Luận văn thạc sĩ toán học đại số và phương pháp số tựa đề về mô đun giả co hen macaulay và mô đun giả cohen macaulay suy rộng do học viên lê văn tho thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Trưởng khoa Toán trường đại học Quy Nhơn Tiến sĩ Nguyễn Thái Hòa. Tài liệu gồm 3 chương và một số phần, 55 chương định dạng pdf được đánh thông qua chương trình latex.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ VĂN THO VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ VĂN THO VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY SUY RỘNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI HỊA Bình Định - 2012 Mục lục Mục lục i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị iii Lời nói đầu iv Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết bội 1.2 Đối đồng điều địa phương 1.3 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 1.4 Môđun Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.5 Môđun phân số suy rộng 1.6 Đối ngẫu Matlis 1.7 Đầy đủ 10 1.8 Bất biến kiểu đa thức 12 Chương Hàm JM (x(n)) 14 2.1 Hàm JM (x(n)) 15 2.2 Bất biến pf (M ) 26 ii iii Chương Môđun giả Cohen-Macaulay Môđun giả CohenMacaulay suy rộng 28 3.1 Định nghĩa số tính chất 29 3.2 Một số đặc trưng môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 43 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị iv Lời nói đầu Mục đích Đại số giao hốn nghiên cứu cấu trúc mơđun vành giao hoán Để làm việc này, phương pháp quan trọng thông qua hệ đặc trưng số định nghĩa môđun để phân loại Khi phân loại mơđun, lớp mơđun Cohen-Macaulay lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng vô quan trọng Đầu năm 90, Nguyễn Tự Cường đưa bất biến cho môđun gọi bất biến kiểu đa thức Sau đó, Nguyễn Đức Minh đưa bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng Các môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng xem mơđun có bất biến kiểu đa thức không dương Hơn nữa, môđun Cohen-Macaulay mơđun Cohen-Macaulay suy rộng có bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng không dương Nhưng điều ngược lại không Tuy nhiên, mơđun có bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng khơng dương có tính chất liên quan chặt chẽ với tính Cohen-Macaulay tính Cohen-Macaulay suy rộng Nguyễn Tự Cường đưa khái niệm môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả CohenMacaulay suy rộng [9] với Lê Thanh Nhàn Trong [18], Nguyễn Thái Hòa Nguyễn Đức Minh nghiên cứu hai lớp mơđun Mục đích Luận văn trình bày lại số kết [9] [18] Luận văn gồm phần mở đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung chia làm chương Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết bội, đối đồng địa phương, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, Môđun CohenMacaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Môđun phân số suy rộng, Đối ngẫu Matlis, Đầy đủ, Bất biến kiểu đa thức Chương 2, chúng tơi trình bày định nghĩa chứng minh chi tiết kết v hàm JM (x(n)) bất biến pf (M ) Chương 3, chúng tơi trình bày lại định nghĩa chứng minh chi tiết số đặc trưng lớp môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả CohenMacaulay Cuốn luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khác tận tâm TS Nguyễn Thái Hòa Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, khoa Tốn học Thầy, Cô giáo tham gia giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập Đồng thời, xin cảm ơn bạn học viên lớp Cao học Tốn K13, nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập nghiên cứu thời gian qua Sau cùng, xin gửi lời biết ơn đến bạn bè người thân động viên dành điều kiện thuận lợi để yên tâm hồn tất khóa học luận văn Mặc dù thân cố gắng hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo hướng dẫn, lực thân thời gian hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong góp ý q thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt chương ta ln kí hiệu (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m, M R-môđun hữu hạn sinh với số chiều dim M = d 1.1 Lý thuyết bội Chúng trình bày số kiến thức bội theo Auslander Buchsbaum [1] Một hệ phần tử x = (x1 , , xt ) R cho R (M/(x)M ) < +∞ gọi hệ bội M Khi kí hiệu bội e(x; M ) M hệ bội x định nghĩa qui nạp theo t sau Nếu t = tức (M ) < +∞, ta đặt e(∅; M ) = R (M ) Giả sử t ≥ Đặt (0 :M x1 ) = {u ∈ M : ux1 = 0} Ta thấy (x2 , , xt ) hệ bội (0 :M x1 ) M/x1 M Áp dụng giả thiết qui nạp cho môđun M/x1 M (0 :M x1 ), đặt e(x; M ) = e(x2 , , xt ; M/x1 M ) − e(x2 , , xt ; :M x1 ) Ký hiệu bội e(x; M ) có tính chất sau Nhận xét 1.1.1 (i) Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M , q = (x1 , , xd )R iđêan tham số M tương ứng với x Khi ký hiệu bội trùng với số bội e(q; M ) Zariski-Samuel (ii) ≤ e(x; M ) ≤ R (M/(x)M ) với hệ tham số x M (iii) Giả sử → Mn → · · · → M1 → M0 → dãy khớp R-môđun Noether x hệ tham số Mi , n i = 0, 1, , n Khi i (−1) e(x; Mi ) = i=0 (iv) Nếu tồn số nguyên dương k phần tử xi hệ bội x = (x1 , , xd ) cho xki M = e(x; M ) = (v) Lấy n1 , n2 , , nt số nguyên dương tùy ý Khi e(xn1 , xn2 , , xnt t ; M ) = n1 n2 nt e(x1 , x2 , , xt ; M ) 1.2 Đối đồng điều địa phương Môđun đối đồng điều địa phương Grothendieck đưa [14] công cụ quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc mơđun vành giao hốn Đặc biệt thường xuyên dùng đến luận văn Cho I ⊂ R iđêan R Biết hàm tử I-xoắn ΓI (.) từ phạm trù R-môđun vào hiệp biến, cộng tính, khớp trái với R-môđun M, ΓI (.) định nghĩa công thức ΓI (M ) = (0 :M I n ) n≥0 Với số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i Ri ΓI (.) hàm tử ΓI (.) Khi mơđun đối đồng điều địa phương thứ i HIi (M ) R-môđun M hữu hạn sinh với giá I xác định HIi (M ) = Ri ΓI (M ) Nhận xét 1.2.1 (i) Khi I = m iđêan cực đại R Hmi (M ) R-môđun Artin Hơn Hmi (M ) = với i > d = dim M Hmd (M ) = M = (ii) HIi (M ) = limExtiR (R/I n ; M ) −→ n (iii) Cho dãy khớp R-môđun → M → M → M → Khi ta có dãy khớp mơđun đối đồng điều địa phương → Hm0 (M ) → Hm0 (M ) → Hm0 (M ) → Hm1 (M ) → Hm1 (M ) → · · · Đặc biệt, x ∈ R có tính chất dim(0 :M x) = r < d−1, d = dim M ta có dãy khớp → Hmi (M )/xHmi (M ) → Hmi (M/xM ) → (0 : x)Hmi+1 (M ) → 0, với i = r + 1, , d − 1.3 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp Lý thuyết phân tích ngun sơ mơđun mơđun Noether đóng vai trò quan trọng Đại số giao hốn Có lý thuyết tương tự môđun Artin gọi lý thuyết biểu diễn thứ cấp đưa D Kirby I G Macdonal [21] Vì mơđun đối đồng điều địa phương môđun hữu hạn vành giao hoán Noether địa phương iđêan cực đại Artin nên lý thuyết biểu diễn thứ cấp tỏ cơng cụ có ích nghiên cứu môđun hữu hạn sinh không Cohen-Macaulay suy rộng Trước trình bày nội dung luận văn, chúng tơi trích dẫn số kiến thức cần thiết theo thuật ngữ Macdonal [21] Định nghĩa 1.3.1 (i) Một R-môđun C gọi môđun thứ cấp C = với x ∈ R, tự đồng cấu fx : C → C c → xc toàn cấu lũy linh Trong trường hợp này, tập Rad(0 : C) iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi C p-thứ cấp (ii) Cho C R-môđun Một biểu diễn thứ cấp C phân tích thành tổng hữu hạn mơđun pi -thứ cấp Ci , (i = 1, , n) C = C1 + · · · + Cn Nếu C = C có biểu diễn thứ cấp ta nói C biểu diễn Biểu diễn thứ cấp gọi tối thiểu iđêan nguyên tố pi đôi khác khơng có hạng tử Ci thừa, với i = 1, , n Dễ thấy biểu diễn thứ cấp C đưa dạng tối thiểu Khi tập {p1 , , pn } độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu C Và ta gọi tập iđêan nguyên tố gắn kết C, kí hiệu AttR (C) Các hạng tử Ci , (i = 1, , n) gọi thành phần thứ cấp C Nếu pi tối thiểu AttR (C) Ci gọi thành phần lập Định lý 1.3.1 ([21]) Mọi R-mơđun Artin có biểu diễn thứ cấp Ngồi ta có số khái niệm cho môđun Artin đưa [26] Cho L R-môđun Artin Giả sử L có biểu diễn thứ cấp tối thiểu n L= Ci với Ci pi thứ cấp Đặt i=1 L0 = Ci pi ∈Att(L)\{m} 33 3.2 Một số đặc trưng môđun giả CohenMacaulay môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng Đặc trưng sau kết [9] mà Luận văn trình bày lại Định lý 3.2.1 ([9]) Cho R vành Noether địa phương nhúng vào phức đối đồng M R-mơđun hữu hạn sinh Cho phân tích thu gọn môđun M sau = Ni , Ni pi -nguyên sơ Đặt N= Nj dim R/pj =d Khi (i) M giả Cohen-Macaulay M/N Cohen-Macaulay (ii) M giả Cohen-Macaulay suy rộng M/N CohenMacaulay suy rộng Hơn nữa, trường hợp d−1 d − 1 (Hmi (M/N )) JM (x(n)) = JM/N (x(n)) = i − i=1 với hệ tham số x hệ n Chứng minh (ii) Giả sử M giả Cohen-Macaulay suy rộng Vì dim N < d nên theo Bổ đề 3.1.1 M/N giả Cohen-Macaulay suy rộng Suy (Hmi (M/N )) < ∞, ∀i = p(M/N ) + 1, , d − theo Bổ đề 3.1.4 Với i = 1, , d − đặt = Ann(Hmi (M/N )), a = a1 , ad−1 p = p(M/N ) Ta cần chứng minh p ≤ Giả sử p > 0, theo [5, 3.1] [23, 2.4.6] ta có p = dim R/a = dim R/ap 34 Nói cách khác, M/N đẳng chiều, tức dim R/p = dim M/N với ideal nguyên tố p ∈ SuppM/N Hơn nữa, với p ∈ SuppM/N , ta có depthRp (M/N )p ≥ min{dimRp (M/N )p , 1} Do M/N thỏa mãn điều kiện Serre (S1 ) Theo [23, 3.2.1] dim R/ap < p−1 Ta có mâu thuẫn Suy p ≤ hay M/N môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngược lại, giả sử M/N môđun Cohen-Macaulay suy rộng M/N giả Cohen-Macaulay suy rộng Vì dim N < d nên theo Bổ đề 3.1.1 M giả Cohen-Macaulay suy rộng Theo chiều thuận M/N Cohen-Macaulay suy rộng cơng thức có [26, 3.7] (i) Trường hợp d ≤ tầm thường Cho d > Giả sử M giả CohenMacaulay theo (ii) M Cohen-Macaulay suy rộng Do với hệ tham số x M/N, d−1 d − 1 (Hmi (M/N )), ∀n JM/N (x(n)) = i=1 i − Vì M/N giả Cohen-Macaulay nên JM/N (x(n) = 0, dẫn đến Hmi (M/N ) = 0, ∀i = 1, , d − Hơn Hm0 (M/N ) = Như Hmi (M/N ) = 0, ∀i = 0, , d − nên theo Định lí 1.4.1(vi) M/N Cohen-Macaulay Ngược lại, giả sử M/N Cohen-Macaulay M/N giả Cohen-Macaulay Vì dim N < d nên M giả Cohen-Macaulay theo Bổ đề 3.1.1 Chú ý 3.2.1 [9] (i) Môđun N M xác định Định lí 3.2.1 mơđun lớn M có số chiều nhỏ d thật (Xem chi tiết [9, 4.4 i]) (ii) Định lí 3.2.1 khơng R khơng có phức đối đồng Ví dụ với M miền nguyên địa phương chiều xét Nagata [22, phụ lục, ví dụ 2] (xem thêm [13]) Theo [24, 6.1] R/I R-môđun Cohen-Macaulay I mơđun lớn R có số chiều khơng Theo Bổ đề 3.1.1 R 35 giả Cohen-Macaulay nên R theo Bổ đề 3.1.2 Do AssR = {0} mơđun lớn có số chiều không vượt Nhưng R khơng phải vành Cohen-Macaulay Vì vành hồn chỉnh R nhúng vào phức đối đồng nên ta có hệ sau Hệ 3.2.2 ([9]) Cho = ∩Ni phân tích nguyên sơ thu gọn môđun R-môđun M , Ni p-nguyên sơ Đặt N= Nj dim R/pj =d Khi (i) M giả Cohen-Macaulay M /N R-môđun CohenMacaulay (ii) M giả Cohen-Macaulay suy rộng M /N R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng Khái niệm tham số thu gọn giới thiệu Auslander−Buchsbaum [1]: phần tử x ∈ R gọi tham số M tìm hệ tham số x1 , , xd M mà x1 = x Một tham số x M gọi thu gọn x∈ / p, ∀p ∈ AssM mà dim R/p ≥ d − Đối với tham số thu gọn, ta có hệ sau Hệ 3.2.3 ([9]) Cho x tham số thu gọn M Khi (i) Nếu M giả Cohen-Macaulay M/xM (ii) Nếu M giả Cohen-Macaulay suy rộng M/xM Chứng minh Cho N mơđun lớn M có bậc khơng d − Đặt M = M /N có: 36 M /xM ∼ = M /xM M ∼ = N + xM (N + xM )/xM (3.1) Do đó, x tham số thu gọn M Dẫn đến x M -chính quy dim N < d−1 x tham số thu gọn N Từ suy N ∩xM = xN dim N /xN = d − Do dim(N + xM )/xM = dim N /(N ∩ xM ) = dim N /xN = d − Mặt khác, rõ ràng dim N ≤ d − dim(N + xM )/xM ≤ d − Dẫn đến, trường hợp ta có dim(N + xM )/xM ≤ d − (3.2) Bây chứng minh hệ (i) Giả sử M giả Cohen-Macaulay theo Bổ đề 3.1.2(i) M giả Cohen-Macaulay Do đó, theo Định lý 3.2.1(i) M Cohen-Macaulay Điều dẫn đến M /xM Cohen-Macaulay theo (3.1) M /xM (N + xM )/xM Cohen-Macaulay giả Cohen-Macaulay Lại theo (3.2) dim(N + xM )/xM ≤ d − Theo Bổ đề 3.1.1(i) Bổ đề 3.1.2(i) M /xM M/xM giả Cohen-Macaulay (ii) Chứng minh tương tự (i) Một câu hỏi tự nhiên đặt phép địa phương hóa có bảo tồn tính giả Cohen-Macaulay tính giả Cohen-Macaulay suy rộng hay không Mệnh đề sau trả lời cho câu hỏi Mệnh đề 3.2.4 ([9]) Giả sử M tựa không bị trộn lẫn tức M đồng chiều Thì phát biểu sau 37 (i) Nếu M giả Cohen-Macaulay Mq giả Cohen-Macaulay với q ∈ SuppM (ii) Nếu M giả Cohen-Macaulay suy rộng Mq giả Cohen-Macaulay với q ∈ SuppM \{q} Chứng minh Rõ ràng (ii) suy (i) nên cần chứng minh (ii) Cho N mơđun lớn M có chiều không vượt d − Lấy q ∈ SuppM \{mR} Vì M giả Cohen-Macaulay suy rộng nên M theo Bổ đề 3.1.2(ii) Do theo Định lí 3.2.1(ii) M /N Cohen-Macaulay suy rộng Như suy Mq /Nq Cohen-Macaulay Theo giả thiết M tựa không trộn lẫn tức M đồng chiều, ideal nguyên tố cực tiểu AssR M không thuộc AssR N Suy dim Nq < dim Mq hay Mq /Nq Cohen-Macaulay, Nq mơđun lớn Mq có chiều không vượt dim Mq − Theo Định lí 3.2.1 Mq giả Cohen-Macaulay Bây lấy q ∈ SuppM \{m} q ∈ Ass(R/qR) cho dim R/q = dim R/q Với f : Rq → Rq đồng cấu tự nhiên Vì f dẹt thật (dẹt toàn cấu) dim(Mq ) = dim Mq , kiểm tra pf (Mq ) = pf (Mq ) Tức Mq giả Cohen-Macaulay Khi M khơng đồng chiều Mệnh đề 3.2.4 khơng nữa, R vành đầy đủ Ví dụ 3.2.1 ([9]) Cho k ≥ số ngun Khi có mơđun M giả Cohen-Macaulay ideal nguyên tố p ∈ SuppM cho pf (Mp ) = k Trong trường hợp Mp không giả Cohen-Macaulay không giả Cohen-Macaulay suy rộng Chứng minh Đầu tiên ta khẳng định có hai mơđun A B có tính chất sau: 38 (i) A Cohen-Macaulay; (ii) B có chiều khơng vượt q dim A − (iii) Tồn p ∈ SuppB p ∈ / SuppA cho pf (Bp ) = k Sau xét tập M = A ⊕ B Theo Bổ đề 3.1.1 M giả CohenMacaulay Vì p ∈ SuppB nên p ∈ SuppM Vì p ∈ / SuppA nên Ap = Mp = Bp Như pf (Mp ) = k > Bây ta tồn A B Cho d ≥ k + số nguyên K trường Cho R vành chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1 , , xd , y, z, t]] d + biến K Đặt A = R/yR A Cohen-Macaulay có chiều d + 2, đặt C = R/(z, t)R C Cohen-Macaulay có chiều d + 1, đặt B = (x1 , , xd−k )C B có chiều d + Lại đặt p = (x1 , , xd , z, t)R p ∈ SuppB p ∈ / SuppA Chúng ta chứng minh pf (Bp ) = k Vì C CohenMacaulay ht(p/(z, t)R) = d nên Cp Cohen-Macaulay có chiều d Rõ ràng Bp = (x1 , , xd−k )Cp , suy Bp có chiều d Cp /Bp Cohen-Macaulay có chiều k Từ dãy khớp R-môđun → Bp → Cp → Cp /Bp → 0, có 0, i = k + 1, i = d; d HpR (Cp ), p i = d i k HpR (Bp ) = HpR (Cp /Bp ), i = k + 1; p p Do depth(Bp ) = k + Hơn nữa, theo [4, 1.1] p(Bp ) = i max {dim(Rp /AnnRp (HpR (Bp )))} = k p i=0, ,d−1 Vì depth(Bp ) > p(Bp ) nên theo [10, 3.5] suy pf (Bp ) = k 39 Tiếp tục chúng tơi trình bày số đặc trưng tham số mơđun giả Cohen-Macaulay theo Nguyễn Thái Hòa Nguyễn Đức Minh [18] Theo [5], dãy (x1 , , xj ) hệ tham số M gọi dãy thu gọn xi ∈ / p với p ∈ Ass(M/(x1 , , xi−1 )) với dim R/p ≥ d − i, (i = 1, , j) Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M x1 , , xd−1 lập thành dãy thu gọn x gọi hệ tham số thu gọn giới thiệu [1] Chú ý R-mơđun có hệ tham số thu gọn Một phần tử a ∈ R gọi M -đối qui M = aM Dãy phần tử a1 , , an R gọi M -đối dãy :M (a1 , , an ) = Độ dài cực đại L-đối dãy M gọi độ rộng M kí hiệu Width(M ) Một phần tử a ∈ m gọi giả M -đối qui a∈ / p p∈Att(M )\{m} Định nghĩa 3.2.1 ([18]) Cho x = (x1 , , xt ) dãy phần tử m Kí hiệu Mi = M/(x1 , , xi )M với i = 0, , t Dãy x gọi dãy giả qui M xi Hmd−i (Mi−1 )-đối qui với i = 1, , t Nếu x = (x1 , , xd ) hệ tham số M (x1 , , xd−1 ) lập thành dãy giả đối qui gọi hệ tham số giả qui Chú ý 3.2.2 ([18]) (i) Bất kì hệ tham số mơđun CohenMacaulay giả qui (ii) x = (x1 , , xt ) dãy giả qui M (x1 , , xj−1 ) dãy giả qui M (xj , , xt ) dãy giả qui Mj−1 với j = 2, , t (iii) Mọi hệ tham số giả qui thu gọn Định lý 3.2.5 ([18]) Giả sử dim M = d > Khi phát biểu sau tương đương: 40 (i) M giả Cohen-Macaulay; (ii) Mọi hệ tham số thu gọn M giả qui; (iii) M có hệ tham số thu gọn giả qui; (iv) M có hệ tham số giả qui Chứng minh Ta cần chứng minh (i)⇒ (ii) (iv) ⇒ (i) (i)⇒ (ii) Chúng ta chứng minh qui nạp theo d Với d = giả sử x = (x1 , x2 ) hệ tham số thu gọn M Theo [18, 2.8], x1 Hm1 (M )-đối qui x hệ tham số giả qui M Giả sử d > khẳng định cho tất R-môđun giả Cohen-Macaulay có chiều nhỏ d Gọi x = (x1 , , xd ) hệ tham số thu gọn M Theo Hệ 3.2.3 M1 = M/x1 M giả Cohen-Macaulay Từ giả thiết qui nạp suy (x2 , , xd ) hệ tham số giả qui M1 Áp dụng Chú ý 3.2.2 ta có điều chứng minh (iv) ⇒ (i) Chúng ta lại chứng minh qui nạp theo d Với d = 2, giả sử x = (x1 , x2 ) hệ tham số giả qui M Gọi (n1 , n2 ) hai số nguyên dương Theo [26, 3.2] JM (x(n)) = R (Hm1 (M )) với n1 , n2 Vì x1 Hm1 -đối qui nên R (Hm1 (M )) = M giả Cohen-Macaulay Giả sử d > x = (x1 , , xd ) hệ tham số giả qui M1 = M/x1 M Với số nguyên dương n2 , , nd đặt x(n ) = (x1 , xn2 , , xnd d ), x (n ) = (xn2 , , xnd d ) Theo giả thiết qui nạp ta có e(x (n ); M1 ) = (M1 /QM1 (x (n ))) (3.3) Mặt khác theo [2, 11.3.9 11.3.10] x1 ∈ / p với p ∈ Ass(M) với dim R/p ≥ d − Chúng ta có dim(0 : x1 ) < d − e(x (n ); M1 ) = e(x(n ); M ) (3.4) 41 Theo [18, 2.7] lấy n2 , , nd đủ lớn ta có dãy khớp → Hmd−1 (M )/x1 Hmd−1 (M ) → M1 /QM1 (x (n )) → M/QM (x(n )) → Vì x1 Hmd−1 -đối qui, từ dãy khớp ta suy R (M1 /QM1 (x Từ 3.3, 3.4 3.5 với n2 , , nd (n ))) = R (M/QM (x(n ))) ta có e(x(n ); M ) = (3.5) R (M/QM (x(n ))) ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2.6 ([18]) Giả sử p = p(M ) > Khi M giả Cohen-Macaulay Hmi (M ) = với i = p + 1, , d − tồn hệ tham số (x1 , , xp ) M cho xi Hmp−i+1 (Mi−1 )-đối qui với i = 1, , p Chứng minh Giả sử M giả Cohen-Macaulay với p(M ) > Khi Hmi (M ) = với i = p+1, , d−1 theo [10, 3.6] Từ [18, 2.8] suy Width(Hmd−1 (M )) > m ∈ / Att(Hmp (M )) Đặt β = {q ∈ Ass(M )| dim R/q = d} ∪ Att(Hmp (M )) chọn x1 ∈ q Rõ ràng, x1 tham số M phần tử q∈β Hmp (M )-chính qui Nhận thấy p(M/x1 M ) = p(M ) − theo [18, 2.6] Qui nạp theo p ta dễ dàng có tồn hệ tham số (x1 , , xp ) cần tìm Ngược lại, giả sử Hmi (M ) = với i = p+1, , d−1 M có hệ tham số (x1 , , xp ) cho xi Hmp−i+1 (M )-đối qui với i = 1, , p Lấy xp+1 , , xd cho x = (x1 , , xp , xp+1 , , xd ) hệ tham số M Chúng ta chứng minh qui nạp theo p JM (x(n)) = với d số nguyên n 42 Trường hợp p = chứng minh [10, 4.4] Giả sử p > khẳng định với có kiểu đa thức bé p Đặt M1 = M/x1 M Vì Hmi (M ) = với i = p + 1, , d − x1 Hmp -đối qui Theo [2, 11.3.9 11.3.10] x1 ∈ / q với q ∈ Ass(M ) với dim R/q ≥ p Do dim(0 :M x1 ) < p ≤ d − 1, e(x1 , , xd ; M ) = e(x2 , , xd ; M ) Theo [18, 2.6] p(M1 ) = p − > Hơn với số nguyên n2 , , nd theo [18, 2.7] ta có M1 /QM (x (n )) ∼ = M/QM (x(n )), x (n ) = (xn2 , , xnd d ) x(n ) = (x1 , xn2 , , xnd d ) JM (x(n)) = JM1 (x (n )) với n2 , , nd Do (3.6) Mặt khác dim(0 :M x1 ) < p với i ∈ {p, , d − 1} có dãy khớp → Hmi (M )/x1 Hmi (M ) → Hmi (M1 ) → (0 :Hmi+1 (M ) x1 ) → (3.7) Vì Hmi+1 (M ) = với i = p, , d − (Hmp (M )/x1 Hmp (M )) = 0, từ dãy khớp 3.7 ta suy Hmi (M1 ) = với i = p, , d − Áp dụng giả thiết qui nạp sử dụng đẳng thức 3.6 ta có điều phải chứng minh 43 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày có hệ thống lại phần nội dung [9] [18] Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết bội, đối đồng địa phương, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, Môđun CohenMacaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Môđun phân số suy rộng, Đối ngẫu Matlis, Đầy đủ, Bất biến kiểu đa thức Chương 2, chúng tơi trình bày hàm JM (x(n)), bất biến pf (M ) số tính chất Chương 3, chúng tơi trình bày lại định nghĩa chứng minh chi tiết số đặc trưng lớp môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả CohenMacaulay Tài liệu tham khảo [1] M Auslander, D.A Buchsbaum, Codimension and multiplicity, Ann of Math 68 (1958) 625-657 [2] M Brodmann, R.Y Sharp, Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge Univ Press, 1998 [3] Bruns, W and J Herzog, (1993) Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [4] N.T Cuong, On the dimension of the non-Cohen-Macaulay locus of local ring admitting dualizing complexes, Math Proc Cambridge Philos Soc (2) 109 (1991) 479-488 [5] N.T Cuong, On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings, Nagoya Math J 125 (1992) 105-114 [6] N T Cuong, N T Hoa, N T H Loan On certain lengths funtions associated to a system of parameters in local rings, Vietnam J Math., (3) 27 (1999) 259-272 [7] N T Cuong, N T Hoa, L T Nhan (2001), On modules whose local cohomology modules have generalized Cohen-Macaulay Matlis Duals, East-West J of Math., Vol.3 No 2pp 109-123 44 45 [8] N.T Cuong, V.T Khoi, Modules whose local cohomology modules have Cohen-Macaulay Matlis duals, in: D Eisenbud (Ed.), Proc of Hanoi Conf on Commutative Algebra, Algebraic Geometry, and Computational Methods, Springer-Verlag, 1999, pp 223-231 [9] N.T Cuong, L.T Nhan, Pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, Academic Press, Journal of Algebra 267 (2003) 156-177 [10] N.T Cuong, N.D Minh, Lenghts of generalized fractions of modules having small polynomial type, Math Proc Cambridge Philos Soc (2) 128 (2000) 269-282 [11] N.T Cuong, M Morales, L.T Nhan Lenghts of generalized fractions, Prépublication de l’Institut Fourier no 539, 2001 [12] N.T Cuong, P Schenzel, N.V Trung, Verallgemeinnerte CohenMacaulay Moduln , Math Nachr 85 (1978) 57-75 [13] D Ferrand, M Raynaund, Fibres formelles d’un anneau local noetherian, Ann Sci Escole Norm Sup (4) (1970) 295-311 [14] Grothendieck, A (1967), Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics, Vol 41 Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-Toky-NeYork [15] S Goto, Approximately Cohen-Macaulay rings, J Algebra 76 (1981) 214225 [16] J.-L Garcia Roig, D Kirby, On the Koszul homology modules for the powers of a multiplicity system, Mathematika 33 (1986) 96-101 [17] M Hochster, Contracted ideals from integral extensions of regular rings , Nagoya Math J 51 (1973) 25-43 46 [18] N T Hòa, N D Minh, System of parameters for pseudo Cohen-Macaulay modules, East-West J of Mathematics: Vol 5, No (2003) pp 145-158 [19] J Herzog, E Sbarra, Sequentially Cohen-Macaulay modules and local homology, Preprint [20] H Matsamura, (1986), Commutative algebra, second edition, London: Benjamin [21] I.J MacdonaldI.G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Sympos Math 11 (1973) 23-43 [22] M Nataga, Local Rings, Interscience, New York, 1962 [23] P Schenzel, Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum Ringe, in: Lecture Notes in Math., Vol 907, Springer-Verlag, Berlin, 1982 [24] P Schenzel, On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, in: Proc of the Ferrara Meeting in honour of Mario Fiorentini, University of Antwerp, Wilrijk, Belgium, 1998, pp 245-264 [25] R Y Sharp, Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press 1990 [26] R.Y Sharp, M.A Hamieh, Lengths of certain generalized fractions, J Pure Appl Algebra 38 (1985) 323-336 [27] R Y Sharp, H Zakeri, Modules of generalized fractions, Math., 29, 32-41 [28] R P Stanley, Combinatorics and Commutative algebra, Second edition, Birkhă auser Boston-Basel-Berlin, 1996 47 [29] Stă ukrad, W Vogel, Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin, 1986 [30] Strooker, J.R Homological question in local algebra, London Math Soc Lecture Noeths Ser 1990 [31] N.V Trung, Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules, Nagoya Math J 102 (1986) 1-49 ... theo phân số suy rộng Các môđun Cohen- Macaulay mơđun Cohen- Macaulay suy rộng xem mơđun có bất biến kiểu đa thức khơng dương Hơn nữa, môđun Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay suy rộng có bất biến... Môđun giả Cohen- Macaulay Môđun giả CohenMacaulay suy rộng 28 3.1 Định nghĩa số tính chất 29 3.2 Một số đặc trưng môđun giả Cohen- Macaulay môđun giả Cohen- Macaulay suy rộng ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ VĂN THO VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN- MACAULAY VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN- MACAULAY SUY RỘNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ