Đề tài Phép tính xấp xỉ trong không gian Hilbert nghiên cứu khái niệm nón pháp xấp xỉ và từ đó tiến đến khái niệm duwois vi phân xấp xỉ của các hàm nửa liên tục dưới trên không gian Hilbert, cùng một số ứng dụng của chúng trong nghiên cứu lý thuyết tối ưu và khảo sát hàm khoảng cách.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
TRUONG DAI HOC SU PHAM
TRAN VAN PHUGC
PHẫP TÍNH XẮP Xi
TRONG KHễNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2TRAN VAN PHUGC PHẫP TÍNH XẮP Xi TRONG KHễNG GIAN HILBERT Chuyờn ngành: Giải tớch Mó số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS HUỲNH THấ PHÙNG
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tụi xin cam đoan luận văn này là cụng trỡnh nghiờn cứu tổng quan của
tụi, cỏc kết quả trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu cú
nguồn gốc rừ ràng dưới sự hướng dẫn của PGS TS Huỳnh Thế Phựng Vỡ vậy tụi xin khẳng định đề tài luận văn: Phộp tớnh zắp ci trong khụng
gian Hilbert khụng cú sự tràng lặp với bất kỳ đề tài luận văn nào
Đà Nẵng, thỏng 8 năm 2017 Tỏc giả
Trang 4
Lời đầu tiờn của luận văn tụi xin gửi lời cảm ơn chõn thành sõu sắc tới
thầy giỏo hướng dẫn PGS.TS Huỳnh Thế Phựng đó tận tỡnh hướng dẫn
tụi trong suốt quỏ trỡnh thực hiện để tụi cú thể hoàn thành được luận văn
này
‘Toi cũng xin gửi lời cảm ơn chõn thành nhất đến tất cả cỏc thầy cụ
giỏo của trường đại học Sư phạm Đà Nẵng đó tận tỡnh dạy bảo tụi trong Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn
tớch K31 đó nhiệt tỡnh giỳp đỡ tụi
suốt thời gian học tập của khúa họ
đến cỏc anh chị trong lớp cao học gỡ
trong quỏ trỡnh học tập
Tỏc giả
Trang 5MỤC LỤC CHUGNG 1 KHONG GIAN HILBERT 1.1, Khong gian tiộn Hilbert 1.2 Khong gian Hilbert và phộp chiếu 1.3 Đặc trưng của điểm chiếu lờn một tập đúng 1 CHƯƠNG 2 NểN PHÁP XẮP XỈ nào 13 2.1 Định nghĩa và vớ dụ 3.2 Trường hợp tập lồi 3.3 Trường hợp đa tạp kha vi CHƯƠNG 3 DƯỚI GRADIENT XAP Xi 3.1 Cỏc định nghĩa và vớ dụ 3.2 Cỏc khỏi niệm đạo hàm cổ 3.3 Đặc trưng của đưới gradient xắp xỈ .cc cv c2 c2 20
3.4 Quan hệ với cỏc khỏi niệm đạo hàm ơ - 4
3.5 Cỏc phộp toỏn cơ bản 27
3.6 Tớnh khả dưới vi phõn trự mật .- 28
CHƯƠNG 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 30
4.1 Tổng chập cực tiểu với hàm toàn phương .- 30
4.2 Dưới vi phõn xấp xỉ của hàm ƒ„ 4
4.4 Dưới vi phõn xắp xỉ của hàm khoảng 4.5 Trường hợp hàm Lipzchitz
KẾT LUẬN VÀ KIấN NGHI
Trang 61 Lý do chọn đề tài
Cựng với sự phỏt triển vượt bậc của toỏn học ứng dụng, nhiều bài toỏn thực tế liờn quan đến lý thuyết tối uu, hệ phương trỡnh đũi hỏi cỏc cụng,
cụ mới của giải tớch khụng trơn khi mà cỏc cụng cụ của giải tớch cổ điển
và giải tớch lồi khụng đỏp ứng được Vỡ vậy, xuất hiện ngày càng nhiều
cỏc khỏi niệm mở rộng về phộp tớnh vi phõn của hàm khụng khả vi, thậm chớ là khụng liờn tục Một trong những khỏi niệm mới đú là “dưới vi phõn
xấp xẽ" cho hàm nửa liờn tục dưới trong khụng gian Hilbert, mà được định nghĩa dựa vào khỏi niệm “vec-tơ phỏp xắp xẽ' của tập trờn đồ thị của hàm SỐ
Như chỳng ta đó biết, nếu ƒ là hàm số khả vi tại một điểm x thỡ
(/'(z),—1) là vec-tơ phỏp của epi f tai diộm (x, f(x)) Sử dụng ý tưởng
này, trước hết người ta định nghĩa khỏi niệm “vec-tơ phỏp xấp xŸ' và sau
đú là “dưới vi phõn xấp xi”
Cụ thể, nếu Š là một tập đúng trong khụng gian Hilbert X và s € 8 thỡ ứ được gọi là vec-tơ phỏp xấp xỉ của Š tại s nếu tồn tại số dương Ê đủ bộ sao cho s là điểm chiếu của điểm s + tv len S Bõy giờ cho ƒ là
một hàm nửa liờn tục dưới trờn một khụng gian Hilbert X, ta núi u € X
ủa ƒ tại x nếu (u, =1) là một vee-tơ phỏp
cỏc dưới gradient xấp xỉ của ƒ tại z được gọi là dưới vi phõn xấp xỉ của ƒ tại điểm đú Đõy
là một dưới gradient xAp xi
xấp xỉ của tập epi ƒ tại điểm (x, f(x)) Tập hợp tat
là một khỏi niệm mới mà trựng với khỏi niệm dưới vi phõn khi ƒ lồi Sử
dụng khỏi niệm vi phõn mới này, chỳng ta nhận được nhiều kết quả thỳ vị về điều kiện cực trị của bài toỏn tối ưu hạn chế trờn khụng gian Hilbert
Ngoài ra, việc khảo sỏt vi phõn của hàm khoảng cỏch đến một tập hợp
cũng thuận lợi hơn rất nhiều
Trang 72
xấp xỉ cựng cỏc ứng dụng của chỳng, em hy vọng rằng, ngoài việc rốn
luyện thờm cỏc kỹ năng về toỏn, em sẽ tự trang bị cho mỡnh một cụng cụ
mới thay thế cho cỏc khỏi niệm vi phõn cổ điển để giải quyết nhiều bài toỏn thực tế ngày càng phức tạp Vỡ vậy, được sự đồng ý hướng dẫn của PGS Huỳnh Thế Phựng, em chọn đề tài “Phộp tớnh zấp xi trong khụng
gian Hilbert” cho luận văn thạc sĩ của mỡnh 2 Mục đớch nghiờn cứu
Nghiờn cứu khỏi niệm nún phỏp xAp xỉ và từ đú tiến đến khỏi niệm dưới
vi phõn xắp xỉ của cỏc hàm nửa liờn tục dưới trờn khụng gian Hilbert, cựng một số ứng dụng của chỳng trong nghiờn cứu lý thuyết tối ưu và khảo sỏt
hàm khoảng cỏch
3 Đối tượng và phạm vi nghiờn cứu Gi
khong gian Hilbert
4 Phương phỏp nghiờn cứu
Với đề tài: “Phộp tớnh xắp xả trong khụng gian Hilbert” tụi đó sử dụng cỏc phương phỏp ngè tớch khụng trơn trong khụng gian Hilbert, phộp tớnh xấp xi trong ghiờn cứu cỏc tài liệu liờn quan đến đề tài, bao gồm cỏc tài liệu kinh điển và cỏc ẩ Ă bỏo mới, tổng hợp và trỡnh bày bỏo cỏo tổng quan Tham khảo, trao đổi với cỏn bộ hướng dẫn
5 í nghĩa khoa học và thực tiễn
“Tổng hợp tài liệu để cú một bỏo cỏo tổng quan khỏ đầy đủ về cỏc phộp
tớnh vi phõn xấp xỉ trong khụng gian Hilbert
Bổ sung cỏc vớ dụ, hỡnh ảnh và cỏc chứng mỉnh chỉ tiết 6 Cấu trỳc luận văn
Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Khụng gian Hilbert
Trong chương này, tụi trỡnh bày cỏc định nghĩa, định lý cơ bản về tớch hàm và giải tớch lồi bao gồm khỏi niệm khụng gian Hilbert, đặc di
Trang 8
Chương 2: Nún phỏp xấp xỉ
Trong chương này, luận văn sẽ đưa ra cỏc định nghĩa, những vớ dụ về
đặc trưng của vec-tơ phỏp xấp xỉ cho hai trường hợp tập lồi và trường hợp da tap kha vi
Chương 3: Dudi gradient xấp xỉ
“Trong chương này, luận văn sẽ trỡnh bày lại một số khỏi niệm cơ bản
dưới gradient trong giải tớch lồi và giải tớch Lipschitz, từ đú đưa ra khỏi
niệm cho hàm nửa liờn tục dưới, những đặc trưng của dưới gradient xAp xi
cũng như mối quan hệ với cỏc khỏi niệm đạo hàm cổ điển Ngoài ra trong,
chương này luận văn cũng nờu ra một số phộp toỏn cơ bản của dưới vi
Trang 9CHƯƠNG 1
KHễNG GIAN HILBERT
Trong chương này, tụi trỡnh bày một số định nghĩa và định lý của giải tớch hàm cú liờn quan đến luận văn Trỡnh bày cỏc kiến thức chuẩn bị, gồm
khỏi
hàm khoảng cỏch đến một tập đúng và ỏnh xạ chiếu lờn một tập đúng
1.1.KHễNG GIAN TIỀN HILBERT
im khong gian Hilbert, đặc điểm của chuẩn Euelide, điểm chiếu,
Định nghĩa 1.1.1 (Tớch vụ hướng) Cho X là một khụng gian vectơ trờn
trường số thực # Tớch vụ hướng trộn X là một ỏnh xạ (-,-) : X x X > R,
xỏc định như sau:
(x,y) €X x X 4 (x,y) ER,
thỏa món cỏc điều kiện sau đõy:
1) Với mọi z € X, ta cú (z,#) > 0 Ngoài ra, (,z) = Ú â z =0
2) (a,y) = (u.z), V+,u€ X 3) œ@+z,)= 4) (Az, y) =A(x,y) Ve,ye X,VAER œ1) + (z,),V+,z, € X
Số thực (,y) được gọi là tớch vụ hướng của hai vectơ x va y Cap (X.(.,.)) được gọi là khụng gian tiền Hilbert
Từ định nghĩa, ta thấy
(0,y) =0, Vy eX
Dộ thay R" vội tớch vụ hướng thụng thường sau đõy là một khụng gian tiền Hilbert:
(x,y) = ệ ) xi, Vay € RP,
Trang 10P=f{z=(Œ) eR|éˆz? <<},
ast
với tớch vụ hướng: x
(2,9) = Yo tani VE = (@n),9 = (Yn) EP =
Định lớ 1.1.2 (Bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho X la khụng gian tiền Hilbert Tụ cú (,y)° < (œ,+) (w.v)Ve,u € X (1) Chứng mỡnh Định lý hiển nhiờn đỳng với z = 0 Với z # 0 ta cú (,#) > 6 Ta xột tam thức bậc 2 theo t € R: 0 < ƒ() = (ta —y, te — 0) = (,#) ấ — 2 (œ0) t+ (,9)- Vỡ ƒ(Ê) >0, YÊ €R mà hệ số (z,z) > 0, nờn AY = (x,y)? = (x,2)(y,y) <0,
đú là điều cần phải chứng minh n
Nếu X là khụng gian tiền Hilbert thỡ || - || xỏc định bởi lzll:= œ.z)⁄2, ze X là một chuẩn trờn X Thật vậy, ta cú ô llzl|:= œ.z)!/đ>0,VzeX: @ |lc|] =0 ,z) =0 =0; e ||Ax|| = M(x, Az) = vAFŒ,#) = |ÀA| |z||, với mọi À € R và z € X; elletyl? = (et+yxty) = (2,2) + 20,9) + (0.9)
Ma theo (1.1) ta 6 (x,y) < |[2'lllyl| Vi vay,
lle + yl? < lel? + 2llellllyll + lly? = (lel + Iiv|Dấ
mà từ đú suy ra bất đẳng thức tam giỏc
Định lớ 1.1.3 Cho (X,(-,-)) là một khụng gian tiền Hibert Khi đú
(gu): XxXR
Trang 116 Chứng mỡnh Lấy cỏc dóy {z„}.{u} trong X lần lượt hội tụ về z,y tức la: Jima = im m= Lỳc đú : 0< |ẫn, tỏ) — (Œ,)| = Í(Œn: Mà — Ề + đa — #,9)| › S (tn: Yn = Ơ)| + |(@n = 2, 9)|- ‘Theo bit ding thttc Cauchy-Schwarz:
|ằ, te — 9)| + |ằ — #,9)| < llrall llys — 9|| + [lan = 2 [yl -
Khi œ — o thỡ về phải của bất đẳng thức trờn dần về khụng Vi vay |ằ tu) — (œ,v)| —> 0 Tite la Tim, (0 a) = (1) - ủ Định lớ 1.1.4 (Dẳng thức hỡnh bỡnh hành) Với mợi #, € X ta cú: ie + | + le — |? =2(zlP + lulP) q2) Chứng mỡnh
lle + yl? = (e+y,a+y) = (2,2) +2(0,y)+(y,y) = llr|Ẻ+2(œ,w)+ lly, lle = yll? = (@—y,2—y) = (œ.+)—2(z.w)+(w,w) = lla? —2 (x,y) + lal Cộng hai đẳng thức trờn, về theo về, ta nhận được (1.2) ữ
Hệ quả 1.1.5 (Dẳng thức Apollonius) Với mọi x,y,2 € X ta e6 ding thức: (la — yl? + llz = z|) (13) Chứng mỡnh 2 +z Alla — = = IIe y) + (@ 2) IP = [lx — yl + lle — 21°42 (@ — w,z— >):
lly — 21)? = II(@ = 2) — (ey) IP? = lla — 2)? + lla — v|Ủ—2 œ — z,z = y)
Trang 121.2 KHONG GIAN HILBERT VA PHEP CHIBU
Như đó núi ở trờn, một khụng gian tiền Hilbert X cing 1a khụng gian định chuẩn, với chuẩn được xỏc định bởi (1.1) Với chuẩn này, khụng gian
tiền Hilbert là đầy đủ thỡ ta gọi X là khụng gian Hilbert Cỏc khụng gian R đầy đủ, nờn đều là khụng gian Hilbert Từ nay về sau ta luụn giả thiết X và Í? với tớch vụ hướng núi đến trong mục trước đều là cỏc khụng gian là một khụng gian Hilbert trờn trường số thực Định nghĩa 1.2.1 Cho Š là n Khoảng cỏch ds(z) từ điểm z đến tập Š được định nghĩa như sau: dg (x) := inf{||x — ull | u € S} Điểm s € Š được gọi là điểm chiếu của z lờn 9 nếu = dsứ) “Ta kớ hiệu projs(z) là tập cỏc điểm chiếu của z lờn S Tập này cú thộ bing p con khỏc rỗng của X và z € X llz—
rỗng, cú thể là tập một điểm hoặc nhiều hơn một điểm Khi projs(z) chỉ
cú một phần tử ta sẽ núi projs(+) là tập đơn tử
Vi dụ 1.2.2 Cho
S = {(a1,a2) ER? | ay? + 29? < 1,2, > 0,22 > 0}
Trang 13Đ
Chứng mỡnh (1) Do 8 C 8 nờn dg(#) < ds(z) với mọi x € X
Dat a = dg(z), với mọi e > 0, tồn tại € Š sao cho lu — z|| <ats Do y € S nộn tồn tại s € Š sao cho ly-sl<5- Cộng hai bất đẳng thức ta được lz =sj|< lz= 9|+ lu =3 <a+š+ 5: từ đõy ta suy ra, với mọi e > 0, tồn tai s € S sao cho \|z- sll <ate Tức là với mọi  > 0, ds(x) < a + suy ra ds(z) < œ = dg(z) Vay ds(z) = ds(z) (2) (=) Ta lay x € Š nờn tồn tại một dóy (su) C S, mas, —> # thỡ |Is„ — z|| — 0 ta cú ds(x) = inf ||s — z|| < |lsằ — z|| — 0
Vay ds(x) < 0 nờn suy ra ds(x) = 0
() Khi ds(z) = 0 thi inf lịz
cho ||s„ — #|| —> 0, từ đõy suy ra dóy s„ dần tiến về z nờn z € S Vậy dấu || = 0 nờn tồn tại day (s,) C S, sao tương đương xảy ra (3) (=>) Giả sử ds(z) = dr(z) Với mọi z € 8 â ds(z) = 0 @ dr(z) =0 âđ z €T vậy S =T (â) Ngược lại 9 = 7 Lỳc đú
“Theo (1) đó chứng minh trờn thỡ dg(z) = ds(z) và dy(#) = dr(z) nờn dg(z) = dr(z) từ đõy ta suy ra,
ds() = dr(z)
Vậy dấu tương đương xảy ra
(4) Dat a = ds(x), 8 = ds(y) ta cú,
Trang 14Do s€ 8 nờn ||z — s|| > ỉ Mặt khỏc, IIs — ứ|l < llz — ứ|l+ lls — z|l suy ra, 8<a+llz— w||+e Do với mọi e > Ú nờn ds(y) < lla — v|| + ds(z) Chứng minh tương tự ta được: ds(x) < ||x — yl] + ds(y) Tit day ta cú thể suy ra được rằng: |ds(x) — ds(y)| < lle — 9|: a
Mệnh đề 1.2.4 Nếu Š là tap lồi đúng khỏc rỗng trong X, thi vdi moi +œ€ X tồn tại duy nhất một điểm s là điểm chiếu của z lờn S (nờn ta cú thể uiết s = projs() Hơn nữa, điểm chiếu của œ được đặc trưng bởi tớnh chất sau:
s= projs(z) â (#— s,s"— s) < 0,VS' € 8 (L4) Chứng mỡnh Ta đặt œ = ds(x) = inf lly — 2] Ton tai day (ya) C 8 sao ve
cho |lyn — 2|| => @ khi n + ov
(Yn) là day Cauchy That vay, theo Hệ quả (1.1) ta cú
Yn + Ym
Hư ~ val? = 2a — 21? + 2m — af = 4P T8 — „
vỡ 8 là tập lồi nờn 44% € S, suy ra || — xl] > a Tir do, O< lym — Yall? < lly — 2? + 2llym — 2)? — 4aŸ,
cho n,m — 00, ta dutge vộ phai tiộn vộ 0 Vay
2
lim_ |lym — yn|? = 0
Suy ra (ga) la day Cauchy Do X là khụng gian đầy đủ nờn (y„) —> s € X
Vỡ #8 là tập đúng nờn s € S Mặt khỏc do
lim yp,
Trang 1510 nờn lim (y„ — #) Suy ra a= lim |Jy„ — z|| = ||s — zÍ =lls—zll=a = ds), => s€projs(z)
Để chứng mỉnh tớnh duy nhất của điểm s, ta lấy một điểm # là điểm chiếu
khỏc của z lờn tập S9 Khi đú sts |? 2 vỡ S là tập lồi nờn *‡* € 8, suy ra ||*ÿí — z|| > œ Từ đú 0< |Is — #ẽlŸ = 2IIs — z|ấ + 2|Is' — z|Ÿ — 4 —z|
0< II? < 2lJs — x? + 2I]s’ — xl)? — 4a? = 2a? + 2a3 — 4a3 = 0
Vay ||s — s'\|? = 0, nộn chỉ tồn tại duy nhất một điểm s là điểm chiếu của x lờn 8 'Ta được điều phải chứng mỉnh a Mộnh dộ 1.2.5 Nộu dimX < +00 va S$ la tập đúng khỏc rỗng, thỡ projs(œ) cũng là tập đúng khỏc rỗng vdi moi x € X Hon nita, U projs(x) = as (1.5) zeX\S
Chứng mảnh Dễ thấy projs(z) là đúng Để chứng minh tớnh khỏc rỗng ta lấy dóy (s¿) C Š sao cho,
llr — sel] + ds(x)
Dóy(s¿) như thế là bị chặn (vỡ dóy (x — s;) bị chặn mà |Is|| < |lz|| +
lz — s¿||) nờn tồn tại một dóy con (s¿) hội tụ về một điểm s € 8 Lỳc đú
dóy (||z — s¿||) đồng thời hội tụ về ||z — s|| và ds(z), nờn ||z — s
hay s € projs(z)
Trang 16
ụm s € ỉ8 tựy ý Chọn (¿) C X8 là dóy hội tụ đến s và, với mỗi (xp) Vi |x — sell < lle — s|| ta cú, lls — sell < |Is — zell + llzz — s|l < 2 llxz — s||- mà ||z¿ — s|| —> 0 nờn ||s — s¿|| —> 0 Vỡ, s€projs(x)C |] projs(z) ẩ, chọn s¿ € projs zeX\ 8: ta suy ra, se |J pmoj;(z) reX\S Vỡ điều đú đỳng với mọi s € ỉ8 ta nhận được bao hàm thức "" trong (1.5) và mệnh đề được chứng minh o
1.3 ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM CHIẾU LấN MỘT TẬP ĐểNG
Cụng thức (1.4) cho chỳng ta một tớnh chất đặc trưng của điểm chiếu một điểm lờn một tập lồi đúng Đối với tập khụng lồi (1.4) cũng là điều
kiện đủ, nhưng khụng phải là điệu kiền cần, để s là điểm chiếu của z lờn
Trang 18CHƯƠNG 2
NểN PHÁP XẤP XỈ
2.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ
Định nghĩa 2.1.1 Cho z € X, s € projs(z) Ta gọi cỏc vectơ cú dạng
€= t(# — s), t > 0 là vectơ phỏp tuyến xấp xỉ của Š tại s Và tập (s) := {f(œ — s) [+ € X,s € projs(z),Ê > 0} (2.1) là nún xấp xỉ của S tai s “Từ định nghĩa này ta thấy WŸ(s) thực sự là một nún chứa gốc và, (s) = {€ € X | 3A >0: đs(s + ÀÊ) = A||Ê||}- (22) Hơn nữa, nếu s € Š khụng phải là điểm chiếu của bất kỳ một điểm # nào
nằm ngoài Š thỡ Wƒ#{(s) = {0} Để tiện làm việc ta quy ước Wƒ(s) = Ú khi s ý 9 Vi dụ 2.1.2 Cho tập hợp S = {(x,y) € RẺ | z > 0 hoặc > 0}
Tại cỏc điểm (z,0) với z < 0 ta thấy chỉ cỏc vectơ dạng € = (0,/) với
8 < 0 mới là vectơ phỏp xắp xỉ của Š tại điểm (z,0) Nghĩa là
NĐ(x,0) = {(0, 8)|3 < 0}
Tương tự, tại điểm (0,y), y < 0 ta cú
NĐ(0,y) = {(a.0)|a < 0}
Đặc biệt khụng cú điểm (z, ) nào ngoài Š nhận (0, 0) làm điểm chiếu lờn S
Trang 1914 b)€€ NƑ(œ) khi uà chỉ khi tồn tại ð > Ú tà ứ!(€, s) > 0 sao cho (,#'— s) < ứ'l|s — s|ấ,Vs' 9n B(s,) (2.4) Chứng mỡnh a) Nộu € € NE (x) thỡ tồn tại À > Ú sao cho s € projs(s + AÊ), tức là Ness) <3 A Ngude lai nộu (2.3) thỏa món (mà khụng s|lấ,Vs' € 8 (2.5)
Vay (2.3) thộa món với ơ —
mat tớnh tổng quỏt, cú thể giả thiết o > 0) thỡ (2.5) cũng thỏa món với
ÀA= ‡ nờn € € NE(s)
b) Vỡ (3.3) => (2.4) nờn điều kiện cần là hiển nhiờn Để chứng minh
điều kiện đủ ta giả thiết (2.4) thỏa món Đặt ứ := maz {o', lạ), Với mọi s€ 6 ta cú: â Nếu ||s' — s|] <4 thi, do (2.4) (.#'— s) <ứll# = sI? < ứlls — si e Nếu ||s — s|| > ổ thỡ (€.s“— #) < ÍKllll — s|| < ứð|ls'— s|| < ứ||s' —
Vay (2.3) thỏa món nờn € € NP(s)
Tit Mộnh dộ 2.1.3 ta thấy nún phỏp xấp xỉ cú tớnh chất địa phương Nếu s € Ă1.6 thỡ hai nún phỏp tuyến xấp xỉ Ng
nhau nếu hai tập ŠĂ và Š› trỳng nhau trong một lõn cận của s Cỏc bất
và As,(s) sẽ trựng
đẳng thức (2.3) và (2.4) được gọi là bất đẳng thức phỏp tuyến xắp xỉ O
Hệ quả 2.1.4 W‡(s) là nún lụi chứa gốc
Chứng minh Từ định nghĩa (hoặc từ (2.3)) ta thấy ngay AŸ{(s) là một
nún chứa gốc Để chứng minh tớnh lồi chỳng ta lầy &Ă,€; € W‡(s) và chứng,
minh € + & € Nf(s) Theo Mệnh đẻ 2.1.3, tồn tại ứị,ứạ > Ú sao cho
(Gi, 8! — s) < ails’ — s||?, Vs! € S,i = {1,2}
Suy ra
(+, — s) < (ơi + ứ3)||s' — s|P,VS' € 8
Trang 20Mệnh đề 2.2.1 Cho Š là tập lồi trong X Khi đú
a)€C€ NỆ(s) khi uà chỉ khi (€,s” — s) < Ú vdi moi s! € S Núi cỏch
khỏc,
NĐ(s) = No(s)
b) Nếu X hữu hạn chiều thi Nf(s) 4 {0} vdi moi s € OS
Chứng mỡnh a) Ta sẽ chứng mỡnh điều kiện cần Lấy tựy ý € € N‡(s)
Theo Mệnh đề 2.1.3, (2.3) nghiệm đỳng với một ứ > 0 nào đú Do đ lồi
nờn s; = ts' + (1—t)s € 8 với mọi s’ € S va t € (0 1), vỡ vậy
(€,s, — s) < ứ||s, — s||ấ, Vt € (0,1),
hay
t(€,s’—s) < Polls’ — s|?, Vt € (0,1)
Chia hai về cho t và cho t tiến về 0 ta nhận được (€, # — s) < 0
b) Nếu int(S) = Ú thỡ tồn tại siờu phẳng H é đĐ Do HH là siờu phẳng tồn tại 0 # € € X và a € R sao cho
H=t{zeX|(.+) =a}
Vỡ (€,s“— s) =0 với mọi s"€ 8, ta cú Ê € As(s) Vậy As(s) # {0} Nếu int(8) # Ú thỡ theo Định lớ tỏch, mỗi điểm s nằm trờn biờn của tập lồi S
thi ton tai € 4 0 tach s va int(S), tite la (€, s’ — s) < 0 vội moi y’ € int(S)
Tit day suy ra (€, # — s) < 0 vdi moi s’ € 8 Nghĩa là Ê € A's(s) a
Trang 2116
Chứng mỡnh a) Lấy € € N(s) Theo Mệnh đề 2.1.3, tồn tại ở > Ú sao cho (2.3) thỏa món Khi đú s là nghiệm của bài toỏn ƒ(s) = —(€.#) + ols’ — s||Š — inf,s' € R", hi(s') =0,1 <i <k “Theo quy tắc nhõn tử Lagrange, tồn tại cỏc số ứ, 1 < ¿ < k sao cho Vƒ(s) + 3 2¿Vhi(s) = 0 = Ma Vf(s) = —€ nờn k €=)w;Vhi(s) €span {Vhi(s),1 < Ă < k} (2.6) ia
b) Bõy giờ giả sử cỏc hàm h; dộu thudc lộp C?, ta sẽ chứng minh bao hàm
thức ngược lại Với € cú dạng như @ 6), ta xột hàm g)=~—(.z >> + ứl|z — s|Ÿ Lỳc đú, g(x) = —(€,#) + ứ|# — si với # € 9, và Vale) = =Ê + ằ Vhi(z) + 2ứ(z — 3) = k V2 g(x) = 3 `:V°h;(x) + 201, at
vi I 1a ma tran don vi Do (2.6) nộn Vg(s) = 0 Mat khộc, nộu chon o đủ lớn thỡ V2g(s) xỏc dinh duong, nộn g sộ nhan s lam diộm cực tiểu địa
phương nghĩa là tồn tại ổ > 0 sao cho
g(s) < g(+);Y+ € B(s,6)
Suy ra
~,s) = ứ(s) < ứ(s) = —(,s) + ứl|s' — s|, Vs' € B(s,Ê) n8
Vậy (2.3) thỏa man, kộo theo € € NÊ(s)
Nhu vay ta thay rằng khỏi niệm phỏp tuyến xắp xỉ cũng là một mở rộng
Trang 22CHƯƠNG 3 DƯỚI GRADIENT XẤP XỈ 3.1.CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ Một hàm ƒ : z —> (—oe, +œ] là nửa liờn tục dưới tại z nếu Jim inf f(x’) > f(x)
Núi cỏch khỏc, với mọi e > 0, tồn tai d > 0 sao cho
f(y) = f(x) — e.Vụ € Bớ, ụ)
Ta cú, ƒ nửa liờn tục trờn tại z nếu — ƒ là nửa liờn tục dưới tại x
Nếu ƒ là nửa liờn tục dưới tại mọi điểm # trong tập mở U C X thỡ ƒ được gọi là nửa liờn tục đưới trong U (tương tự cho ƒ là nửa liờn tục
trờn hoặc liờn tục) Trong chương này ta vẫn sử dụng cỏc ký hiệu và định
nghĩa sau:
Cho hàm ƒ : X —> R = [—se, â] ta kớ hiệu epiƒ và domƒ lần lượt là tập trờn đồ thị và miền hữu hiệu của hàm ƒ Tức là
domf := {x € X | f(x) < +00},
gr/ = {(x, f(x)) |x € domf},
epif = {(x,r) €domf x R|r> f(z)}
Khi U C X, ta viết Z(U) = {f nita lien tuc dudi va domf NU 4 0}, khi
U =X ta cộ thể viết đơn giản F = F(X)
Trang 2318
Chỳ ý rằng:
 Ham ƒ là hàm lồi thỡ domƒ là tập lồi  X x RIA mot khong gian Hilbert với
((x,r) ,(2’,r')) = (a2!) + rr’
“Trong mục này chỳng ta sẽ đưa ra một khỏi niệm vỉ phõn cho hàm nửa
liờn tục dưới dựa vào sự gợi ý của cỏc kết quả sau trong giải tớch lồi và
giải tớch Lipschitz
Mệnh đề 3.1.1 (Đối uới hàm lồi) Cho ƒ là hàm lồi trờn X va zụ € X sao cho ƒ(zg) €TR Lỳc đú
+° €ỉƒ(o) @ (#°,—1) € Nepi/(%o, ƒ(zo))-
Ở đõy, ệƒ(-), Nạp r(5, ƒ(-)) lần lượt kớ hiệu là dưới vi phõn tà nún phỏp theo nghĩa giải tớch lồi
(Dội vdi ham Lipschitz) Cho f : X + R la ham Lipschitz dia phuong tai x € X Lic dộ (x, f(x)) € epif CX x R va
a) TS, j(#, ƒ(z)) = epi(J°(œ, ›),
b)+* € A f(x) + (x*,-1) € NS, (x, f(x))-
Trong dộ, O° f(-) được kớ hiệu là dưới vi phan va T°, Nâ lan lugt ki
hiệu là nún tiếp xỳc uà nún phỏp theo nghĩa Clarke
Định nghĩa 3.1.2 Cho f € Z và z € dom/ Veetơ € € X được gọi là
dưới gradient xấp xỉ của ƒ tại z nếu (€,—1) € A27,/(z, ƒ(z)) Tập tất cả
cỏc dưới gradient xắp xỉ của ƒ tại z, kớ hiệu là ỉứƒ(z), được gọi là dưới
vi phõn xấp xỉ của ƒ tại z Vậy,
Op f(x) = {Đ € X|(E,-1) € Neng(@, ƒ(2))}-
Tit dinh nghia ta thay Op f(x) 1a mot tập lồi (cú thể bằng rỗng) Thật vay, nộu &,& € Opf(x) và À €(0,1) thỡ
(AG + (1 = A), =1) = ME, =1) + (1 ANG, -1) € Nop S(2)),
(do NZ p(x, ƒ(z)) lồi), nen A, +(1 — A) € Of (x) Vi du 3
Trang 24
Đặt S=epiƒ Bằng cỏch xột trực tiếp ta được WŸ#(0,0) = {(0,0)} Vỡ vậy, khụng tồn tại € để (Ê,—1) € N2(0, ƒ(0)) Nghĩa là ỉpƒ(0) = Ú Tại z = 1
ta cú ƒ(1) = —1 Xột trực tiếp ta cú W(1,—1) = {(A.A) |A < 0} Do đú để (€.—1) € N?(1 ƒ(1)) điều kiện cần và đủ là Ê = —1 Vay Op f(1) = {-1}
Tương tự tại # = —1 ta cú ƒ(—1) = —1 và W#(—1,—1) = {(A.—A)|A >
0} Vỡ vậy ỉpƒ(—1) = {1}
3.2 CÁC KHÁI NIỆM DAO HAM CO DIEN
Đạo hàm theo hướng của ƒ tai x € domƒ theo hướng € X được xỏc
định bởi: {+t9)= ƒ0) t
Gia sit X va Y 1a hai khong gian Hilbert va anh xq F : X > Y lien tục Ta ký hiộu Ê(X,Y) là khụng gian cỏc ỏnh xạ tuyến tớnh từ X dộn Y Cho z € X Toỏn tử F¿(z) € Ê(X,Y) được gọi là đạo hàm Gõteaux của
F tai a nếu
J (2,v) = lim (3.1)
lim, (Aster = F(x) ) =0,Wwe X,
Một cỏch tương đương, Vũ € X,Ve > 0 3ổ(0, e) > 0,
F+ w) ~FŒ) _ z (4) (v)
F'(z) la dao ham Frộchet cita F tai x nộu với mọi r > 0, với mọi e > 0,
ton tai d(r,e) > 0 sao cho
| F+ tw =F) _ p(y 6|
Cú thể núi đơn giản hơn rằng, #'(z) là đạo hàm Erộchet của # tại z nếu im f0) = FŒ) = Ƒ)w - z)
tủ lu - z||
với về phải là vộc tơ 0 € Y
Trang 2520
(â _ (4 (x) g(x) ~ f(x) g â)
g 9 (x) ,
Giả sử ƒ € F(x) kha vi Gõteaux trờn mot tap mộ U chtta đoạn Íz, ÿj] :=
{fz + (1— 9w |0 < † < 1} với z,ụ € X Khi đú tồn tại một điểm z=t#+(1—#)w,t€ (0,1) sao cho
f(y) — f(@) = (f&(2).w— +)
Gia sit X,Y, Z la cdc khong gian Hilbert va F : X + Y,G:Y > Z,
giả sử F la kha vi Frộchet tai x € X và G la kha vi Frộchet tai F(x) € Y
khi d6 G.F : X + Z la kha vi Frộchet tai x va (GF) (x) = G(F(a))F'()
Gia sit U C X la mộ va f : U > R la kha vi Frộchet trờn Ư Nếu U — X là liờn tục trờn U, ta núi ring f là thuộc lộp C! trộn U và viết
ƒ€C!(U) Hơn nữa, nếu ƒ khả vi Gõteaux trờn cú đạo hàm liờn tục
thỡ ƒ € C'(U)
Gia sit f’ : Ư => X là ỏnh xạ khả vi Frộchet trộn thỡ đạo hàm của ƒ“ tai x € U ta kớ hiệu là ƒ“(z) € Ê(X,X) Với mỗi z € U, tồn tại lõn cận B(+.n) của z sao cho với mỗi € B(z.1) tồn tại z € (,/) sao cho L(y) = f(x) + f().w~ +) + 3/")(w —#),U~ *) Chỳ ý rằng nếu chuẩn của ƒ”(y) bị chặn với y € B(x,n) bởi một hằng số 2ứ > 0 thỡ ta cú f0) > ƒ(z) + (ƒ'().— z) — ứl|y = zlỬ, (3.2) vội moi y € B(x,n)
Nộu anh xa f” : X + Ê(X,X) 1a lien tuc trộn U, thỡ ta núi ƒ kha vi liờn tục đến cấp hai trờn U, và viết ƒ € C?(U) hoặc ƒ € Œ? nếu U = X
3.3 ĐẶC TRƯNG CỦA DƯỚI GRADIENT XAP Xi
Bổ đề 3.3.1 Cho ƒ € 7 sà z,ụ € X Xột ham g: [0,1] + R zỏc định
bởi
Trang 26
Lỳc đú, nếu ƒ khả ui Gõteaur thỡ g cũng cú đạo hàm trờn (0,1) va
# (f6) = (ụ— + fe(# + toly — #))), Via € (0, 1) (3.3)
Nộu f khả ti đến cấp hai thỡ g cũng uậu Hơn nữa,
9" (to) = (y— x, f"(a + toly — 2)(y — 2))), Ơto € (0,1) (3.4)
Chitng minh Nộu f c6 dao ham Gateaux thi g(to + h) ~ g(to) o (to) = lim = jm Let tol = 2) + S3) ~ f (e+ toy) hoo h = (y 2, fala + toly - 2))) Cũn nếu ƒ cũng khả vi cấp hai thỡ sử dụng kết quả trờn ta cú 9! (to) = fam ——T———^ xà — vs, ỉ (f6 + h) — g (fa) , , h a (y= 2, fe (x + to (y—2) +h(y—2)) - fe (z+ to(y-2))) =k h
_ (y= 2 jim fe OU) +h) = Sole sy 2))
= (y—2,f" (ôâ +to(y—2)) (y-2))
Chỳ ý rằng ƒ”(z + fạ( — #)) € Ê(X, X) nờn ƒ"(# + fạ(y — #))(y — #) €
X a
Hệ quả 3.3.2 Cho f € F kha vi Gateaur trộn tap mở U C X Xột
+,ụ€U, + # ụ sao cho [x,y] CU Khi dộ 06 z € (x,y) CU sao cho
ƒ(0) — ƒ(œ) = (u~ +, f6(2))- (3.5)
Chứng mỡnh Ấp dụng Định lý Lagrange cho hàm g trờn đoạn [0.1] tồn tại
to € (0,1) sao cho
ứ(1) ~ ứ(0) = g(h)-
Đặt z = x + to(y — x) € (x,y) ta nhan được điều phải chứng minh [1
Hệ quả 3.3.3 Giả sử ƒ khả ti liờn tục đến cấp 2 trờn tập mở U tà
[*.w] CU tới z # ụ Lỳc đú tồn tại một diộm z € (x,y) sao cho
Trang 2722 Chứng mỡnh Sử dụng khai triển Taylor cho ham g ta cú att) = g0) + #/(0)Ê + 39” (W)ẫ, với fạ € (0,Ê) Thay Ê = 1 và sử dụng (3.3), (3.4) ta nhận được (3.6) với z=++tfo(wT— +) € (z,) n
Mệnh đề 3.3.4 Cho ƒ € C?(U), uới U là tập mở Lỳc đú, uới mợi z € U,
tồn tain > 0 va o > 0 sao cho
f0) > ƒ(œ) + (ƒf(œ).u = 2) — ally = z|Ÿ.Yụ € B(,n) (37)
Chitng minh Do f € C?(U) nờn tại z tồn tại y > 0 sao cho B(x,n) CU
va
l/”(2) = ƒ“œ)||< 1.Vz € Bứ.y) Nếu đặt ứ = LG), thị
I/”(2)|| < 2ứ.Yz B(z,ứ)
Bay giờ ta lấy € B(z, ) tựy ý Theo Hệ quả 3.3.3 tồn tại z € (x,y) C B(a,y) sao cho (3.6) thỏa món Bằng cỏch chỳ ý rằng
(y— 2, f"(2)(y — 2) > ~ |If"()|IIlu — z|Ẻ > —2ứlly — z|
ta suy ra (3.7) n
Bổ đề 3.3.5 Cho x € X, ƒ(#) = l|z — zu|lŠ Khi đú ƒ € C? va uới mọi
rex,
J'(x) = 2(x — 20), f"(x) = 2ldx
vdi Idx € ÊL(X,X) là toỏn tử đồng nhất trờn X Chứng mỡnh Ta cú " in tra bằng cụng thức sau
Hạ (0) = f0) = ƒŒU S3) —
wr Iu~zll
“Ta cú
(0) — ƒ() = llu — z|Ÿ ~ llx — zo|Ủ = (y+ — 2zo,w — 2),
Hạ LY) =S@) = (x ~70),y~2) _ 5, (y= 2y 2)
we lIu—zll we yal
vậy ƒ'(#) = 2(x — 20)
Trang 28S'(y) ~ S'(2) = Ay — 20) ~ 2x 20) = 9y — 3) = 91dx(y — 3) m tim LW=L@)=2dx(y=2) 0g Tyal yal
vay f"(ô) = 2Idx n
Bồ đề 3.3.6 Cho e > 0 à €,z € X Đặt
9(0) = Vẻ +3e(,w— +) = lly — al
Lỳc đú, tồn tại lõn cận U của # sao cho g € C?(U) va g'(&) = €
Chứng mỡnh Đặt h(y) = 2 + 2e( ụ — x) — ||u — z|ấ Lỳc đú dễ thấy h thuộc lớp C2 với h'(y) = 2cÊ — 2(w—z) và h"(u) = —3ldy với mọi € X
Ngoài ra, do h(x) = c? > 0, nờn tồn tại ổ > 0 sao cho
h: B(,ð) — (0,+oâ)
Do hàm ¿(u) := vữ thuộc lớp C2 trờn (0,+oe) nờn hàm g = yoh thuộc lớp Œ? trờn ỉ(z,ử) Cuối cựng ỏp dụng cụng thức đạo hàm hợp: (Go F)'(xo) = G'(F(x0)) 0 F'(x0), ta được (0) 2 Nr) =o! +) _°@)_ _ 2Ê _ Œ) = #(h())h(z) = Vita) Be ‘ n
Định lớ 3.3.7 Cho f € Ƒ.z € dom ƒ Lỳc đú € € ỉpƒ(œ%) khi uà chỉ khi
Trang 2924
Suy ra
((€ —é),(w,+) = (, ƒ())) < ứlly = 2? < o(lly = z|Ẻ + ( ~ /(z))?) Vậy (*) đỳng nờn Ê € ỉpƒ(z)
Để chứng minh điều kiện cần ta giả thiết (€,—1) € A ir(œ, ƒ(z)) Lỳc
đú tồn tại ổ > 0 sao cho (z, /(z)) € proj.„/((, ƒ(2)) + ð(Ê, —1)) Với mọi
€ domƒ ta cộ (y, f(y)) € epiƒ nờn
# (|| + 1) < llu— (@ + 8&)| + (7w) = ƒœ) + 8}, = (f(y) — f(x) + 6) > & + 26(E,y — 2) — lly — zlỬ
Do ƒ € Z nờn cú thộ chon 7 > 0 sao cho y < 6 (Với ở được núi đến ở Bồ
dộ 3.3.6) f(y) — ƒ(z) + ð > 0 với mọi y € B(z.n) Vậy từ bất đẳng thức trờn ta cú L(Y) — ƒ(œ) +ð > Vð? + 2ð(€,w — +) = lly — z|ấ.Vụ € B(z,n), > 70) > f(z)~ó+\ 83 + 26(E,y — 2) — lly — 2? = g(w), Vụ € B(z,n) Theo Bổ đề 3.36, g(z) = € nờn, theo Mệnh đề 3.3.4 tồn tại ; > 0 và ỉ >0 sao cho 900) > g(œ) + (€.w— #) — ứllu — z|ẽ,Yụ € B(,n)
“Từ đõy ta nhận được bất đẳng thức (3.8) nếu để ý rằng ứ(z) = ƒ(z) Nhận xột 3.3.8 Bất đẳng thức (3.8) được gọi là bất đẳng thức dưới
gradient xấp xỉ Từ bất đẳng thức này ta thấy gần z, hàm ƒ luụn nằm
trờn hàm toàn phương,
hy) = f(x) + Gy —2) — ứl|y = #lỦ, (3.9)
và đẳng thức xảy ra tại y = z Núi cỏch khỏc, ham U(x) := f(y) — h(y)
đạt cực tiểu địa phương tại = z Hơn nữa, từ cỏch chứng minh định lớ ta thấy cú một hỡnh cầu trong X x IR tiếp xỳc ngoài với epiƒ tại (+, ƒ())
3.4 QUAN HỆ VỚI CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Mệnh đề 3.4.1 Cho ƒ € F va tập mở U X Lỳc đú,
a) Nếu ƒ khả tỉ Gõteauz tại œ € U thà ễpƒ(+) C {fz(đ)}
Trang 30e) Nếu ƒ lồi trờn tập lồi mở U, thà € € ễpƒ(œ) khi tà chỉ khi
ƒ) > ƒ() + (€,u— +),Vụ €U
Núi cỏch khỏc, ễpƒ() = ỉƒ(+).V+ € U
Chứng mỡnh a) Giả sử ƒ khả vỡ Gõteaux tại z và € € ỉpƒ(z) Lỳc đú,
ham 1 = ƒ — h, với h được cho ở (3.9), nhận # làm điểm cực tiểu Vỡ ƒ và
h đều khả vi Gõteaux tại x, | cing vay Do dộ
0 =[G(2) = fala) — họ(+) = f@(#) — €
Suy ra € = ƒ6(z)
b) Từ a) ta cú Opf(x) C {f'(x)} Vi f € C?(U), theo Mệnh đề 3.1.1, ton tai 7 > 0 và ứ > 0 sao cho
SY) > F(a) +(F'@),y = 2) — olly — z|Ủ.Vụ € B(z,n)
Theo Định lý 3.3.7, từ đú suy ra f’(x) € Op f(x) Vay Opf(x) = {f'(x)}-
e) Do ƒ lồi nờn epiƒ là tập lồi Theo Mệnh đề 2.2.1 ta cú
Nepis > S()) = Nepig @, f(2))-
Mà theo Mệnh đề 3.1.1, ta cú
2° € Of (x0) & (2*,-1) € Nopis (vo, f(2))-
Tit day ta suy ra Op f(r) = Of (x), Va € U ữ
Nhận xột 3.4.2 Giả thiết ƒ € C? trong b) là thiết yếu Để thấy điều
đú ta xột hàm ƒ(z) = -|z|Ÿ Rừ ràng, ƒ € C! và ƒ(0) = 0 Nhưng
ụp(0) = Ú Thật vậy nộu a € ỉpƒ(0) thỡ tồn tại ; > 0 và ứ > 0 sao cho
—|e|? > az — ứz,V+ € (—n,n))
Thay x = Ỷ rồi cho n + +00 ta suy ra a < 0 Lai thay x = —} va cho n— +00 ta suy ra a > 0 Vay a = 0 Nhưng lỳc đú, 1 < ứyJz| với mọi
+ # 0 đủ bộ Điều này là khụng thể, vậy ỉpƒ(0) = Ú Như vậy Opf khong
thực sự là một mở rộng của khỏi niệm đạo hàm, vỡ ngay cả những hàm
thuộc lớp C! cũng cú thể khụng khả dưới vi phõn Cú lẽ đõy là nhược điểm
cơ bản của khỏi niệm dưới vi phõn hàm lồi và gradient suy rộng cho hàm
Lipschitz
Trang 3126
a) Nếu ƒ đạt cực tiểu địa phương tại zụ thỡ 0 € Opf(xo),
b) Nếu ƒ lồi nà 0 € Opf(xo) thà zạ là điểm cực tiểu toàn cục của ƒ
Chứng mỡnh a) Nếu ƒ đạt cực tiểu địa phương tại zọ thỡ tồn tại ; > 0 sao cho
f(x) = f(x) + (0," — x0), Wx € B(xo,n)
Suy ra 0 € Opf (x0)
b) Nếu ƒ lồi thi Op f(x) = AF (xo) Vi vay, xo la diộm evte tiộu etia f
khi vào chỉ khi 0 € Of (x) = Opf(20)- o
Mộnh dộ 3.4.4
a) Giả sử U C X la mot tap mộ, x EU va f :U > R lien tue sao cho
Op f(x) #0 va Ap(—f)(x) #0 Khi dộ f la kha vi Frộchet tai x va
Opf(x) = —Ap(—Ff)(x) = {f'(x)}-
b) Giả sử ƒ lồi, liờn tục tại z € int(dom f) Khi đú Op f(x) # 0 Hơn nữa, nếu Op(—f)(x) Ê0 thi f kha vi Frộchet tai x
Chứng mảnh a) Giả sử &ị € Op f(x) va & € Op(—f)(x) Theo Định lý 3.2, tồn tai 7 > 0 va a; > 0,02 > 0 sao cho với mọi € ệ(z,r)) ta cú
ƒ0) — ƒ(+) > (&„w— +) — ứillu — zèẺ (3.10)
~ f0) + ƒŒ) > (@.w— +) — ứ||y— z|Ẻ (3.11)
Cộng (3.11) và (3.12), vế theo về, ta nhận được
(+ @,w— #) < (ơỡ + ứ3)||y — #|Ủ, Vụ € B(, n) (3.12)
Bằng cỏch chọn y = x + +(& + &), thay vao (3.13) rdi cho n + +00 ta
suy ra € + & = 0, hay & = —&t Bõy gid thay y = x + tv vao (3.11) va
(3.12) ta nhận được
oat?|lv||? > fw + te) — fe) — (Gi, tv) > —ort*|lo|P
Suy ra —Ê› = &Ă là đạo hàm Frộchet của ƒ tại z vỡ điều đú đỳng với mọi 1 € Opf(x) và Op(—f)(x) ta suy ra
Trang 32b) Vỡ ƒ liờn tục tại điểm z nờn theo kết quả của giải tớch lồi ỉƒ(zg) là tập khỏc rỗng, kết hợp với Mệnh đề 3.4.1 ta cú Opf (x) = Of(x) # 0 Nếu hơn nữa, ỉp(— ƒ)(z) # Ú thỡ, theo a), f kha vi Frộchet tai 2 ao 3.5 CÁC PHẫP TOÁN CƠ BẢN Mệnh đề 3.5.1 Cho ƒ.g€ F Lỳc đú
Opf (x) + Apg(x) C Op(f + 9)(x), Wx € X
Chitng minh Lay tay Ơ & € Opf(x) và & € ỉpg(z) Theo Dinh lớ 3.3.7,
ton tai 7 > 0 và 1 > 0,02 > 0 sao cho
ƒ0) > ƒŒ) + (&Ă,w— z) ứillụ — al), (313) 9Á) > g(z) + (€,y— #) — ứallụ — #|Ÿ, (3.14) vội moi y € B(x,n) Cong (3.14) va (3.15), vộ theo vế, ta được
(f+ 9)(y) > (F+9)(0) + Er +&, y—2) = (01 +02) |ly — all’, Vy € B(w,n).- Vay Ê1 + & € Op(f + g)(x) Vi diộu dộ ding voi moi & € ỉpƒ(z) va & € Opg(2) ta suy ra diộu phai chtmg minh n Mệnh đề 3.5.2 Giỏ sử ƒ € Ƒ,z € X,g€ C(B(z,ð)) uới ð > 0 Khi đú
ỉp(ƒ + 9)() = ệpƒ(z) + g'(z)-
Chứng mỡnh Do g thuộc lớp C2 nờn ỉpg(+) = {ứ(z)} Vỡ vậy
Op f(x) + g (+) = ệpƒ(#) + ỉpg(œ) C ỉp(ƒ + 9)(2)-
Dộ ching minh điều ngược lại ta chỳ ý rằng hàm —g cũng thuộc lớp Œ?
Trang 332 Mệnh đề 3.5.3 Cho ƒ € Ƒ vac > 0 Liie dộ ỉp(ef)(z) = cụpƒ(z).V+ € X Chứng mỡnh Dễ thấy cƒ € Z Ta cú €€ ỉp(ef)(z) 3 > 0,ứ > 0,Vụ € B(z,n) : eƒf(w) > f(a) + (€.w ~ z) — ứllu — z| đâ In > 0,0 > 0,Vy € B(x,n) : ƒ0) > F(x) + ~ 2 lly al? ° : €ễpƒ(œ) đ€ € cụpƒ(ứ) Vay, ỉp(/)(z) = eépf(+)- a
3.6 TINH KHA DUGI VI PHAN TRU MAT
“Tiếp theo chỳng ta đi đến một kết quả rất thỳ
điểm tại đú dưới vi phõn xấp xỉ của một hàm ƒ nửa
mật trờn domƒ Hay núi cỏch khỏc, hàm ƒ là khả vi dưới vi phõn xấp xỉ
trờn một tập con trự mật của domƒ Điều đú được khẳng định trong định
lớ sau
Định li 3.6.1 Gid sit f € F,x, € dom f vie là một số dương tựy tý Lỳc
d6, tộn tai y € B(29,€) sao cho Opf(y) #0 va f (x0) —€ < f(y) < f(a)
Dac biột, dom Opf tri mat trong dom f
Chứng mỡnh Ta hạn chế chứng mỡnh cho trường hợp X hữu hạn chiều Do ƒ nửa liờn tục dưới tồn tại ổ € (0,Â) sao cho f(x) > ƒ(#u) — e với mọi
+€ B(xụ,ð) Ta xột hàm h(z) := ƒ(z) + g(z), với 9#):=———— z€ B(x,ụ) & = lly — a? Rừ ràng g € C2(B(xạ,ð)),h € Ƒ(B(xu,ð)) và
Trang 34Do X hữu hạn chiều tồn tại € B(xo, 6) là điểm eựe tiểu toàn cục của hàm h trờn Z(zo,ổ) Vỡ vậy 0 € ỉph(y) và, theo Mệnh đề 3.5.2, ta cú
0 € Opf(y) +9'(y)
Suy ra Opf(y) 4 0 Vi y € B(xằ, 5) C B(œo.e) nờn f(y) > f(x) — e Cuối cựng, do y 1a diộm cực tiểu của hàm f +g cdn xo là điểm cực tiểu của hàm ứ nờn ƒ(y) < ƒ(Zo) + g(#o) — ứ() < ƒ(zo) Trường hợp vụ hạn chiều việc chứng mỡnh sẽ khú khăn hơn, bởi lỳc đú hàm h khụng nhất thiết đạt được cực tiểu toàn cục trờn Z(zạ,ổ) cho dự nú nửa liờn tục dưới và cú giỏ trị dần ra vụ cựng khi z tiến ra biờn của hỡnh cầu.(Chứng minh được
Trang 35CHƯƠNG 4
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
4.1.TONG CHAP CUC TIEU VỚI HÀM TOÀN PHƯƠNG
“Trong mục này ta sẽ khảo sỏt dưới vi phan xắp xỉ của hàm là tổng chập
cực tiểu của một hàm với hàm toàn phương Nhắc lại rằng, tổng chập cực
tiểu của hai hàm ƒ,ứ: X —> R là hàm h : X —› E được xỏc định bởi
h(x) := inf{ƒ(w) + g(+ — 9) € X},z € X,
và được kớ hiệu bởi h = ƒ @ ứ Bằng quy nạp, ta cũng cú khỏi niệm tổng
chập cực tiểu của m ham: fi, /ằ, , „ và được kớ hiệu @đủ=0909 9 đa Ở đõy ta chỉ xột tổng chập cực tiểu của ƒ với một hàm toàn phương dang ỉa() = Ÿ Lỳc đú ta nhận được hàm
đa) := (ƒ đứa)(z) := imf{ƒ(w) + allz — w|Ÿ,y e X}
Mot day (y;) C X được gọi là dóy cực tiểu của f„(z) nếu im (ƒ () + all — z|ẩ) = fo (2)- Như vậy, nếu ÿ là điểm cực tiểu của hàm ƒ(-) + al|- — z|Ủ, tức là ƒ@) + all z|Ÿ = fa(+) thỡ day hing y; = 7 cing 1a mot day ƒ bị chặn đưới trờn X và œ > 0 cực tiểu của ƒ„(z) Ta luụn giả thiết Bồ đề 4.1.1 Giả sứ ƒ € F Lỳc đú,
a) Nếu ƒ lồi thỡ ƒ„ li
b) Nếu ƒ bị chặn dưới bởi c thỡ ƒ„ cũng bị chặn dưới bởi c Hơn nữa,
fa Lipschitz trộn moi tap bị chặn trong X
Trang 36hai hàm lồi là lồi, xem [6)) Để chứng minh b) ta chỉ cần chứng minh f,
Lipschitz trộn tập bi chan S$ bat kỳ cũn khẳng định ƒ„ > e
“Trước hết ta chứng minh ƒ„ bị chặn trờn trờn S Thật vậy, lấy yo € X
ta cú ƒa(#) < ƒ(wo)+e|# — go||? mà hàm ở về phải bị chặn trờn trờn Š nờn
fo cũng vậy Ta đặt A/ := sup{fa(s) | s€ 9} và K := sup(|s|| | s € 9}
Với mỗi s € S, vi fa(s) = inf{ f(y) + ally — s||?} < M +1, tộn tai
ys € X sao cho f(ys) + ally — <M +1 Lite dộ
—ứ\1⁄2
Iu st< (MES) =:2>lul<k+2 a
Bõy giờ lấy bất kỳ s,s” € S Giả sử (y„) là dóy cực tiểu của ƒ„(s), mà
theo chứng minh trờn ||y„|| < K + ỉ với n đủ lớn Ta cú
f(s") — fa(s) < ƒ (0n) +e Ns! = Yall” =F (Yn) = [18 = yall? + Ens
với (su = ƒ (wu) + @|I5" — yall — fa (8) —> 0) nờn
đa (8)— ƒa (8) < a (8! = 8,8! +8 = 2yn) ten S alls! — |] (4K +28) +en
Cho n - 00 ta duge fy (s’) — fa(s) < a|ls’—s\| (4K + 28), vội moi
s,s € S Vay fa Lipschitz trộn S ủ
4.2 DUGI VI PHAN XAP Xi CUA HAM f,
Dinh lớ 4.2.1 Giả sử f € F va ham ƒ„ khả dưới tớ phõn sắp zỉ tại điểm
œ€X Lỳc đú, tồn tại duy nhất ÿ € X thỏa món cỏc điều kiện sau:
a) Nếu (u;) là dóy cực tiểu của hàm ƒ„ thỡ y; 4 9,
b) Hàm ƒ(w) + e||y — z||Ÿ đạt cực tiểu duy nhất tại ÿ,
â) Đạo hàm Frộchet f(a) tồn tai va
ỉpa (+) = {fỏ (+)} = {2a (+ 4) 2a(z — 0) € ễpƒ(0)
a}
Chitng minh Gia sit € € Opf,(x), ton tai n > 0,0 > 0 sao cho
(4-2) S fo(y) — fa(2) + ally — 2)’, Vy € B(x,n)- (4.1)
Lấy dóy cực tiểu (y„) bất kỳ của ƒa(z) ta cú
Trang 37“Thay (4.2) vào (4.1) ta nhận được (cu — #) < 2a — tà, #) + có + (œ + ỉ)||# — n|Ÿ = (— 2a(# — tụ) — z) € cọ + (œ + ứ)||y — z|Ủ,Vụ € B(z,n) Chọn = # + e„0 với ứ € S(0,j) ta được (€ — 2a(x — ạ),0) < eu + (œ + ứ)ea||el||ấ, Ve € S(0,n) Suy ra
lf — 2a(@ — yn) ll S En + En(a + 0)?
Cho n + 00 ta duge € — 2a(x — y,) + 0 hay yn > 7
da duge chitng minh — $6 Vay a)
Vỡ ƒ nửa liờn tục đưới mà ÿ là giới hạn của dóy cực tiểu (y„) nờn ÿ là
điểm cực tiểu của hàm ƒ(y) + ally — z|Š Đõy là đi n cực tiểu duy nhất Vỡ nếu ¿' cũng là điểm cực tiểu khỏc thi day hing y, = # là dóy cực tiểu Vậy b) được chứng mỡnh nờn phải hội tụ về ÿ, vụ lý Do là
cú đạo hàm tại 7 bằng 2a( — z), nờn
0€ ỉpƒ(ÿ) + 2a(ÿ— x) + 2a(x — 9) € APf(G)
Vậy d) được chứng minh
n cực tiểu của /(-) + al|- =#|ấ mà a||- =z||ẩ thuộc lớp C2,
Cuối cựng, với mọi , ta 6 faly) < f() + ally — yll? trong khi đú #a(+) = ƒ(0) + al|y — z|Ẻ nờn
—faly) — (—fa)(2) > alle — 9? — ally — gl?
= =3a(z=, = z) = allụ = z|Ủ suy ra —2a(x — J) € ỉp(—ƒ)(z) Do Mệnh đề 3.4.4 ta suy ra c)
Định lý này cho ta một tớnh chất rất thỳ vị của hàm ƒ„ là mỗi điểm
+€ X ta cú, hoặc Opfa(x) = 0 hoxe f, kha vi Frộchet tai x va Opfa(x) = {/4(œ)} Núi cỏch khỏc, |ỉpƒa(z)| < 1 với mọi z € X a Vi dụ 4.2.2 Xột hàm ƒ(z) = —|z|.z € R Với œ = 1 ta cú
: 1
Sa(x) = inf{—|yl + (y— 2): y € R} = —l#|— 1:
Hơn nữa, với moi ô > 0 điểm cực tiểu duy nhất etia —|y| + (y — 2)? 1a
Trang 38+ < 0 ta cú ÿ = 4 va fi(x) = 2(x — J) = 1 Cuối cựng tại z = 0 hàm
—lu| + ? đạt cực tiểu tại 2 điểm J, = 3,; = —3 và ễp/ƒĂ(0) = 0 4.3 CAC NGUYEN Li TOI UU HOA
Trong Dinh lớ 3.6.1 chỳng ta chỉ chứng mỡnh cho trường hợp hữu hạn Điều đú là do một hàm nửa liờn tục dưới trờn một tập đúng, bị chặn (trong khụng gian vụ hạn chiều) khụng nhất thiết tồn tại điểm cực tiểu,
thậm chớ khụng bị chặn dưới Tuy nhiờn, những kết quả ngay dưới đõy cho
nột hàm
thấy, với những nhiễu (tuyến tớnh hay toàn phương) nhỏ tựy ý
nửa liờn tục dưới sẽ đạt được cực tiểu Cỏc kết quả này thực chất là cỏc
hệ quả của cỏc Định lớ 3.6.1 và 4.2.1
Định lớ 4.3.1 (Nguyờn lớ tối ưu Stegall) Cho ƒ € Z va S CX la tap đúng, bị chặn sao cho s(\dom ƒ # Ú tà inŸ ƒ > —œ Lỳc đú, tồn tại một
tập trự mật cỏc z € X sao cho hàm
h(y) = f(y) — (x9)
nhận một giỏ trị cực tiểu duy nhất trờn S
TNhận xột 4.3.2 Dịnh lớ này tương đương với một mệnh đề yếu hơn rằng:
Tồn tại một dóy (z¿) C X, hội tụ về 0, sao cho cỏc hàm f(y) — (z¿, ) cú
duy nhất một điểm cực tiểu trờn Š Thật vậy, giả sử mệnh đề này đỳng
thỡ với mọi € X, thay vỡ hàm ƒ ta xột hàm f(y) = f(y) — (x,y) Lỳc
đú sẽ tồn tại dóy (zz) hội tụ về Ú sao cho cỏc hàm f(y) — (x,y) — (xx, y)
Trang 3931
= i0) = &,w) + gel) (45)
= int (Fy) ~ Ce} + sll? (46)
Chỳ ý rằng cỏc biểu thức (4.3-4.6) đều đạt cực tiểu tại cựng điểm Do S bi
chặn và ƒ bị chặn dưới trờn Š, từ (4.6) ta suy ra dom g = X, hơn nữa, từ
Bổ đề 4.1.1, ứ Lipschitz địa phương trờn X Theo Định lớ 3.6.1, dom ỉpg trự mật trờn domg = X Lại do g = l; nờn theo Định lớ 4.2.1, với mọi
œ € domụpg, cực tiểu ở (4.3) (và (4.6) cũng thế) đạt duy nhất tại một diộm y € S Nghia la ham h(y) = f(y) — (x,y) cing dat cực tiểu duy
nhất tại một điểm trờn S Định lớ đó được chứng minh a
Định lớ 4.3.3 (Nguyờn lớ tối ưu Borwein-Preiss) Cho ƒ € # thỏa món inf f > —00 Gid site > 0 vary € X sao cho f (xo) < inf +e Lỳc đú, uới mợi À > 0, tồn tại cỏc điểm z € B(xo.A) ÿ € B(z.A) uới ƒ(W) < ƒ(o) sao cho hàm € #(9) = Fy) + sally = z|Ẻ nhận = J làm điểm cực tiểu duy nhất Chứng mỡnh Ta xột hàm ƒ„ với a = Đ: 2) := è Ely - 21?
4a) == int {F(y) + ally — z|Ÿ}- “Theo Định lý 3.6.1 tồn tại z € B(z, À) sao cho
#a(#) < fa() < f(xo),ễpfa(z) # Ú
Lại theo Dinh lớ 4.2.1 tồn tại duy nhất một điểm ÿ tại đú hàm ƒ(w) + $||y — zll?
đạt cực tiểu Ta chỉ cũn phải chứng minh ÿ € B(z, À) Ta cú HUING lP~ z|Ÿ = fa(s) < ƒŒœo) < inf f(z) +6, mà từ đú, -
xllP~ z|Ÿ< inf f(z) — f@) +e se
Trang 404.4 DƯỚI VI PHÂN XAP Xi CUA HÀM KHOẢNG CÁCH
“Trong mục này ta luụn giả thiết 9 là tập con đúng khỏc rỗng trong X
và ds là hàm khoảng cỏch đến tập 8
Định lớ 4.4.1 Giả sử z ý 9 oà € € ỉpds(z) Lỳc đú tồn tại duy nhất
điểm S € S sao cho
a) Nếu (s;) C 8 là dóy cực tiểu của hàm s c> ||+ — s|| thà s; —> 5, b) projs(z) = {5}, e) Đạo hàm Frộchet d$(+) tồn tại nà ỉpds(z) = {ds(z)} = d) d(x) € NỆG)
Chứng mỡnh Đặt ƒ = ds thi fi(x) = inf{ðs(s) + ||# — s|?|s € X} = đ$(z)
Nếu € € ỉpds(z) thỡ 2ds(z)Ê € ỉpd$(z) = Opfi(x) Theo Định lớ 4.2.1
tồn tại duy nhất 3 € S sao cho dg(z) = ||# — 5|| và mọi dóy cực tiểu (s„)
của ds(z) đều hội tụ về 5(= a), ệ))
Cũng theo Định lớ 4.2.1 tồn tại đạo hàm (d3)'(z) = 2(#—5) = 2ds(z)Ê Suy ra € = EH Vig € Apds(cr) lay tựy ý nờn ỉp ds() = Lại chỳ Ơ ring vdi t > 0 va ứ € X ta cú 2 sI2 2 ai ST > ds(vte)—dy(a) > + Chia hai vế cho Ê và cho t + 0 ta nhan duge d,(x) - a ,v) =>, đều theo ) ` ứ € (0, 1) , t II oD Vậy tồn tại đạo ham Frộchet d(x) = rEn > 0.4) ủ Hệ quả 4.4.2
a) Tap hợp {+ € X | projs() đơn tử } là trự mật trong X
b) Tập hop {s € OS | NE(s) # {0}} là trự mật trong AS