Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BÀI TẬP CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI Bài tập Trong không gian Banach Chứng minh tập hợp hàm X f 0;1 : f 0 f 1 0 không gian Banach với chuẩn sup : f sup f x x0,1 + Chứng minh X không gian vec-tơ f o x x 0,1 f o X X f , g 0,1; a, b K , ta có f , g liên tục 0,1 nên af bg liên tục 0,1 Do đó, af bg C 0,1 Mặt khác, af bg 0 af 0 bg 0 af 0 bg 0 af bg Vậy X không gian vec-tơ + Chứng minh X không gian định chuẩn Ta có C 0,1 không gian định chuẩn với chuẩn sup X không gian định chuẩn với chuẩn sup + Chứng minh X không gian Banach Giả sử f n dãy Cauchy X Ta chứng minh tồn lim fn f X Vì f n dãy Cauchy nên lim f n f m lim sup f n x f m x m,n m,n x0,1 Suy f n dãy hội tụ 0,1 Do tồn f C 0,1 : f n 0,1 Vậy lim sup f n x f x hay lim f n f 0, suy lim f n f 0,1 n n x0,1 Mặt khác, f 0 lim f n 0 lim0 ; f 1 lim fn 1 lim0 n n n n Vậy f X , lim fn f X Bài tập Chứng minh không gian C k 0,1 hàm khả vi k lần không không gian Banach với chuẩn sup Xét C1 0,1 f : 0,1 1 Đặt f n t 0 2nt n : f t 0,1 t 0, 2 1 t ,1 ; f n liên tục 0,1 2n 1 1 t , 2 2n t Đặt gn t f n x dx, t 0,1 ; gn t f n t Vậy g n C1 0,1 t t t0,1 0 Ta có gn gm sup g n t g m t sup t0,1 fn x dx f m x dx t t t0,1 t0,1 0 sup fn x fm x dx sup fn x fm x dx fn x fm x dx 1 1 1 m,n 2 2m 2 n 2m 2n Vậy g n dãy Cauchy C1 0,1 n 0 Giả sử g n g C1 0,1 , g n g gn g sup gn t g t sup t0,1 t t f x dx g x dx t0,1 n n Vì gn g nên g n t g t , t 0,1 Với t 1: gn 1 f n x dx , gn 1 hội tụ suy f n x hội tụ Vậy f n x f x 1 1 Suy f lim f x lim , f lim f x lim 1 x x x 12 x 12 2 1 1 Vậy f f 2 2 Điều mâu thuẫn với điều kiện f hàm liên tục khả vi k- lần Kết luận: Không gian C k 0,1 hàm khả vi k lần không không gian Banach với chuẩn sup Bài tập Xét toán tử T : L1 0,1 L1 0,1 xác định Tf t f s ds với t f L1 0,1 t 0,1 a Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục b Tính chuẩn toán tử T + Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục Chứng minh T tuyến tính a, b , f , g L1 0,1 , ta có T af bg t af bg s ds af s bg s ds af s ds bg s ds t t t t 0 0 a Tf t b Tg t aTf t bTg t aTf bTg t ; t 0,1 Suy T af bg t aTf bTg t ; t 0,1 Vậy T af bg aTf bTg Chứng minh T bị chặn f L1 0,1 : f Tf 2 f s ds Tf t dt Tf 2 t 2 1 t t f s ds dt f s ds ds dt 0 1 1 f s ds dt f 0 dt f Suy Tf f Do đó, T bị chặn c Kết luận: T tuyến tính liên tục Tính chuẩn toán tử T Do T bị chặn ta có T * 1 Đặt f o t t 0,1; f o L1 0,1 fo fo s ds 0,,1 1 Suy T sup Tf Tfo f 1 Tf t dt 2 o Bài tập Với T L X , Y tồn T * L Y * , X * T * T + T * tuyến tính a, b K , f , g Y * , x X Ta có: T * af bg x af bg Tx af Tx bg Tx af Tx bg Tx a T * f x b T * g x aT * f bT * g x Suy ra: T * af bg aT * f bT * g + T * bị chặn T * f sup T * f x sup f Tx sup f Tx f sup Tx x 1 x 1 x 1 x 1 f T T f Vậy T * bị chặn C T Từ chứng minh T * bị chặn ta có T * C T * Chọn f o phiếm hàm giá Tx : f o Y * , f o 1, f o Tx Tx Khi T * sup T * f T * f o sup T * f o x sup f o Tx sup Tx T f 1 Vậy T * T x 1 x 1 x 1 ** Từ * ** có T * T Bài tập Cho R L toán tử dời chỗ bên phải nâng bên trái không gian l2 Chứng minh R* L R : l2 xn n l2 R xn n 0; x1; x2 ; ; xn ; L : l2 xm n l2 R xm n x2 ; x3 ; ; xn ; x xn n l2 x xn : xn , f l2* , f a f a1; ; an ; n1 x, y xn y n x1 y1 x2 y xn y n n 1 Ta có Lf , x a2 ; a3 ; ; an ; , x2 ; x3 ; ; xn ; a2 x1 a3 x2 an1 xn f , Rx a1; a2 ; ; an ; , 0; x1; x2 ; ; xn ; a10 a2 x1; ; an1 xn ; a2 x1; ; an1 xn; Suy Lf , x f , Rx Kết luận : R* L Bài tập Với k C 0,1 xét công thức Tf t 0 k t, s f s ds với f C 0,1 với t 0,1 a Chứng minh Tf C 0,1 với f C 0,1 b Chứng minh T tuyến tính bị chặn Tìm T t, s 0,1 k t , s với Chứng minh Tf C 0,1 với f C 0,1 Chứng minh Tf ánh xạ liên tục 0,1 Vì k liên tục 0,1 0,1 nên k bị chặn 0,1 0,1 Do M cho k t , s M với t , s Vì k liên tục tập Compac 0,1 0,1 nên k liên tục 0,1 0,1 Ta có 0, , t1 t2 k t1 , s k t2 , s Do Tf t1 Tf t2 0 k t1, s f s ds 0 k t2 , s f s ds 1 Tf t1 Tf t2 k t1, s k t2 , s f s ds f ds f với giá trị t1 , t2 0,1 Vậy Tf liên tục 0,1 hay Tf C 0,1 Chứng minh T tuyến tính bị chặn T tuyến tính a, b, c ; f , g 0,1 ta có T af bg t k t , s af bg s ds k t , s af s bg s ds 1 0 k t , s af s ds k t , s bg s ds a k t , s f s ds b k t , s g s ds 1 1 0 0 a Tf t b Tg t aTf t bTg t với t 0,1 Vậy T af bg aTf bTg T bị chặn f sup f t , f 0,1 t0,1 Tf sup Tf t sup t0,1 t0,1 k t , s f s ds sup k t , s f s ds t0,1 sup k t , s ds sup f s ds 1 t0,1 t0,1 M f ds , với M sup k t , s ds 1 t0,1 M f Vậy T bị chặn T M Đặt fo t Với t 0,1 ta có fo 0,1; fo sup fo t t0,1 T sup Tf Tfo f 1 Tfo sup Tfo t sup k t , s f o s ds sup k t , s ds M t0,1 1 t0,1 t0,1 Vậy T M Bài Chứng không gian định chuẩn hữu hạn chiều hội tụ hội tụ yếu tương đương Giả sử x j hội tụ yếu x Ta có f x j f x f X * n Mỗi giá x X có biểu diễn x i ei ; i i 1 Xét ánh xạ fi : X i fi x phép chiếu tọa độ thức i x Ta có phép chiếu ánh xạ tuyến tính liên tục nên fi X * Suy n fi xi fi x i n với x j ji ei i 1 Lại có x j x n i 1 ji i ji i ei ji i n n i 1 i 1 fi x j fi x n i 1 Vậy: Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều hội tụ hội tụ yếu tương đương Bài tập Giả sử X không gian định chuẩn Chứng minh X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều n Giả sử dim X n , l1 , l2 , , ln sở X , với x i ei X i 1 Đặt fi x i Ta i 1, , n Khi f1, , f n X * fi tuyến tính (Do phiếm hàm tuyến tính không gian hữu hạn chiều X ) độc lập tuyến tính Với f X * , đặt f ei i i 1, , n , ta có n f i f ei Do i 1 f1 , , f n sở X * Suy dim X * n X * hữu hạn chiều X hữu hạn chiều Giả sử dim X * n , cách chứng minh tương tự trên, ta dim X n Do X X nên dim X n Kết luận: X không gian định chuẩn, X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều Bài tập Giả sử H không gian Hilbert xn , yn H Chứng minh w a xn x với a H , xn , a x, a w b Nếu xn x yn y xn , yn x, y w c Nếu xn x xn x xn x Câu a w Ta thấy f H tồn a H cho f x x, a Do xn x a H xn , x x, a Câu b Ta có: xn , yn x, y xn , yn xn , y xn , y x, y xn , yn xn , y xn , y x, y xn , yn y xn x, yn xn yn y xn x, y sup xn yn y xn x, y n w w Ta thấy + xn x xn x Suy xn x, y 0, y + yn y yn y Suy xn , yn x, y hay xn , yn x, y Câu c Ta có: xn x xn x, xn x xn xn , x x, xn x (Vì lim xn n 2 xn ;lim x, xn lim xn , x xn ) 2 n n Suy xn x hay xn x Bài tập 10 Giả sử n dãy số T : l2 l2 xác định Tx n xn với x xn l2 a Tìm điều kiện n để T ánh xạ a Tìm điều kiện n để T ánh xạ bị chặn a Tìm điều kiện n để T ánh xạ compắc Tìm điều kiện n để T ánh xạ sup n n xn l2 ; sup n ta chứng minh n xn l2 n n Giả sử xn l2 mà n xn l2 Khi đó, tồn sup n tồn dãy n tăng xk cho nk 1 k : n nk k , k Ta chọn xn k n nk : k Suy Tx n xn l2 x xn l2 Tìm điều kiện n để T ánh xạ bị chặn Ta có: nk xnk nk n xn Điều mâu thuẫn với điều kiện k n1 n xn l2 Do n xn l2 sup n Giả sử x xn , y yn l2 x y n Ta có: x y xn yn n xn n yn n xn n yn Tx Ty với giá trị n Tìm điều kiện n để T ánh xạ compắc T : l2 l2 compắc lim n + lim n T compắc Đặt Tn : l2 l2 Tn x 1 x1 , 2 x2 , , n xn ,0,0,0, Ta có T Tn sup k xk hay T Tn Suy T compắc k n + T compắc lim n en sở trực chuẩn tắc l2 Ta có lim T en lim nen Kết luận: T : l2 l2 compắc lim n Bài tập 11 Giả sử H không gian Hilbert Chứng minh họ toán tử tự liên hợp H không gian đóng L H , H Giả sử A L H toán tử compắc tự liên hợp H không giá trị riêng Khi Y R A R A I gọi họ toán tử tự liên hợp L H , H Ta chứng minh tồn r cho A x r x , x H Giả sử ngược lại, với n Axn xn n 2 1 tồn xn H , xn cho A compắc xn n bị chặn nên tồn dãy Axnk xo Khi xn Axn Axn xn xo xn xo k k k k k Từ , Axnk xnk Axo xo Như không giá trị riêng, mâu thuẫn với giả thiết Chọn yn Y , yn yo , tồn xn H cho yn Axn xn Do điều kiện 1 ta có xn xm 1 n ,m A xn A xm yn ym r r Vậy xn n dãy H hội tụ xo H Cho n yn Axn xn ta yn A I xn Y Kết luận: Họ toán tử tự liên hợp H không gian đóng L H , H _Hết [...]... điều kiện của n để T là một ánh xạ compắc T : l2 l2 compắc lim n 0 + lim n 0 T compắc Đặt Tn : l2 l2 khi đó Tn x 1 x1 , 2 x2 , , n xn ,0,0,0, Ta có T Tn sup k xk 0 hay T Tn Suy ra T compắc k n + T compắc lim n 0 en là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 Ta có lim T en lim nen 0 Kết luận: T : l2 l2 compắc lim n 0 Bài tập 11 Giả sử... trên H là một không gian con đóng của L H , H Giả sử A L H là một toán tử compắc tự liên hợp trên H và 0 không là giá trị riêng Khi đó Y R A R A I gọi là họ các toán tử tự liên hợp trên L H , H Ta chứng minh tồn tại r 0 sao cho A x r x , x H Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n Axn xn 1 n 2 1 tồn tại xn H , xn 1 sao cho A compắc và xn n bị... H Ta chứng minh tồn tại r 0 sao cho A x r x , x H Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n Axn xn 1 n 2 1 tồn tại xn H , xn 1 sao cho A compắc và xn n bị chặn nên tồn tại dãy con Axnk xo Khi đó xn Axn Axn xn xo và xn xo 0 k k k k k Từ 2 , Axnk xnk 0 Axo xo Như vậy không là giá trị riêng, mâu thuẫn với giả thiết Chọn yn Y , yn... yn ym 0 r r Vậy xn n là dãy cơ bản trong H hội tụ về xo H Cho n trong yn Axn xn ta được yn A I xn Y Kết luận: Họ các toán tử tự liên hợp trên H là một không gian con đóng của L H , H _Hết