ) ủ M rì ệ í t ột tr ủ í t t q t ệ t rs tss rt sts tt r s t t r rts Pr r P r rrt t r rr t tr s Pr r t t tsr tt r tr r rst Prss r r r trt t tr ts r rst Prss P rt ts s r r rrstt s r tt r s tt r stt r rt sts tt rs s t