bài giảng giải tích b

giới hạnYêu cầu đạt đ-ợc • Nắm đ-ợc khái niệm hàm số, giới hạn hàm số • Vận dụng công thức tính giới hạn cơ bản để tìm giới hạn của hàm số; xét sự liên tục của hàm số... • Nắm đ-ợc khái

Tr-ờng đại học Nha Trang - Khoa Công nghệ Thông tin

Bộ môn Toán

bài giảng giải tích B

Huỳnh Thị Thúy Lan

Chủ Đề 1. giới hạn

Yêu cầu đạt đ-ợc

• Nắm đ-ợc khái niệm hàm số, giới hạn hàm số

• Vận dụng công thức tính giới hạn cơ bản để tìm giới hạn của hàm số; xét sự liên tục của hàm số.

1 Hàm Số

1.1. ánh xạ.

• Khái niệm: Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc sao cho mỗi phần

tử x ∈ X t-ơng ứng với duy nhất một phần tử y ∈ Y, ký hiệu

f : X −→ Y

x 7→ y

hay f : X −→ Y , x 7→ y

Ta nói y là ảnh của x qua f và viết y = f (x)

Cho D ⊆ X, ảnh của D qua ánh xạ f là tập

ii) f là toàn ánh nếu

• Khái niệm: Một hàm số thực một biến (gọi tắt là hàm) xác định trên D ⊆ R là

Ví dụ (Hàm số biểu thị bằng các con số bảng các giá trị): Có một bảng số liệu:

Hãy xác định hàm, biến.

Trong ví dụ sau ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả.

Một container hình chữ nhật, có nắp phía trên, có thể tích: 10m3 Chiều dài của

đáy bằng 2 lần chiều rộng Giá nguyên liệu để làm đáy 10$1m2 ; làm các mặt bên

6$1m2 Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy Hãy biểu thị hàm này bằng một công thức.

Cho hàm số f xác định trong lân cận U (α) của α ∈ R (có thể không xác định tại

α) Ta nói f có giới hạn β ∈ R khi x → α nếu

Cho hàm số f xác định trong lân cận U (α ) của α ∈ R (có thể không xác định tại

α) Ta nói f có giới hạn trái β ∈ R khi x → α nếu

∀ xn∈ U (α−)\{α} : xn→ α ⇒ f (xn) → β, n → ∞

Cho hàm số f xác định trong lân cận U (α+) của α ∈ R (có thể không xác định tại

α) Ta nói f có giới hạn phải β ∈ R khi x → α nếu

1 sin 1

• Nếu hàm sơ cấp f (x) không xác định tại a, là một trong các dạng vô định:

• lim

x→α

f (x) g(x) =

Nh- vËy, ta cã sin x; tan x; ln(1 + x); ex− 1 ∼ x, x → 0

• NÕu f, g lµ tæng cña nhiÒu VCB th×

lim

x→α

f (x) g(x) = limx→α

VCB cÊp thÊp nhÊt VCB cÊp thÊp nhÊt d) Quy t¾c L Hospital

• NÕu lim x→α

f (x) g(x) (

= lim

x→0 +

(1x) (−x12 ) = − limx→0 +x = 0

• NÕu 6 ∃ lim x→α

f0(x)

g0(x) ,ch-a KL lim x→α

f (x) g(x).

VÝ dô 9: T×m I = limx→0

sin(4x) ln(1 + 2x) C¸ch 1, dïng c«ng thøc

I = lim

x→0

2x sin(4x) 4x 2x ln(1 + 2x).4x = limx→0

4x 2x = 2

C¸ch 2, dïng t-¬ng ®-¬ng

I = lim

x→0

4x 2x = 2

VËy hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x = 1.

VÝ dô 11: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè:

∀a, hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x = 1

Víi a = −1, hµm sè liªn tôc ph¶i t¹i a

Víi a = −3, hµm sè liªn tôc tr¸i t¹i a

− 1  x2 +1 x

− 1) 

1

2 e

x x+1

−1

2 e

x x+1

− 1

• Nắm đ-ợc khái niệm đạo hàm.

• Vận dụng công thức tính đạo hàm để tính một số ứng dụng của nó.

∆x thì hàm f đ-ợc gọi là có đạo hàm tại điểm x0 và giới hạn đó đ-ợc gọi là

đạo hàm tại điểm x0 của f (x), ký hiệu:

Định lý: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 ⇔ f (x) có đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải tại điểm x0 và f0(x+0) = f0(x−0)

• Đạo hàm trên khoảng (a, b): Hàm số y = f (x) đ-ợc gọi là có đạo hàm trên (a, b)

nếu f (x) có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b).

• Đạo hàm trên khoảng [a, b]: Hàm số y = f (x) đ-ợc gọi là có đạo hàm trên [a, b]

nếu f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b)và có đạo hàm phải tại a, đạo hàm trái tại b.

• Đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1,

f(n)(x) = [f(n−1)(x)]0

Bài toán 1 Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại

điểm x0

Có tồn tại đạo hàm của f tại x = 0

Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số:

f (x) =

(

1 − x , khi − ∞ < x < 1 (1 − x)(2 − x) , khi 1 6 x < +∞

Giải f0(x) =

(

−1 , khi − ∞ < x < 1 2x − 3 , khi 1 < x < +∞

Xét đạo hàm bên trái, phải tại điểm x = 1 Theo định nghĩa ta có

Vậy f không có đạo hàm tại x = 1 và f0(1) = −1

Bài tập: Hàm y = f (x) = |x3| có tồn tại đạo hàm tại x = 0

Bài toán 2 Sử dụng các đạo hàm cơ bản và các quy tắc để tính đạo hàm'

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bµi to¸n 3 T×m vi ph©n cÊp 1, cÊp 2 cña hµm sè

i) T×m vi ph©n cÊp 1 cña c¸c hµm sau:

• Tìm CĐ, CT, GTLN, GTNN, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, Khai triển Maclaurin.

• Tìm giới hạn (quy tắc L'hospital)

Bài tập: 1- 12 (Sách Giáo trình).

Chủ Đề 3. phép tính tích phân hàm một biến

Yêu cầu đạt đ-ợc

• Nắm đ-ợc khái niệm nguyên hàm, tích phân, tích phân suy rộng.

• Tìm đ-ợc nguyên hàm, tích phân; xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng.

• Vận dụng để tính một số ứng dụng đơn giản: V, S, độ dài đ-ờng cong.

• Mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng F (x) + C

Tích phân bất định: Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) Khi đó họ hàm

Nếu tồn tại giới hạn I = limλ→0In( λ = max ∆xi ) thì I đ-ợc gọi là tích phân xác

định của f (x) trên [a, b]và ký hiệu: R b

Cách T- Duy Để Giải Một Bài Toán Tìm Nguyên Hàm

• Nều bài toán có dạng: R Pn(x)

Qm(x) dx(n < m), dùng ph-ơng pháp hệ số bất định, hoặc thêm bớt để đ-a về tổng các tích phân đã có công thức tính.

• Nều bài toán có dạng: R

đa thức (LG hoặc hàm mũ hoặc hàm loga)dx, ta dùng ph-ơng pháp từng phần.

• Nếu không phải 2 dạng trên, ta dùng ph-ơng pháp đổi biến tr-ớc Sau đó, nếu không giải quyết đ-ợc ta thì ta dùng từng phần.

dx

1 + x2 + lim

t→+∞

Z t 0

f (x)dx = lim

t→b −

Z t a

|f (x)|dx

• Tính thể tích vật thể tròn xoay:

V = π

Z b a

f2(x)dx

• Tính độ dài đ-ờng cong :

d =

Z b a

p

1 + f02(x)dx

Chủ Đề 4. hàm nhiều biến

Yêu cầu đạt đ-ợc

• Nắm đ-ợc khái niệm đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm 2 biến.

• Biểu thức vi phân cấp 1, cấp 2 của hàm 2 biến.

• Tính đ-ợc một số ứng dụng của hàm 2 biến: Cực trị tự do; Cực trị có điều kiện; GTLN- GTNN trên miền đóng.

1 đạo hàm riêng và vi phân

1.1 Hàm hai biến

Cho D ⊂ R2, ánh xạ f : D −→ R

M (x, y) 7−→ z = f (M ) = f (x, y)

đ-ợc gọi là hàm số hai biến xác định trên miền D

Ví dụ: Cho hàm hai biến

z = f (x, y) =p

4 − x2 − y2, có miền xác định D = {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 6 4}

1.2 Đạo hàm riêng và Vi phân cấp 1

• Đạo hàm riêng cấp 1 Cho hàm f (x, y) xác định trong một lân cận của

(x0, y0 ) Nếu tồn tại giới hạn

ii)fx(x0, y0 )là tốc độ thay đổi củaf theo biếnxtại điểm(x0, y0 ); cònfx(x0, y0 )

là tốc độ thay đổi của f theo biến x tại điểm (x0, y0 )

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm riêng của các hàm:

• Vi phân toàn phần (Biểu thức vi phân cấp 1)

Biểu thức fx0(x0, y0)∆x + fy0(x0, y0)∆y đ-ợc gọi là vi phân (hay vi phân toànphần) của f tại (x0, y0 ), ký hiệu là df (x0, y0 ) hay df = fx0dx + fy0dy

1.3 Đạo hàm riêng và Vi phân cấp 2

• Đạo hàm riêng cấp 2 Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1(nếutồn tại) đ-ợc gọi là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f Ta có 4 đạo hàm riêngcấp 2 đ-ợc ký hiệu:

VÝ dô 3 Cho f (x, y) = sin x sin y T×m d2f.

Ta cã, fx0 = cos x sin y ; fy0 = sin x cos y

⇒ fxx00 = − sin x sin y ; fxy00 = cos x cos y ; fyy00 = − sin x sin y

VËy d2f = − sin x sin ydx2+ 2 cos x cos ydxdy − sin x sin ydy2

Cho hµm z = f (x, y), h·y t×m cùc trÞ.

• T×m ®iÓm tíi h¹n b»ng c¸ch gi¶i hÖ:

• ∆ > 0 thì f không đạt cực trị tại M1(x1, y1 )

• ∆ < 0 thì f đạt cực trị tại M1(x1, y1 )

+ Nếu A> 0 thì f đạt cực tiểu tại M1(x1, y1 )

+ Nếu A< 0 thì f đạt cực đại tại M1(x1, y1 )

2.4 Thuật toán tìm cực trị có điều kiện

Cho hàm z = f (x, y), hãy tìm cực trị với điều kiện, ϕ(x, y) = 0

Nếu dL2(M1) > 0, ta kết luận M1 đạt cực tiểu có điều kiện

Nếu dL2(M1) < 0, ta kết luận M1 đạt cực đại có điều kiện

Nếu dL2(M1 ) = 0, ta kết luận M1 không đạt cực trị có điều kiện

T-ơng tự ta kết luận cho điểm M2, ,

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm, z = 6 − 4x − 3y với x2+ y2 = 1

Giải: Lập hàm: L(x, y, λ) = 6 − 4x − 3y + λ(x2 + y2 − 1)

• B1: Tìm điểm tới hạn Giải hệ

2) < 0, ∀dx 6= 0 Vậy M2 là điểm cực đại.

Nếu từ điều kiện có thể rút x theo y hoặc y theo x, bài toán trở về tìm cựctrị của hàm một biến

Ví dụ: Tìm cực trị hàm z = x3 + 2xy2 với điều kiện x2+ y2 = 6

Giải. Từ điều kiện x2+ y2 = 6 ⇒ y2 = 6 − x2

Vậy hàm đạt cực tiểu tại (-2, -16) và đạt cự đại tại (2, 16)

2.5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D đóng và giới nội

• Tìm điểm tới hạn trong D (D◦) bằng cách giải hệ:

(

fx0 = 0

f0

y = 0 ⇒ M1(x1, y1), M2(x2, y2)

• T×m ®iÓm tíi h¹n trªn biªn D (∂D): rót x theo y hoÆc y theo x, bµi to¸ntrë vÒ t×m GTLN, NN cña hµm mét biÕn.

• Giải đ-ợc ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp 1.

• Giải đ-ợc ph-ơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

1 Các Khái Niệm Chung

• Ph-ơng trình vi phân là ph-ơng trình có chứa biến độc lập x, hàmch-a biết y = y(x) và các đạo hàm của nó

• Nghiệm của ph-ơng trình vi phân là mọi hàm y = y(x) thỏa mãnph-ơng trình đó.

• Bài toán Cauchy của ph-ơng trình vi phân cấp n là bài toán tìmnghiệm của ph-ơng trình đó thỏa mãn n điều kiện cho tr-ớc

y(x0) = y0; y0(x0) = y1; ; y(n−1)(x0) = yn−1

trong đó x0, y0, y1, , yn−1 là các giá trị cho tr-ớc

Ng-ời ta đã chứng minh đ-ợc bài toán Cauchy là tồn tại và duy nhất nghiệm.(tham khảo giáo trình)

• Nghiệm tổng quát của một ph-ơng trình vi phân cấp n là hàm

y = y(x, C1, C2, , Cn ) thỏa ph-ơng trình vi phân đã cho

Nếu nghiệm tổng quát đ-ợc cho d-ới dạng ẩn ϕ(x, y, C1, C2, , Cn ) = 0 thì nó

Ví dụ. Giải ph-ơng trinh vi phân y0= cosx, với điều kiện ban đầu y(π2) = 2

Nghiệm tổng quát: y = sinx + C

Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát, ta đ-ợc

Gi¶i. LÊy tÝch ph©n hai vÕ ta ®-îc tÝch ph©n tæng qu¸t,

• Víi y 6= 0, ta chia hai vÕ cho y,

⇔ ln|y| = −x2+ ln|C| = lne−x2 + ln|C| = ln|Ce−x2|

VËy nghiÖm TQ: y = Ce−x2, víi C lµ h»ng sè

• T×m nghiÖm cña (1) d-íi d¹ng

y = C(x)y0(x) ⇒ y0= C0(x)y0(x) + C(x)y00(x)

Thay vµo (1) y0+ p(x)y = f (x) ta ®-îc,

[C0(x)y0(x) + C(x)y00(x)] + p(x)C(x)y0(x) = f (x)

⇔ C0(x)y0(x) + C(x)[y00(x) + p(x)y0(x)] = f (x)

1 + x2

√

1 + x2dx =

Z 1

√

1 + 0 2] + C]√ 1

1 + 0 2 = 0 ⇒ C = 0.VËy NR, y = [ln(x +√1 + x2 ] √ 1

VÝ dô. Gi¶i PTVP: y00= sinx

p(x) = 1

x ⇒ e

− R p(x)dx

x2dx = x

Z 1

C¸ch gi¶i (Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè)

y = (C1cosx + C2sinx)e0x= (C1cosx + C2sinx)

+ Gi¶i ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt.

NTQ (1): y = C1ex+ C2e−4x −x

4 −

3 16

VÝ dô 2 y00− y0= (x + 1)ex (1)

Gi¶i. PTTNTU: y00− y0= 0 (2)

PTDT: k2− k = 0 (3) ⇔ k = 0, k = 1

Đồng nhất hai vế, ta đ-ợc

(

6A − 10B = 1 2B = 0

dyn

dx = fn(x, y1, , yn)

• ý nghĩa cơ học: Ta coi t là biến độc lập; x1, , xn là tọa độ của một điểmtrong không gian pha Rn Khi đó, hệ ph-ơng trình vi phân cấp một là hệph-ơng trình chuyển động của một điểm trong không gian pha Rn mà

• C¸ch gi¶i: §-a hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp mét vÒ mét ph-¬ng tr×nh viph©n cÊp cao.

2

0

dx xln2x ,

Bài 7. Một nhà nuôi tôm nọ dự định dùng 2 loại thức ăn tăng trọng nuôitôm để trong một năm sản l-ợng tôm hùm đạt ít nhất 140 tấn và tôm sú 9

tấn Biết rằng nếu dùng một tấn thức ăn loại 1 giá 4 triệu đồng, sau 1năm sản l-ợng tôm hùm đạt đ-ợc 20 tấn, tôm sú 0, 6 tấn Nếu dùng một tấnthức ăn loại 2 giá 3 triệu đồng, sau 1 năm sản l-ợng tôm hùm đạt 10 tấn,tôm sú 1, 5 tấn Hỏi nhà nuôi tôm phải mua bao nhiêu tấn thức ăn mỗi loại

để chi phí mua thức ăn là ít nhất Biết rằng cơ sở cung cấp thức ăn chỉ cóthể cung cấp không quá 10 tấn thức ăn loại 1 và không quá 9 tấn thức ăn loại 2

Bài 8. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm với giá bán trênthị tr-ờng lần l-ợt P1, P2 Biết hàm cầu của hai sản phẩm này và hàm tổng chiphí là:

a) Tìm mức sản l-ợng Q1, Q2 để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

b) Tìm mức sản l-ợng của mỗi loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối

đa với điều kiện hạn chế về chi phí là C = 10000

HD. Lập hàm doanh thu Hàm lợi nhuận = doanh thu - hàm chi phi

Bài 9. Một xí nghiệp xản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên

2 thị tr-ờng tách biệt Biết hàm cầu trên từng thị tr-ờng và hàm tổng chi phí:

HD. Lập hàm doanh thu Hàm lợi nhuận

Bài 10. Một ng-ời dùng số tiền 4.000.0000đ để mua 2 loại hàng hóa với giá

P1 = 500.000, P2 = 400.000.

a) Tìm số l-ợng 2 loại hàng trênx, y ng-ời đó sẽ mua để có già trị sử dụng lớnnhất Biết hàm hữu dụng của 2 mặt hàng trên là: U (x, y) = (x + 4)(y + 15).

b) Còng c©u hoi trªn nÕu: U (x, y) =p