Bài tập hình học giải tích trong không gian lớp 12 tham khảo

HHGTTKG- LTDH BI TP HèNH HC GII TCH TRONG KHễNG GIAN. Bi 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phơng trình: 2 2 2 2 2 2 1 0x y z x y z+ + + + = . Viết phơng trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1. Gii. Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ 2 2 2 ( , , ),( 0)n a b c a b c+ + r làm véctto pháp tuyến có PT: 2 6 0ax by cz b c+ + + + = Từ giả thiết: (2;0; 2) ( ) ( ;( )) 3 B P d I P = tìm đợc a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y z 4 = 0 và (P 2 ): 7x 17y + 5z 4 = 0 Bi 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đ/thẳng(d): 1 2 ( ) 2 x t y t t R z t = = + = Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và cắt đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến lớn nhất. Gii. Khi đó đờng thẳng có PT: 1 4 2 1 4 3 x y z = = Bi 3. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1;2; -1), B(7; -2; 3) v ng thng d cú phng trỡnh 2 3 2 (t R) 4 2 x t y t z t = + = = + . Tỡm trờn d nhng im M sao cho tng khong cỏch t M n A v B l nh nht. Gii. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d. Gi A i xng vi A qua d => MA= MA => MA+ MB = MA + MB AB (MA+ MB) min = AB, khi A, M, B thng hng => MA = MA = MB MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4) Bi 4. Trong khụng gian ta ,Oxyz cho mt phng 0922:)( =++ zyxP v hai im ),2;1;3( A ).0;5;1( B Tỡm ta ca im M thuc (P) sao cho MBMA. t giỏ tr nh nht. Gii. +) Gi I l trung im AB. Khi ú )1;3;2( I v .0 =+ IBIA +) Ta cú .))(())((. 22 IAMIIAMIIAMIIBMIIAMIMBMA =+=++= 1 Giả sử cắt d tại M nên (1 ; 2 ;2 )M t t t + Ta có 2 2 28 152 208 ( , ) 3 10 20 t t d B t t + = + Xét hàm 2 2 2 2 2 28 152 208 16(11 8 60) ( ) '( ) 3 10 20 (3 10 20) t t t t f t f t t t t t + = = + + 2 28 '( ) 0 , ( ) 30 3 11 t t f t lim f t t = = = = BBT Từ BBT ta thấy ( ) 12 2 ( , ) 12 2 max maxf t t d B t= = = = HHGTTKG- LTDH MBMA. t giỏ tr nh nht MI nh nht (do 4 2 2 AB IA = khụng i). M l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P). +) Chn == )2;1;2( PIM nu phng trỡnh += = += tz ty tx IM 21 3 22 : . Thay vo phng trỡnh (P) suy ra ).3;1;2(2 = Mt Bi 5. Trong khụng gian ta ,Oxyz cho ng thng 21 4 2 1 : zyx d = = + v cỏc im ),7;2;1(A ).4;2;3(),2;5;1( CB Tỡm ta im M thuc d sao cho 222 MCMBMA t giỏ tr ln nht. Gii. +) ).2;4;12( tttMdM + +) +++== ])72()2()22[( 222222 tttMCMBMAP ])42()2()42[(])22()1()22[( 222222 +++++ tttttt 12189 2 += tt .2121)1(9 2 ++= t Suy ra 21max = P , t khi 1 = t hay ).2;3;1( M Bi 6. Trong khụng gian vi h to ,Oxyz cho cỏc im )6;1;2(),4;5;3(),11;8;5( CBA v ng thng 1 1 1 2 2 1 : = = zyx d . Xỏc nh to im dM sao cho MCMBMA t giỏ tr nh nht. Gii. * ).;4;12()1;2;12( tttMCMBMAtttMdM ++=+++ * 1111)1(617126)4()12( 22222 ++=++=++++= ttttttMCMBMA Suy ra min 11= MCMBMA khi ).2;1;1(1 = Mt Bi 7. Trong khụng gian vi h to ,Oxyz cho hai ng thng 12 4 1 2 : 1 zyx = + = v . 2 8 1 10 1 6 : 2 + = = zyx Tỡm to im 1 M v 2 N sao cho di MN t giỏ tr nh nht. Gii. * );42;2( 1111 tttMM + )82;10;6( 2222 ++ tttNN )82;142;4( 121212 +++= ttttttMN * 1 qua )0;4;2( A v cú )1;2;1( 1 =u 2 qua )8;10;6( B v cú )2;1;1( 2 = u 070.],[ 21 = ABuu . Suy ra 21 , chộo nhau . di MN nh nht thỡ MN l ng vuụng gúc chung ca 21 , = = =+ =+ = = )0;6;10( )2;0;0( 4 2 0266 0166 0. 0. 2 1 21 21 2 1 N M t t tt tt uMN uMN Bi 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau. Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và vuông góc với d Gii. 2 HHGTTKG- LTDH .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u Ta có )5;1;2( =MM , [ ] )3;3;0('; =uu , do đó [ ] 012'.'; =MMuu vậy d và d chéo nhau. Mặt phẳng )( đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ pháp tuyến là )1;1;2(' u nên có phơng trình: 0)2(2 =+ zyx hay 022 =+ zyx Bi 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d lần lợt có phơng trình : d : z y x = = 1 2 và d : 1 5 3 2 2 + == z y x . Viết phơng trình mặt phẳng )( đi qua d và tạo với d một góc 0 30 Gii. .Đờng thẳng d đi qua điểm )0;2;0(M và có vectơ chỉ phơng )1;1;1( u Đờng thẳng d đi qua điểm )5;3;2(' M và có vectơ chỉ phơng )1;1;2(' u . Mp )( phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và 2 1 60cos)';cos( 0 ==un . Bởi vậy nếu đặt );;( CBAn = thì ta phải có : = ++ + =+ 2 1 6 2 0 222 CBA CBA CBA = += +++= += 02 )(632 22 222 CACA CAB CCAAA CAB Ta có 0)2)((02 22 =+= CACACACA . Vậy CA = hoặc CA = 2 . Nếu CA = ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó 2=B , tức là )1;2;1(=n và )( mp có phơng trình 0)2(2 =++ zyx hay 042 =++ zyx Nếu CA = 2 ta có thể chọn 2,1 == CA , khi đó 1=B , tức là )2;1;1( =n và )( mp có phơng trình 02)2( = zyx hay 022 =+ zyx Bi 10. Trong kg Oxyz cho ng thng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 v mp(P):2x y -2z - 2=0 Vit PT mt cu(S) cú tõm I v khong cỏch t I n mp(P) l 2 v mt cu(S) ct mp(P )theo giao tuyn ng trũn (C)cú bỏn kớnh r=3 . Gii. Mt cu(S) cú tõm I g sI(a;b;c ) =>(a;b;c) tho mn PT ca (1) * ( ) ( ) ; 2d I P = (2) T (1) v(2) ta cú h PT: 2 2 2 6 11 14 1 1 1 7 ; ; ; ; ; 6 3 6 3 3 3 2 1 2 a b c a t heconghiem va b t c t = = ữ ữ = = + Do 2 4 3 13r R R= = = Vy cú 2 mt cu theo ycbt : ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 11 14 1 ( ): 13 6 3 6 1 1 7 : 13 3 3 3 S x y z S x y z + + + = ữ ữ ữ + + + + = ữ ữ ữ Bi 11. Cho im ( ) 2;5;3A v ng thng 1 2 : . 2 1 2 x y z d = = Vit phng trỡnh mt phng ( ) cha d sao cho khong cỏch t A n ( ) ln nht. Gii. 3 HHGTTKG- LTDH Gọi K là hình chiếu của A trên d K⇒ cố định; Gọi ( ) α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( ) α . Trong tam giác vuông AHK ta có .AH AK≤ Vậy ( ) max AH AK α = ⇔ là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK Gọi ( ) β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ( ) : 2 2 15 0x y z β ⇒ + + − = ( ) 3;1;4K⇒ ( ) α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ( ) : 4 3 0x y z α ⇒ − + − = Bài 12. Cho mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0P x y z− + − = và các đường thẳng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2. Giải. Gọi ( ) ( ) 1 2 ;3 3 ;2 , 5 6 ';4 '; 5 5 'M t t t N t t t+ − + − − ( ) ( ) ; 2 2 1 1 0; 1.d M P t t t= ⇔ − = ⇔ = = Trường hợp 1: ( ) ( ) 0 1;3;0 , 6 ' 4;4 ' 3; 5 ' 5t M MN t t t= ⇒ = + − − − uuuur ( ) . 0 ' 0 5;0; 5 P P MN n MN n t N⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒ − uuuur uur uuuur uur Trường hợp 2: ( ) ( ) 1 3;0;2 , 1; 4;0t M N= ⇒ − − Bài 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : 1 1 1 ( ): 2 1 1 x y z d − + = = − và 2 2 1 ( ): 1 1 1 x y z d − + = = − . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2 ) một góc 30 0 . Giải. Giả sử mặt phẳng cần tìm là: 2 2 2 ( ) : 0 ( 0)ax by cz d a b c α + + + = + + > . Trên đường thẳng (d 1 ) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0). Do ( ) α qua A, B nên: 0 2 0 a c d c a b a b d d a b − + = = −   ⇔   − + + = = −   nên ( ) : (2 ) 0ax by a b z a b α + + − + − = . Yêu cầu bài toán cho ta: 0 2 2 2 2 2 2 1. 1. 1.(2 ) 1 sin 30 2 1 ( 1) 1 . (2 ) a b a b a b a b − + − = = + − + + + − 2 2 2 2 2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0a b a ab b a ab b⇔ − = − + ⇔ − + = Dễ thấy 0b ≠ nên chọn b=1, suy ra: 18 114 21 18 114 21 a a  − =    + =   KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z + + − + + − = 18 114 15 2 114 3 114 0 21 21 21 x y z − − + + + − = . 4 HHGTTKG- LTDH Bài 14. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), ( )DH ABC⊥ và 3DH = với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC). Giải. Trong tam giác ABC, gọi K CH AB= ∩ . Khi đó, dễ thấy ( )AB DCK⊥ . Suy ra góc giữa (DAB) và (ABC) chính là góc DKH∠ .Ta tìm tọa độ điểm H rồi Tính được HK là xong. + Phương trình mặt phẳng (ABC). - Vecto pháp tuyến ( ) [ , ] 0; 4; 4n AB AC= = − − r uuur uuur - (ABC): 2 0y z+ − = . + ( )H ABC∈ nên giả sử ( ; ;2 )H a b b− . Ta có: ( ; ; ), (4; 2;2).AH a b b BC= − = − uuur uuur ( 2; ; ), ( 2;2; 2).CH a b b AB= − − = − − uuur uuur Khi đó: . 0 0 2 2 2 0 . 0 BC AH a b a b a b AB CH  = − =   ⇔ ⇔ = = −   − + + = =    uuur uuur uuur uuur Vậy H(-2; -2; 4). + Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: 4 0x y z− + − = . Phương trình đường thẳng AB là: 2 x t y t z t =   = −   = +  .Giải hệ: 2 4 0 x t y t z t x y z =   = −   = +   − + − =  ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3. Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra: 2 2 2 2 2 8 96 2 2 4 3 3 3 3 HK       = + + − + + − =  ÷  ÷  ÷       . Gọi ϕ là góc cần tìm thì: tan / 96 /12 6 / 3 arctan( 6 / 3)DH HK ϕ ϕ = = = ⇒ = Vậy arctan( 6 / 3) ϕ = là góc cần tìm. Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : (d) x 1 3 y z 2 1 1 2 + − + = = − và (d’) x 1 2t y 2 t z 1 t = +   = +   = +  Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng Giải. 5 C A B D H K HHGTTKG- LTDH ( ) ( ) ( ) MM' u, u ' 8 d d , d' 11 u,u'     = =     uuuuur r uur r uur Bài 16. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : (d) x t y 1 2t z 4 5t =   = +   = +  và (d’) x t y 1 2t z 3t =   = − −   = −  a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Giải. a) + Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( ) u 1;2;5 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( ) u ' 1; 2; 3− − uur Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là 1 3 I ;0; 2 2   −  ÷   hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM) b) Ta lấy u 15 15 15 v .u' ; 2 ; 3 7 7 7 u '   = = − −  ÷  ÷   r r uur uur . Ta đặt : 15 15 15 a u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = + = + − −  ÷  ÷   r r r 15 15 15 b u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7   = − = − + +  ÷  ÷   r r r Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a,b r r làm VTCP và chúng có phương trình là : 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + +   ÷  ÷        = −  ÷   ÷        = + −  ÷  ÷     và 1 15 x 1 t 2 7 15 y 2 2 t 7 3 15 z 5 3 t 2 7    = − + −   ÷  ÷        = +  ÷   ÷        = + +  ÷  ÷     6 Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình : x 9 t y 6 8t z 5 15t = −   = −   = −  + Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( ) u 1;1;2 v + Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( ) u ' 2;1;1 uur Ta có : • ( ) MM ' 2; 1;3= − uuuuur • ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0   = − = − ≠   uuuuur r uur Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm) Khi đó : HHGTTKG- LTDH Bài 17. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Giải. Ta có ( ) 1; 4; 3AB = − − − uuur Phương trình đường thẳng AB: 1 5 4 4 3 x t y t z t = −   = −   = −  Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4-3a) ( ;4 3;3 3)DC a a a⇒ = − − uuur Vì AB DC⊥ uuur uuur =>-a-16a+12-9a+9=0<=> 21 26 a = Tọa độ điểm 5 49 41 ; ; 26 26 26 D    ÷   Bài 18. Cho hai đường thẳng có phương trình: 1 2 3 : 1 3 2 x z d y − + = + = 2 3 : 7 2 1 x t d y t z t = +   = −   = −  Viết phương trình đường thẳng cắt d 1 và d 2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1). Giải. Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại điểm A(2+3a;- 1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> MA kMB= uuur uuur ( ) ( ) 3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= − − − + = − − − uuur uuur 3 1 3 1 1 11 2 3 3 2 11 2 4 2 2 4 1 a kb a kb a a kb k a k kb k a kb a kb b − = − = =       ⇒ − = − − ⇔ + + = ⇔ =       − + = − + = =    => ( ) 2; 10; 2MA = − − uuur Phương trình đường thẳng AB là: 3 2 10 10 1 2 x t y t z t = +   = −   = −  Bài 19. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD và có )1;3;1(),0;2;1(),1;1;1( −− CBA . Tìm tọa độ D. Giải. +) Rõ ràng ACkAB .≠ nên A, B, C không thẳng hàng. +) CD // AB nên chọn )1;1;2( −−== ABu CD . Suy ra pt      −−= += −= tz ty tx CD 1 3 21 : CDtttD ∈−−+−⇒ )1;3;21( . Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD = BC. Do đó 6)2()2()2( 222 =−−+++− ttt 7 HHGTTKG- LTDH 2 (3 ; 2 ; 0) 1 3 4 1 0 5 8 2 1 ; ; 3 3 3 3 D t t t D t  = −    ⇔ + + = ⇔ ⇒     − = −  ÷      Để ABCD là hình thang cân thì BD = AC. Do đó D(3, 2, 0) không thỏa mãn vì khi đó. ABCD là hình bình hành. Với       −− 3 2 , 3 8 , 3 5 D thỏa mãn. Bài 20. . Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng . 2 1 2 3 1 2 : − − = − − = + zyx d Xét hình bình hành ABCD có .),2;2;2(),0;0;1( dDCA ∈ Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng .23 Giải. +) )12;32;2( 2 1 2 3 1 2 : +−+−−⇒ − − = − − = + ∈ tttD zyx dD 2 23 23 =⇒= ACDABCD SS . (1) +) Ta có )12;32;3();2;2;1( +−+−−== tttADAC . Suy ra )94;74;4(],[ +−−−= ttADAC . Suy ra [ ] 14612832 2 1 )94()74(16 2 1 , 2 1 222 +−=+−+−+== ttttADACS ACD . (2) Từ (1) và (2) ta có 2012812832 2 =⇔=+− ttt . Suy ra )3;1;0( −−D . +) ABCD là hình bình hành nên DCAB = . Suy ra B(3 ; 3 ; 5). Bài 21. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng 1 3 2 3 1 1 : − = + = − − zyx d và hai mặt phẳng .04:)(,0922:)( =++−=+−+ zyxQzyxP Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo một đường tròn có chu vi π 2 . Giải. Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > 0. Vì dI ∈ nên )3;32;1( +−+− tttI . Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên 3 22 ))(;( t PIdR − == Ta có 3 211 ))(;( t QId − = . Chu vi của đường tròn giao tuyến 122 =⇒= rr ππ . Suy ra 1 3 )211( ))(;( 2 222 + − =+= t rQIdR (2) Từ (1) và (2) suy ra     = = ⇔+ − = − 2 23 4 1 3 )211( 9 )22( 22 t t tt * Với 4=t ta có 2),7;5;3( =− RI . Suy ra mặt cầu .4)7()5()3( 222 =−+−++ zyx * Với 2 23 =t ta có 7, 2 29 ;20; 2 21 =       − RI . Suy ra phương trình mặt cầu ( ) 49 2 29 20 2 21 2 2 2 =       −+−+       + zyx . Bài 22. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ,0422:)( =+++ zyxP đường thẳng 1 1 1 1 2 2 : − − = − + = − zyx d và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng .04,1 =−+= zyx Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P). Giải. Mặt cầu có tâm dtttI ∈+−−−+ )1;1;22( . 8 HHGTTKG- LTDH 3 9 ))(;( + = t PId . Chọn )1;1;0( −= ∆ u và ∆∈)3;1;1(M . Khi đó )2;2;12( −−−−+= tttMI . Suy ra )12;12;42(],[ −−−−−−= ∆ yttMIu Suy ra 2 182412 ],[ ),( 2 ++ ==∆ ∆ ∆ tt u MIu Id . Từ giả thiết ta có RIdPId =∆= );())(;(      −= = ⇔=+⇔++= + ⇔ 53 90 0 090539126 3 9 22 t t tttt t * Với 0=t . Ta có 3),1;1;2( =− RI . Suy ra phương trình mặt cầu .9)1()1()2( 222 =−+++− zyx * Với 53 90 −=t . Ta có 53 129 , 53 143 ; 53 37 ; 53 74 =       − RI . Suy ra phương trình mặt cầu 2222 53 129 53 143 53 37 53 74       =       −+       −+       + zyx Bài 23. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm )1;2;1( − A và hai đường thẳng , 2 1 11 1 : 1 − − == − ∆ zyx . 22 1 1 : 2 − = − =∆ zyx Xác định tọa độ các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng 1 ∆ . Giải. Gọi (P) là mặt phẳng chứa A và 1 ∆ . * 1 ∆ đi qua )1;0;1(B có véctơ chỉ phương )2;1;1( 1 −u ; ).2;2;0( −AB Suy ra mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến )2;2;2(],[ 1 == uABn . * )2;21;(),21;;1( 21 sssNNtttMM −+⇒∆∈−+⇒∆∈ Do đó )122;12;1( −+−+−−−= tststsMN 2 122 2 12 2 1 )( −+− = +− = −− ⇒⊥ tststs PMN . Suy ra .2,2 −=−= st Vậy ).4;3;2(),5;2;1( −−−− NM Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4;3;2(),1;3;5( −− PM . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng .06:)( =−−+ zyx γ Giải. - Gi¶ sö );;( 000 zyxN . V× )1(06)( 000 =−−+⇒∈ zyxN γ - MNPQ lµ h×nh vu«ng MNP∆⇒ vu«ng c©n t¹i N      = = ⇔ 0.PNMN PNMN      =+++−+−− ++−+−=++−+− ⇔ 0)4)(1()3()2)(5( )4()3()2()1()3()5( 00 2 000 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 zzyxx zyxzyx    =+++−+−− =−+ ⇔ )3(0)4)(1()3()2)(5( )2(01 00 2 000 00 zzyxx zx - Tõ (1) vµ (2) suy ra    +−= +−= 1 72 00 00 xz xy . Thay vµo (3) ta ®îc 065 0 2 0 =+− xx 9 HHGTTKG- LTDH    −=== −=== ⇒ 2,1,3 1,3,2 000 000 zyx zyx hay    − − )2;1;3( )1;3;2( N N . - Gäi I lµ t©m h×nh vu«ng ⇒ I lµ trung ®iÓm MP vµ NQ ⇒ ) 2 5 ;3; 2 7 ( −I . NÕu )13;2( −N th× ).4;3;5( −Q NÕu )2;1;3( −N th× ).3;5;4( −Q Bài 25. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho các điểm )2;3;0(),0;1;0(),0;0;1( CBA và mặt phẳng .022:)( =++ yx α Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm CBA ,, và mặt phẳng ).( α Giải. Gi¶ sö );;( 000 zyxM . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra 5 22 )2()3()1()1( 002 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 ++ =−+−+=+−+=++− yx zyxzyxzyx          ++ =++− −+−+=+−+ +−+=++− ⇔ )3( 5 )22( )1( )2()2()3()1( )1()1()1( 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 yx zyx zyxzyx zyxzyx Tõ (1) vµ (2) suy ra    −= = 00 00 3 xz xy . Thay vµo (3) ta ®îc 2 00 2 0 )23()1083(5 +=+− xxx     = = ⇔ 3 23 1 0 0 x x     − ⇒ ). 3 14 ; 3 23 ; 3 23 ( )2;1;1( M M Bài 26. . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3 . Giải. •Gọi Ocban ≠= );;( là véctơ pháp tuyến của (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c. Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 •TH1: ca = ta chọn 1 == ca ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0 * TH2: ca 7= ta chọn a =7; c = 1 ⇒Pt của (P):7x+5y+z+2=0 Bài 27. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) 01 =+−+ zyx ,đường thẳng d: 3 1 1 1 1 2 − − = − − = − zyx . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 23 . Giải. • (P) có véc tơ pháp tuyến )1;1;1( )( −= P n và d có véc tơ chỉ phương )3;1;1(. −−=u )4;2;1()( IPdI ⇒∩= • vì ∆⇒⊥∆⊂∆ dP);( có véc tơ chỉ phương [ ] )2;2;4(; )( −−== ∆ unu P )1;1;2(2 −−= Phương trình (Q): 0420)4()2()1(2 =+−+−⇔=−−−+−− zyxzyx 10 • d(C;(P)) = 0141623 )2( 2 3 22 222 =+−⇔= +−+ + ⇔ caca ccaa ca    = = ⇔ ca ca 7 • Gọi H là hình chiếu của I trên ∆ )(QmpH ∈⇒ qua I và vuông góc ∆ [...]... + 12 − 3 6 = 0 −6+ 6 3+ 2 6 c⇒a= c 5 5 chọn a = 3 + 2 6 ; b = −6 + 6 ; c = 5 với b = ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3 + 2 6 ) x + (−6 + 6 ) y + 5c + 12 + 3 6 = 0  x = −2 + t  Bài 36 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số  y = −2t  z = 2 + 2t  Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vng góc của A trên (D) Trong. .. kính R là: 2 2 2 6  38  121  19   x− ÷ + y + ÷ +z − ÷ = 15   5  15  125  x y z−4 = = Gäi (d2) lµ giao 2 1 0 tun cđa 2 mỈt ph¼ng (α ) x + y − 3= 0 ; ( β ) 4 x + 4 y + 3z 12 = 0 Chøng minh (d1) vµ (d2) chÐo nhau ViÕt Bài 31 Trong kh«ng gian víi hƯ trơc täa ®é Oxyz cho ®êng th¼ng (d1) : ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ ®o¹n vu«mg gãc chung cđa (d1) vµ (d2) Giải r + (d1) đi qua điểm... = 1 + 2t 2  MN //( P ) t1 = 1 + 2t 2 MN n = 0  ⇔ ⇔ 2 ⇔ Theo gt :  12 2 MN = 6 13t 2 + 12t 2 = 0 MN = 6 t 2 = 0 ; t 2 = − 13   * t 2 = 0 ⇒ t1 = 1 , M (1 ; 1 ; 2) , N (−1 ; 0 ; 1) − 12 11  11 11 22   11 12 11  ⇒ t1 = − , M  − ;− ;−  , N  ; − ;−  * t2 = 13 13  13 13 13   13 13 13  Bài 42 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; 0 ; 0), A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0)... 2) = 4 + Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R = Bài 32 Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C là bốn đỉnh của một hình thoi và hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I của OABC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AC Giải Ta có: + Các đoạn OB và ACuuu nhận I(2; 2; 2) làmr đều uuu... đỉnh của hình thoi OABC 12 HHGTTKG- LTDH uu uuu r r uu r  SI AC = −32 + 32 = 0  ⇒ SI ⊥ (OABC ) r r + SI = (4; 0; − 4);  uu uuu  SI OB = 16 − 16 = 0   AC ⊥ OB ⇒ AC ⊥ ( SOB) + Do OABC là hình thoi và SI ⊥ (OABC ) nên:   AC ⊥ SI Từ đó trong mp(SOB) nếu kẻ IH ⊥ SO tại H thì IH ⊥ AC tại H Vậy IH là đoạn vng góc chung của SO và AC SI OI 4 2.2 3 4 66 ⇒ d ( SO, AC ) = IH = = = SO 11 2 11 Bài 33 Trong. .. trình của mặt phẳng (P0) là: 2 ( x − 4 ) − 1 ( z + 1) = 2x - z - 9 = 0 Bài 37 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị trí của điểm M để  z = 2t  chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất Giải Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM Vì AB khơng... (Q) cã ph¬ng tr×nh: 2x + 2y - z + 10 = 0 Hc 2x + 2y - z - 8 = 0 Bài 29 Trong hkơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình: (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 16 = 0 ’ (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16 π Giải Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O...  + Tam giác AEF đều → AE = AF = AH Bài 51 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; 1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − 2 = 0 Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S) Giải Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) Giả sử phương... = = − = = 4 36 6 6 36 6 Bài 52 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng Do H = ( d ) ∩ ( P ) nên: x+3 = y + 1 = z − 3 , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và 2 (P) đồng thời vng góc với d Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất Giải  x = 2t − 3  Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:  y =... 2x-y+2z-21=0 Bài 54 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1; 2; 4 ) Viết phương trình đường thẳng Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I → ( P )) = 4 ⇔ ( ∆) đi qua trực tâm H của tam giác OAB và vng góc với mặt phẳng ( OAB ) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( OAB ) sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất.(O là gốc hệ trục toạ độ) Giải uuu r r r OA = ( 1;4;2 )  r uuu uuu  ⇒ n = OA, OB  = ( 12, −6,6 . ).;4 ;12( )1;2 ;12( tttMCMBMAtttMdM ++=+++ * 1111)1(61 7126 )4( )12( 22222 ++=++=++++= ttttttMCMBMA Suy ra min 11= MCMBMA khi ).2;1;1(1 = Mt Bi 7. Trong khụng gian vi h to ,Oxyz cho hai ng thng 12 4 1 2 : 1 zyx = + = . + += = = = = = )21;;21( 121 212 ttttttMN += Theo gt : == += =+ += = = = 13 12 ;0 21 0121 3 21 6 0. 6 )//( 22 21 2 2 2 21 2 tt tt tt tt MN nMN MN PMN * )1;0;1(,)2;1;1(,10 12 == NMtt *. )2;21;(),21;;1( 21 sssNNtttMM −+⇒∆∈−+⇒∆∈ Do đó )122 ;12; 1( −+−+−−−= tststsMN 2 122 2 12 2 1 )( −+− = +− = −− ⇒⊥ tststs PMN . Suy ra .2,2 −=−= st Vậy ).4;3;2(),5;2;1( −−−− NM Bài 24. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz