bài giảng giải tích b

Tr-ờng đại học Nha Trang - Khoa Công nghệ Thông tin Bộ môn Toán bài giảng giải tích B Huỳnh Thị Thúy Lan 1 Chủ Đề 1. giới hạn Yêu cầu đạt đ-ợc Nắm đ-ợc khái niệm hàm số, giới hạn hàm số Vận dụng công thức tính giới hạn cơ bản để tìm giới hạn của hàm số; xét sự liên tục của hàm số. 1. Hàm Số 1.1. ánh xạ. Khái niệm: Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc sao cho mỗi phần tử x X t-ơng ứng với duy nhất một phần tử y Y , ký hiệu f : X Y x y hay f : X Y,x y Ta nói y là ảnh của x qua f và viết y = f(x) Cho D X, ảnh của D qua ánh xạ f là tập f(D):={f(x) Y/x D} Các loại ánh xạ: Cho ánh xạ f : X Y,ta nói, i) f là đơn ánh nếu x 1 ,x 2 X : x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Trong thực hành, để chứng minh đơn ánh: x 1 ,x 2 X : f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2 Ví dụ 1: CMR, f : R\{1}R ,x y = f(x)= 2x x 1 là đơn ánh. Thật vây, x 1 ,x 2 R\{1} : f(x 1 )=f(x 2 ) 2x 1 x 1 1 = 2x 2 x 2 1 2x 1 (x 2 1)=2x 2 (x 1 1) 2x 1 = 2x 2 x 1 = x 2 2 ii) f là toàn ánh nếu y Y, x X : y = f(x), hay f(X)=Y Ví dụ 2: CMR, f : R R + ,x y = f(x)=x 2 là toàn ánh. Thật vây, y R + , x = y x = y R : y = x 2 = f(x) iii) f là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh hay y Y,! x X : y = f(x) Ví dụ 3: CMR, f : R R ,x y = f(x)=3x +5 là song ánh. Thật vây, y R, ! x = y 5 3 R : y =3x +5=f(x) 1.2. Hàm số. Khái niệm: Một hàm số thực một biến (gọi tắt là hàm) xác định trên D R là ánh xạ f : D R ,x y = f(x) Trong đó D đ-ợc gọi là miền xác định, f(D) là miền giá trị, x là biến độc lập (biến số) y là biến phụ thuộc (hay hàm số). Ví dụ 4 (Hàm số biểu thị bằng một công thức đại số) y 1 = f(x)=|x| = x, x 0 x, x < 0 y 2 = f(x)=x [x]; y 3 = f(x)= 1 x 2 MXĐ: D 1 = R; MGT: T 1 = f(D 1 )= R + D 2 = R,T 2 = f(D 2 )= R ; D 3 =[1, 1] ,T 3 = f(D 3 )=[0, 1] Ví dụ (Hàm số biểu thị bằng lời): Diện tích S của một đ-ờng tròn thì phụ thuộc vào r. Quy tắc kết nối giữa S và r cho bởi ph-ơng trình: S = r 2 . Ta nói S là hàm của r, S(r ) . 3 Ví dụ (Hàm số biểu thị bằng các con số bảng các giá trị): Có một bảng số liệu: Năm: 1900 1910 1920 Dân số: 1650 1750 1800. Hãy xác định hàm, biến. Trong ví dụ sau ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả. Một container hình chữ nhật, có nắp phía trên, có thể tích: 10m 3 . Chiều dài của đáy bằng 2 lần chiều rộng. Giá nguyên liệu để làm đáy 10$1m 2 ; làm các mặt bên 6$1m 2 . Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy. Hãy biểu thị hàm này bằng một công thức. Hàm ng-ợc: Nếu hàm f : D R là song ánh thì nó có hàm ng-ợc f 1 : R D, đ-ợc xác định x = f 1 (y). Ví dụ 5: Từ ví dụ 3, ta chứng minh đ-ợc hàm, f : R R ,x y = f(x)=3x +5 là song ánh. Nh- vậy, sẽ tồn tại hàm ng-ợc: f 1 : R R , đ-ợc xác định, x = f 1 (y)= y 5 3 Các phép toán về hàm số: Cho các hàm f,g, tổng, hiệu, tích, th-ơng và hợp đ-ợc xác định: i) (f g)(x):=f(x) g(x) ii) (fg)(x):=f(x).g( x) iii) ( f g )(x):= f(x) g(x) iv) (g f)(x):=g(f(x)) Ví dụ 6: Cho f(x)=x 2 +1,g(x)= 1 2x 2 Ta có, (g f)(x)=g(f( x)) = g(x 2 +1)= 1 2(x 2 +1) 2 Hàm sơ cấp: Đó là các hàm đ-ợc thành lập từ các hàm cơ bản (đã học từ lớp d-ới) bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp (xem phụ lục sau sách) 4 Ví dụ 7: y = x 2 e x ; y = sin(ln x 2 +3 x 4 +1 ) là hàm sơ cấp y 1 = x, x 0 x, x < 0 ; y 2 = x [x] không sơ cấp 2 Giới Hạn Của Hàm Số 2.1. Các khái niệm: Lân cận Lân cận ( - lân cận) của a R là tập U(a)=U(a, ):=(a , a + ) Lân cận ( - lân cận) trái của a R là tập U(a )=U(a ,):=(a , a) Lân cận ( - lân cận) phải của a R là tập U(a + )=U(a + ,):=(a, a + ) Giới hạn của hàm số Cho hàm số f xác định trong lân cận U() của R (có thể không xác định tại ). Ta nói f có giới hạn R khi x nếu x n U()\{} : x n f(x n ) , n Ký hiệu lim x f(x)= Từ định nghĩa ta suy ra, để chứng minh một hàm không có giới hạn ta chỉ ra 2 dãy cùng dần về một giá trị, nh-ng các dãy giá trị t-ơng ứng dần về 2 giá trị khác nhau. Ví dụ: Hàm y = f(x)=sinx, x không có giới hạn. Ta lấy x 1 n =2n 0,n , x 2 n =2n + /2 0,n . Nh-ng f(x 1 n ) 0 và f(x 2 n ) 1. Xét hàm số: H(t)= 1,t 0 0,t<0 . Hàm H(t) gọi là hàm Heaviside, tên của kỹ s- điện Oliver Heaviside (1850 - 1925), dùng để mô tả dòng điện bị ngắt tại t =0. Hãy tìm giới hạn của hàm H( t) khi t dần về 0. Giới hạn một phía của hàm số 5 Cho hàm số f xác định trong lân cận U( ) của R (có thể không xác định tại ). Ta nói f có giới hạn trái R khi x nếu x n U( )\{} : x n f(x n ) , n Cho hàm số f xác định trong lân cận U( + ) của R (có thể không xác định tại ). Ta nói f có giới hạn phải R khi x nếu x n U( + )\{} : x n f(x n ) , n Ví dụ 8: Cho f(x)= 1 x . Tìm lim x0 f(x) Cho f(x)= 2x +1,x 0 1 x ,x<0 . Tìm lim x0 f(x) lim x0 + f(x) = lim x0 + 2x +1=1 lim x0 f(x) = lim x0 1 x = 2.2. Cách tìm giới hạn Nếu hàm sơ cấp f(x) xác định trong U(a) thì lim xa f(x)=f(a) lim x1 2x 2 3x sin x = 1 sin 1 Nếu hàm sơ cấp f(x) không xác định tại a, là một trong các dạng vô định: 0 0 ; ;0.; ;1 ;0 0 ; 0 Khi đó, để tính giới hạn, ta dùng Các phép toán về giới hạn Các giới hạn đặc biệt VCB(VCL) t-ơng đ-ơng Quy tắc L' Hospital a) Các phép toán về giới hạn lim x [f(x) g(x)] = lim x f(x) lim x g(x) lim x Cf(x)=C lim x f(x) ,C là hằng số lim x [f(x).g(x)] = lim x f(x). lim x g(x) 6 lim x f(x) g(x) = lim x f(x) lim x g(x) . b) Các giới hạn đặc biệt i) lim x0 (1 + x) 1 x = e ii) lim x0 sin x x =1 iii) lim x0 ln(1 + x) x =1 iv) lim x0 e x 1 x =1 c) VCB(VCL) t-ơng đ-ơng Nếu lim x f(x)=0, ta nói f là VCB f,g là 2 VCB t-ơng đ-ơng nếu lim x f(x) g(x) =1, ký hiệu f g Nh- vậy, ta có sin x; tan x; ln(1 + x); e x 1 x,x 0 Nếu f,g là tổng của nhiều VCB thì lim x f(x) g(x) = lim x VCB cấp thấp nhất VCB cấp thấp nhất d) Quy tắc L Hospital Nếu lim x f(x) g(x) ( 0 0 ; )=lim x f (x) g (x) . Ví dụ: Tìm I = lim x0 + x x (0 0 ) ln I = x lnx(0.) = lim x0 + ln x 1 x = lim x0 + ( 1 x ) ( 1 x 2 ) = lim x0 + x =0 Nếu lim x f (x) g (x) , ch-a KL lim x f(x) g(x) . Ví dụ 9:Tìm I = lim x0 sin(4x) ln(1 + 2x) . Cách 1, dùng công thức I = lim x0 2x sin(4 x)4x 2x ln(1 + 2x).4x = lim x0 4x 2x =2 7 Cách 2, dùng t-ơng đ-ơng I = lim x0 4x 2x =2 Cách 3, dùng quy tắc I = lim x0 (sin(4x)) (ln(1 + 2x)) = lim x0 4 cos(4x) ( 2 1+2x ) Tìm J = lim x0 1 cos(4x)+x + tan 2 x 5x +3x 4 = lim x0 x 5x = 1 5 (1 cos(4x)=2sin 2 (2x) (2 x) 2 ). Tìm H = lim x0 x sin x x tan x = lim x0 (x sin x) (x tan x) . 2.3. Hàm số liên tục Cho hàm số f xác định trong lân cận U(a).Ta nói f liên tục tại a nếu lim xa f(x)=f(a) . Cho hàm số f xác định trong lân cận U(a ). Ta nói f liên tục trái tại a nếu lim xa f(x)=f(a) . Cho hàm số f xác định trong lân cận U(a + ). Ta nói f liên tục phải tại a nếu lim xa + f(x)=f(a) Nhận xét: f liên tục tại a khi và chỉ khi lim xa f(x) = lim xa + f(x)=f(a) Ví dụ 10: Xét tính liên tục của hàm số: f(x)= sin(x 1) x 1 ,x=1 0,x=1 Giải: x =1,f(x)= sin(x 1) x 1 , là HSC nên liên tục. Xét tại x =1, lim x1 f(x) = lim x1 sin(x 1) x 1 =1 f(1) = 0 8 VËy hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x =1. VÝ dô 11: XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè: f(x)=    sin(x −1) |x −1| ,x=1 ax +2,x=1 =            sin(x −1) x −1 ,x>1 − sin(x −1) x −1 ,x<1 ax +2,x=1 •∀x>1,f(x)= sin(x − 1) x − 1 , lµ HSC nªn liªn tôc. •∀x<1,f(x)=− sin(x −1) x −1 , lµ HSC nªn liªn tôc. • XÐt t¹i x =1, • lim x→1 + f(x) = lim x→1 + sin(x − 1) x − 1 =1 • lim x→1 − f(x) = lim x→1 − − sin(x −1) x −1 = −1 • f(1) = a +2 KL: ∀a, hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x =1 Víi a = −1, hµm sè liªn tôc ph¶i t¹i a Víi a = −3, hµm sè liªn tôc tr¸i t¹i a Bµi 12c/20: C = lim x→0  2e x x+1 − 1  x 2 +1 x = lim x→0  1+2e x x+1 −1 − 1  x 2 +1 x = lim x→0  1+2(e x x+1 − 1)  x 2 +1 x = lim x→0  1+2(e x x+1 − 1)  1 2  e x x+1 −1  .2  e x x+1 −1  . x 2 +1 x = e lim x→0 2  e x x+1 −1  . x 2 +1 x = e lim x→0 2  e x x+1 − 1  . x 2 +1 x . x x+1 x x+1 = e lim x→0 2 x 2 +1 x +1 = e 2 C¸ch 2: ln C = lim x→0 x 2 +1 x . ln  2e x x+1 −1  9 Bài 15b/20: B = lim x1 sin e x1 1 ln x = lim x1 e x1 1 ln(1 + x 1) = lim x1 e x1 1 x 1 =1 Bài 15c/20 : C = lim x1 1 cos 2x + tan 2 x x sin x = lim x1 2(x) 2 + x 2 x 2 =3 Bài Tập: 11, 12, 15, 16 ( bỏ a), 17 (Giáo trình). Chủ Đề 2. phép tính vi phân hàm một biến Yêu cầu đạt đ-ợc Nắm đ-ợc khái niệm đạo hàm. Vận dụng công thức tính đạo hàm để tính một số ứng dụng của nó. 1. đạo hàm và vi phân của hàm số 1.1. đạo hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận nào đó của x 0 R. Hiệu số x = x x 0 đ-ợc gọi là số gia của đối số x tại điểm x 0 . Hiệu số y = f(x 0 +x) f(x 0 )đ-ợc gọi là số gia của hàm số tại điểm x 0 . Nếu tồn tại giới hạn lim x0 y x thì hàm f đ-ợc gọi là có đạo hàm tại điểm x 0 và giới hạn đó đ-ợc gọi là đạo hàm tại điểm x 0 của f(x), ký hiệu: f (x 0 ) = lim x0 y x = lim x0 f(x 0 +x) f(x 0 ) x = lim xx 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Các giới hạn: f (x + 0 ) = lim x0 y x = lim x0 + f(x 0 +x) f(x 0 ) x = lim xx + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = lim x0 y x = lim x0 f(x 0 +x) f(x 0 ) x = lim xx 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 t-ơng ứng đ-ợc gọi là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của hàm số f(x) tại điểm x 0 . 10 [...]... trên [a, b] Khi đó F (b) F (a) 1.4 Các ph-ơng pháp tính tích < /b> phân Ph-ơng pháp đổi biến 1 x3 (1 2x4 )4dx 2 3 dx x ln x ex dx ex + ex Ph-ơng pháp từng phần 4 ln2 xdx 5 ex cos xdx 6 7 x+5 dx x2 2x + 5 dx dx 2 + 1)2 (x 16 b a f (x)dx = Cách T- Duy Để Giải < /b> Một B i < /b> Toán Tìm Nguyên Hàm Pn (x) dx(n < m), dùng ph-ơng pháp hệ số b t định, Qm (x) Nều b i < /b> toán có dạng: hoặc thêm b t để đ-a về tổng các tích < /b> phân... Tách Biến g(y)dy = f (x)dx Cách giải < /b> Lấy tích < /b> phân hai vế Ví dụ Giải < /b> PTVP: 1 2y dy = dx 2 1+y 1 + x2 28 Giải < /b> Lấy tích < /b> phân hai vế ta đ-ợc tích < /b> phân tổng quát, ln|1 + y 2| =arctan x + C Nhận xét Ph-ơng trình vi phân dạng M1 (x)N1 (y)dx + M1 (x)N2 (y)dy = 0 có thể đ-a về dạng tách biến b ng cách chia hai vế cho M1 (x)N2(y) = 0 hoặc M2 (x)N1 (y) Ví dụ( 1b) Giải < /b> PTVP: x2(1 y)y + y 2 (1 + x) = 0 (1) Giải.< /b> (1)... một số ứng dụng của phép tính tích < /b> phân Tính diện tích < /b> hình phẳng: b S= |f (x)|dx a Tính thể tích < /b> vật thể tròn xoay: b f 2 (x)dx V = a Tính độ dài đ-ờng cong : b 1 + f 2 (x)dx d= a Chủ Đề 4 hàm nhiều biến 18 Yêu cầu đạt đ-ợc Nắm đ-ợc khái niệm đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm 2 biến Biểu thức vi phân cấp 1, cấp 2 của hàm 2 biến Tính đ-ợc một số ứng dụng của hàm 2 biến: Cực trị tự do; Cực trị... nguyên hàm của f (x) đều có dạng F (x) + C Tích < /b> phân b t định: Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) Khi đó họ hàm F (x) + C đ-ợc gọi là tích < /b> phân b t định của f (x), ký hiệu f (x)dx = F (x) + C 1.2 B ng tích < /b> phân các hàm số thông dụng 1 dx = x + C 2 3 ex dx = ex + C 4 xm+1 +C m+1 1 eax +b dx = eax +b + C a xm dx = 15 5 dx = ln |x| + C x 6 1 dx = ln |ax + b| + C ax + b a 7 sin xdx = cos x + C 8 cos xdx =... Maclaurin Tìm giới hạn (quy tắc L'hospital) B i < /b> tập: 1- 12 (Sách Giáo trình) Chủ Đề 3 phép tính tích < /b> phân hàm một biến Yêu cầu đạt đ-ợc Nắm đ-ợc khái niệm nguyên hàm, tích < /b> phân, tích < /b> phân suy rộng Tìm đ-ợc nguyên hàm, tích < /b> phân; xét sự hội tụ, phân kỳ của tích < /b> phân suy rộng Vận dụng để tính một số ứng dụng đơn giản: V, S, độ dài đ-ờng cong 1 nguyên hàm và tích < /b> phân b t định 1.1 Các khái niệm Nguyên hàm:... x0 trái, đạo hàm b n phải tại điểm x0 và f (x+ ) 0 =f f (x) có đạo hàm b n (x ) 0 Đạo hàm trên khoảng (a, b) : Hàm số y = f (x) đ-ợc gọi là có đạo hàm trên (a, b) nếu f (x) có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b) Đạo hàm trên khoảng [a, b] : Hàm số y = f (x) đ-ợc gọi là có đạo hàm trên [a, b] nếu f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và có đạo hàm phải tại a, đạo hàm trái tại b Các Công thức tính... của hàm số i) Tìm vi phân cấp 1 của các hàm sau: a)y = f (x) = x + x2 + 1 b) y = f (x) = ecos x Tìm df (0) ii) Tìm vi phân cấp 2 của các hàm sau: a)y = f (x) = arctan x2 2 b) y = f (x) = ex Tìm df (1) B i < /b> toán 4 Tính gần đúng giá trị của biểu thức a)A = (1, 003)50 , ; b) B = 1, 009 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Chứng minh b t đẳng thức Chứng minh f (x) = 0 có nghiệm Hàm f đơn điệu tăng hay giảm... D (D ) b ng cách giải < /b> hệ: fx = 0 fy = 0 M1(x1 , y1), M2 (x2, y2) 25 Tìm điểm tới hạn trên biên D (D): rút x theo y hoặc y theo x, b i < /b> toán trở về tìm GTLN, NN của hàm một biến Tính f (M1 ), f(M2 ) so sánh và kết luận Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên tập đóng và giới nội D a) z = 2x2 + y 2 12x với D = {(x, y) R2 : x2 + y 2 1} b) z = x2 + y 2 xy + x + y với D đ-ợc giới hạn b i x =... phân đã có công thức tính Nều b i < /b> toán có dạng: đa thức (LG hoặc hàm mũ hoặc hàm loga)dx, ta dùng ph-ơng pháp từng phần Nếu không phải 2 dạng trên, ta dùng ph-ơng pháp đổi biến tr-ớc Sau đó, nếu không giải < /b> quyết đ-ợc ta thì ta dùng từng phần 1.5 Tích < /b> phân suy rộng Tích < /b> phân suy rộng loại 1 Giả sử f (x) xác định trên [a, +] và khả tích < /b> trên mọi đoạn [a, t] [a, +] tích < /b> phân suy rộng của f (x) trên... x2 + k| + C x2 + k 1.3 Tích < /b> phân xác định Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a, b] Chia tùy ý đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ: a = x0 < x1 < x2 < xn = b Trên từng đoạn [xi , xi+1], ta chọn một điểm tùy ý và tính xi = xi+1 xi Ta lập tổng In = n f ()xi i=1 Nếu tồn tại giới hạn I = lim0 In ( = max xi) thì I đ-ợc gọi là tích < /b> phân xác định của f (x) trên [a, b] và ký hiệu: ab f (x)dx Định lý Giả sử . Thông tin B môn Toán b i giảng giải tích B Huỳnh Thị Thúy Lan 1 Chủ Đề 1. giới hạn Yêu cầu đạt đ-ợc Nắm đ-ợc khái niệm hàm số, giới hạn hàm số Vận dụng công thức tính giới hạn cơ b n để tìm. ln  2e x x+1 −1  9 B i 1 5b/ 20: B = lim x1 sin e x1 1 ln x = lim x1 e x1 1 ln(1 + x 1) = lim x1 e x1 1 x 1 =1 B i 15c/20 : C = lim x1 1 cos 2x + tan 2 x x sin x = lim x1 2(x) 2 + x 2 x 2 =3 B i Tập:. lim t+ arctan t = Tích phân suy rộng loại 2. Giả sử f(x) khả tích trên mọi đoạn [a, t] [a, b) và lim xb f(x)=+. Tích phân suy rộng của f( x) trên [a, b] là giới hạn b a f(x)dx = lim tb t a f(x)dx Ví