Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong các không gian Hilbert

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu một số kết quả về tính đồng dạng cho các toán tử quạt trong không gian Hilbert như vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số của toán tử m-accretive, vấn đề căn bậc hai; sau đó áp dụng để chứng minh lại một số định lý với cách tiếp cận dễ dàng hơn và không cần sử dụng những kết quả quá phức tạp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn này, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS TRẦN TRÍ DŨNG tận tình bảo, hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giảng viên khoa Tốn - Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tác giả trình học tập khoa Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cám ơn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2019 Trần Nguyễn Vân Nhi Mục lục Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử quạt (Sectorial operator) 1.2 Không gian hàm chỉnh hình ( Spaces of holomorphic functions ) 1.3 Natural functional calculus 1.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 1.3.2 The natural functional calculus 11 1.3.3 Luật hợp thành 12 1.4 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh 12 1.5 Tính bị chặn H  - Calculus (The boundedness of the H  -Calculus) 13 1.6 Toán tử hợp ( Multiplication Operators) 14 1.7 Bậc phân số với phần thực dương 15 Chương Lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert 17 Dạng nửa song tuyến tính 17 Toán tử liên hợp 19 Dãy trị số 23 Tích vơ hướng tương đương định lý Lax-Milgram 23 Toán tử accretive 25 Chương Một số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt 28 3.1 Vấn đề đồng dạng toán tử biến phân 28 3.2 The Functional Calculus không gian Hilbert 34 3.3 Bậc phân số toán tử m- accretive vấn đề bậc hai 40 3.4 Thuyết McIntosh- Yagi 43 3.5 Định lý Đồng Dạng 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Danh mục ký hiệu A Bao đóng toán tử đa trị A A1 Nghịch đảo toán tử đa trị A Ax Ảnh điểm x tác động toán tử đa trị A D  A Miền xác định toán tử đa trị A LX  Không gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X N  A Nhân toán tử đa trị A   A Tập dải thức toán tử đa trị A   A Miền giá trị toán tử đa trị A R  , A Dải thức (ánh xạ) toán tử đa trị A   A Phổ toán tử đa trị A   Tích vơ hướng khơng gian Hilbert H   Tích vơ hướng tương đương không gian Hilbert H a A Toán tử A liên kết với dạng a Ses V  Khơng gian dạng nửa song tuyến tính không gian vecto V W  A Dãy trị số toán tử A BIP  X  Khơng gian tốn tử quạt A đơn ánh X cho  Ais  s nhóm C0 H   Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập mở   C0    Không gian hàm liên tục triệt tiêu  không gian compact địa phương  DR  S  Lớp Dunford – Riesz góc quạt S DR0  S  Không gian hàm chỉnh hình S DRext  S  Lớp Dunford – Riesz mở rộng góc quạt S Sect   Lớp tốn tử quạt với góc  0 tắt dần  không gian Banach X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong toán học, lý thuyết toán tử nhánh giải tích hàm liên quan đến tốn tử tuyến tính bị chặn tính chất chúng Một tốn tử quạt (sectorial operator) A có phổ chứa hình quạt S với số  R   , A  bị chặn bên ngồi hình quạt lớn Các tốn tử đóng vai trị bật lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic parabolic (elliptic and parabolic partial differential equations) Vào năm 1960 , gọi bậc phân số (fractional powers) A (với   ) toán tử quạt A định nghĩa (xem [10], [3], [24], [8]) nghiên cứu sâu rộng kể từ Tuy nhiên, ngày chưa có phát triển lý thuyết bậc phân số vào functional calculus, chí cơng trình nghiên cứu gần Mọi thứ trở nên khả thi natural functional calculus toán tử quạt đưa McIntosh phát triển functional calculus nghiên cứu ông (xem [15], [2]) McIntosh nhận xét [14] lý thuyết bậc phân số sửa lại functional calculus ông Tuy nhiên, trọng tâm nghiên cứu ơng tính bị chặn H  calculus, với giúp đỡ ý tưởng Yagi (xem [24]), chứng minh tương đương với đánh giá bậc hai không gian Hilbert Trọng tâm nằm nỗ lực để khái quát hoá kết từ không gian Hilbert đến không gian Lp không gian Banach tổng quát Dựa theo nhận xét McIntosh, đường dẫn liên hệ mơ hồ trước dần khám phá Sự liên hệ functional calculus câu hỏi đồng dạng không gian Hilbert như: vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số toán tử m  accretive, vấn đề bậc hai…đều vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach với tình hình nghiên cứu nay, tác giả định chọn đề tài “Một số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt không gian Hilbert” Mục tiêu luận văn Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Tốn giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt không gian Hilbert vấn đề đồng dạng cho toán tử biến phân, bậc phân số toán tử m  accretive, vấn đề bậc hai; sau áp dụng để chứng minh lại số định lý với cách tiếp cận dễ dàng không cần sử dụng kết phức tạp Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp số kiến thức tốn tử quạt, tính bị chặn H  calculus, bậc phân số số vấn đề liên quan khác Cơng việc địi hỏi tác giả phải biết vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach Nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Phần chuẩn bị trình bày khái niệm tốn tử quạt, mệnh đề toán tử quạt, khơng gian hàm chỉnh hình, natural functional calculus, tính bị chặn H  - calculus, bậc phân số kiến thức giải tích hàm, giải tích phức, đại số Banach có liên quan phục vụ cho chương Chương 2: Lý thuyết toán tử khơng gian Hilbert Chương tác giả trình bày thơng tin tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert, bao gồm liên hợp (của toán tử đa trị), toán tử accretive, định lý LaxMilgram Các nội dung chủ yếu sau: + Dạng nửa song tuyến tính + Tốn tử liên hợp + Tích vơ hướng tương đương định lý Lax-Milgram + Toán tử accretive Chương 3: Một số kết tính đồng dạng cho toán tử quạt Chương tác giả sử dụng kết từ lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert functional calculus để đạt định lý Đồng Dạng Các nội dung chủ yếu sau: ... MINH Trần Nguyễn Vân Nhi MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐỒNG DẠNG CHO CÁC TỐN TỬ QUẠT TRONG CÁC KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... '  f S 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong phần kết luận, tác giả tóm tắt lại nội dung mục tiêu đạt luận văn Chủ đề luận văn số kết tính đồng dạng cho tốn tử quạt khơng gian Hilbert Trong chương... Lax-Milgram + Toán tử accretive Chương 3: Một số kết tính đồng dạng cho toán tử quạt Chương tác giả sử dụng kết từ lý thuyết tốn tử khơng gian Hilbert functional calculus để đạt định lý Đồng Dạng Các nội