BAI TAP DAI SO HIEN DAI

BÀI TẬP ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Bài tập Cho đại số đa thức Đ trường số thực Chứng minh C   f  x   [x] / f  x   ao  a2 x   a2 k x k  đại số Đ với phép toán Đ Kiến thức: Đại số con: Cho đại số X vành R , A tập X Khi A   a  b  A a  A D  A X   ab  A a  A ra  A, r  R a  A Giải +  1x  0x1  0x   0x 2k  G  C   + f  x   a0 x0  a2 x   a2 k x k ; g  x   b0 x  b2 x   b2 k x k f  x   g  x    a0  b0  x   a2  b2  x    a2 k  b2 k  x k  C f  x  g  x    ct xt , ct  a 2i  j b  t chẳn 2i j Tích f  x  g  x  có hệ số mũ chẳn (hệ số mũ lẻ 0)  f  x  g  x    ct xt  C + Tác động: x  , f  x   C lấy f  x   a0 x0  a2 x   a2 k x k  rf  x   r.a0 x  r.a2 x   r.a2 k x k  C Bài tập Chứng minh nhóm hữu hạn cấp n nhúng đơn cấu vào nhóm phép bậc n Giải Cho X nhóm bất kỳ, P( X ) nhóm tất song ánh từ X  X Khi phép J : X  P( X ) : X  X phép J đơn cấu nhóm.” x ( x)  ax Chứng minh: (1) song ánh X  X + ánh xạ: ax (trong nhóm X ) + đơn ánh: Nếu có ax  ay , nhóm có luật giản ước  x  y + Toàn ánh: Lấy y  X  ax  y  x  a1 y Lấy x  a1 y  X ( x)  h a (a 1 y)  a(a 1 y)  y (2) J đơn cấu + J ánh xạ: a có + Đồng cấu: J (ab)  hb Thật vậy: hab ( x)  abx  h a (bx)  (hb ( x))  hb ( x)x  X  hab  hb + J đơn cấu: Nếu có  hb  (e)  (e)  hb (e)  ae  be  a  b Vậy J đơn cấu nhóm Bài tập Định nghĩa nhóm tự Chứng minh với tập S tồn nhóm tự sinh S Giải Định nghĩa Nhóm tự do: Cho tập S ta gọi nhóm tự sinh S (nhóm tự S ) nhóm F ánh xạ f: S  F thỏa mãn: +  nhóm G f S F !h g G +  ánh xạ g: S  G Luôn  đồng cấu nhóm h : F  G để biểu đồ giao hoán Tức hf  g Định lý  nhóm tự Định lý :  tập hợp S tồn nhóm tự sinh S Chứng minh: Xét tập T  S X 1; 1 (tích Đề -các) Ký hiệu phần tử  x,1  T x1 (hay  x,1  x1 )  x, 1  T x1 (hay  x, 1  x1 ) Gọi e tập hợp hữu hạn phần tử T Hay E   x   x2 xn n | xii T   i  1 1    Ta gọi:   x1 xn n từ E Định nghĩa “từ” rút gọn: Trong từ E xuất phần tử đứng cạnh giống số khác mũ bỏ đi(dạng x1x 1 hay y1 y 1 ta bỏ Từ  : từ phần tử nào(độ dài=0) Xác định tập F  {từ ,  từ rút gọn E } Mục đích xây dựng F nhóm tự sinh S Phép toán F : lấy u, v  F tính uv: Nếu u từ rỗng u.v  v Nếu v từ rỗng u.v  u u.v   u.v viết tiếp liên tục xuất phần tử dạng x1x 1 , y 1 y1 bỏ 1 1 VD: u  x y z , v  t y  u.v  x1 y 1.z1t1 y1 u  x1 y 1.z1 , v  z 1t1x 1  uv  x1 y 1t1x 1 Dễ kiểm tra F với phép toán nhóm: Kết hợp Đơn vị từ rỗng Kiểm tra F thỏa mãn nhóm tự sinh S (theo định nghĩa) f :S F Xác định ánh xạ x1 x Kiểm tra F f thỏa mãn định nghĩa nhóm tự Bài tập Chứng minh có hai loại nhóm Xyclic     Giải Nhóm xyclic G có cấp hữu hạn n có cấp vô hạn Nếu: i G có cấp hữu hạn n G n ii G có cấp vô hạn G Thậy vậy, i Cho G xk / k Do G có cấp n Lập: f :G x k G x 0; x 1; , x n e n k, k Khi f đẳng cấu Do G ii Do G có cấp vô hạn x n Khi đó: G ., x t ; x t n n e, n , , x 1; x nên x n x m, n e; x 1; , x t ; t m n Lập: f :G xk k Khi f đẳng cấu Do G Vậy có hai loại nhóm xyclic (hoặc n ) Bài tập Định nghĩa trường nguyên tố Cho ví dụ Chứng minh có hai loại trường nguyên tố Định nghĩa trường nguyên tố ĐN(1) Cho trường E, tập K E gọi trường E nếu: K   a  b  K ; a, b  K ab1  K ; a, b  K ĐN(2) Một trường P gọi nguyên tố P trường thực Ví dụ trường nguyên tố VD(1) Trường VD(2) Trường trường nguyên tố p trường nguyên tố ( p số nguyên tố) Định lý Cho P trường nguyên tố P thuộc hai loại: + Loại P có đặc số P  + Loại P có đặc số khác P  p (p nguyên tố) Chứng minh định lý ( có hai loại trường nguyên tố) Gọi E đơn vị P; ký hiệu E  ne / n   ; kiểm tra E vành giao hoán có đơn vị 1e  e ước  E miền nguyên  E  K ( trường K trường thương E) Trường hợp Nếu P có đặc số  ne  0, n  Mà * E có trường thương trường hữu tỉ ; ; E có trường thương trường K K  K trường P, p nguyên tố  K  P Vậy P  hay P trường loại Trường hợp P có đặc số p (p nguyên tố)  pe  p bé  E  0;1e;2e; ;  p  1 e  E  Mà p p trường  E trường E  P, p nguyên tố  E  P Vậy P  p hay P trường loại Bài tập Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt Ví dụ Chứng minh mở rộng K E hữu hạn  K : E  n phần tử thuộc K đại số E Giải Định nghĩa phần tử đại số, phần tử siêu việt? Cho ví dụ Cho trường E E K, phần tử a Được gọi đại số E a nghiệm đa thức hệ số thuộc E tức a nghiệm phương trình: Được gọi siêu việt E a đại số E ( nghiệm đa thức thuộc E[x] ) Ví dụ: Xét trường Q ( E= Q) R mở rộng Q thì: Các số √ , √ ,….là đại số Q Các số siêu việt Q Chứng minh mở rộng K E hữu hạn ( [ K : E ] = n ) với phần tử thuộc K đại số E Trong không gian vector K xét hệ vector: ,a, ,…, , (*) hệ có n+1 vector không gian n chiều Suy hệ (*) phụ thuộc tuyến tính ( không gian vector n chiều Suy hệ số hệ n+1 vector phụ thuộc tuyến tính) để , Suy a nghiệm phương trình phương trình có hệ số thuộc E  a đại số E Bài tập Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin cho có Noether không?  mô-đun Hỏi có Artin không? Định nghĩa mô-đun Noether, mô-đun Artin Cho mô-đun R M + M gọi Noether với chuỗi tăng mô-đun M dừng m Tức với chuỗi tăng A1  A2   An  Ai  M tồn k để Ak  Ak t , t  + M gọi Artin với chuỗi giảm mô-đun M dừng Tức  m B1  B2   Bn Bi  M tồn l l  có Noether không? Chứng minh có Artin không? Noether Mô-đun có dạng m , m  m k m k Nếu có dãy tăng mô-đun n1  n2  n3   nt  *  n2 ; n3 ; ; nt ; ước n1 mà n1 số tự nhiên nên có hữu hạn ước  dãy * phải dừng Vậy Noether *  để A  A l l t , t  Chứng minh không Artin Chọn dãy giảm mô-đun  22  23   2n  Thấy 2;22 ;23 ; ;2n ; dãy giảm không bị chặn Suy dãy  22 Vậy  23   2n  dãy giảm không dừng không Artin Bài tập Định nghĩa đại số, đại số con, iđêan đại số Cho ví dụ Giải Định nghĩa (đại số) Cho vành R giao hoán đơn vị ký hiệu , tập X gọi đại số vành R X có ba phép toán: (i) Cộng X : x  y  X (ii) Nhân X : xy  X (iii) Tác động: R  X  X  r, x  rx Thỏa mãn: ĐK1: X phép cộng phép nhân vành X (i) + (ii) = vành ĐK2: X R _ môđun với cộng tác động X (i) + (ii) = môđun ĐK3: r  xy    rx  y ;  rs  x  r  sx  Ví dụ (đại số) v (a) Cho X vành đơn vị R  X , 1 R cho   R, x  X có  x  x  R vành giao hoán có đợn vị X R Khi X đại số R Với cộng: phép cộng vành X Nhận: phép nhân vành X Tác động: R  X  X  r, x  rx rx : Phép nhân vành X Kiểm tra + X vành (giả thiết) + Cộng tác động biến X R _ môđun + Thỏa r  xy    rx  y tính chất kết hợp vành X Định nghĩa (Đại số con) Cho đại số X vành R , A tập X đó: A   a  b  A, a, b  A D  A X   ab  A, a, b  A ra  A, a  A, r  R Định nghĩa (Iđêan) Cho đại số X , I tập X , I gọi Iđêan X nếu: m + I  môđun X + I vành X Kí hiệu: I X I   a  b  I ,  I X   ra  I ,  xay  I , a, b  I r  R, a  I x, y  I , a  I VD: Cho X vành giao hoán có đơn vị 1, I X ( I Iđêan X ) (i) X đại số (ii) I đại số X Chứng minh: X đại số X x, y  X  x  y  X ; xy  X  X vành Tác động X  X  X  r, x  rx : Nhân X Suy ra: Phép cộng tác động biến X thành X _môđun X thỏa điều kiện tính chất kết hợp phép nhân: r  xy    rx  y Chứng minh: I đại số X 0 I  I   I Iđêan vành X  a  b  I , a, b  I I iđêan vành X  r  X , a  I có  I mà I  X  … Bài tập Mô tả đại số ma trận M n  R  đại số đa thức Đ  R  x  với R vành giao hoán có đơn vị Giải Mô tả đại số ma trận M n  R   M n  R    aij n ; aij   tập ma trận cấp n phần tử thực Bài tập 10 Với phần tử tùy ý a vành cho X idean I  a  X sinh đơn tập a gọi gọi idean X Thử nghiệm I    , I 1  X , phần tử không, 1là phần tử đơn vị (nếu có vành X ) Nếu idean X idean ta nói X vành (vành idean chính) Chứng minh vành Ta chứng minh vành số nguyên Giả sử I idean với tất số nguyên là vành Nếu I  {0} I idean sinh {0} Nếu I  {0} Giả sử a số nguyên dương bé I b  I Ta giả sử b  ( b  b  b  I ta lấy b ) Ta lấy b chia cho a , ta được: b  aq  r với r số dư  r  a Mà r  b  aq  I Nếu r  a số nguyên dương bé I (mâu thuẩn) Dó r  b  aq tức I  a idean sinh a Vậy vành chính, idean có dạng n Bài tập 11 Giả sử K iđêan vành R với đơn vị x phần tử cho mô-đun X R Chứng minh: A  Kx   x /   K X mô-đun X Kiến thức Cho R vành tùy ý, M mô-đun R, N  M N mô-đun M khi: + N   +   R; x, y  N ta có x  y  N ;  x  N Giải + K iđêan vành R  K vành R; K vừa iđêan trái vừa iđêan phải R + x  R , ta có x  1x  A  A    a  1 x + 1,2  K  1,2  R ; a, b  A   b   y x  R  Ta có: a  b  1x  2 x  1  2  x  A   K ;  a    x      x  A Kết luận: A  Kx   x /   K X mô-đun X Bài tập 12 Chứng minh giao họ đại số họ đại số X R đại số X Do đó, với tập S X, tồn đại số nhỏ X chứa S, đại số gọi đại số X sinh S Chứng minh đại số đa thức R t  sinh t + Gs A1 , A2 , , An , họ Đại số đại số X Đặt G  A1 A2 An Ta có: Ai đại số i  N *  1 Ai , i  N *  1 G  G   a, b G, r  R Ta có: a, b  Ai , i  N * mà Ai đại số X nên a  b; a.b; thuộc Ai , i  N * Suy : a  b; a.b; G Vậy G đại số X Đặt S  1 ; t Ta có : S  R t  Gs A đại số đại số R t  sinh bở S Với f  t   R t  Ta có : f  t   a0  a1t  a2t   ant n , ai  R, i  n Ta có: A đại số sinh t vành R Suy :  a1.1 A , i  n t i  t.t t  A , i  n ( i thừa số t )  ait i  A , i  n Suy ra: f  t   a0  a1t  a2t   ant n  A (Vì A đại số ) Vậy R t   A (đpcm)