Đại học huế trung tâm đo tạo từ xa TS Nguyễn VĂn Toản giáo trình bi tập giải tích đại Tập I (Sách dùng cho hệ đo tạo từ xa) Tái lần thứ nh xuất giáo dôc 2005 698 / 80 05 GD 05 Mã số : PTK53b5 Lời nói đầu Đối với sinh viên ngnh Toán, việc tự học gặp nhiều khó khăn Đặc biệt l học phần mang tính khái quát v trừu tợng cao nh: Không gian mêtric, Lý thuyết độ đo v tích phân, Giải tích hm Việc nắm vững khái niệm, định lý toán học có kết việc nghiên cứu lý thuyết phải đa đến tinh thông ph ơng pháp ngnh khoa học ny, tức l, lý thuyết đợc nghiên cứu đa đến việc áp dụng ph ơng pháp để tự giải bi tập, tự chứng minh định lý nhx ây dựng ví dụ Vì lẽ ®ã, bμi tËp ®ỵc xem lμ thíc ®o møc ®é nắm vững lý thuyết Khi học toán, không lm đợc bi tập có nghĩa l cha nắm đợc lý thuyết, cho dù có thuộc lòng khái niệm, định lý Nhng lm no để có thĨ vËn dơng lý thut vμo viƯc gi¶i bμi tËp tự học, l điều khó thực sinh viên Thờng sinh viên không v cần phải lm để giải bi tập Để giúp sinh viên bớt khó khăn trình tự học, biên soạn Bi tập Giải tích đại gồm hai tập Các bi tập không gian mêtric, lý thuyết độ đo v tích phân đợc trình by Tập I Tập II dnh cho bi tập không gian định chuẩn, không gian Hilbert v toán tử compact Đầu ch ơng l phần tóm tắt định nghĩa v ký hiệu bản, nhph át triển định lý dùng để giải bi tập Với mục đích giúp đỡ sinh viên tự học, bi tập đợc giải cách đầy đủ v chi tiết Tuy nhiên, l vô ích sinh viên không chủ động giải bi tập m đọc lời giải có sẵn Để học tập có kết quả, trớc hết sinh viên phải nỗ lực tự giải bi tập Nếu cố gắng nhiều lần m không thnh công phân tích thật kỹ lời giải, rút thùc chÊt cđa vÊn ®Ị vμ sau ®ã tù giải lại Cần phải kiên trì đạt đợc kết nhmong muốn Xin chân thnh cám ơn Trung tâm Đo tạo Từ xa Đại học Huế v Khoa Toán Cơ Tin học (Trờng Đại học Khoa học Đại học Huế) tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất sách ny Mặc dù cố gắng, nhng khó tránh khỏi sai sót định Tác giả chân thnh ®ãn nhËn nh÷ng ý kiÕn gãp ý cđa ®ång nghiƯp v bạn đọc để sách đợc hon thiện lần xuất sau tác giả Ch ơng I không gian mêtric Đ1 không gian mêtric Giả sử X l tập hợp khác rỗng Một khoảng cách (mêtric) X l ánh xạ d từ X X vo tập hợp số thực thỏa mãn điều kiện sau : 1) d(x, y) = v x = y (tiên đề ®ång nhÊ t) ; 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y X (tiên đề đối xứn g) ; 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z X (tiên đề tam giá c) Tập hợp X với khoảng cách d cho X đợc gọi l không gian mêtric v ký hiệu l (X, d) Đôi để đơn giản v mêtric d đợc xác định râ rμng ta chØ ký hiÖu X Hμm d(x, y) = x y l khoảng cách tập hợp số thực v đợc gọi l khoảng cách thông thờng Không gian mêtric t ơng ứng đợc gọi l đờng thẳng thực Nếu đợc coi l không gian mêtric v không nói rõ với khoảng cách no, luôn hiểu l khoảng cách thông thờng Bi tập Chứng minh tập hợp tất hm số bị chặn đoạn [a, b] lập thnh không gian mêtric, khoảng cách hai phần tử f v g thuộc tập hợp ny, đợc định nghĩa l số : atb d(f , g) sup f (t) g(t) Chứng minh Hiển nhiên hai tiên đề đầu đợc thỏa mãn Ta kiểm tra tiên đề tam giác nhsau : Với hm số f, g, h bị chặn đoạn [a, b] v với t [a, b] ta cã : f (t) g(t) f (t) h(t) h(t) g(t) atbatb sup f (t) h(t) sup h(t) g(t) = d(f, h) + d(h, g) NhvËy, sè d(f, h) + d(h, g) l cận hm số f(t) g(t), sup l số nhỏ cận nªn atb sup f (t) g(t) d(f , h) d(h, g) nghÜa lμ d(f, g) d(f, h) + d(h, g) Chøng minh r»ng tËp hỵp tÊt dãy vô hạn số x(a1, a2, ) thỏa mãn điều kiện : chuỗi n i i1 a hội tụ l không gian mêtric, khoảng cách hai dãy x(a1, a2, ) v y(b1, b2, ) đợc xác định l số n ii i1 d(x, y) a b Chøng minh Tríc hÕt ta chøng minh : víi hai d·y bÊt kú x(a 1, a2, ) vμ y(b1, b2, ) thỏa mãn điều kiện : chuỗi n i i1 a vμ n i i1 b hội tụ, khoảng cách d(x, y) l xác định Thật vậy, chuỗi n ii i1 ab héi tô lμ ai bi + bi v chuỗi n i i1 a , n i i1 b hội tụ theo giả thiết Hiển nhiên hai tiên đề đầu đợc thỏa mãn Để kiểm tra tiên đề tam giác ta có nhận xét : với mäi i bi ci ci bi vμ ®ã nnn iiiiii i1i1i1 abaccb tøc lμ d(x, y) d(x, z) + d(z, y), víi mäi x(a1, a2, ), y(b1, b2, ), z(c1, c2, ) Chứng minh tập hợp tất dãy vô hạn bị chặn số thực lập thnh không gian mêtric khoảng cách hai dãy x(a1, a2, ) v y(b1, b2, ) đợc xác định l sè ii 1i d(x, y) sup a b Chứng minh Hiển nhiên hai tiên đề đầu đợc thỏa mãn Ta kiểm tra tiên đề tam giác nhsau : víi bÊt kú c¸c d·y x(a1, a2, ), y(b1, b2, ) v z(c1, c2, ) bị chặn v víi bÊt kú i, ta cã bi ci ci bi nnnn 1n1n sup a c sup c b = d(x, z) + d(z, y) NhvËy, sè d(x, z) + d(z, y) lμ mét cËn trªn ®èi víi d·y (ai bi)i sup lμ sè nhá cận nên ii 1i sup a b d(x, z) d(z, y) nghÜa lμ d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Cho tËp hợp l2 tất dãy số x(a1, a2, ) tháa m·n tÝnh chÊt sau :2 n n1 a Chøng minh r»ng, tËp hỵp ny lập thnh không gian mêtric nhkho ảng cách hai dãy x(a1, a2, ), y(b1, b2, ) lμ sè nn n1 d(x, y) (a b ) Chứng minh Từ bất đẳng thøc 222 (an bn ) an anbn bn 22 2nn222 nnnn ab a b 2(a b ) vμ chuỗi 2 nn n1n1 a,b hội tụ suy chuỗi nn n1 (a b ) héi tơ HiĨn nhiªn hai tiên đề đầu không gian mêtric đợc thỏa mãn, tiên đề tam giác đợc kiểm tra nhsau : với n ta có bất đẳng thức nnn 222 iiiiii i1i1i1 (a b ) (a c ) (c b ) Từ đẳng thức trên, cho qua giíi h¹n n ta cã 222 iiiiii i1i1i1 (a b ) (a c ) (c b ) tøc lμ d(x, y) d(x, z) + d(z, y) víi mäi x(a1, a2, ), y(b1, b2, ), z(c1, c2, ) Chøng minh tập hợp tất hm số liên tục đoạn [a, b] lập thnh không gian mêtric khoảng cách hai phần tử f v g lμ a b d(f , g) f (x) g(x) dx Chøng minh Tríc hÕt ta kiểm tra tiên đề đồng : đẳng thức d(f, g) = t ơng đ ơng với a b f (x) g(x) dx (1) V× hμm (x) = f(x) g(x) v liên tục đoạn [a, b] nên đẳng thøc (1) x¶y vμ chØ f(x) = g(x) x [a, b] tøc lμ f = g Tiên đề đối xứng l hiển nhiên Tiên đề tam giác đợc kiểm tra nhsau : với hm số f, g, h liên tục đoạn [a b] vμ víi bÊt kú x [a, b] ta cã : f(x) g(x) f(x) h(x) + h(x) g(x) Lấy tích phân bất đẳng thức (lấy cận từ a đến b) ta đợc bbb aaa f (x) g(x) dx f (x) h(x) dx h(x) g(x) dx hay d(f, g) d(f, h) + d(h, g) Tập hợp tất số thực, với khoảng cách hai số x v y đợc hiÓu lμ sè d(x, y) = sin2(x y), cã phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời Không phải, không thỏa mãn tiên đề đồng : víi x = 0, y = , d(x, y) = Tập hợp tất số thực, với khoảng cách hai số x v y đợc hiÓu lμ sè d(x, y) = arctg(x y), cã phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời L không gian mêtric Thật vậy, tiên đề v hai đợc kiểm tra dễ dng Để kiểm tra tiên ®Ị ba tríc hÕt ta chøng minh r»ng : víi mäi x 0, y ta cã bÊt ®¼ng thøc arctgx + arctgy arctg(x + y) Muèn vËy chØ cÇn chøng minh r»ng : víi y cố định hm số x : 10 f(x) = arctgx + arctgy arctg(x + y) lμ tăng khoảng [0, +) v f(0) = nên với x > f(x) > Ta cã 22 ' 1 f (x) x (x y) x > 0, nªn hμm f(x) tăng khoảng [0, +) Bây ta kiểm tra tiên đề ba Chú ý rằng, arctgx l hm lẻ nên ta luôn có arctgx = arctgx Do ®ã d(x, y) = arctg(x y) = arctgx y Víi mäi sè thùc x, y, z ta cã d(x, y) = arctg(x y) = arctgx y arctg(x z + z y) v× arctgx l hm tăng arctgx z + arctgz y = d(x, z) + d(z, y) VËy tiªn đề ba đợc thỏa mãn Tập hợp tất số thực, với khoảng cách hai số x v y đợc hiểu l số d(x, y) = x y , có phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời L không gian mêtric Hai tiên đề đầu l hiển nhiên Tiên đề tam giác đợc kiểm tra nhsau : từ bất đẳng thức hiển nhiªn + + + ∀ 0, ta suy bÊt ®¼ng thøc 0, áp dụng bất đẳng thức nμy cho = x z, = z y ta đợc d(x, y) = x y x z z y x z z y d(x, z) d(z, y) víi mäi sè thùc x, y, z 11 Vậy tiên đề tam giác đợc thỏa mãn Tập hợp tất điểm mặt phẳng với khoảng cách hai điểm M1(x1, y1) v M2(x2, y2) đợc định nghĩa công thức d(M1, M2) = x2 x1 + y2 y1 có phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời L không gian mêtric Tiên đề đồng đợc thỏa mãn d(M1, M2) = x2 x1 + y2 y1 = x1 = x2, y1 = y2 M1 = M2 Tiên đề đối xứng l hiển nhiên Tiên đề tam giác đợc suy từ bất đẳng thức tam giác số thực Với ®iÓm M1(x1, y1), M2(x2, y2) vμ M3(x3, y3) ta cã d(M1, M2) = x2 x1 + y2 y1 x3 x1 + y3 y1 + x2 x3 + y2 y3 = d(M1, M3) + d(M3, M2) 10 Cho E l tập hợp tất điểm đờng tròn C Khoảng cách hai ®iĨm x E vμ y E ®ỵc coi l độ di cung ngắn thuộc C nối liền điểm x v điểm y Tập E có phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời L không gian mêtric Tiên đề đồng v tiên đề đối xứng đợc thỏa mãn l hiển nhiên Tiên đề tam giác đợc chứng minh nhsau : với ba ®iĨm x, y, z C, nÕu z n»m cung ngắn thuộc C nối liền điểm x vμ y th× d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) (1) Còn z không nằm cung ngắn thuộc C nối liền điểm x v y d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) (2) Tõ (1) vμ (2) ta cã d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 12 11 Cho E lμ tËp hỵp tất điểm đờng tròn C, Mo l điểm cố định C Ta định nghĩa khoảng cách d(M, N) hai điểm thuộc đờng tròn ny nhsau : nÕu M Mo vμ N Mo d(M, N) độ di cung nối liền ®iĨm M vμ N kh«ng ®i qua Mo ; nÕu M = Mo N = Mo d(M, N) độ di cung ngắn nối liền hai ®iĨm M vμ N ; nÕu M = N th× d(M, N) = Tập hợp E có phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời Tập E l không gian mêtric tiên đề v hai thỏa mãn, nhng tiên đề tam giác kh«ng tháa m·n ThËt vËy, nÕu M vμ N rÊt gần Mo v hai phía Mo d(M, N) > d(M, Mo) + d(Mo, N) 12 TËp hợp tất hm số liên tục đoạn [a, b] với khoảng cách hai phần tử f v g đợc định nghĩa công thức d(f, g) = b a [f (x) g(x)] dx có phải l không gian mêtric hay không ? Trả lời L không gian mêtric Dễ dng kiểm tra tiên đề đồng v đối xứng Tiên đề tam giác đợc chứng minh nhsau : nhân hai vế bất đẳng thức Côsi-Bunhiacôpxki tích phân bbb 22 aaa f (x)g(x)dx [f (x)] dx [g(x)] dx (đúng với hm số liên tục f(x) v g(x)) với 2, sau cộng vo hai vÕ víi bb 22 aa [f (x)] dx [g(x)] dx rút gọn ta đợc bbb 222 aaa [f (x) g(x)] dx [f (x)] dx [g(x)] dx B©y giê, cho u(x), v(x) vμ w(x) lμ ba hμm sè liªn tơc tïy ý trªn [a, b], thay vo bất đẳng thức với f(x) = u(x) w(x) , g(x) = w(x) v(x) 13 ta sÏ cã d(u, v) d(u, w) + d(w, v) 13 Tập hợp tất đờng thẳng mặt phẳng không qua gốc tọa độ với khoảng cách hai đờng thẳng : l1 : xcost1 + ysint1 p1 = ; l2 : xcost2 + ysint2 p2 = đợc xác định công thức 21 1221 tt c) f(x) tuyến tính đoạn n n n ab a, ; d) n n n ab ,b , (an, bn) l khoảng kề Tính tích phân Lebesgue (L) f (x)dx Giải Hm f đo đợc v bị chặn đoạn [0, 1] nên khả tích Lebesgue đoạn ny Ta có D [0,1]\ D (L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx 315 V× (D) = nªn D (L) f (x)dx 0, cßn n n b [0,1]\ D n a (L) f (x)dx (L) f (x )dx Trên khoảng (an, bn) hm f(x) khả tích Riemann nên nn nn bb aa (L) f (x)dx (R) f (x)dx TÝch ph©n Riemann n n b a (R) f (x)dx b»ng diƯn tÝch tam gi¸c cã chiỊu cao b»ng vμ độ di cạnh đáy l bn an nên n n b nn a (L) f (x)dx (b a ) Do ®ã nn [0,1]\D n 111 (L) f (x)dx (b a ) (1 (D)) 222 V× vËy 1 (L) f (x)dx 59 Đánh số thứ tự khoảng kề tập Cantor theo độ di giảm dần chúng : (a1, b1) = 12 , 33 ; (a2, b2) = 12 , 99 ; (a3, b3) = 78 , 99 ; (a4, b4) = 12 , 27 27 ; (a5, b5) = 78 , 27 27 ; Cho hμm số f(x) xác định đoạn [0, 1] : a) f(x) = điểm tập Cantor D ; 316 b) f(x) = n t¹i trung điểm khoảng kề thứ n ; c) f(x) tuyến tính đoạn n n n ab a, vμ n n n ab ,b TÝnh tÝch ph©n Lebesgue (L) f (x)dx Giải Hm f đo đợc v bị chặn đoạn [0, 1] nên khả tích Lebesgue đoạn ny Ta có D [0,1]\ D (L) f (x)dx (L) Vì (D) = nên f (x)dx (L) f (x)dx D (L) f (x)dx 0, cßn n n b [0,1]\D n a (L) f (x)dx (L) f (x)dx Trên khoảng (an, bn) hm f(x) khả tích Riemann, nên nn nn bb aa (L) f (x)dx (R) f (x)dx TÝch ph©n Riemann n n b a (R) f (x)dx b»ng diƯn tÝch tam gi¸c cã chiỊu cao b»ng n v độ di cạnh đáy l bn an nªn 1 b a 11 (L) f (x)dx , 23 317 2 b a 11 (L) f (x)dx , 2 3 b a 11 (L) f (x)dx , 2.3 4 b a 11 (L) f (x)dx , 5 b a 11 (L) f (x)dx 2.5 Do ®ã 223 [0,1]\ D 11111111 (L) f (x)dx 23233343 V× vËy 223 11111111 (L) f (x)dx 23233343 60 Cho hμm sè nn x điểm thuộc tập Cantor D, f (x) 1 khoảng kề có ®é dμi 23 TÝnh tÝch phân Lebesgue (L) f (x)dx Giải Hm f đo đợc v bị chặn đoạn [0, 1] nên khả tích Lebesgue đoạn ny Ta có n n1 [0, 1] D ( A ) ∪∪ 318 với An l hợp tất khoảng kề hạng n (tức l khoảng kề có độ di n ) Do ®ã n 0Dn1A (L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx Vì (D) = nên D (L) f (x)dx 0, cßn n n1 nnnnn A 1111 (L) f (x)dx (A ) 2 2.3 Suy n 0n1 11 (L) f (x)dx 2.3 61 Hμm sè ®· cho ë bμi tËp 60 có khả tích Riemann hay không ? Nếu có tích phân Riemann ? Giải Hm số xét bi tập 60 khả tích Riemann đoạn [0, 1] bị chặn đoạn ny v tập điểm gián đoạn l tập Cantor có độ đo không Tích phân Riemann hm số ny tích phân Lebesgue tính bi tập 60 V× vËy n 0n1 11 (R ) f (x)dx 2.3 62 Trªn đoạn [0, 1] cho tập không đâu trù mật E có độ đo v giả sử khoảng kề tập hợp ny đợc đánh số thứ tự theo độ di giảm dần chúng (a1, b1), (a2, b2), , (an, bn), Cho hμm sè f(x) xác định đoạn [0, 1] : a) f(x) = điểm tập E ; 319 b) f(x) = trung điểm khoảng (an, bn) ; c) f(x) tuyến tính ®o¹n n n n ab a, vμ n n n ab ,b TÝnh tÝch ph©n Lebesgue (L) f (x)dx Giải Hm f đo đợc v bị chặn đoạn [0, 1] nên khả tích Lebesgue đoạn ny Ta cã n n 1b 0En1a (L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx Vì f = E nên E (L) f (x)dx 0(E) Trên khoảng (an, bn) hm f(x) khả tích Riemann nên nn nn bb nn aa ba (L) f (x)dx (R ) f (x)dx Do ®ã nn 0n1 111 (L) f (x)dx (b a ) (1 (E)) 224 63 H·y tÝnh tÝch phân Lebesgue hm số f(x) đoạn [0, 1], f(x) = 10 điểm tập Cantor D, khoảng kề đồ thị hm số l nửa đờng tròn phía nhận khoảng kề ny lm đờng kính Giải Ký hiệu khoảng kề tập Cantor theo thứ tự có độ di giảm dần l (an, bn) Khi 320 n n 1b 0Dn1a (L) f (x)dx (L) f (x)dx (L) f (x)dx V× (D) = nªn D (L) f (x)dx 10(D) Trên khoảng (an, bn) hm f(x) khả tích Riemann nên nn nn bb aa (L) f (x)dx (R) Tõng tÝch ph©n f (x)dx n n b a (R) f (x)dx diện tích nửa hình tròn t ơng ứng : n n b22 nnnn a b a (b a ) (R ) f (x)dx 228 Nhng ®èi víi tËp Cantor ta cã : b1 a = , b2 a2 = b3 a3 = , b4 a4 = = b7 a7 = 3 , b8 ab = = b15 a15 = , cho nªn 1n1 2n 0n1 21 (R ) f (x)dx 8 56 321 64 H·y tÝnh tÝch ph©n Lebesgue (L) f (x)dx nÕu sin x víi x 0, CD, f (x) cos x víi x , CD, x víi x D, D l tập Cantor, CD l phần bù D lấy đoạn [0, 1] Giải Xét hm sin x víi x 0, , g(x) cos x víi x , Ta cã f ~ g nªn 11 00 (L) f (x)dx (L) g(x)dx = 12 12 (L)sin xdx (L) cosxdx 65 Tại điểm x [0, 1] ta ký hiÖu n(x) lμ hμm sè chữ số thứ n khai triển thị phân cña sè x Chøng minh r»ng : jk (L) (x) (x)dx víi j k, i (L) [ (x)] dx 322 Chøng minh Ta cã : 1(x) = E1 (x) víi E1 = ,1 , 2(x) E2 víi E2 = 113 ,,1 424 ∪ , 3 = E3 (x) víi E3 = 1131 ,, 8482 ∪∪ 537 ,,1 848 ∪ ∪ , Ngoi ra, j(x)k(x) = Ej Ek(x) Trờng hợp đặc biƯt : [i(x)]2 = Ei (x) DƠ dμng thÊy tất tập Ei có độ đo , tập Ej Ek cã ®é ®o b»ng víi j k nªn jkjk (L) (x) (x)dx (E E ) ∩ víi j k, vμ ii (L) [ (x)] dx (E ) 66 Ký hiÖu n(x) l hm số xác định đoạn [0, 1] nhsau : Nếu chữ số thứ n khai triển nhị phân số x l ta đặt n(x) = ; tồn chữ số thứ n khai triển nhị phân số x l ta đặt n(x) = Chứng minh r»ng, hƯ thèng c¸c hμm sè 1, 2, , n, l trực chuẩn đoạn [0, 1], tức lμ : jk (L) (x) (x)dx víi j k, i (L)[ (x)] dx Chøng minh Ta cã : n(x) = 2n(x) (xem bμi tËp 65) nªn 323 11 jkjk 00 (L) (x) (x)dx víi j k vμ (L)[2 (x) 1][2 (x) 1]dx i (L)[ (x)] dx 67 H·y tÝnh tÝch ph©n Lebesgue (L) f (x)dx nÕu sin x víi x D, f (x) víi x D, x D l tập Cantor Giải Hm f(x) t ơng đ ơng với hm (x) = x đoạn [0, 1] nên 111 000 13 (L) f (x)dx (L) (x)dx (L) dx x2 324 Tμi liÖu tham khảo [1] Kolmogorov v Fomin ; Cơ sở lý thuyết hm v giải tích hm, Nh xuất Giáo dục, Hμ Néi, 1982 [2] Hoμng Tơy ; Gi¶i tÝch hiƯn đại, tập 1, Nh xuất Giáo dục, H Nội, 1979 [3] Đo Văn Phong ; Hm số thực, Nh xuất Giáo dục, H Nội, 1976 [4] Gelbaum v Olmsted ; Các phản thí dụ giải tích, Nh xuất Đại học v Trung học chuyên nghiệp, H Néi, 1982 [5] Yu S Otran ; Bμi tËp lý thuyết hm số biến số thực, Nh xuất Đại häc vμ Trung häc chuyªn nghiƯp, Hμ Néi, 1977 [6] Cheliakovsky ; Tun tËp c¸c bμi tËp lý thut hμm sè biÕn sè thùc, Nhμ xuÊt b¶n Nauka, Mockva, 1980 (tiếng Nga) [7] Kirillov - Gvichiani ; Các định lý vμ bμi tËp gi¶i tÝch hμm, Nhμ xuÊt b¶n Mir, Mockva, 1982 (tiếng Pháp) [8] Dieudonné ; Cơ sở giải tích đại, Nh xuất Đại học v Trung häc chuyªn nghiƯp, Hμ Néi, 1973 [9] Sze-Tsen Hu ; Cơ sở giải tích toán học, Nh xuất Đại häc vμ Trung häc chuyªn nghiƯp, Hμ Néi, 1978 [10] Phan Đức Chính ; Giải tích hm, tập 1, Nh xuất Đại học v Trung học chuyên nghiệp, H Nội, 1978 [11] Nguyễn Hong ; Giáo trình không gian mêtric, Nh xuất Giáo dục, H Nội, 1997 [12] L ơng H ; Giáo trình lý thuyết độ đo v tích phân, Nh xuất Giáo dục, H Nội, 1997 [13] Paul R Halmos ; Measure theory, Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin, 1974 [14] Edwin Hewitt and Karl Stromberg ; Real and abstract analysis, SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York, 1965 [15] Ngun ViÕt Phó - Ngun Duy TiÕn ; Cơ sở lý thuyết xác suất, Nh xuất Đại học v Trung học chuyên nghiệp, H Nội, 1983 325 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch ơng I không gian mêtric Đ1 Không gian mêtric Đ2 Điểm tụ v điểm tập hợp Tập đóng v tập mở 19 Đ3 Không gian 47 Đ4 Không gian mêtric đầy đủ 56 Đ5 ánh xạ liên tục 84 Đ6 Không gian compact v tập hợp compact 111 Đ7 Không gian liên thông v tập hợp liên thông 125 Đ8 Tích hai không gian mêtric 133 Đ9 Bổ sung đờng thẳng thực 137 Ch ơng II Độ đo 163 Đ1 Đại số tập hợp 163 Đ2 Độ đo 175 Đ3 Độ đo k 191 Đ4 Hm số đo đợc 204 Ch ơng III tích phân Lebesgue 228 Đ1 Tích phân Lebesgue 228 Đ2 So sánh tích phân Riemann v tích phân Lebesgue 293 Ti liệu tham khảo 310 326 Chịu trách nhiệm xuất : Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc Ngô Trần Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập Vũ D ơng Thụy Chịu trách nhiệm nội dung : Hội đồng khoa học Đại học Huế Biên tập v sửa in : đỗ hữu phú Trình by bìa : bùi quang tuấn Chế : Lan anh bi tập giải tích đại - tập I Mã sè : PTK53b5 In b¶n, khỉ 16 24 cm t¹i GiÊy phÐp xt b¶n sè Cơc Xt b¶n cÊp ngμy In xong vμ nép lu chiểu quý III năm 2005 327 ... đợc thỏa mãn cách hiển nhiên v d(m, n) = 11 1 max , min(m, n) m n 11 1m1n 11 11 max , max , 1m 111 n ll 1 min(m, ) l 1 min(l, n) d(m, l) d(l, n) m, n,... b th× min (1, a + b) min (1, a) + min (1, b) ThËt vËy, nÕu a 1, b th× min (1, a) + min (1, b) = a + b min (1, a + b) ; nÕu a < 1, b > (hoặc a > 1, b < 1) min (1, a) + min (1, b) = a + (hc... minh V× A1 ⊂ A1 ∪ A2 nên A1 A1A2 T ơng tự A2 A1 ∪ A2 nªn A2 ⊂ A1∪A2 Suy A1 ∪ A2 ⊂ A1∪A2 Bao hμm thøc ngỵc lại đợc chứng minh t ơng tự nhđ ã chứng minh bao hμm thøc Fr(A1 ∪ A2) ⊂ FrA1 ∪ FrA2