bài tập giải tích

PHẠM GIA HƯNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG Bộ Môn Toán 6/2011 Newversion 2011 Phgia 2011 2 Chương 1. Giới hạn A. Lý thuyết. • Hàm số: Định nghĩa hàm số, tập xác định của hàm số. Các phép toán về hàm số. Hàm ngược. Các hàm sơ cấp cơ bản. Hàm sơ cấp. • Giới hạn dãy số: Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số. Các giới hạn cơ bản. Dãy con và cách chứng minh một dãy không có giới hạn. Các phép toán về giới hạn dãy số. • Giới hạn hàm số: Lân cận. Định nghĩa giới hạn hàm số. Giới hạn một phía. Các giới hạn cơ bản. Các phép toán về giới hạn hàm số. VCB, VCL và ứng dụng của chúng. • Hàm liên tục: Định nghĩa tính liên tục tại một điểm, trên các khoảng mở, khoảng đóng. Các phép toán về hàm liên tục. B. Bài tập 1. Tìm miền xác định của các hàm số a) () 1 2 1 x yx x + =− − b) sin x y xπ = c) () 2 1 lg 2 8 4 yx x =+− − x− d) lg sin 2 x y π ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ e) () lg cos lgyx ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ f) 2 arcsin 1 x y x = + 2. Tìm miền giá trị của các hàm số a) 2 2yx=+−x ) x b) c) ( lg 1 2 cosy=− 2 2 arccos 1 x y x = + 3. Chứng minh rằng ánh xạ a) () 1 :* ,|fxyfx x →→==\\ là đơn ánh b) () 2 2 :1,1,| 1 x fxyfx x ⎡⎤ →− → = = ⎢⎥ ⎣⎦ + \ là toàn ánh c) ( ) ( ) 1 :0,,| x fxyfx + →+∞ →= =\ e là song ánh 4. Tìm hàm ngược của các hàm số sau đây a) 1 1 x y x − = + b) 2 2yx x=− c) 2 12 x x y = + d) () 2 3log 1 2yx=− 5. Tính với () () () () () () () ( ,,,f f x ggx fgx gfx ) 2= a) b) () () 2 , x fx x gx= () () 2 1 25, 2 x fx x x gx x + =−+ = − Phgia 2011 3 c) () () 1 ,arct 1 fx gx x x == + g d) () () 24 ln 1, cosfx x gx x=+= 6. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau đây a) () ( ) () 2 33 11fx x x=−++ 2 b) ( ) xx fx a a − =+ c) () 1 ln 1 x fx x − = + d) ( ) ( ) 2 ln 1fx x x=++ 7. Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kỳ của chúng a) () 11 sin sin 2 sin 3 23 fx x x x=+ + b) () 2tg 3tg 23 x fx=− x ≠ c) d) () cos sin , 0fx A x B xλλλ=+ ( ) 2 sinfx x= 8. Chứng minh rằng các dãy số sau không có giới hạn a) () 1 1 2 n n n x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =− + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ b) sin 2 n n xn= π c) 2 cos 12 n nn x n = + π 9. Tính các giới hạn a) ()() ()() 44 44 11 lim 11 n nn nn →∞ +−− ++− b) 11 23 lim 23 nn nn n ++ →∞ + + c) () lim 1 n nn n →∞ +− d) ( ) 3 3 lim 1 n n →∞ +−n e) 2 sin ! lim 1 n nn n →∞ + f) ( ) ( ) 1 lim 1 n n n n n →∞ +− −− 10. Tính các giới hạn a ) ( 48 2 lim 2. 2. 2 2 n n→∞ ) b) 2 2 1 lim , 1, 1 1 n n n aa a ab bb b →∞ ++ + + << ++ + + c) () 11 1 lim 1.2 2.3 1 n nn →∞ ⎡⎤ ⎢⎥ +++ ⎢⎥ +⎢⎥ ⎣⎦ d) lim ! n n e n →∞ 11. Tính các giới hạn a) 3 7 4 2 lim 92 x xx x → +− + +− 20 b) 3 2 0 cos cos lim sin x x x → − x c) 0 1 lim , 0 x x a a x → − > d ) 0 lim ax bx x ee x → − e) tg 0 lim tg xx x ee xx → − − f) 0 lim , sin sin ax bx x ee ab ax bx → − ≠ − g) 1 1 lim ln x x x xx → − h) ( ) ( ) 0 ln cos lim , 0 ln cos x ax b bx → ≠ i) 0 2arcsin lim 5 x x x → j) 1 lim 1 x x xe →∞ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ k) ( ) 2 lim 1 x xx x →±∞ +− l) ( ) 32 2 3 lim 3 2 x xx xx →±∞ +−+ 12. Tính các giới hạn Phgia 2011 4 a) 1 23 lim 21 x x x x + →∞ ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝⎠ b) 2 2 2 1 lim 2 x x x x →∞ ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎝⎠ c) 2 1 1 0 lim 2 1 x x x x x e + + → ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ d) 3 1 sin 0 1tg lim 1sin x x x x → ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝⎠ e) ( ) 2 2 0 lim cos x x x → f) () 1 2 1cos 0 lim 1 x x x xe − → + 13. Tính các giới hạn một phía sau đây a) 0 1 lim x x + → và b) 1/ 0 lim x x e + → 1 1 lim 1 x x − → − và ( ) 1/ 1 1 1 lim 2 x x − − → ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ c) 0 lim x x x + → và 0 lim x x x − → d) 3 3 lim 3 x x x + →− + + và 3 1 lim 3 x x − →− + 14. Chứng minh các VCB và g sau đây là tương đương nhau khi f 0x → a) b) () () 22 sin , sinfxxxgxx==x () () 2 1cos, 2 x fx xgx=− = c) ( ) ( ) 1, ln x fx a gx x a=− = d) ( ) ( ) 2 , sin 2 sin xx fx e egx x x=− = − 15. Tìm các giới hạn sau bằng cách thay thế các VCB tương đương a) () () 23 23 0 ln 1 3 2 lim ln 1 3 4 x xx x xxx → +− + +− + b) () 1 1 sin 1 lim ln x x e x − → − c) 2 0 1cos2 tg lim sin x xx xx → −+ d) () 2 0 ln 1 3 sin lim tg x xx x → + e) ( ) ( ) 34 0 11cos lim x x ex xx → −− + f) 2 0 sin lim 1sincos x x xx x → +− 16. Xét tính liên tục của các hàm số sau a) () sin , 0 1, 0 x x x fx x ⎧ ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ b) () 1, 1 cos , 1 2 xx fx x x π ⎧ ⎪ −> ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 17. Xác định để hàm số liên tục trên \ a) () 1 sin , 0 , 0 xx fx x ax ⎧ ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ b) () 2 32 ,2 2 , 2 xx x fx x ax ⎧ ⎪ −+ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ = ⎨ − ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ c) () sin 3( 2) ,2 (2) , 2 x x fx x ax ⎧ ⎪ − ⎪ ≠ ⎪ ⎪ = − ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎩ d) () 2 2, 1 1cos( 1) ,1 (1) xx fx ax x x ⎧ ⎪ +≤ ⎪ ⎪ ⎪ = −+ ⎨ ⎪ >− ⎪ ⎪ + ⎪ ⎩ − C. H ướng dẫn và đáp số 1. a) 1 0[1 1 x x x + ≥⇔∈− − ,1). Phgia 2011 5 b) . 00 [0, ) \ sin 0 xx x xxkπππ ⎧⎧ ⎪⎪ ≥≥ ⎪⎪ ⇔⇔∈+∞ ⎨⎨ ⎪⎪ ≠≠ ⎪⎪ ⎩⎩ ] c) . () 2 40 4 ;2 24 280 x x x xx xx ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ −> < ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⇔∈ ⎨⎨ ⎪⎪ <− ∨ > −−> ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎩ −∞− d) () ( ) sin 0 2 2 1 4 , 4 2 , 22 xx kkxkk ππ ππ>⇔ < < + ⇔∈ + ∈]k. e) () 22 22 0 0 10 ,10 , cos lg 0 2lg 2 22 kk x x xk x kx k ππ ππ ππ ππ −+ + ⎧ ⎪ > ⎧ ⎛⎞ ⎪ ⎪ > ⎟ ⎪⎪ ⎜ ⎪⎪ ⎟ ⎜ ⇔⇔∈ ⎨⎨ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎪ > ⎜ ⎟ −+ < <+ ⎝⎠ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ]∈. f) 231 1 10 1 21 11 11 3 21 13 11 10 11 xx xx x xx x xx x x xx ⎧ ⎪ + ⎧ ⎪ ⎪ += ≥ ⎪ ⎪ ⎡⎤ <− ∨ ≥− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ++ ⎢⎥ −≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ∈− ⎨⎨ ⎢⎥ ⎪⎪ −+ + ⎪⎪ ⎣⎦ −< ≤ −= ≥ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ++ ⎪ ⎩ ,1. 2. a) 22 2 2 20,940 3 20 0 2 xx y y yxx y y ⎧ ⎪ −−+ = Δ=− ≥ ⎪ ⎪ =+−⇔ ⇒≤≤ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⎩ . Cách 2. . 1, 2D ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ 2 22 91 02 2 42 yxx xx x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ≤= +− = −− = − − ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ 3 2 . b) :D 1 cos 2 2 23 3 xkx ππ ππ≤⇔−+ ≤≤+k () 110 lg 1 2 cos 1 2 cos 10 1 cos 1 2 y y yxx x − =− ⇔− =⇒−≤ = ≤ 010 3 lg3 y y⇒< ≤⇔−∞≤≤ . Cách 2. () 1 1 cos 1 1 2 cos 3 lg 1 2 cos lg 3 2 xxy−≤ < ⇔≤−<− ≤ ⇔−∞< = − ≤x. c) () 2 22 22 arccos cos , 0, cos 2 cos 0 11 xx yyyyx xx π ⎡⎤ =⇔=∈⇔−+ ⎢⎥ ⎣⎦ ++ xy= 22 1cos sin 0, 0, 0, 0, y yyy y y y π π π ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ∈ Δ= − = ≥ ∀ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎡ ⎤ ⇒⇒ ⎨⎨ ⇔∈ ⎢ ⎥ ⎡⎤ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎪⎪ ∈ ∈ ⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ \ . Cách 2. Ta có 2 2 11, 1 x xy x π 0, ⎡ ⎤ −≤ ≤ ∀∈ ⇒ ∈ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + \ . 3. a) {} ( ) ( ) 12 1 2 1 2 12 11 ,\0:xx fx fx x x xx ∀∈ = ⇒=⇒= \ ⇒ ĐPCM. Phgia 2011 6 b) 2 2 2 1, 1 , 1 1 : 1 x yx yy x ⎡⎤ ∀∈− ∃=± − ∈ = ⎢⎥ ⎣⎦ + \ 22 2 2 do 2 0, 1 0 1 x yyxxy y x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =⇔−+=Δ=−≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + . c) Do 1 1ln ln x ye x y x y + =⇔+=⇔=−1 nên ( ) 1 0, , ! ln 1 : x yxyy + ∀∈ +∞∃ = − =e . 4. a) {} 1 \1: 1 1 x xD y yyx x x − ∀∈ = − = ⇔ + =− + \ () { } 1 ,\ 1 y xyfD y − ⇔= ∀∈ = − + \ 1 0 . b) 22 :220,1xD yx x x xy y ′ ∀∈ = = − ⇔ − − = Δ=+ ≥\ () 11, [1,xyyfD⇔=± +∀∈ =−+∞) ⇒ Hàm số không có hàm ngược. c) 2 :2202 1 12 x xx x x y xD y y y y ∀∈ = = ⇔ − += ⇔ = > − + \ 0 () ( ) 2 log , 0,1 1 y xyfD y ⇔= ∀∈ = − . d) () 2 1 ,: 3log12 2 xD y x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ∀∈ =−∞ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ () /3 /3 12 12 2 , 2 y y xx yfD − ⇔− = ⇔ = ∀∈ =\ . 5. a) () () () () () () 2 42 ,2 x gx f fx fx x ggx ⎡⎤ == == ⎢⎥ ⎣⎦ 2, x () () () () () () () 2 2 2 2 22, 22 fx xx fgx gx gfx ⎡⎤ === == ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 25 25225ffx fx fx x x x x ⎡⎤ =−+=−+−−+ ⎢⎥ ⎣⎦ 5+ 0, 43 2 412162xx x x=− + − + () () () () 1 1 1 21 2 , 15 2 2 2 x gx x x ggx xx gx x + + + − − == = +−+ − − − () () () () () 2 2 2 2 11416 25 2 5 22 2 xx xx fgx gx gx xx x ⎛⎞ ++ −+ ⎟ ⎜ ⎡⎤ ⎟ =−+= −+= ⎜ ⎟ ⎢⎥ ⎜ ⎣⎦ ⎟ ⎜ −− ⎝⎠ − 25 , () () () 2 2 2 26 25 23 xx gfx gx x xx −+ =−+= −+ . Phgia 2011 7 c) () () () 1 1 11 1 12 1 x x x x fx + + === ++ + ( ff , ( ) ) ( ) ( ) arctg arctg arctgggx gx x== () ( ) ( ) 11 1arctg 1 fgx x gx == + + , () () () () 1 arctg arctg 1 gfx fx x ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝⎠ . d) () () () () 2 22 ln 1 ln ln 1 1ffx f x x=+= ++ , () () () () () 4 4 4 cos cos cosggx gx x== () () () () 2 24 1lncos 1fgx g x x=+= + , () () () () () 4 4 2 cos cos ln 1gfx fx x==+. 6. a) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 33 11 ,fx x x fx x−= + + − = ∀∈ ⇒\ chẵn. f b) ( ) ( ) , xx fx a a fx x − −= + = ∀∈\ ⇒ chẵn. f c) () () ( ) 11 ln ln , 1,1 11 xx fx fx x xx +− − = =− =− ∀ ∈ − −+ ⇒ lẻ. f d) () () () 22 2 2 2 1 ln 1 ln 1 ln 1 xx fx x x x x xx ⎛⎞ +− ⎟ ⎜ −= −+ +− ⎟= + − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ () () 2 2 1 ln ln 1 , 1 xxfxx xx ==−++=−∀ ++ \ f ∈ ⇒ lẻ. 7. a) vì 2T π= ()()()() 11 2sin2 sin24 sin36 23 fx k x k x k x kππ π+= ++ ++ +π () 11 sin sin 2 sin 3 , 23 xxxfxk=+ + = ∈] . b) . c) 6T π= 2 T π λ = . d) () () 1 1cos2 2 fx x T π=− ⇒=. 8. Để chứng minh một dãy không có giới hạn, ta chỉ cần chỉ ra nó hai dãy con có giới hạn khác nhau như sau a) Khi k →∞, ta có 22 221 11 11,1 22 kk kk xx + + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ =+ → =−+ →− ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ 1 1 . b) Khi k → , ta có ∞ () 241 2sin2 00, 41sin 2 41 2 kk xkk x k k kππ + ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ==→=++=+→ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ π +∞ . c) Khi k →∞, ta có Phgia 2011 8 ( ) 421 22 1 88 cos 2 2, cos 0 0 41 41 22 2 kk k kk xkx k kk k ππ + + ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ==→= += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ++ + ⎝⎠ π → 9. a) ()() ()() ()() ()() 44 44 11 44 44 11 11 11 lim lim 0 11 11 nn nn nn nn nn →∞ →∞ +−− +−− == ++− ++− . b) ( ) ( ) 2 11 3 2 3 23 23 2 lim lim 3 do lim 0 3 23 1 n n nn nn n nn n ++ →∞ →∞ →∞ + ⎛⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ == ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + + = . c) () 1 11 lim 1 lim lim 2 11 nnn n n nn n nn →∞ →∞ →∞ +− = = = ++ ++ 1 . d) () () 3 3 2 3 233 3 1 lim 1 lim 0 11 nn nn nn n n ∞−∞ →∞ →∞ +− = = −−+− e) 2 sin ! lim 0 1 n nn n →∞ = + vì 22 sin ! 1 0 11 nn n n nn ≤≤ ++ ≤ và 1 lim 0 n n →∞ = . f) () () () () 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 n n n n n nn n n n − →∞ →∞ − +− + == −− − vì () () 11 1 lim lim lim 0 nn nn n nnn →∞ →∞ →∞ −− == = . 10.a ) () 2 1 11 1 1 2 48 2 2 22 lim 2. 2. 2 2 lim 2 lim 2 2 n n n nnn ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − +++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ →∞ →∞ →∞ ===. b) 21 2 1 1 1 1 lim lim : 111 1 nnn n nn aa a a b b ab bb b ++ →∞ →∞ ++ + + − − − == −− ++ + + 1 a− . c) () 11 1 111 11 lim lim 1 1.2 2.3 2 2 3 1 1 nn nn nn →∞ →∞ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎢⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎞ ⎟ ⎢ ⎥ ⎟⎟ + ++ = −+−++− ⎜⎜ ⎜ ⎢⎥ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ + ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ +⎢⎥ ⎟ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ 1 lim 1 1 1 n n →∞ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎝⎠ . d) lim 0 ! n n e n →∞ = vì 3 2 19 0 . . ! 123 2 3 23 n n eeeee e e e nn ⎛⎞ ⎛⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ≤= ≤ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ và lim 0 3 n n e →∞ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ . 11.a) ()() 3 0/0 3 77 44 23 3 20 220 lim lim 92 92 xx xx xx xx →→ +− + − + +− + = +− +− () ( ) ( ) () ( ) ( ) 22 33 33 32 32 44 44 44 77 11 0/0 23 23 92020 932020 7 1 77 92 94 98 92 94 98 lim lim xx xx xx xx x xx xxx xxx −− ++ ++ ++++ + +++ − →→ ++ ++ ++ ++ ++ ++ +− == 11 627 1 32 112 27 − == . Phgia 2011 9 b) ()() 3 0/0 3 22 00 cos 1 1 cos cos cos lim lim sin sin xx xx xx xx →→ −+− − = 22 22 33 33 22 22 22 00 22 22 2sin 2sin cos 1 1 cos cos 1 cos 1 1 cos cos 1 cos cos lim lim 4sin cos 4sin cos xx xx xx xx xx xx xx xx →→ − −− −+ ++ ++ ++ == 3 3 2 0 11 111 1 cos 1 1cos cos lim 2223 x x xx → − + ⎛⎞ + ++ ⎟ ⎜ ⎟ =−+=− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ 12 . c) 0/0 ln 00 11 lim lim ln ln ln xxa xx ae a xxa →→ −− == a . d ) ( ) () () 0/0 00 1 lim lim . abx bx ax bx xx ee ee ab ab x abx − →→ ⎡⎤ − ⎢⎥ − ⎣⎦ =− − =− . e) ( ) tg 0/0 tg 00 1 lim lim 1 tg tg xxx xx xx ee ee xx xx − →→ − − == −− . f) () ( ) ( ) 0/0 00 22 1 lim lim sin sin 2cos .sin abx bx ax bx ab ab xx ee ee ax bx xx − + − →→ ⎡ ⎤ − ⎢⎥ − ⎣⎦ = − ( ) () () () 2 0 2 1 lim . 1 sin ab abx ab x x e abx x − − − → − == − . g) 0/0 ln 11 1 lim lim 1 ln ln xxx xx xe xx xx →→ −− = 1 = . h) () () () () 0/0 00 ln 1 cos 1 ln cos lim lim ln cos ln 1 cos 1 xx ax ax bx bx →→ ⎡⎤ +− ⎢⎥ ⎣⎦ = ⎡⎤ +− ⎢⎥ ⎣⎦ ( ) ( ) 0 0 ln 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 lim . . lim cos 1 cos 1 cos 1 ln 1 cos 1 x x ax bx ax ax ax bx bx bx → → ⎡⎤ +− −− ⎢⎥ ⎣⎦ == ⎡⎤ −− +− − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 22 22 2 22 2222 00 22 2 2sin sin lim lim . . 2sin sin ab ax ax xx bx xx ax aa bb →→ − == − 2 = . i) Đặt ( ) ( ) arcsin sinfx x x fx=⇒= và . Ta được () 00xfx→⇒ → () () () 0/0 0 0 2arcsin 2 2 lim lim 55 sin x fx fx x x fx → → == 5 . j) 1 0/0 1/ 0. 1 lim 1 lim 1 1/ x x xx e xe x ∞ →∞ →∞ ⎛⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −= = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ . k) () 2 lim 1 x xx x →−∞ +− =−∞, () 2 2 1 lim 1 lim 2 1 xx x xx x xx →+∞ →+∞ +− = = ++ . Phgia 2011 10 [...]... Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến A Lý thuyết • Tích phân bất định: Định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm Bảng tích phân Bảng tích phân các hàm số thông dụng Định nghĩa tích phân bất định và các tính chất của tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định Tích phân các hàm hữu tỷ, lượng giác, vô tỷ • Tích phân xác định: Định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định... tích phân xác định Liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định Công thức Newton-Leibnitz Các phương pháp tính tích phân xác định Các ứng dụng của tích phân xác định (tính diện tích hình phẳng, độ dài đường cong, thể tích vật thể) • Tích phân suy rộng: Định nghĩa và cách tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2 B Bài tập 1 Dùng phương pháp đổi biến, tính các tích phân a) d) g) ∫ ∫ ∫ x 3 ( 1 − 2x 4 ) 3... tính các tích phân xác định sau đây 1/2 a) ∫ 0 2 x − 3x + 2 5 d) 2 x 3dx ∫ 0 b) ∫ 1 π/2 dx c) 3 x +x 0 2x + 3x + 1 e) dx 2 + cos x 1 3 dx ∫ ∫x 3 2 1 + x dx f) 0 1− x2 ∫ x2 2/2 dx 9 Dùng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân xác định sau đây π /3 a) ∫ 1 xdx b) 2 π /4 sin x ∫ c) 0 3 2 d) ∫ 1 arcsin xdx ln x dx e) 1/e ∫ 1 ∫ arctg xdx 0 1 + x2 x 2 π/2 dx f) ∫e x cos xdx 0 10 Tính diện tích hình... i) ∫ sin (ln x )dx x 3 a − x 2 dx x2 −1 ∫x c) 4 +1 dx (x − 2) 3 dx dx 1 + ex 2 Dùng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân a) ∫x d) ∫ g) ∫ 2 b) arcsin x x 2 dx ( x ln x + 1 + x 2 1+x 2 )dx ∫ (x e) arctg xdx ∫ h) ∫e 2 ) + 5x + 6 cos 2xdx x cos x 3 sin x x 2 2 ) − 2x + 3 ln xdx xdx 3 Tính các tích phân hàm hữu tỷ a) d) ∫ (x + 5)dx b) x 2 − 2x + 5 ( (x − 1) (x − 2) 3 (1 + 2x ) dx e) ∫ x (1... dx c) ∫ f) ∫ (x + 1)dx (x 2 2 2xdx ∫ (1 + x ) 1 + x ∫ 5x 3 + 17x 2 + 18x − 5 2 ) 2 2 )( ) + 1 x2 + 9 dx ( ) x x 10 + 1 2 4 Tính các tích phân hàm vô tỷ 28 Phgia 2011 a) ∫ 6 dx (x + 1) x 3x + 5 dx x 5 Tính các tích phân hàm vô tỷ d) ∫ a) ∫ x −x 2 + 3x − 2dx b) 6 Tính các tích phân hàm lượng giác dx b) a) ∫ 3 + 5 sin x + 3 cos x cos5 x dx sin x d) ∫ g) ∫ sin 3 ∫ 1+ x 4 1 − 2x − 1 − 2x (x + 6)dx ∫ ∫ x... phân và ứng dụng của vi phân Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp) Công thức tính đạo hàm và vi phân cấp cao • Ứng dụng của phép tính vi phân: Công thức Taylor, Maclaurin Các quy tắc L’Hospital Khảo sát hàm số B Bài tập 1 Tính các đạo hàm của các hàm số 2 a) y = 3 x 2 − b) y = x 1/x x c) y = (sin x ) tg x ( ) d) y = e arctg... 3 ln 2⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 2 x − 1 nằm giữa các giao điểm của nó với trục 0x 2 b) y = 12 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh 0x hình phẳng giới hạn bởi x2 c) y = 4x − x 2 , y = −4x c) y = a) y = x 2 , y = x , y = 2, y = 4, x = 0 2 13 Xét sự hội tụ và tìm trị (trong trường hợp hội tụ) của các tích phân suy rộng sau +∞ a) ∫ 2 +∞ dx 2 +∞ 0 d) ∫ b) x ln2 x ∫ xe dx x e) ∫ −∞ 1/2 g) −∞ 0 dx h)... = y ′dx = 1 1 dx a dx = 2 2 a 1 + (x ) x + a2 a b) dy = dx (a > 0), dy = − dx (a < 0) a2 − x 2 a2 − x 2 2a x −a ′ 1 ( x +a ) 1 (x +a )2 x +a = c) dy = dx = dx x +a x −a 2a x +a 2a x −a x −a 4 Trong bài này, ta áp dụng công thức f (a + Δx ) ≈ f (a ) + f ′ (a ) Δx (*) a) Đặt phgia 2011 17 f (x ) = 1 4 x ⇒ f ′ (x ) = − 1 4 4 x 5 và a = 1, Δx = −0, 017 ⇒ f (a ) = 1, f ′ (a ) = −0.25 Áp dụng công thức . PHẠM GIA HƯNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG Bộ Môn Toán 6/2011 . liên tục tại một điểm, trên các khoảng mở, khoảng đóng. Các phép toán về hàm liên tục. B. Bài tập 1. Tìm miền xác định của các hàm số a) () 1 2 1 x yx x + =− − b) sin x y xπ = c) () 2 1 lg. tích, thương và đạo hàm hàm hợp). Công thức tính đạo hàm và vi phân cấp cao. • Ứng dụng của phép tính vi phân: Công thức Taylor, Maclaurin. Các quy tắc L’Hospital. Khảo sát hàm số. B. Bài