CHƯƠNG 1:SỐ THỰC CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Chương 3: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 4: HÀM SỐ LIÊN TỤC Chương 5: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Chương 6: CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM Chương 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ Chương 9: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Chương 10. CHUỖI SỐ
TRƢỜNG CAO ĐẲNG BÌNH PHƢỚC ThS.ĐẶNG XUÂN QUỲNH BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Dùng cho ngành Cơng nghệ thơng tin) Bình Phƣớc 2015 Chƣơng SỐ THỰC Bài Số thực 1.1.Tập hợp số thực Tập hợp số hữu tỷ Q tập hợp số có dạng m , m,n Z,n tập n hợp số có dạng số nguyên số thập phân vơ hạn tuần hồn Tập số có dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn số không biểu diễn dạng tỷ số hai số ngun gọi số vơ tỷ Ký hiệu: I Tập hợp số thực, (Ký hiệu: R) tập hợp bao gồm số hữu tỷ vô tỷ Vậy R = Q I 1.2.Quan hệ thứ tự 1.2.1.Định nghĩa quan hệ thứ tự Cho X tập hợp, ký hiệu quan hệ X Ta nói quan hệ thứ tự X thỏa tính chất sau : i.x X, x x ii.x, y, z X, x y y z x z iii.x, y X, x y y x x y Ví dụ Trong tập số thực R, quan hệ thông thường x y, với x, y R quan hệ thứ tự Ví dụ Gọi (X) tập hợp tập X, quan hệ bao hàm A B, A, B (X) quan hệ thứ tự Ví dụ Trong tập N*, quan hệ m chia hết cho n, với m, n N* quan hệ thứ tự 1.2.2.Định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần Tập X với quan hệ thứ tự , ký hiệu (X, ) gọi tập thứ tự Tập thứ tự (X, ) gọi thứ tự tồn phần x, y X x y y x Ví dụ Tập R với quan hệ thơng thường Ví dụ tập thứ tự toàn phần Các tập thứ tự Ví dụ Ví dụ khơng tập thứ tự tồn phần 1.3.Tính chất tập số thực 1.3.1.Tính chất 1: Tập số thực với phép tốn cộng, trừ, nhân, chia thơng thường có tính chất Khép kín với phép toán cộng nhân : x + y R, x.y R, x,y R Giao hoán phép cộng nhân : x + y = y + x, x,y R Phép cộng nhân có tính chất kết hợp: x+ (y + z) = (x + y) + z; (xy)z = x(yz) R có phần tử trung hòa phép cộng phép nhân Phân phối : x(y + z) = xy + xz ; (x + y)z = xz + yz, x,y,z R Tồn phần tử đối phép cộng phần tử nghịch đảo phép nhân x + (-x) = 0, x R ; xx-1=1, x R, x≠0 1.3.2.Tính chất 2: Tập số thực R tập thứ tự toàn phần đóng kín với số thực dương ( tức x,y R+ , x + y R+ xy R+ ) 1.3.3 Tính chất 3: Tính chất trù mật tập số hữu tỷ tập số thực : hai số hữu tỷ tùy ý p < q tồn số thực r thỏa p < r < q 1.3.4 Tính chất 4: (Tính chất Archimede): Với số thực R tồn số nguyên n thỏa : n 0, tồn x A cho (a - ) < x ) a = infA thỏa hai điều kiện : a x, x A có b R, b > a tồn phần tử x A cho x< b ( Tức : a = infA với > 0, tồn x A cho (a + ) > x ) Chứng minh ( Ta cần chứng minh cho trường hợp đầu) (): Hiển nhiên (): Giả sử a = supA hiển nhiên x a, x A Nếu có b R, b < a a cận bé A nên b cận A Do tồn phần tử x A cho b < x (cận phần tử lớn phần tử A, ngược lại, b khơng cận có phần tử A lớn b) Mọi tập số thực khác rỗng bị chặn có cận 2.4.Định nghĩa cận đúng, cận dƣới hàm số Hàm số bị chặn Cho A R, f : A R hàm số xác định A supf(A) gọi cận hàm số f tập A Ký hiệu: supf(x) x A f(x) inff(A) gọi cận hàm số f tập A Ký hiệu : inf x A f bị chặn (dưới) tập A f(A) bị chặn (dưới) f bị chặn tập A f(A) bị chặn Bài Giá trị tuyệt đối (Xem tài giáo trình) [tr 27] Bài Sai số (Xem giáo trình) [tr 31] BÀI TẬP Bài Chứng minh: Bài Chứng minh: 3 Bài Tìm minA, maxA, supA, infA (nếu có) tập sau A (; 3), B (; 3] , C 1, 5, D 1 , 5 , E (1 ; ) Bài Tìm supA infA (nếu có): A 1n (1) ,n * n 2 n Bài Cho A, B hai tập khác rỗng tập số thực R tập bị chặn Chứng minh : sup(AB) = max{supA, supB} Gọi A + B = {x R, (a,b) AB, x = a + b} Chứng minh: sup(A + B) = supA + supB Hƣớng dẫn tập laø số hữu tỷ 2= p ,p,q Z,q p, q hai số q nguyên tố Ta có p2 = 2.q2, p2 số chẵn nên p số chẵn Bài Giả sử Giả sử p = 2k ta q = 2k2 nên q số chẵn Vậy p q số chẵn Điều trái với giả thiết p, q hai số nguyên tố Bài 2.Giả sử q Q q 2(q 1) q2 1 (*) Chứng minh tương tự Bài ta có 2(q 1) số vô tỷ (vì q+1 số hữu tỷ) số vô tỷ ( Q) neân 2(q+1) Do q2 + số hữu tỷ nên từ (*) suy 2(q 1) hay q Do q2 + = Từ q = q2 hay q = (vô lý) Bài Đặt n un 1n (1) ,n N* ta coù: p N* ,u2p 12p (1) u2p (1) n 2p 2 1 Ta coù: p N* ,u2p1 2p11 (1) u2p 2p11 (2) 2p 1 2 2p1 Hơn : u1 (3) Từ (1) , (2) (3) suy ra: un Vậy infA=- supA= 4 Bài Đặt a = supA, b = supB, m = max{supA,supB}= max{ a, b} Ta có Tập cận (A B) X = {x : x a x b } hay X = { x : x m} (*) Ta chứng minh m cận (A B), m cận bé (A B) Thật Lấy y (A B) y A y B Do y a y b y m Vậy m cận (A B) nên m cận bé (A B) đpcm a A, a supA b B, b supB Do a+b A + B, ta có: a + b ( supA + supB) tức (supA + supB) cận (A + B) Ta lại có, > a A : a sup A (a b) A B : a b sup A sup B b B : b sup B Vậy (supA + supB) = sup(A + B) Chƣơng GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀI 1: Định nghĩa giới hạn dãy số thực 1.1.Định nghĩa dãy số thực Một hàm số u : N* R gọi dãy số thực Ký hiệu : u = {un} , un gọi số hạng tổng quát dãy số Có cách cho dãy số : cho cách liệt kê phần tử dãy ; cho công thức số hạng tổng quát; cho công thức truy hồi Ví dụ 1: u1 1;u2 1 1; u : u :1, 12 , 13 , , 1n ; u : u n2n u u u n n n n n 1 n (Dãy số Fibonaci) n1 1.2.Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn Dãy số {un} gọi dãy số tăng nếu: u1u2 {un} gọi tăng ngặt u1 < u2 < Dãy số {un} gọi dãy số giảm nếu: u1≥u2≥… {un} gọi tăng ngặt u1>u2> Dãy số tăng giảm gọi dãy số đơn điệu dãy số tăng ngặt giảm ngặt gọi dãy số đơn điệu ngặt Dãy số {un} gọi bị chặn tồn số M cho un M, n Dãy số con: Cho u=un dãy số thực k : N* N * dãy số n k(n) k n nguyên dương tăng ngặt Dãy số k u v u k : N* N* R gọi dãy dãy số {un} v(n) n(k n ) uk n Ví dụ 2: Dãy số: , , , , dãy số 1,1 ,1 , , , dãy 2n 2n 1 1 1 n dãy số: 1, , , , , , , 1.3.Định nghĩa giới hạn dãy số Dãy số thực {un} gọi có giới hạn L n dần đến vô cực, với số dương cho trước tùy ý, tồn số nguyên dương N cho: n N*, n N un – L Dãy số thực có giới hạn gọi dãy hội tụ, dãy khơng có giới hạn ( giới hạn vơ cùng) gọi dãy số phân kỳ Ví dụ 3: Dãy số un với un 2n 1 có giới hạn L=-2 n n 1 Thật vậy, giả sử > tùy ý cho trước Ta có un L 2n 1 với n> 1 n 1 n 1 Vậy, N số nguyên dương lớn 1 n N un (2) đó: lim 2n 1 2 n 1 Dãy số un với un a,a R, n dãy hội tụ limun=a Dãy số (1) n dãy số khơng có giới hạn (dãy số phân kỳ) 1.4.Các định lí giới hạn dãy số 1.4.1.Định lí Giới hạn dãy số (nếu có) Chứng minh Giả sử dãy số {un} có giới hạn a b Khi đó, > cho trước, tồn số nguyên dương N1 ,N2 cho: n N1 un a vaø n N2 un b Đặt N max N1 ,N2 Khi đó, với n N hai bất đẳng thức thỏa Do đó: a b a un un b 2 (*) Vì (*) với > nhỏ tùy ý nên | a – b | = 0, tức a = b 1.4.2.Định lí Một dãy số thực hội tụ bị chặn Chứng minh: Giả sử lim(un)=L Khi đó: với =1,N N* cho: n N un L 1 Do đó: un | L | 1, n N Đặt : M=max u1 , u2 , , un 1 , L 1 ta un M, n Chú ý: Điều ngược lại khơng Ví dụ : dãy số {(-1)n} bị chặn không hội tụ Nếu dãy {un} hội tụ dãy hội tụ ( giả sử un k dãy {un} kn n, n nên n N un N ) k 1.4.3.Định lí Giả sử: lim(un ) L Nếu L > a tồn số nguyên dương N cho: n≥N=> un>a Nếu L < b tồn số nguyên dương N cho: n≥N=> un0 tồn tại: N N*, n N un L L a n N,un a 1.4.4.Định lí Giả sử: lim(un)=U lim(vn)=V Khi un≤vn U≤V Chứng minh: Giả sử ngược lại, U > V Khi có số K R cho V < K < U Theo định lí 3, tồn số nguyên dương N1,N2sao cho: n N un K vaø n N2 K Đặt N=max{N1N2 với n≥N=> vn Nếu < x1 dx lim a x 1 lim a (1 ).a 1 1 x1 dx lim a x lim a (1 ).a 1 1 a a Vậy tích phân (*) hội tụ > phân kỳ Ý nghĩa hình học tích phân (*) _ Xem giáo trình trang 145 Tính chất Định lí 6.1.1 Nếu tích phân suy rộng f ( x) g ( x)dx a hội tụ f ( x)dx a g ( x)dx a a a f ( x) g ( x)dx hội tụ tích phân suy rộng f ( x)dx g ( x)dx a Nếu tích phân suy rộng f ( x)dx a hội tụ f ( x)dx a hội tụ số thực tích phân a a f ( x)dx f ( x)dx Định lí 6.1.2 ( tích phân suy rộng hàm khơng âm) Giả sử hàm số f : [a, +) R khả tích [a, b], b > a Nếu f(x) 0, x [a, +) tích phân suy rộng f ( x)dx a tồn ( hữu hạn vô hạn) Chứng minh ( Xem giáo trình) Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại Dấu hiệu so sánh Định lí 6.1.3 Giả sử f g hai hàm số xác định [a, +) khả tích đoạn [a, b] với b > a Nếu f(x) g(x) với x [ a, +) Thì a f ( x)dx g ( x)dx a Do 70 Nếu g ( x)dx hội tụ a Nếu f ( x)dx hội tụ a f ( x)dx phân kỳ a g ( x)dx a phân kỳ Chứng minh Với b a, ta có : b lim Do đó, b b b a a f ( x)dx g ( x)dx b f ( x)dx lim g ( x)dx b a a , tức : f ( x)dx a g ( x)dx a Định lí 6.1.4 Giả sử f g hai hàm số xác định [a, +) khả tích đoạn [a, b] với b > a, f(x) g(x) [a, +) f ( x) lim l 0 x g ( x) Nếu f g x ( hay ) tích phân f ( x)dx a g ( x)dx a hội tụ phân kỳ f ( x) lim 0 x g ( x ) Nếu g ( x)dx hội tụ a f ( x) lim x g ( x) Nếu f ( x)dx hội tụ a g ( x)dx a phân kỳ f ( x)dx phân kỳ a Chứng minh Vì f g x nên tồn hàm số h xác định [a, +) cho : (x) = h(x).g(x) với x đủ lớn h(x) x Do đó, tồn số thực a’ a cho h(x) < với x a’ ta có: f(x) 2.g(x) với x a’ Theo định lí 6.1.3 g ta đpcm g ( x)dx a hội tụ dẫn đến Chứng minh (b) (c) tương tự Ví dụ Xét tính hội tụ tích phân sau 71 a f ( x)dx hội tụ Thay đổi vai trò f với I x e dx I Ta có : e 2x x x 1 dx 2x : I x5 x cos x x2 x e , x Ta biết e x dx hội tụ Do I hội tụ Ta có hàm dấu tích phân dương liên tục [1, +), 2x x x dx x 2 x Do x x 1 x x x Vì cos Ta có dx hội tụ nên I hội tụ x dx phân kỳ nên I phân kỳ Nhận xét Dấu hiệu so sánh áp dụng cho trường hợp hàm số dấu tích phân khơng âm với a đủ lớn Tiêu chuẩn Cauchy Định lí 6.1.4 Giả sử f g hai hàm số xác định [a, +) khả tích đoạn f ( x)dx [a, b] với b > a Khi đó, tích phân a tùy ý, tồn số thực b0 a cho: hội tụ với số dương b2 b1, b2 R, b2 b1 b0 f ( x)dx b1 Chứng minh b Gọi F hàm số xác định [a, +) Cauchy tồn giới hạn hàm số, b F (b) f ( x)dx a Theo tiêu chuẩn lim F (b) 0, b0 a b cho: b1, b2 R, b2 b1 b0 |F(b2) – F(b1) | < Suy đpcm Sự hội tụ tuyệt đối Định nghĩa Ta nói tích phân a f ( x)dx hội tụ tuyệt đối tích phân Định lí 6.1.5 Tích phân hội tụ tuyệt đối hội tụ 72 a f ( x) dx hội tụ Chứng minh Ta có cho: f ( x) dx a hội tụ Cho > tùy ý Theo tiêu chuẩn Cauchy, tồn b0 a b2 b2 b1 b0 b2 Do Cauchy f ( x) dx b1 b2 f ( x)dx f ( x) dx b1 b1 với b2 b1 b0 Vậy I Ví dụ Xét tính hội tụ tích phân cos kx x 1, 2 a x x Vì Ta có : x Nếu tích phân a f ( x)dx theo tiêu chuẩn với a, k R, a dx hội tụ nên I hội tụ cos kx dx x2 a f ( x)dx hội tụ a f ( x) dx không hội tụ gọi bán hội tụ a Tiêu chuẩn Dirichlet ( Dấu hiệu đơn điệu bị chặn) Định lí 6.1.6 Giả sử b b F (b) f ( x)dx Hàm số f liên tục [a, +) hàm số tồn M > cho : |F(b)| M, b a, Hàm số g đơn điệu [a, +) a lim g ( x) x I Khi đó, tích phân a f ( x).g ( x)dx hội tụ Dấu hiệu Abel Định lí 6.1.7 Giả sử Hàm số f liên tục [a, +) tích phân f ( x)dx a Hàm số g đơn điệu bị chặn [a, +) Khi đó, 73 hội tụ, bị chặn [a, +), tức I Tích phân f ( x).g ( x)dx hội tụ a Ví dụ Xét hội tụ tích phân I sin x dx xp , p R Dễ thấy, p > I hội tụ tuyệt đối Ta chứng minh rằng, < p I bán hội tụ Thật vậy, b sin xdx cos1 cos b Với b 1, ta có : Hàm số g ( x) 1 lim g ( x) x p giảm [0, +) x Theo dấu hiệu Dirichlet I hội tụ Bây ta chứng minh J = sin x sin x , x Nhưng tích phân phân 1 dx xp 1 sin x dx p x Với p 1, tích phân sin x dx xp phân kỳ Thật vậy, giả sử J hội tụ từ bđt s in x dx p x 1 cos x dx xp hội tụ cos x dx xp , < p hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet nên tích cos x dx xp hội tụ Điều 1 x p dx phân kỳ Nếu p 0, ta chứng minh I phân kỳ Thật vậy, Với p = rõ ràng I = sin xdx phân kỳ sin x f ( x) p x , g(x) = xp, x Khi Với p < 0, giả sử I hội tụ Đặt hàm số g giảm, bị chặn [1, +) 74 f ( x)dx hội tụ Theo dấu hiệu Abel tích phân f ( x).g ( x)dx sin xdx hội tụ Vơ lí ! I1 Xét hội tụ tích phân Fresnel : sin x dx I2 I1 Ta chứng minh cos x dx sin x dx I2 hội tụ, tích phân cos x dx tương tự b2 b sin t 1 sin( x )dx 1 t dt Đặt t = x2 Với b ta có : (1) Theo dấu hiệu Dirichlet, tích phân b sin t sin t sin t dt lim dt dt b t t t 1 hội tụ Do : b sin t lim sin( x )dx dt b t Vậy I1 hội tụ Theo ví dụ Do đó, từ (1) suy : sin t 1 t dt bán hội tụ nên I1 bán hội tụ NX : Cả hai tích phân trên, hàm số dấu tích phân khơng tiến đến x + Tích phân hàm số khơng bị chặn ( tích phân suy rộng loại 2) Định nghĩa Cho f : (a, b) \ {x0} R Ta nói x0 (a, b) cực điểm f ( điểm kỳ dị f ) : lim f ( x) x x0 Hàm số f có cực điểm a b : Cho f : (a, b) R, lim f ( x) x b lim f ( x) x a lim f ( x) x b , khả tích [a, b - ], > đủ bé Tích phân suy b rộng f đoạn [a, b], ký hiệu : I f ( x)dx a b b Ta nói tích phân suy rộng I f ( x)dx a lim hội tụ 0 Ta nói tích phân suy rộng tồn a f ( x )dx a hữu hạn b b I f ( x)dx lim phân kỳ 75 0 a f ( x )dx không tồn Cho f : (a, b) R, lim f ( x) x a , khả tích [a + , b], > đủ bé b Ta nói tích phân suy rộng I f ( x)dx a b lim hội tụ 0 b Ta nói tích phân suy rộng tồn I f ( x)dx a f ( x )dx a hữu hạn b lim phân kỳ 0 f ( x )dx a không tồn Cho f: (a, b) \ {x0} R, x0 (a, b) cực điểm f b Ta nói tích phân suy rộng I f ( x)dx f ( x)dx a f ( x)dx x0 hội tụ b x0 b a a x0 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Khi đó, hội tụ tích phân suy rộng a b x0 Ví dụ Xét hội tụ tích phân suy rộng 1 I x2 1 dx NX : hàm dấu tích phân có cực điểm x0 = 1, x0 = -1 Do 1 1 x2 I a dx dx x 1 1 x2 dx a 1 x2 dx arcsin a lim arcsin x lim arcsin x arcsin a x 1 x 1 , với R NX : hàm dấu tích phân có cực điểm Nếu = I dx lim ln x x 0 x Do I phân kỳ x1 1 I dx lim dx lim c 0 c 0 x x c Nếu 1 Nếu < I = Nếu > I = + Vậy I hội tụ < phân kỳ 76 c1 lim c0 c b dx ( x a) a I NX : Hàm dấu tích phân có cực điểm a lim ln(b a) ln(c a) , b c a 1 I dx lim dx 1 c a ( x a ) ( x a) , a c lim 1 1 (c a ) ca (b a) b Ta có lim ln(c a) c a lim c a nên I = - = 0, 1 1 (c a ) , Vậy I hội tụ < phân kỳ 1 Bài 10: DẤU HIỆU HỘI TỤ TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHƠNG ÂM Định lí 6.2.1 Giả sử f hàm số xác định [a, b], ], với > đủ bé, f(x) với x [a, b) F ( ) b lim f ( x) x b , khả tích [a, b- b f ( x)dx a Đặt : Khi tích phân suy rộng F() bị chặn [a, b) f ( x)dx a hội tụ Kết tương tự xét (a, b] Nhận xét Các dấu hiệu so sánh, dấu hiệu Cauchy, Dirichlet, Abel sử dụng tương tự xét cho tích phân suy rộng loại Ví dụ Xét hội tụ tích phân 1 I dx sin x I 1 Ta có sin x x Do tích phân suy rộng ln x (1 x) dx 1 x Hàm số có cực điểm 77 xdx phân kỳ nên I phân kỳ I Đặt : t = – x, ta âm (0, 1/2] (2 t ) ln(1 t ) dt t , hàm dấu tích phân có cực điểm ln(1 t ) t 1 t 2 t 2 2 (2 t ) t Ta có : t 0+ 2 I Do tích phân t dt hội tụ nên tích phâ I hội tụ Mối liên hệ tích phân suy rộng loại với tích phân suy rộng loại Giả sử hàm số f xác định [a, b] khả tích [a + , b], khơng bị chặn lận cận điểm x = a Ta có b b f ( x)dx lim 0 a f ( x)dx a x a y , ta : Đặt : 1 b a ba f ( x)dx dy f (a ) y y ( y)dy ba Do b f ( x)dx lim 0 a ba ( y)dy ( y)dy ba Chƣơng 10 CHUỖI SỐ BÀI 1: CÁC KHÁI NIỆM Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số thực {un} Ta ký hiệu u n 1 n u1 u un , un R để chuỗi số un gọi số hạng tổng quát chuỗi số Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng phần thứ n chuỗi 78 Nếu lim Sn S hữu hạn ta nói chuỗi số hội tụ S gọi tổng chuỗi n Ta ghi Nếu u n 1 n lim Sn n S khơng tồn ta nói chuỗi số phân kỳ Định lí 1.1 Nếu chuỗi số u n 1 n hội tụ un n Chứng minh Ta có : lim Sn S n R un = Sn – Sn-1 Do lim un lim( Sn Sn1 ) S S n n NX: Định lí cho ta điều kiện để chuỗi hội tụ Do un khơng hội tụ suy chuỗi số phân kỳ Ví dụ Xét chuỗi số : q n chuỗi số cấp số nhân biết n 0 Sn q q q n 1 Ta có : Nếu |q| < qn nên q 1 n, 1 q n 1 q , q Sn 1 q Do chuỗi hội tụ q n 0 n 1 q Nếu |q| > qn nên Sn Do chuỗi phân kỳ Nếu q = Sn = n Do chuỗi phân kỳ Nếu q = -1 ta có chuỗi số chuỗi số phân kỳ (1) n 0 n Do |un| = |(-1)n| = không hội tụ nên Vậy, chuỗi số q Ta có : un hội tụ |q| < phân kỳ |q| n 0 Xét chuỗi số n n(n 1) n 1 1 1 Sn u1 u un n(n 1) n n Do , n 1 79 Vậy lim Sn n nên chuỗi số hội tụ Xét chuỗi số u n 1 n 1 1 ln 1 n n 1 un ln(1 ) ln(n 1) ln(n) n Ta có : Do đó, Sn u1 u un ln(n 1) lim Sn n Suy : Vậy chuỗi số un n 1 = 1 ln 1 n n 1 phân kỳ Ví dụ Dùng định lí 1.1 chứng minh chuỗi số sau phân kỳ 2n u 3n n 1 n n 1 un Ta có : 2n 2n lim un lim 0 n n 3n 3n Vậy chuỗi số phân kỳ u sin n n 1 n n 1 lim u lim sin n Ta có : un sin n n n n không tồn Vậy chuỗi số phân kỳ n u ln n2 n n2 Ta có : un n n n lim un lim n ln n ln n n Vậy chuỗi số phân kỳ Tính chất chuỗi số hội tụ un Giả sử chuỗi số n 1 n 1 chuỗi số hội tụ, nữa: c.u n 1 n c un n 1 (u n 1 Nếu un n 1 chuỗi số hội tụ Khi đó, n 1 n 1 n ) un hội tụ n 1 phân kỳ (u n 1 n ) 80 phân kỳ c.un n 1 (u n 1 n ) Nếu un n 1 phân kỳ chưa có kết luận chuỗi n 1 un (u n 1 n ) (u n 1 n ) Tuy nhiên, phân kỳ Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi không thay đổi ta thêm bớt số hữu hạn số hạng Ví dụ Xét hội tụ tính tổng chuỗi hội tụ : n Ta có : n 0 1 n 0 n 1 5n 5 n 0 n chuỗi hội tụ, chuỗi cấp số nhân với 1 11 1 1 n n n n 1 1 1 n 0 n 0 n 0 1 n n |q| chuỗi phân kỳ ( Nếu D = chưa có kết luận) nn Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số n 1 n ! un 1 (n 1)n 1 n ! n 1 1 lim lim lim lim 1 e n u n ( n 1)! n n n n n n n Ta có : n n Vậy chuỗi cho phân kỳ Định lí 2.2.4 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương u n 1 n giả sử tồn giới hạn 82 lim n un C n Khi đó, Nếu C < chuỗi hội tụ Nếu C > chuỗi phân kỳ ( Nếu C = chưa có kết luận) n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số n1 3n Ta có : n n 1 n 3n Vậy chuỗi cho hội tụ lim n un lim n Định lí 2.2.5 ( Dấu hiệu tích phân) Cho hàm số f dương , liên tục giảm [a, ) Đặt : u1 = f(1), u2 = f(2), , un = f(n), … u Khi đó, chuỗi số n 1 n Ví dụ Chuỗi số tích phân tích phân a n n2 f ( x)dx f ( x) phân kỳ hội tụ phân kỳ x dương, liên tục giảm [2, +), mà xdx phân kỳ Nhận xét n k Chuỗi số n 1 gọi chuỗi Rieman Dùng tiêu chuẩn tích phân ta chứng minh chuỗi Rieman hội tụ với k > phân kỳ với k Trong nhiều trường hợp, người ta thường dùng chuỗi Rieman tiêu chuẩn so sánh để xét hội tụ dãy số khác Chuỗi số đan dấu Định nghĩa Chuỗi số có dạng (1) n 1 n 1 un u1 u u (1) u n Hoặc n 1 n (1) u1 + u - u (2) đó, un > với n, gọi chuỗi số đan dấu Dấu hiệu hội tụ chuỗi số đan dấu Định lí 3.2.1 (Dấu hiệu Laibniz) 83 Nếu dãy số {un} giảm lim un n Ví dụ Xét chuỗi số : (1) n 1 n 1 chuỗi số đan dấu (1) (2) hội tụ 1 1 1 n 2n 2n 1 {un } lim u n dãy số giảm n n Ta có : Do chuỗi số cho hội tụ Chuỗi số hội tụ tuyệt đối Dấu hiệu hội tụ chuỗi Chuỗi số hội tụ tuyệt đối Định nghĩa Chuỗi số un n 1 gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số Định lí 4.1.1 Mọi chuỗi số un n 1 hội tụ tuyệt đối hội tụ Dấu hiệu hội tụ chuỗi số Định lí 4.2.1 ( Dấu hiệu Cauchy) Giả sử u n 1 n chuỗi số có lim n un C n Khi đó, Nếu C < chuỗi hội tụ tuyệt đối Nếu C > chuỗi phân kỳ Định lí 4.2.2 (Dấu hiệu D’Alambert) Giả sử u n 1 n lim chuỗi số có n un 1 D un Khi đó, Nếu D < chuỗi số cho hội tụ Nếu D > chuỗi số cho phân kỳ xn n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số : n 1 n , với x R Ta có x 1 n n Vậy chuỗi hội tụ lim n un lim n 84 u n 1 n hội tụ n 1 n 1 un un ... Đặt n un 1n ( 1) ,n N* ta coù: p N* ,u2p 12 p ( 1) u2p (1) n 2p 2 1 Ta coù: p N* ,u2p 1 2p1 1 ( 1) u2p 2p1 1 (2) 2p 1 2 2p 1 Hơn : u1 (3) Từ (1) , (2) (3)... n! n n 1 1 un +1 Vì 1 1 1 n n 1 1 1 1 1 2! n n! n n (n 1) ! n n 1 1 n n un +1 nhiều un số hạng... n(n 1) n(n 1) (n n 1) 1 un 1 n n n 1. 2 n 1. 2 n n n n 1 1 1 k n 1 1 1 1 1 1 2! n k ! n