Bài giảng Hình học giải tích

Bài giảng hình học giải tích Đ0 : Mở đầu Nguyên tắc Trực quan Các quan hệ véctơ Các liên hệ trong hệ toạ độ Đ1 : Véctơ I. Tổng quan 1. Là gì ? + là khái niệm toán học thể hiện sự tác động có thứ tự ( mối quan hệ ) giữa các điểm. 2 điểm Đợc tạo thành nhờ 1 hớng xác định giữa 2 điểm Cụ thể : +) Với 2 điểm A; B ta có véctơ AB Với A : điểm đầu B : điểm cuối +) Nếu điểm đầu trùng điểm cuối ta có véctơ o 1.2) Đặc trng của 1 véctơ Phơng : là phơng của 1 đt với điểm đầu, điểm cuối Gồm : Hớng : từ điểm đầu đến điểm cuối Độ lớn : độ dài đoạn với 2 điểm Cụ thể : Phơng : là phơng của đt MN ( đờng thẳng giá ) +) MN Hớng : từ M đến N MN = MN +) Véctơ o có phơng tuỳ ý, hớng tuỳ ý, o = o Phơng Ta nói : 2 véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng có 3 trùng Hớng Độ lớn Nhận xét: +) Với 3 đặc trng trên ngời ta xác định 1 véctơ tức là không còn quan trọng vì 1 véctơ là 2điểm nút của chúng nữa mà là 3 đặc trng trên. Do vậy : 1 Ta có thể ký hiệu 1 véctơ kiểu đại số nh : a ; b ; u thay cho . Viết rõ BA ; NM ; nếu không thực sự quan tâm tới 2 nút. 2. Quan hệ đồng phẳng + Khái niệm này ám chỉ sự kiện 3 véctơ có thể dời về cùng một mặt phẳng và vì vậychúng sẽ phải đợc đặt trên 3 đt giá cùng song song với 1 mặt phẳng. Định lý : Các khẳng định sau là các mệnh đề tong đơng : 1/ U đồng phẳng với V & S , ( V & S giả thiết là không cùng mặt phẳng ). 2/ ! Cặp ( k;l ) u = k. v + l. s 3/ u = [ ] sv . = 0 Chú ý : Câu hỏi đặt ra là nhỡ v cùng phẳng với s thì sao tuy nhiên sự kiện này rất tầm thờng bởi nhẽ : Nếu thế u ; v ; s luôn đồng phẳng bất chấp u ra sao. 3. Quan hệ + Từ định nghĩa vô hớng ta thấy quá rõ ràng rằng u và v có phơng vuông góc với nhau u . v = 0 Điều tầm thờng này dùng để xem xét các quan hệ = véctơ Chú ý : +) Xét 3 Vector đơn vị i , j , k chung gốc T ( ) và đặt theo thứ tự tam diện vuông thuận khi đó i . j = j . k = k . j = 0; i = j = k = 1 Hơn nữa : [ ji, ] = k [ kj, ]= i [ ik, ]= j Đồng thời : Với a , b , c không đồng phẳng trong không gian 3 chiều thì u ! bộ ( k; l; m ) U = k. a + l. b + m. c Nếu giờ vector trong không gian 3 chiều đều đợc biểu diễn tuyến tính qua i ; j ; k thì định lợng trở lên rất đơn giản ! 2 Định lý I ( Định lý về sự dời gốc ) * Cho trớc 1 a và 1 điểm gốc Tcố định, khi đó ! A thỏa a = AT II. Các phép toán véctơ II.1 : Phép cộng +) Là phép toán thể hiện mối quan hệ không thứ tự và có tính tác động truyền dẫn giữa 2 véctơ. Luật ( Tam giác ) Cho a = AT ; b = CA khi đó a + b = AT + CA = CT T C Luật hình bình hành a = AT ; b = BT khi đó a + b = AT + BT = CT Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành II.2: Phép trừ +) Véctơ đối của 1 véctơ u = BA là véctơ AB Phơng : cùng với BA = u Có các đặc trng AB Hớng : ngợc với BA Độ lớn : AB = BA = AB Ký hiệu : AB = - BA = - u + Phép trừ 2 véctơ là phép toán ngợc của phép cộng 2 véctơ nó có tính thứ tự a - b = a + ( - b ) BA - NM = BA + ( - NM ) = BA + MN II.3 : Phép nhân 1 véctơ với 1 số Tác động của số k lên a đợc định nghĩa Phơng : cùng với a k >0 ( cùng hớng) k a = u Hớng : tùy theo dấu của k k < 0 ( ngợc hớng) Độ lớn : ak . = k . a Chú ý : Ba phép toán ( + ); ( _ ) & nhân véctơ với 1 số gọi là 3 phép toán tuyến tính của các véctơ. Nếu U = k 1 . 1 a + k 2 . 2 a + + k n . n a thì ta nói U đợc biểu diễn tuyến tính theo 1 a ; n a với các hệ số biểu diễn tơng ứng là k 1 k n / R * Định lý II ( Định lý về sự cùng phơng ) 3 u cùng phơng với v o ! k R u = k v k đợc xác định qua u & v nhờ k = v u dấu k phụ thuộc vào sự cùng hoặc ngợc hớng giữa u & v Ngoài ra phép toán tuyến tính còn có một số t/c đáng lu ý sau : u + v = v + u ( Giao hoán ) ( u + v ) + s = u + ( v + s ) ( Kết hợp ) k. ( u + v ) = k u + k v ( k + l ). u = k. u + l. u ( phân phối ) II.4/ Tính vô hớng của 2 véctơ II.4.1/ Là gì ? + )Là phép toán ( quan hệ 2 ngôi trên các véctơ có tính lợng hóa II.4.2/ Định nghĩa : a . b = a . b . Cos ( a ; b ) Chú ý : +) Về bản chất a . b = a . b = , a . b Với , a là véctơ chiếu của a lên trục giá của b , b là véctơ chiếu của b lên trục của a +)Tính vô hớng có tính tác động phân phối lên 3 phép toán tuyến tính và giao hoán. Cụ thể u . ( k a + l b ) = ( k a + l b ). u = k ublua + k, l / R Chả có nghĩa lý gì cho ký hiệu svu Còn ( vu . ) . s đợc hiểu là lấy vu . trớc rồi lấy hằng số vu . = k nhân vào s để đợc k s ( tích vô hớng không có tính kết hợp ) II.5/ Tích hữu hớng của 2 véctơ trong không gian II.5.1/ Về bản chất +) là phép toán véctơ thể hiện tính đóng II.5.2/ Định nghĩa : [ ] ba , là véctơ đợc khai báo : + Phơng cả phơng a & b + Hớng : Luật tam diện thuận + Độ lớn : [ ] ba , = a . b sin ( ba , ) 4 Luật tam diện thuận III. Các định tính bằng véctơ 1. Quan hệ cùng phơng +) u cùng phơng với v đợc hiểu là khi 2 đờng thẳng giá của chúng song song hoặc trùng nhau ( theo định lý dời gốc khi này cần dời chúng về chung một gốc vì vậy chúng đợc đặt trên cùng 1 giá ). Định lí 3 điều sau là 1. u cùng phơng với ov 5 2. ! k / vku = ; ( k đợc xác định nhờ v u k = và quan hệ về hớng giữa u $ v ). 3. [ ] vu , = o Chú ý : +) o véctơ đợc coi là cùng phơng ( và cùng hớng với véctơ ) và vì thế hớng của nó hóa ra là bất định ! +) Quan hệ cùng phơng ( cùng hớng ) giữa các véctơ có tính bắc cầu IV. Hệ tọa độ Decacty IV.1 Là gì ? +) Là hệ các véctơ biểu diễn tuyến tính qua 1 cơ sở trực chuẩn Tức là : đôi một vuông góc ( phơng) Hệ cơ sở gồm { } kji ,, độ lớn mỗi véctơ = 1 đặt theo thứ tự tam diện thuận Nhận xét : Với : 1 a = l 1 . i + m 1 . j + n 1 . k 2 a = l 2 . i + m 2 . j + n 2 . k Ta có : 1 a . 2 a = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 [ ] 21 , aa = 22 11 nm nm i + 22 11 ln ln j + 22 11 ml ml k 1 a = 2 1 2 1 2 1 lml ++ * Định nghĩa : Giả sử : u = x u i + y u j + z u k Với x u , y u , z u /R Ta nói : ( x u ; y u ; z u ) là tọa độ của u theo Phơng trình 1 đt trong oxy 1. Làgì ? +) là điều kiện ràng buộc giữa các tọa độ của 1 điểm muốn vào đờng thẳng. 2. làm nào để lập phơng trình đờng thẳng? 1 điểm đặt M VTCP U 6 +) Cần biết 2 đặc trng 1 đặc trng phơng VTPT N +) Cụ thể : Giả dụ M ( x ;y ); U (a;b); N (A,B) Lấy M (x;y) bất kỳ khi đó MM = t. u = = btyy atxx += += btyy atxx ; t /R Pt tham số b yy a xx = Lại có : M MM . n = 0 A (x - x ) + B ( y - y ) = 0 Rút gọn : ( - Ax - By = C) Ax + By + C = 0 Phơng trình tổng quát * Chú ý : u ( a; b ) thì ( - b;a ) = n n ( A; B ) thì ( - B; A ) = u II. Quan hệ của đờng tròn với các đối ợng hình học khác nh thế nào? 1. Với 1điểm M Nhận xét : - Sự xa gần của M với tâm T sẽ quyết định quan hệ của M với (C) Cụ thể : +) Xét P )/(CM = TM 2 R 2 = ( x M - a) 2 + ( y M b 2 ) R 2 = x 2 M + y 2 M + Ax M + By M + C Giá trị này gọi là phơng tính của M với ( C) 7 P )/(CM < 0 TM < R M nằm trong (C) = 0 TM = R M nằm trên ( C) > 0 TM > R M nằm ngoài ( C) Với 1 đờng thẳng Xét H = d 2 ( I; ) R 2 < 0 : cắt ( C ) = 0 : tiếp xúc ( C ) > 0 : không có điểm chung ( C ) Vấn đề Ta sẽ đi sâu hơn vào điều kiện sao cho tiếp xúc với ( C ) Giả sử : kx + ly + m = 0 ( C ) : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 tiếp xúc với ( C ) d ( I; ) = R (*) Mà I ( 2 ; 2 BA ); R= 2 1 CBA 4 22 + Nên (*) 22 2 2 lk mlBkA + + = CBA 4 2 1 22 + (kA + lB 2m ) 2 = ( k 2 + l 2 ) ( A 2 + B 2 4C) Rút gọn từ phơng trình chính . Và đặt - 2a = A; -2b = B; a 2 + b 2 R 2 = C Ta đợc : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Phơng trình tổng quát Chú ý : +) Với 1 đờng tròn cho bởi phơng trình tổng quát nh trên thì tâm của nó là T ( 2 ; 2 BA ) Còn bán kính R = CBA 4 2 1 22 + Do vậy cần có điều kiện : A 2 + B 2 > 4C 8 +) Trong thực hành xác định tâm và bk của đờng tròn cho bởi pt tổng quát ta cần điêu luyện kỹ thuật ptik tam thức bậc 2. VD : (C) : x 2 + y 2 + 2 x + 9y 478 = 0 ( x + 2 21 ) 2 + ( y - 2 9 ) 2 = 4 4784921 22 ++ ( x + 2 21 ) 2 + ( y - 2 9 ) 2 = 2 8434 Vậy I ( 2 9 ; 2 21 ) & R = 2 8434 9 . Bài giảng hình học giải tích Đ0 : Mở đầu Nguyên tắc Trực quan Các quan hệ véctơ Các liên. b = AT + CA = CT T C Luật hình bình hành a = AT ; b = BT khi đó a + b = AT + BT = CT Với điều kiện TACB là 1 hình bình hành II.2: Phép trừ