Bai giang dsdc (da sua)

1.Định nghĩa 1 Nhóm là tập X , trân đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz). N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=xe=x. N3.(Nghịch đảo): xX,x1X thì x.x1=x1x=e. 2.Định nghĩa 2 Nhóm là tập X , trong đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa mãn các điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX thì (xy)z=x(yz). N2.(Đơn vị): xX,eX thì ex=x. N3.(Nghịch đảo): xX,x1X thì x1x=e. 3.Định nghĩa 2’: Nửa nhóm X được gọi là nhóm nếu nó có đơn vị và mọi phần tử đều có nghịch đảo.

Bài Nhóm nửa nhóm 1.Định nghĩa Nhóm tập X , trân xác định phép tốn hai ngơi thỏa mãn điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX (xy)z=x(yz) N2.(Đơn vị): xX,eX ex=xe=x N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X x.x-1=x-1x=e 2.Định nghĩa Nhóm tập X , xác định phép tốn hai ngơi thỏa mãn điều kiện: N1.(Kết hợp):x,y,zX (xy)z=x(yz) N2.(Đơn vị): xX,eX ex=x N3.(Nghịch đảo): xX,x-1X x-1x=e 3.Định nghĩa 2’: Nửa nhóm X gọi nhóm có đơn vị phần tử có nghịch đảo 4.Định nghĩa Nhóm nửa nhóm X mà phương trình ax=b xa=b có nghiệm X với a,bX Bài tập 1.Cho tập X=ZxZ={(k1,k2),k1,k2Z} xác định X phép toán sau: (k1,k2) (m1,m2)=( k1+m1,k2+(-1)k1m2) CMR: X với phép toán nhóm  a b   X  : ac    c    2.cho Chứng minh rằng: X nhóm phép nhân ma trận Nhóm 1.Tiêu chuẩn Một tập A nhóm X nhóm X nếu: +x,yA xyA +eA +xA x-1A Ví dụ: 2.Tiêu chuẩn Một tập A nhóm X nhóm X nếu: +x,yA xyA +xA x-1A Ví dụ: 3.Tiêu chuẩn Một tập hợp A nhóm X nhóm X nếu: x,yA xy-1A Ví dụ: Bài 3.Nhóm Cyclic cấp phần tử nhóm Định nghĩa: Nhóm X gọi nhóm cyclic tồn phần tử aX X= Tức X trùng với nhóm sinh phần tử a, gồm tất lũy thừa nguyên a Vậy: X=={an: nZ} Định nghĩa 2: Cho nhóm X aX cấp phần tử a cấp nhóm cyclic sinh phần tử a Bài tập: Câu 1: Cho A tập phức bậc n đơn vị Chứng minh A với phép nhân thông thường số phức nhóm cyclic Giải: Bài Nhóm chuẩn tắc Định nghĩa: Một nhóm A nhóm X gọi nhóm chuẩn tắc X A thỏa mãn điều kiện sau: xX,aA xax-1A x-1axA (điều kiện chuẩn tắc) Để kiểm tra AX ta kiểm tra: +A nhóm X +A thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc Bài tập 1.Cho nhóm  a b    b   X   : ac  ;A  : c      0 c c       Chứng minh rằng: AX 2.Trong nhóm X:  a b    a b    b  X   : ac  ;B  : a  ;C  : b  R          c       1  Chứng minh rằng: Các phận B,C nhóm chuẩn tắc 3.Trong nhóm nhân M*n ma trận vng cấp n, không suy biến, chứng minh phận sau nhóm chuẩn tắc: i.M1n={AM*n:detA=1} ii.M1n={AM*n:detA2=1} iii.M+n={AM*n:detA>0} Bài 5: Đồng cấu nhóm Cho X,Y nhóm, ánh xạ f: X®Y gọi đồng cấu nhóm nếu: a,bX: f(ab)=f(a).f(b) Ví dụ: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 24 Giải: Cho nhóm X=6; Y=24 nhóm cyclic cấp 24 Nếu f:X®Y đồng cấu, tồn k mà 0k24 cho anX f(an)=(bk)n Biết f đồng cấu 6k chia hết cho 24 Vậy đồng cấu f:X®Y số nguyên k mà 0k24 thỏa mãn 6k chia hết cho 24 có số ngun k là: k=0,4,8,12,16,20 Vậy có đồng cấu khác từ nhóm cyclic cấp tới nhóm cyclic cấp 24 là: f1:an|®e; f2:an|®b4n; f3:an|®b8n; f4:an|®b12n; f5:an|®b16n; f6:an|®b20n; Câu 1: Chứng minh rằng: f:(R,+)®(R,.) với xR f(x)=ex đồng cấu nhóm Câu 2: X nhóm A ben CMR: g:X®X mà g(x)=xk, với kZ +g đồng cấu nhóm +tìm Img Kerg Câu 3: X nhóm CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX +g đồng cấu nhóm +Tìm Img Kerg Câu 4: X nhóm CMR: g:X®X mà g(x)=x-1, với xX, g đồng cấu nhóm X nhóm A ben Câu 5: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp 24 đến nhóm cyclic cấp Câu 6: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp n đến Câu 7: Tìm tất đồng cấu từ nhóm cyclic cấp đến nhóm cyclic cấp 20 Bài Nhóm đẳng cấu Định nghĩa: Nhóm X đẳng cấu với nhóm Y (XY) tồn ánh xạ đẳng cấu f:X®Y Quan hệ đẳng cấu lớp nhóm quan hệ tương đương Vì: +Với nhóm X XX theo ánh xạ đồng 1X +Nếu XY theo f YX theo ánh xạ ngược f-1 +Nếu XY theo f YZ theo g XZ theo gf Như vậy, để chứng tỏ hai nhóm X Y đẳng cấu với ta thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X tới Y hay từ Y tới X thiết lập ánh xạ đẳng cấu từ X,Y tới nhóm thứ ba Ví dụ: Cho tập hợp ma trận vuông cấp hai:  a   A   : a  R     1  Chứng minh: i.A nhóm với phép tốn nhân ma trận ii.A(R+,.), (R+,.) nhóm nhân số thực dương Định lí (Nơte): Cho f:X®Y tồn cấu tồn đẳng cấu f’:X/kerf®Y để cho f=f’.p p:X®X/kerf đồng cấu chiếu Sử dụng định lí ta muốn chứng minh đẳng cấu nhóm thương X/AY, ta cần thiết lập tồn cấu f:X®Y để cho kerf=A từ định lí ta có đẳng cấu f’:X/AY Ví dụ: Bài 7: Mơ tả cấu trúc nhóm Các tốn thường có nội dung: Cho X nhóm thỏa mãn số điều kiện cho trước đó, kết luận tốn u cầu rằng, nhóm X thỏa mãn số tính chất xác định Ví dụ: Cho X nhóm mà aX: a2=e chứng minh X nhóm A ben Giải: Mọi a,b thuộc X thì: a2=e, aX: a=a-1, a-1X Do đó: a,bX: ab=(ab)-1= b-1a-1=ba Định lí (Lagran): Cho nhóm hữu hạn X A nhóm X, cấp A ước số cấp X Hệ 1: Cấp phần tử a nhóm X ước số cấp X Hệ 2: Nếu cấp nhóm X số ngun tố X nhóm cyclic Bài 8: Vành vành Định nghĩa: Vành nhóm cộng giao hốn (R,+) trang bị thêm phép tốn nhân có tính chất kết hợp: +x,y,zR (xy)z=x(yz) +Có tính chất phân phối với phép cộng x,y,zR x(y+z)=xy+xz (y+z)x=yx+zx Như vậy: Vành tập R xác định hai phép tốn hai ngơi: 1.(R,+) nhóm giao hốn 2.Phép nhân R có tính chất kết hợp 3.Phép nhân phân phối phép cộng Ví dụ: Cho tập Mn ma trận thực vuông cấp n vành với hai phép toán cộng nhân ma trận Câu 1: Cho R vành, Z vành số nguyên Trên tập R.Z={(r,n):rR,nZ} Ta xác định phép toán: (r1,n1)+(r2,n2)=(r1+r2;n1+n2) (r1,n1).(r2,n2)=(r1r2+n1r2+ n2r1+ n1n2) Chứng minh R.Z vành có đơn vị, vành giáo hốn khơng? Tiêu chuẩn vành con: Cho vành R, phận A R vành R khi: +x,yA x-yA +x,yA xyA Hay tập A R vành R A ổn định phép trừ nhân Ví dụ: Cho R vành Ta gọi tậm vành R tập Z(R)={aR: ar=ra,rR} i.CMR: Z(R) vành vành R ii.Tìm Z(Mn) với Mn vành ma trận thực vuông cấp n Câu 1: Cho R vành, Z vành số nguyên Trên tập: R.Z={(x,n): xR,nZ} Ta xác định phép toán: (x1,n1)+(x2,n2)=(x1+x2;n1+n2) (x1,n1)(x2,n2)=(x1x2+n1x2+ n2x1;n1n2) Chứng minh rằng: R.Z vành có đơn vị, vành có giao hốn khơng? Điều kiện R R.Z giao hốn? Câu 2: Cho R vành Ta gọi tâm vành R tập: Z(R)={aR:ax=xa,xR} +CMR: Z(R)=là vành vành R +tìm Z(Mn) với Mn vành ma trận thực vuông cấp n Câu 4: Một ma trận A=(aij)mxn gọi ma trận tam giác a ij=0 i>j chứng minh tập MTn ma trận tam giác lập thành vành phép cộng nhân ma trận Câu: Cho R nhóm cộng giao hoán Gọi End(R) tập tất tự đồng cấu f:R®R, End(R) ta định nghĩa phép tốn sau: (+): f,gEnd(R): f+g:X®X mà xR: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (.): fg:X®X mà xR: fg(x)=f[g(x)] a.Chứng minh: End(R) vành có đơn vị với hai phép toán cộng nhân b.Cho A nhóm R, gọi N(A) tập tất đồng cấu fEng(R) mà f(A)=0 Chứng minh rằng: N(A)End(R) c.Với số nguyên nZ ta xác định ánh xạ gn:X®X mà xR: gn(x)=nx Chứng minh: gn tự đồng cấu, H={gn:nZ} vành giao hốn có đơn vị End(R) Câu: cho ma trận vuông cấp n sau: +Mcn={A=(aij)mxn: ai1=0, i=1…n} +MFn={A=(aij)mxn: ai1=0=a1j, I,j=1…n} Chứng minh rằng: Các tập hợp vành với hai phép toán cộng nhân ma trận Bài 9: Miền nguyên trường Định nghĩa 1: Miền nguyên R vành giao hốn có đơn vị 10 (và |R|>1) tích hai phần tử khác không khác không Định nghĩa 2: Trong vành giao hoán R, phần tử a0 gọi ước không tồn phần tử b0 để cho ab=0 Ví dụ: Cho R vành giao hốn có đơn vị 10 Chứng minh rằng: R miền nguyên R có luật giản ước cho phần tử a0 phép nhân Như vậy: Miền ngun vành giao hốn có đơn vị 10 khơng có ước khơng Định nghĩa: Trường vành giao hốn có đơn vị 10 phần tử khác khơng có nghịch đảo Định nghĩa: Trường tập hợp X có nhiều phần tử xác định hai phép toán cộng nhân thỏa mãn: 1.(X,+) lập thành nhóm giao hốn 2.(X,.) lập thành nhóm giao hốn 3.Luật phân phối phép nhân phép cộng Ví dụ: Cho tập số sau: Z        a  b  : a,b  Z ;Q   Z  3  Q  3  trường thương miền nguyên Z  i.Chứng minh rằng: miền nguyên, tốn cộng nhân thơng thường số ii.Chứng minh rằng:    a  b  : a,b  Q Q  3  trường với phép 3  Giải: Bài tập1: Cho ma trận cấp hai:  a b  M   : a,b  R    b a   a Chứng minh rằng: M vành giao hốn có đơn vị với hai phép tốn cộng nhân ma trận  a b A    b a  ước không M detA=0 b.Phần tử  a 0  K   : a  R  a     trường vành M có trường T c.Tập M mà TK T=K   a L     b d.Tập  b 2 : a,b  Q   a   trường M Trường L có tính chất K không Bài tập: Cho tập ma trận cấp hai sau:  a b   a a   R   : a,b   ;A  : a        a a b a         Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị (+,.) A iđêan tối đại R Chứng minh rằng: A vành vành R Ví dụ: Cho tập ma trận nguyên cấp hai:  a b    a  b   R   : a,b  Z ;A  : a  Z       b a     b a   Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị A iđêan nguyên tố vành R Ví dụ: Cho tập ma trận nguyên cấp hai:  a b    a a   R   : a,b  R ;A  : a  R       b a    a a   Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị (với phép toán cộng nhân ma trận) A iđêan tối đại vành R Bài tập: Cho tập số phức sau: Z         a  b  : a,b   ; I  5a  b  : a,b   i.Chứng minh: IZ phức Z   5 5  vành với hai phép tốn cộng nhân thơng thường số  ii.Chứng minh vành thương Z   5 /I trường Giải: i.Chúng ta kiểm tra Z(  5)  ( , ,.) Ta kiểm tra Vậy IZ  IZ 5  5  ta kiểm tra (-; )I  ii.Ta có vành thương: Z         / I  a  b   I : a,b    a  I,a  (b   I) =   I,1  I,2  I,3  I,4  I Z  5  Ta dễ thấy: vành giao hốn có đơn vị nên vành thương vành giao hốn có đơn vị Z   5 /I Ta phải chứng minh phần tử m+I0+I vành thương có nghịch đảo Thật m khơng chia hết (m,5)=1 (nguyên tố nhau) nên tồn số nguyên k t cho: km+5t=1 tồn phần tử k+I mà: (m+I)(k+I)=km+I=1-5t+I=1+I Tức (k+I)=(m+I)-1 Vậy Z   5 /I trường Bài tập: Cho ma trận nguyên cấp hai sau:  a b   a  a   R   : a,b   ;A  : a        a a  b a         Chứng minh rằng: R vành giao hốn có đơn vị A iđêan nguyên tố vành R Bài tập: Cho ma trận vuông cấp hai sau:   a   a b  b 3 R    : a    : a,b    ;A   3b a  a      b  Chứng minh rằng: R, A trường hai phép toán cộng nhân ma trận Bài tập: Tìm tất đồng cấu vành sau: +từ Z6 tới Z12 +từ Z15 tới Z9 Bài tập: Tìm tất tự đồng cấu của: +Vành số nguyên Z +Trường số thực R +Trường số phức C +Trường số hữu tỉ Q Bài 10: Idêan vành thương Định nghĩa: Cho X vành, phận I X gọi idêan I nhóm X đồng thời thỏa mãn điều kiện: xX,aI axI xaI (*) Khi I iđêan X (kí hiệu: IX) tập thương X/I={x+I:xX} trang bị phép toán sau: +Phép cộng: (x1+I)+(x2+I)=(x1+x2)I +Phép nhân: (x1+I)(x2+I)=x1x2+I Trở thành vành gọi vành thương vành X theo iđêan I kí hiệu (X/I;+;.) hay X/I Nếu X vành giao hốn X/I giao hốn Nếu X vành giao hốn có đơn vị X/I có đơn vị 1+I Tiêu chuẩn iđêan: Cho vành X, tập I X iđêan X khi: +a,bI a-bI +xX,aI axI xaI Ví dụ: cho tập số phức sau:     Z(  5)  a  b  : a,b  Z ;I  5a  b  : a,b  Z a.Chứng minh rằng: phức IZ  5 Z  5  vành với hai phép cộng nhân thông thường số  b.Chứng minh rằng: Vành thương Z   5 /I trường Định nghĩa: Cho R vành giao hốn có đơn vị +Ideanl IR gọi idean nguyên tố xyI xI yI +Ideanl IR gọi idean tối đại I iđêan thật R không bị chứa iđêan thật khác I (nếu có JR mà JI J=X J=I) Ví dụ: Cho R vành giao hốn có đơn vị Chứng minh IR thì: i.I iđêan nguyên tố vành thương R/I miền nguyên ii.I iđêan tối đại R/I trường Ví dụ: cho tập ma trận cấp hai sau:  a    0  R   : a,b   ;A  : a        a 0 b         i.chứng minh R vành giao hốn có đơn vị (+;.) ii.chứng minh AR R/A trường Ví dụ: Cho tập ma trận cấp hai sau:  a b    m  5n  m  R   : a,b   ;A  : m,n       m   b a     5n  m  Chứng minh A iđêan tối đại R Ví dụ: Cho tập ma trận cấp hai sau:  a b   R   : a,b     b a    Chứng minh A iđêan tối đại R Bài 11: Đồng cấu vành Định nghĩa: Cho vành X,Y ánh xạ f:X®Y đồng cấu vành a,bX ta có: +f(a+b)=f(a)+f(b) +f(ab)=f(a)f(b) Đồng cấu vành f gọi đơn cấu ánh xạ f đồng thời đơn ánh Đồng cấu vành f gọi toàn cấu ánh xạ f đồng thời toàn ánh Và Đồng cấu vành f gọi đẳng cấu ánh xạ f đồng thời song ánh Dĩ nhiên f đẳng cấu f đồng thời đơn cấu toàn cấu Hạt nhân đồng cấu f là: kerf=f-1(0) iđêan +Khi chứng minh phận A iđêan vành X f đồng cấu f:X®Y với Y vành kerf=A +Đồng cấu vành f:X®Y đơn cấu kerf=0, cho ta việc kiểm tra f đơn ánh ta cần tính kerf +Nếu f:X®Y tồn cấu vành tồn đẳng cấu f’:X/kerf®Y cho f=f’.p p phép chiếu p:X®X/kerf +Khi chứng minh tồn đẳng cấu từ vành thương X/A tới vành Y ta cần thiết lập tồn cấu f:X®Y kerf=A +Nếu f:X®Y đẳng cấu f-1:Y®X đẳng cấu quan hệ đẳng cấu quan hệ tương đương Bài 12: Phần tử khả nghịch phần tử bất khả quy vành giao hoán có đơn vị Các vành giao hốn có đơn vị, miền nguyên xem tổng quát hóa vành Z số nguyên Ta trang bị yếu tố lí thuyết chia hết vành số nguyên nghiên cứu chúng Cho X vành giao hốn có đơn vị a,bX, ta nói a chia hết cho b hay a bội b tồn phần tử cX để cho a=bc Phần tử khả nghịch vành giao hoán có đơn vị X phần tử uX để cho u ước đơn vị Hay u khả nghịch vX mà u.v=1 Tập U tập tất phần tử khả nghịch miền nguyên X lập thành nhóm phép nhân Nếu X vành giao hốn có đơn vị tập U phần tử khả nghịch X lập thành nhóm phép nhân Ví dụ: Bài 13: Vành Định nghĩa 1: Vành miền nguyên X iđêan X iđêan Ví dụ: Tính chất: +Trong vành A, ước chung lớn hai phần tử tồn +Trong vành A, hai phần tử a,b nguyên tố tồn s,t thuộc A mà sa+tb=1 +Trong vành A ab chia hết c (a,c)=1 b chia hết cho c +Trong vành A phần tử p0 khơng khả nghịch bất khả quy ab chia hết cho p a chia hết p b chia hết p + Trong vành A phần tử a0 khơng khả nghịch phân tích thành tích nhân tử bất khả quy phân tích khơng tính đến thứ tự nhân tử hay sai khác nhân tử khả nghịch Ví dụ: Bài 14: Vành Ơclit Định nghĩa: Vành Ơclit miền nguyên A, cho tập A* phần tử khác không xác định ánh xạ g:A*®N, thỏa mãn điều kiện: +Nếu a,bA* mà a\b g(a)g(b) +Mọi a,bA*, b0 ln tồn q,rA cho a=qb+r, r0 g(r)