bài tập giải tích

Tính đạo hàm và vi phân cấp 2 của các hàm số... • Tích phân bất định: Định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.. Định nghĩa tích phân bất định và các tính chất của tích phân

PHẠM GIA HƯNG

BÀI TẬP GIẢI TÍCH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

Bộ Môn Toán 6/2011

Newversion 2011

x π

7 Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kỳ của chúng

a) ( ) sin 1sin 2 1sin 3

=+

1lim

1

n n n

n n

n n n

e n

3 2 0

a

a x

limtg

x x x

0

2 arcsinlim

5

x

x x

2

x x

x x

0

x

x x x

x e

+ +

lim

x x

x x

−

3

3lim

3

x

x x

3

x→− −x +

14 Chứng minh các VCB và g sau đây là tương đương nhau khi f x → 0

e x

−

→

− c)

2 0

lim

x x

sinlim

1, 0

x x x

+

≥ ⇔ ∈ −

y

y y

π π

( ) ( )2

2

y y

n n

11227

−

b) ( ) ( 3 )

0/0 3

2 0

x e

5 j)

1 0 1/ 10/0

1 /

x x

x e

x x

2

2 2

− ⇒ không liên tục trái tại f x = 0

⇒ không liên tục tại f x =0 Vậy liên tục trên f \\ 0{ }

17.a) liên tục trên f \ ⇔ liên tục tại f x = 0

⇔ lim0 ( ) ( )0 lim sin0 1 0

2 2 2

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

A Lý thuyết

• Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Ý nghĩa hình học của đạo hàm Công thức vi phân và ứng dụng của vi phân Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản Các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm hàm hợp) Công thức tính đạo hàm và vi phân cấp cao

• Ứng dụng của phép tính vi phân: Công thức Taylor, Maclaurin Các quy tắc L’Hospital Khảo sát hàm số

khi 1

x e

2 Cho hàm số ϕ( )x liên tục tại x =a

a) Chứng minh rằng f x( ) (= x −a) ( )ϕ x có đạo hàm tại x =a Tính f a′( )

b) Tìm điều kiện của ϕ( )a đểg x( )= x −a ϕ( )x có đạo hàm tại x =a

3 Tính vi phân của các hàm số sau đây

a) Tính f x′( )&f′′( )x b) Có tồn tại f ′′′( )0 không?

6 Tính đạo hàm và vi phân cấp 2 của các hàm số

b) Hàm số y =acos ln( )x +bsin ln( x) thoả phương trình x y2 ′′+xy′+ =y 0

8 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây

9 a) Khai triển đa thức p x( )=x3 +3x2−2x + 4

3

theo các luỹ thừa của nhị thức x −1 b) Khai triển hàm số đến cấp 2 tại Từ đó tính giá trị gần đúng của

d)

6 0

1lim

x x x

lim 2

x a

x a

x a

x y x

1 1

1 1

x x x

+ + −

− +

π

π π

lim

1

x x

x x

a x a

Áp dụng công thức (*), ta được

E = f a + Δx ≈ + π

f) Đặt

x x

f x f f

x

f x f f

11

b) y a sin ln( )x b cos ln( ),

2

1

2 1

2 2

x

π π π π

x x

o) Đặt

tg 2

lim 2

x a

x a

x I

a

x a

1

01

x y

7 21

−

7 21

−

`

Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến

A Lý thuyết

• Tích phân bất định: Định nghĩa nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm Bảng tích phân Bảng tích phân các hàm số thông dụng Định nghĩa tích phân bất định và các tính chất của tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định Tích phân các hàm hữu tỷ, lượng giác, vô tỷ

• Tích phân xác định: Định nghĩa và các tính chất của tích phân xác định Liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định Công thức Newton-Leibnitz Các phương pháp tính tích phân xác định Các ứng dụng của tích phân xác định (tính diện tích hình phẳng, độ dài đường cong, thể tích vật thể)

• Tích phân suy rộng: Định nghĩa và cách tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2

+

∫ e) ∫ x3 a−x dx2 f)

2 3

2

dx x

11

x dx x

−+

1 x

dx e

x dx

++

xdx x

+

3 2 6 3

cossin 4 sin cos

∫ e) ∫ cos xdx4 f) ∫ cos 3 cosx xdx

d

e dt

y t x

1 x

dx x

1 x

dx x

g) Parabol y =x2 −2x + , tiếp tuyến của parabol tại điểm M(3; 5 và trục tung

h) Parabol y= −x2 +4x − 3 và các tiếp tuyến của parabol tại các điểm M1(0; 3− ) và

y = x − nằm giữa các giao điểm của nó với trục 0x

12 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh 0x hình phẳng giới hạn bởi

12

2

1arctg

C t

( )

2 2

2 2 9

−

11

x t

x

−

=+

5 a) Ta có

t t

( )

2 2

1 1

π π

3 2 1

4 2

( )0

Chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến

sinlim

x y

xy x

y x

lim

1 1

x y

0

x y

11 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây

a) z =xy với x + =y 1 b) z = cos2x +cos2y với

12 Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích bằng 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất

13 Tính max và min của các hàm sau đây trên tập đóng và giới nội D tương ứng

a) z =x y2 (4− −x y với D được giới hạn bởi các đường x =0, 0, y = x + =y 6

b) z =sinx +siny+sin(x + y) với ( , ) 2 : 0 , 0

x y

1

x y

2 2

x y

y x

x′ = x − z y′ =x +yx x =x +y x ⇒dz =x y x dx y ⎡ 2 − 1 +(1+ylnx dy) ⎤

⎣

22

y x

y y

M y

3 3

x y y

x y

λ

λ λ

x y

12 Gọi lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông có diện tích bằng 1 Khi đó

, , 0

x y z >

22

x

= ⇔ = và z = x2 +y2 :=z x y( ), Bài toán được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số

/ 3π

3

π

C

/ 4π

4 2

Hình 2

x y y

Chương 5 Phương trình vi phân

• Phương trình vi phân cấp 2: Định nghĩa nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp 2 Một số dạng phương trình vi phân cấp cao giảm cấp được, phương trình vi phân tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

2 Tìm nghiệm riêng của phương trình tách biến thoả mãn điều kiện cho trước

c) y′ − siny x =sin cosx d) xy′ −2y =2x 4

4 Tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính cấp 1 thoả mãn điều kiện cho trước

7 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 cho trước một nghiệm riêng y1 sau đây

• Nếu xem y =y x( ) thì y =0,∀x là nghiệm kỳ dị của phương trình

• y =0,∀x : là nghiệm kì dị của phương trình

c) • sin 0 : pt cos 2 1 2 sin2

1

x x

• x =0 và y =C cũng là một nghiệm của phương trình

b) • Đặt u =y′⇒u′=y , ta được phương trình tuyến tính cấp 1 dạng không thuần nhất

• x =0 và y =C cũng là một nghiệm của phương trình

c) Đặt u =y′⇒u′=y , ta được phương trình tuyến tính cấp 1 dạng thuần nhất

• Nếu lnx = 0 thì x =1,y = cũng là một nghiệm của phương trình

7 a) Tìm nghiệm riêng thứ 2 của phương trình bằng công thức Louville

nên phương trình thuần nhất tương ứng có NTQ

c) • Ta có

nên phương trình thuần nhất tương ứng có NTQ

2 7

72 37 764

2 1 0

k + = ⇔ = ±i k

nên phương trình thuần nhất tương ứng có NTQ

• Do và là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng

( )

2

1 2

1cos 3 sin10

x x x x

y =C e− +C e − − x + x l) • Ta có

y′′− y′+ y = y =Bcosx +Csinx Theo nguyên lý chồng chất nghiệm,

ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng y =y1 +y2 Ta có

( )

1 5 2 5

đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng

phgia 2011 79

Mục lục Chương 1 Giới hạn 3

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Đình Trí: Toán Học Cao Cấp Tập II,III NXB Giáo dục 2000

[2] Nguyễn Đình Trí: Bài Tập Toán Học Cao Cấp Tập II,III, NXB Giáo dục 2000

[3] Lê Ngọc Lăng (Chủ Biên):Ôn Thi Học Kỳ Và Thi Vào Giai Đoạn Hai Tập I,II NXB GD 1997

[4] NP Trường & ĐB Thẩm: Bài Tập Toán Học Cao Cấp Tập I,II NXB ĐH&THCN 1988

[5] Phạm Gia Hưng: Bài Giảng Giải Tích Nha Trang 2008

[6] Phạm Gia Hưng: Bài Giảng Giải Tích I&II Nha Trang 2008

Nha Trang 6/2011

Phạm Gia Hưng