giải tích hiện đại

Không gian tuyến tính Tập hợp L khác φ đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng cộng hai phần tử của L với nhau và phép nhân phần tử c

Trờng Đại Học hồng đức

Khoa: Tự nhiên

====&====

Giải tích hiện đại

Thanh Hoá, tháng 8 năm 2006

Chơng I Không gian Hilbert i1 Không gian tuyến tính

Để chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu không gian Hilbert, trớc hết ta nhắn lại các khái niệm cơ bản về không gian tuyến tính (hay không gian vectơ) Các khái niệm này đã đợc đề cập trong các giáo trình đại số tuyến tính Tuy nhiên ở đó

ta chủ yếu xét các không gian hữu hạn chiều, còn ở đây thì ngợc lại, mối quan tâm của

ta dành chủ yếu cho các không gian vô hạn chiều

1 Không gian tuyến tính

Tập hợp L (khác φ) đợc gọi là không gian tuyến tính trên trờng số K, nếu trên đó có xác định một phép toán cộng (cộng hai phần tử của L với nhau) và phép nhân phần tử của L với một số thuộc tính K thoả mãn các điều kiện sau:

1 Với mọi a, b ∈ L đều có: a + b = b + a;

2 Với mọi a, b, c ∈ L đều có: (a + b) + c = a + (b + c)

3 Trong L tồn tại (duy nhất) một phần tử O (gọi là phần tử không) sao cho:

a + 0 = a với mọi a ∈ L;

4 Với mỗi a ∈ L đều có một phần tử –a ∈ L (gọi là đối của a) sao cho: a + (- a) = 0;

5 Với mọi ∝, β∈ K, a ∈ L đều có: ∝ (βa) = (∝β)a;

6 Với mọi ∝, β∈ K và a ∈ L đều có: (∝ + β)a = ∝a + βa)

7 Với mọi ∝∈ K, a, b ∈ L đều có: ∝(a+b) = ∝a + ∝b

8 1a = a với mọi a ∈ L

Chú ý: 1 Trờng K đợc hiểu là trờng số thực K hoặc trờng số phức C Trong trờng hợp đầu, ta có không gian tuyến tính thức; trong trờng hợp sau - không gian tuyến tính phức tạp Sau này ta sẽ chỉ nói đơn giản: L là không gian tuyến tính Trong trờng hợp cần thiết sẽ nói rõ đó là không gian thực hay phức

2 Ta sẽ không phân biệt cách viết phần tử không của L với 0 ∈ R

3 Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa tổng của n phần tử, với n nguyên dơng tuỳ ý Bài tập: Chứng minh rằng mọi không gian tuyến tính (trừ không gian tầm thờng chỉ gồm đúng một phần tử) đều có lực lợng không dới contimum (tức là có số phần tử không ít hơn tập hợp R)

2 Sự phụ thuộc tuyến tính

Trớc hết, ta nên ra khái niệm hệ phần tử của một không gian tuyến tính L Giả sử I

là một tập hợp tuỳ ý (hữu hạn, đếm đợc hoặc không đếm đợc) và với mỗi ∝∈ I ta có

t-ơng ứng một (và chỉ một) phần tử X∝∈ L Về nguyên tắc có thể xảy ra đẳng thức X∝=

X∝ khi ∝ ≠ ∝ Nhng về hình thức, ta sẽ phân biệt X∝ với X∝’ nếu ∝ ≠ ∝’ Khi đó, tập hợp A các ký hiệu X∝ với ∝ ∈ I sẽ đợc gọi là hệ phần tử của L Nói chung, không thể coi A là tập hợp của L

Hệ phần tử A của L đợc gọi là phụ thuộc (tuyến tính), nếu tồn tại a…, an∈ A và ∝1

…, ∝n≠ 0 sao cho ∑

=

=

n k k

k x

1

0

α hệ không phụ thuộc còn gọi là hệ độc lập (tuyến tính).

Nếu a1… an∈ L thì với mỗi bộ số ∝1 …, ∝n, biểu thức ∑

=

n k

k

k a

1

α đợc gọi là một tổ hợp (tuyến tính) của a1…, an Tổ hợp 0a1 + 0a2+… 0an gọi là tổ hợp khác gọi là không tầm thờng Tổ hợp tầm thờng luon là phần tử 0

Dễ thấy các mệnh đề đơn giản sau đây là đúng

a Hệ hữu hạn là độc lập khi và chỉ khi không có tổ hợp nào khác của các phần tử là bằng 0, ngoài tổ hợp tầm thờng

b Nếu trong hệ số phần tử bằng 0 hoặc hai phần tử giống nhau thì hệ là phụ thuộc

c Nếu hệ A chứa hệ B mà B phụ thuộc thì A phụ thuộc

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề sau:

d Hệ A là phụ thuộc khi và chỉ khi có ít nhất một phần tử a của A biểu thị tuyến tính qua một số hữu hạn các phần tử khác a, tức là biểu thị dới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử đó

Thật vậy, giả sử A là phụ thuộc khi đó tồn tại a1… an ∈ A và ∝1 …, ∝n sao cho

0 0

1 1

∑

=

=

n

k k k

n

k k

a

va α

α Trong đó các số ∝k phải có ít nhất một số khác 0, ví dụ ∝k0 Khi

đó: =− ≠∑

0 0

0 k k k ak

k k

a

αα tức là ak0 biểu thị thuyết tính qua các phân tử ak (k = 1, ,n; k ≠

k0)

Ngợc lại, giả sử trong A có các phần tử a, a1… an sao cho

∑

=

= n

k k k

a

a

1

α khi đó, 1 0

1

=

=

n

k k k

a

α với ∝k+1 = -1 và ak+1 = a Rõ ràng 0

1 1

2 ≠

∑+

=

n

k k

α Vậy hệ A phụ thuộc

3 Cơ sở và số chiều

Tập con A (tức là h gồm các phần tử khác nhau từng đôi mt) đợc gọi là cơ sở của không gian tuyến tính L, nếu:

1 A là độc lập tuyến tính

2 Mỗi phần tử của L đều là tổ hợp tuyến tính của một số (hữu hạn) các phần tử thuộc A

Từ đại số tuyến tính, ta biết rằng nếu không gian tuyến tính L có một cơ sở với n phần tử (hay n vectơ) thì mỗi cơ sở khác cũng phải có đúng n phần tử Trong trờng hợp này ta nói L là không gian n chiều Nh vậy, nếu L có một cơ sở vô hạn thì mọi cơ sở khác đều là vô hạn, và trong trờng hợp đó ta nói L là vô hạn chiều

Bài tập: 1 Chứng minh rằng với mọi trờng hợp M(≠ ứ) đều tồn tại một không gian tuyến tính L sao cho cơ sở của nó tơng đơng với M (tức là có cùng lực lợng)

2 Chứng minh rằng hai cơ sở của cùng một không gian luôn cùng lực lợng

Ví dụ đơn giản nhất là không vô hạn chiều là không gian R∞ gồm mọi dãy số thực vô hạn, với phép cộng và phép nhân dãy với một số xác định nh sau:

(a1, a2…) + (b1, b2…, a2 + b2…) ∝(a1, a2,…) = (∝a1, ∝a2,…)

4 Không gian con

Tập nghiệm M (không rỗng) của L đợc gọi là không gian con, nếu với mọi a, b ∈

M và ∝ ∈ K đều có a + b ∈ M và ∝a ∈ M Điều này tơng đơng với việc mọi tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử trong M cũng thuộc M Đơng nhiên, chính không gian con của L cũng là không gian tuyến tính (với các phép toán là sự thu hẹp

t-ơng ứng từ L lên M) Trong số các không gian con luôn có tập hợp [c] và toàn bộ L, (các không gian con tầm thờng)

Với A là bộ phận khác φcủa L, tập hợp L(A) mọi tổ hợp tuyến tính của những hệ con hữu hạn của A gọi là bao tuyến tính của A Đây chính là không gian con hẹp nhất chứa A và là giao của mọi không gian con chứa A Nếu A là hệ độc lập thì nó chính là cơ sở của L(A)

Bài tập: 1 Chứng minh rằng giao (khác φ) của (một số tuỳ ý) các không gian con

của L cũng là không gian con

2 Đối với A B ⊂ L, ký hiệu A + B = [x + y x ∈ A, y ∈ B) Chứng minh ràng nếu

A và B là không gian con thì A + B là không gian con

5 Không gian thơng

Cho A là không gian của L Trong L xét quan hệ hai ngôi S nh sau: aSb khi và chỉ khi a-b ∈ A Dễ thấy S là quan hệ tơng đơng

Hiệu A-b có thể định nghĩa nh là tổng của a với phần tử đối của b, tức là -b ≡ (-1)b)

Dễ thấy lớp tơng đơng chứa phần tử a chính là tập hợp a + A = [a+x x ∈ A] Nh vậy, a + A = b + A Lớp tơng đơng chứa 0 chính là không gian con A (A= 0 + A = a +

A với mọi a ∈ A) Các lớp tơng đơng khác đơng nhiên không phải là không gian con (vì sao?)

B, C ∈ L/S khi đó, tập hợp B + C = {x + y x ∈ B, y ∈ C} cũng là một lớp tơng

đ-ơng Thật vậy, lấy a, a’ ∈ B + C khi đó a = x + y và a’ = x’ + y’ với x, x’ ∈ B và y, y’ ∈

C Do đó a – a’ = (x – x’) + (y – y’) là tổng của hai phần tử thuộc A nên a – a’ ∈

A hay a S a’ Mặt khác, lấy a ∈ B + C và a’ ∈ L sao choi a – a’ ∈ A, ta còn phải chứng

tỏ rằng a’ ∈ B + C Thật vậy, ta có a = x + y với x ∈ B, y ∈ C Lấy x’ tuỳ ý từ B và đặt y’ = a’ – x’ Khi đó a’ = x’ + y’; ngoài ra y – y’ = (a – x) – (a’ – x’) = (a – a’) + (x’ – x) là tổng của hai phần tử thuộc A nên cũng thuộc A Vậy y’ ∈ C, nghĩa là a’ ∈

B + C Vậy B + C là lớp tơng đơng Dễ thấy B + C = (b+c) + A với b và c lấy tuỳ ý tơng ứng từ B và C

Tơng tự, nếu ∝B = {α b  b ∈ B} cũng là lớp tơng đơng và α B = (α b) + A

Nh vậy, trên L/S có thể nói đến phép cộng và phép nhân với một số có thể chứng minh rằng các phép toán đó thoả mãn 8 điều kiện của định nghĩa không gian tuyến tính Không gian L/S xác định theo cách đó gọi là không gian thơng của L theo không gian con A và thờng ký hiệu alf L/A

Bài tập: 1 chứng minh rằng nếu L là không gian n chiều và A là không gian k chiều thì L/A là n-k chiều

i2 ánh xạ tuyến tính

Liên qụan mật thiếu với các không gian tuyến tính là các ánh xạ tuyến tính – hay,

nh phần sau ta sẽ gọi, là các toán tử tuyến tính Cách gọi thứ hai thờng đợc dùng khi nghiên cứu các tính chất giải tích của không gian và các ánh xạ

1 Định nghĩa và ví dụ

ánh xạ tuyến tích từ không gian tuyến tích L vào không gian tuyến thích M đợc gọi

là ánh xạ tuyến tích, nếu với mọi a, b ∈ L và hia số α , β đều có:

ƒ(α a + β b) = α ƒ(a) + βƒ(b)

Nếu M chính là trờng số (coi nh không gian tuyến tính trên chính nó) thì ƒ đợc gọi

là phiếm hàm tuyến tính trên L Sau đây là vài ví dụ

1 ánh xạ từ không gian tuyến tính đợc C[a,b] vào R biến mỗi hàm ϕ ∈ C[a,b] thành

∫b

aϕ (x) dx là phiếm hàm tuyến tính.

2 Một ánh xạ khác từ C[a,b]) vào R biến ϕ thành ϕ(a), cũng là phiếm hàm tuyến tính [a, b] x [a, b] ánh xạ biến mỗi ƒ∈ C[a, b] thành g ∈ C[a, b] xác định nh sau:

g(x) = ∫a xϕ (x,y)f(y)dy, (a≤x≤b) cũng là ánh xạ tuyến tính

2 Các tính chất cơ bản

1 ảnh (qua ánh xạ tuyến tính) của 0 là 0

2 ảnh của –x qua ánh xạ tuyến tính ƒ là -ƒ(x)

3 ánh xạ tuyến tính biến hệ phụ thuộc (tuyến tính) thành hệ phụ thuộc

4 Đơn ánh tuyến tính biến hệ độc lập thành hệ độc lập

Thật vậy, giả sử f là ánh xạ tuyến tính từ L vào M và A là hệ độc lập trong L, B = f(A) = {f(x) x ∈ A} Giả sử ∑

=

=

n

k k k

b

1

0

β với b1,… bn ∈ B Do f là đơn ánh nên với mỗi

bk thì chỉ có một phần tử ak duy nhất từ A sao cho bk = f(ak) (chú ý: hệ độc lập không chỉ có hai phần tử trùng nhau và hệ đó luôn là tập con của L) Đẳng thức ∑

=

=

n

k k k

b

1

0

1 1

=













∑

=

=

n k k k n

k

k

k f a hay f β a

Do f(0) = 0 và f là đơn ánh nên ∑

=

=

n k k

k b

1

0

β Từ tính độc lập của A suy ra β1 = β2…

βn = 0, nên B độc lập

5 ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi tập hợp

f1{0}≡{x ∈ L  f(x) = 0} chỉ chứa đúng một phần tử 0

Tập hợp này đợc gọi là nhân của ánh xạ tuyến tính f và ký hiệu là Kerf.

6 Đối với ánh xạ tuyến tính từ không gian n chiều vào một không gian n chiều thì

có tính chất đơn ánh, toàn ánh và song ánh là trùng nhau.+

Bài tập: Chứng tỏ rằng nếu L là vô hạn chiều thì đơn ánh tuyến tính từ L vào L có thể không phải toàn ánh ∑

=

=

n k k

k b

1

0 β

7 Tích hai ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính (Nếu f: L  M, f: M  N thì ánh xạ tính là ánh xạ h: L  sao choi h(x) = g(f(x)) Đặc biệt, tích hai ánh xạ đẳng cấu, tức

là song ánh tuyến tính cũng là đẳng thức ∑

=

=

n

k k k

b

1

0 β

Bài tập: 1 Chứng minh rằng tập hợp Hom(L,M) mọi ánh xạ tuyến tính từ L vào M cũng là không gian tuyến tính với phép cộng xác định nh sau: (f+g)(x) = f(x) + g(x), ngoài ra nếu L, M có số chiều lần lợt là l và m thì Hom(L,M) có số chiều là lm

2 Chứng minh rằng tập hợp Hom(L) gồm mọi ánh xạ tuyến tính từ L và L là vành

có đơn vị với phép cộng (xác định nh trong bài tập 1) và phép nhân ánh xạ

3 Sự đẳng cấu giữa các không gian tuyến tính

Nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ không gian tuyến tính L vào không gian tuyến tính

M thì ta có L và M đẳng thức với nhau

Bổ đề: ánh xạ tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi nó biến cơ sở thành cơ sở

Chứng minh: Giả sử f là đẳng thức từ L vào M và A là cơ sở của L, B = f(A) Do tính đơn ánh của f nên B là hệ độc lập Lấy một phần tử tuỳ ý y ∈ M Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ L sao cho f(x) = y Vì A là cơ sở tron∑

=

=

n k k

k b

1

0

β g L nên x =

∑

=

n

k

k

k a

1

α với a1, … an∈ A Nhng khi đó ta có y = ( )

1

k n

k

k

k f a

∑

=

α Do f(ak) ∈ B nên kết hợp với tính độc lập suy ra B là cơ sở

Đảo lại: Giả sử ánh xạ tuyến tính f từ L vào M biến mỗi cơ sở thành cơ sở Khi đó,

nếu A là cơ sở trong L thì B = f(A) là cơ sở trong M Lấy phần tử tuỳ ý y ∈ M Khi











=

=

=

=

=

n k k k n

k

k k n

k

k

y

1 1

1

)

α

α với ak∈ A nên y có tạo ánh, tức f là toàn ánh Tiếp theo giả sử f(x1) = f(x2) với x1, x2 ∈ L Vì A là cơ sở nên x1 và x2 sẽ biểu thị tuyến tính qua hai h con hữu hạn A1 và A2 của A và ta có thể coi rằng cả x1 và x2 cùng biểu thị tuyến tính qua A1∪ A2 = {a1… an} tức là x1 = ∑

=

n k

k

k a

1

1

α và x2 = ∑

=

n k

k

k a

1

2

α vì

f(x1) = f(x2) nên ∑ ∑

=

=

k

k k n

k

k

k f a f a

1

2 1

1

2

∑

n k

k

k α f a

tuyến tính nên suy ra αk(1)= αk(2) với mọi k = 1, …n tức là x1 = x2 Do đó f là đơn ánh; suy ra f là đẳng thức (đpcm)

Định lý: Hai không gian tuyến tính là đẳng cấu khi và chỉ khi hai cơ sở tơng ứng (tuỳ ý) của chúng là cùng lực lợng

Chứng minh: Giả sử L và M đẳng cấu với nhau và ánh xạ đẳng cấu cụ thể từ L vào

M là f, A và B lần lợt là cơ sở của L và M Ký hiệu C = f(A) Khi đó C là cơ sở của M

và hiển nhiên A và C cùng lực lợng nên suy ra A và B cùng lực lợng

Đảo lại: Giả sử cơ sở A của L và cơ sở B của M là cùng lực lợng Xét một song ánh tuỳ ý f từ A và B Ta mở rộng f lên toàn bộ L nh sau: với x = ∑

=

∈

n k

k k

k a a A

1

) (

= ∑

=

n

k k k

a

f

1

) (

α Khi đó f là ánh xạ tuyến tính từ L vào M Theo bổ đề trên thì f là đẳng

thức Vậy L, M đẳng cấu với nhau

Bài tập: 1: Ta nói không gian tuyến tính L là tổng trực tiếp của các không gian con

M và N, nếu L = M + N và M ∩ N = {0}

Chứng minh rằng, nếu L là tổng trực tiếp của M và N thì: a, L/M đẳng cấu với N; b nếu a, a’ ∈ M; b, b’ ∈ N và a + b = a’ + b’ thì a = a’; b = b’

2 Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh tuyến tính từ L vào M thì L/Kerf đẳng cấu với M

3 Chứng minh rằng nếu L/M có số chiều bằng 1 (khi đó M đợc gọi là siêu phẳng trong L) thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên L sao cho Kerf = M

4 Chứng minh rằng ánh xạ ngợc của ánh xạ đẳng cấu cũng là ánh xạ đẳng cấu

i3 Không gian euclide và không gian hilbert

Trong bài này, ta nghiên cứu các tính chất của một loại không gian rất gần với không gian Euclide tổng quát mà trờng hợp quan trọng nhất là không gian Hilbort

1 Các định nghĩa

Đinh nghĩa 1: Không gian tuyến tính thực E đợc gọi là không gian Euclide (thực), nếu trên đó có xác định một phép nhân vô hớng, nghĩa là với mỗi cặp (a, b) ∈ E x E, ta

đều có tơng ứng một số thực, ký hiệu là (a, b) sao cho:

1 (a, b) = (b, a)

2 (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2) a, b1, b2∈ E

3 (a, βb) = β(a,b); a, b ∈ E, β∈ R

4 (a, a) ≥ 0 với mọi a ∈ E, ngoài ra (a, a) = 0 khi và chỉ khi a = 0

Định nghĩa 2: Không gian tuyến tính phức E đợc gọi là không gian Euclide (phúc), nếu cũng có phép nhân vô hớng thoả mãn các điều kiện 2, 3, 4 nh trên và điều kiên sau:

1 (a, b) = (b, a)

Nhận xét: Dùng điều kiện 1, ( hoặc 1’) kết hợp với điều kiện 2, để thấy rằng:

, , (

, ,

2

1 a b a b a b a b E

với không gian thực, rõ ràng ta có

, ,b a b

α = với không gian thực

ta có: αa,b =b, αa = αb,a = α b,a = α a,b .

Sau đây ta chỉ nhận xét chủ yếu là không gian thực

Các kết quả tơng ớng cho không gian thực có thể nhận đợc bằng việc thay đổi ít nhiều mạch lý giải hoặc công thức

Trong không gian Euclide có thể định nghĩa khoảng cách giữa hai phân tử hay hai

điểm a và b ; đó là số thực không âm: d(a,b)= a−b,a−b

Hàm khoảng cách hay metric d có các tính chất sau:

1, d (a , b) = d ( b , a );

2, d (a , b) = 0 khi và chỉ khi a = b;

3, d (a , b) ≤ d (a , c) + d (c , b) với mọi a, b, c ∈ E 

( Bất đẳng thức vừa nêu đợc gọi là bất đẳng thức tam giác)

Cách khác: ∀α∈R : 0 ε ( x - δy1 x - δy) = (k, x) - 2δ (x1 y) + α2 ( xy1f)

* Tam thức bậc hai theo α phải có ∆≤ 0

y y x x y x Hay

y y y x y x

, , ,

0 , , , 2

≤

≤

−

Từ đó: 〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉 + z〈x, y〉 + 〈y,y〉≤ x2 + 2 xy+y2

= (x + y2) =>  x+y ≤ x+  y

- Để chứng minh tính chất 3, ta xét hàm bậc hai sau (với λ là biến số thực, x ≠ 0):

ϕ(x) = 〈λx + y), λx + y〉 ta có:

ϕ(λ)k = 〈λx, λx〉 + 〈λx, y〉 + 〈y, λx〉 + 〈y, y〉 = λ2〈x, x〉 + 2λ〈x, y〉 + 〈y, y〉

Vì ϕ(λ) ≥ 0 với mọi λ và 〈x, x2〉≥ 0 nên biệt thức của nó không dơng

〈x, y〉2≤〈x, x〉 〈y, y〉

Dễ thấy (1) cũng đúng với cả x = 0 Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Cauclung – Bunhiakovski Trờng hợp đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = α y hoặc y

= βx Mặt khác, bất đẳng thức tam giác (đang cần chứng minh) tơng đơng với:

〈a-b, a-b〉≤〈a-c, a-c〉 + 2 a−c,a−c c−b,c−b +c−b,c−b ( 2 )

Đặt a-c=x, c-b=y thì đợc a-b = x + y Nh vậy, (2) trở thành:

) 3 ( ,

, , 2 , ,x y x x x x y y y y

y

Vì vế trái bằng 〈x,x〉 + 2〈x, y〉 + 〈y, y〉 nên (3) trở thành:

) 4 ( ,

, ,y x x y y

Rõ ràng (4) là h quả của (1) nhng không tơng đơng! từ đó suy ra tính chất 3 của hàm khoảng cách

Ta nhận xét thêm rằng bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi

x = α y (hoặc y = βx) và (x, y) ≥ 0 tức là α 〈y, y〉 ≥ 0, Điều này có nghĩa là hoặc y

= 0 hoặc α ≥ 0 Nh vậy x = α y với α ≥ 0 (hoặc y = βx với β≥ 0)

Chú ý: 1 Để thực hiện không âm a, a gọi là độ lớn hay chuẩn của a và thờng ký hiệu là a Khái niệm chuẩn cũng sẽ đợc định nghĩa lại cho không gian tổng quát hơn (không gian định chuẩn) ở phần sau

2 Nếu 〈a,b〉 = 0 thì ta nói a và b trực giao với nhau

Ký hiệu a ⊥ b.

Dễ thấy điều kiện cần và đủ để a và b trực giao là

) 5 (

2 2 2

b a b

a+ = +

(điều kiện Pythagoras)

2 Một số ví dụ

1 Xét tập hợp l2 gồm mọi dãy số thực x = (x1,…xn) thoả mãn điều kiện là chuỗi

∑∞

= 1

2

x

n

x hội tụ Khi đó với mọi x, y ∈ l2 ta cũng có chuỗi ∑∞

= 1

n

n

n y

x hội tụ

=

=

1

,

n

n

n y x y

ỹn

Dễ chứng minh rằng đây là tính vô hớng và l2 là không gian Euclide (vô hạn chiều)

2 Không gian tuyến tính C[a,b] trở thành không gian Euclide, nếu xác định tính vô

hớng nh sau: =∫b

a

dx x g x f g

Tơng tự, không gian tuyến tính phức C[a,b] các hàm phức biến thực x ∈ [a,b] cũng

là không gian Euclide với tính vô hớng

[ ]hoặc C[ ]nếu f(x) = 0 trê n A, g(x) = 0 trê n B và A ∪ B =[a, b]thi f và g là trực giao.

=∫

b a b

a C

Trong

dx x g x f g

a

, ,

:

) ( ) ( ,

Bài tập: Với x, y ≠ 0, đặt ϕ = arccos x x,.y y và gọi ϕ là góc giữa x và y Chứng minh

rằng x và y trực giao khi và chỉ khi ϕ =π2

3 Giới hạn của dãy điểm Không gian Hilbert

Đinh nghĩa 2: Ta nói dãy điểm {xn} = x1, x2… xn trong không gian Euclide E có giới

hạn là a, và viết: him xn = a, nếu dãy số x n −a có giới hạn bằng 0

Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ Dễ thấy

giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Ví dụ: Trong C[0,1] dãy {fn}, với fn(x) = xn có giới hạn là hàm đồng nhất bằng 0

Thật vậy

) (

0 1 2

1

0

+

=

=

=

n dx x fn

Bài tập: Hình cầu mở tâm a, bán kính r(>0) (trong không gian Euclide E) ký hiệu

B(a;r) là tập hợp mọi phần tử x sao cho d(x,a) < r

a Chứng minh rằng him xn = a khi và chỉ khi với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho

khi n ≥ no thì xn ∈ B(a, ε)

b Chứng minh rằng hình cầu mở chứa vô số điểm

Chú ý: Hình cầu mở tâm a, bán kính r còn đợc gọi là lân cận r của a

Đinh nghĩa 3: Dãy {xn} đợc gọi là dãy cơ bản, nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 sao

cho khi m, n ≥ n thì d(x , x ) < ε